NW359 360 DẠNG 09 rút gọn BIỂU THỨC LÔGARIT đơn GIẢN GV

DẠNG TỐN 09: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƠGARIT ĐƠN GIẢN

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Định nghĩa:
a ≠1
a b
α
a
aα = b
Cho hai số dương , với
. Số
thỏa mãn đẳng thức
được gọi là lôgarit cơ số của

b

và kí hiệu là

log a b

α = log a b ⇔ aα = b.

. Ta viết
a > 0 b > 0 a ≠1
2. Các tính chất: Cho
,
,
ta co
log a a = 1, log a 1 = 0
•
.

log a b
α
a
= b, log a ( a ) = α
•
.
a ≠1
a b1 b2
3. Lơgarit của mợt tích: Cho 3 số dương , ,
với
, ta co
log a (b1.b2 ) = log a b1 + log a b2
•
.
a ≠1
a b1 b2
4. Lôgarit của một thương: Cho 3 số dương , ,
với
, ta co
b
log a 1 = log a b1 − log a b2
b2
•
.
1
log a = − log a b
a, b > 0, a ≠ 1
b
• Đặc biệt với
thì

.
a > 0 b > 0 a ≠1
α
5. Lôgarit của lũy thừa: Cho
,
,
, với mọi , ta co
log a bα = α log a b
•
.
1
log a n b = log a b
n
• Đặc biệt
.
a ≠1 c ≠1
a b c
6. Công thức đổi cơ sô: Cho 3 số dương , , với
,
ta co
log c b
log a b =
log c a
•
.
1
1
log a c =
log aα b = log a b
log c a

α ≠0
α
• Đặc biệt
và
, với
.
 Lôgarit thập phân và Lôgarit tự nhiên
log10 b = log b = lg b
 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10, ta viết
.
log e b = ln b
e
 Lôgarit tự nhiên là lôgarit cơ số , ta viết
.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Tính giá trị biểu thức chứa lơgarit .
TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Trang 1


 Các mệnh đề liên quan đến lôgarit
…
BÀI TẬP MẪU
log 3 ( 9a )

a

(ĐỀ MINH HỌA -BDG 2020-2021) Với là số thực dương tùy ý,
1

2
+ log 3 a
( log 3 a )
2 log 3 a
2
A.
.
B.
.
C.
.
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn: Rút gọn biểu thức lơgarit đơn giản.
2. HƯỚNG GIẢI:
log a ( b.c ) = log a b + log a c
B1: Áp dụng công thức
.
log 3 ( 9a ) = log 3 9 + log 3 a = 2 + log3 a
B2:
.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn D
log a ( b.c ) = log a b + log a c
Áp dụng công thức
.
log3 ( 9a ) = log 3 9 + log 3 a = 2 + log 3 a
Do đo
.
Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1
Câu 1.

Với

A.

a

là số thực dương tùy ý,

2 + log 2 a

.

Chọn B
Với
Câu 2.

Với

A.

a>0
a

thì

B.

2log 2 a

.

1
+ log 2 a
2

.

C.
Lời giải

B.

log 2 ( 2a )

2log 2 a

D.

2 + log 3 a

.

bằng

log 2 ( a 2 ) = log 2 a 2 = 2 log 2 a

là số thực dương tùy ý,

2 + log 2 a

log 2 ( a 2 )

bằng

.

D.

1
log 2 a
2

.

.

bằng
1 + log 2 a

.

C.
Lời giải

.

D.

1
log 2 a
2

.

Chọn C
Với
Câu 3.

Với

A.

a>0
a

thì

log 2 ( 2a ) = log 2 2 + log 2 a = 1 + log 2 a

là số thực dương tùy ý,

2 + log 2 a

.

B.

log 2 ( 8a

3 + 2 log 2 a

2

.

)

.

bằng
1
+ log 2 a
2

C.
Lời giải

.

D.

1
log 2 a
2

.

Chọn B
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 2


Với
Câu 4.

log 2 ( 8a 2 ) = log 2 8 + log 2 ( a 2 ) = 3 + 2 log 2 a

a>0

thì
a = log 2 m

Cho

với
3+ a
log m 8m =
a
A.
.
3− a
log m 8m =
a
C.
.

m > 0 m ≠1
,

.

. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

B.

log m 8m = ( 3 − a ) a
log m 8m = ( 3 + a ) a

D.
Lời giải

.
.

Chọn A

Ta co

Câu 5.

Câu 6.

3 3+ a
log m 8m = log m m + log m 8 = 1 + log m 23 = 1 + 3log m 2 = 1 + a = a

.

log 2 ( a 2 .b )
a b
Với , là các số thực dương tùy ý,
bằng
2 + log 2 ( a.b )
log ( a.b )
2 log 2 a + log 2 b
log 2 a + b
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
log 2 ( a 2 .b ) = log 2 ( a 2 ) + log 2 b = 2 log 2 a + log 2 b
a>0 b>0
Với
,
thì
.

log 2 x = m

Cho
−

A.

m
2

A = log 2 x 2 + log 1 x3 + log 4 x
2

. Tính giá trị của biểu thức

.

B.

m

.

C.
Lời giải

m
2

theo

.

D.

−m

m

.

Chọn A

Ta co

Câu 7.

A = log 2 x 2 + log 1 x3 + log 4 x = 2 log 2 x − 3log 2 x + 1 log 2 x = − 1 log 2 x
2
2
2

16
log 2
a

a
Với là số thực dương tùy ý,
8 − log 2 a
2log 2 a
A.
.
B.
.

−

=

m
2

bằng
4 − log 2 a
C.
.
Lời giải

D.

16 − log 2 a

.

Chọn C

Với
Câu 8.

Cho

a>0

log 2

thì

16
a = log 2 16 − log 2 a = 4 − log 2 a

a, b

a ≠ 1 log a b

là các số thực dương với
,
1
− log a b
−2 log a b
2
A.
.
B.
.

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

.

biểu diễn theo
1
log a b
2
C.

.
Lời giải

log a b

là

D.

2 log a b

.
Trang 3


Chọn D

Với
Câu 9.

a, b > 0

a ≠1

, ta co

x>0 y>0 a>0

Với
A.

và

,

P=3

,

.

và
B.

1
log a b =
1
log a b =  2 ÷
2 log a b


a ≠1

, cho

P = 10

log a x = −1

.

.

log a y = 4

và
P = −14

C.
Lời giải

. Tính

.

P = log a ( x 2 y 3 )

D.

P = 65

.

.

Chọn B
Với
P=

x>0 y>0 a>0

,

log a ( x y
2

,

3

) = log

a

và

a ≠1

, ta co

x 2 + log a y 3 = 2 log a x + 3log a y = 10

.

a 
log 2  4 ÷
b 
2

Câu 10.

a b
, là các sớ thực dương tùy ý,
bằng
2 log 2 a − 4 log 2 b
log 2 a − 2 log 2 b
2a − 4b
A.
.
B.
. C.
.
Lời giải
Chọn B
Với

Với
 Mức đợ 2
Câu 1.

a>0 b>0
,

thì

 a2 
log 2  4 ÷
2
4
 b  = log 2 ( a ) − log 2 ( b ) = 2 log 2 a − 4 log 2 b

Với các số thực dương

A.

C.

D.

log 2 a − b 4

.

.

a b
, bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 2a 3 
log 2 
÷ = 1 + 3log 2 a − log 2 b
b


 2a 3 
log 2 
÷ = 1 + 3log 2 a + log 2 b
 b 

.

.

B.

D.
Lời giải

 2a 3 
1
log 2 
÷ = 1 + log 2 a − log 2 b
3
 b 
 2a 3 
1
log 2 
÷ = 1 + log 2 a + log 2 b
3
 b 

.

.

Chọn A

Ta co
Câu 2.

Cho

 2a 3 
log 2 
3
÷
3
 b  = log 2 ( 2a ) − log 2 ( b ) = log 2 2 + log 2 a − log 2 b = 1 + 3log 2 a − log 2 b

a>0 b>0
,

và

.

a ≠1

. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
1
1
log a 2 ( ab ) = log a b.
log a 2 ( ab ) = log a b.
2
4
A.
B.
1 1
log a2 ( ab ) = + log a b.
log a 2 ( ab ) = 2 + 2 log a b.
2 2

C.
D.
Lời giải
Chọn D

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 4


Với
=

Câu 3.

a>0 b>0
,

và

a ≠1

ta co

1
1
1
log a2 ( ab ) = 2 log a ( ab ) = 2 ( log a a + log a b ) = 2 ( 1 + log a b )

1 1

+ log a b
2 2

.
log 6 9 = a.

Cho
a+2
a
A.
.

log 3 2

a
theo .
a−2
a
B.
.

Tính

C.
Lời giải

2−a
a

.

D.

a
2−a

.

Chọn C
log 6 9 = 2 log ( 2.3) 3

Ta co

⇔a=

2

log 3 ( 2.3)

⇔ log 3 2 + 1 =

log 5

Câu 4.

log 5

1
2

5
2

4 2 log 5 21 2 1 = log 5 12 1 =
5
1 1
5
1
1
=
a − log 5 3 − log 5 5
2
2 2 =
2
2
2
2
log
2
−
log
3
.5
15
3 .5
3 .5
5
5
2
2

2

Ta co
5
1
1 5a − b − 1
= a− b− =
2
2
2
2

.

log 2 3 = a log 2 7 = b
log 2 2016
b
a
Cho
,
. Biểu diễn
theo và .
log 2 2016 = 5 + 3a + 2b
log 2 2016 = 5 + 2a + b
A.
.
B.
.
log 2 2016 = 2 + 2a + 3b
log 2 2016 = 2 + 3a + 2b

C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
Ta co
Do đo

Câu 6.

4 2
15

log 5 2 = a log 5 3 = b
b
a
Cho
,
. Khi đo giá trị của
tính theo và là
5a − b − 1
5a − b + 1
5a + b − 1
5a + b + 1
2
2
2
2
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
2

Câu 5.

2
2−a
⇔ log 3 2 =
.
a
a

Cho

5 2
log 2 2016 = log 2 ( 2 .3 .7 ) = log 2 25 + log 2 32 + log 2 7 = 5 + 2 log 2 3 + log 2 7

log 2 2016 = 5 + 2a + b

a>0

Cho

,

.

b>0

,

A = log a (b ).log b ( bc ) − log a (c)

c>0

và

a ≠1

,

b ≠1

.

Rút

gọn

biểu

thức

2

A.

log a c

.

1

B. .

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

bằng biểu thức nào sau đây?
log a b
C.
.
Lời giải

D.

log a bc

.
Trang 5


Chọn C

1
= 2 log a b. log b ( bc ) − log a ( c )
A = log a (b ).log b ( bc ) − log a (c)
2
2

Ta co

= 2 log a b.

1
( logb b + log b c ) − log a ( c ) = log a b. ( 1 + log b c ) − log a c
2

= log a b + log a b.log b c − log a c = log a b + log a c − log a c = log a b

Câu

7.

Cho

a>0 b>0
,

và

a ≠1 b ≠1
,

. Đặt

log a b = m

, tính theo

m

.

giá trị của

P = log a2 b − log

b

a3

.

A.

4m 2 − 3
2m

.

B.

m 2 − 12
2m

.

C.
Lời giải

m 2 − 12
m

.

D.

m2 − 3
2m

.

Chọn B

Do

1
m

log a b = m
. Khi đo
1

3
= log a b − log b a
1
1
1
6 m 2 − 12
2
3
=
log
b
−
6
log
a
=
m
−
=
a
b
P = log a b − log b a
2
2
2
m
2m

b ≠1

nên

log a b = m ≠ 0

⇒ logb a =

2

Câu 8.

Câu 9.

Ta co
log a c = x > 0
log b c = y > 0
log ab c
x y
Cho
và
. Khi đo giá trị của
theo , là
1 1
1
xy
+
x+ y
x y
xy
x+ y
A.

.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
1
1
=
=
1
1
1
1
1 1
xy
log ab c =
=
+
+ =
log c ab log c a + log c b log a c logb c x y x + y
Ta co
.
log 2 5 = a log 3 5 = b
log 6 5
b
a

Cho
,
. Khi đo
tính theo và là
ab
1
a 2 + b2
a +b
a+b
a+b
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
1
1
=
1
1
1
1
1 =1 1
ab
=

=
=
+
log 6 5 log 5 6 log 5 ( 2.3 ) log5 2 + log 5 3 log 2 5 log3 5 a + b = a + b
Ta co
.

.

log 27 5 = a log 3 7 = b
log 2 3 = c
log6 35
a b c
Câu 10. Với
,
và
, giá trị của
tính theo , , là
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 6


( 3a + b ) c
1+ b

A.

( 3a + b ) c
.

1+ c

B.

( 3a + b ) c
.

C.
Lời giải

1+ a

( 3b + a ) c
.

D.

1+ c

.

Chọn B

Ta co

1
⇔
log 3 5 = a ⇔ log 5 = 3a
log 27 5 = a

3
3

Khi đo
 Mức độ 3
Câu 1.

a>0 b>0

Cho

A.

C.

.
3a + b
log3 35 log 3 5 + log 3 7 = 1
( 3a + b ) c
=
=
+1 =
log 6 35 log3 6
log3 2 + 1
c
1+ c
4a 2 + 9b 2 = 13ab

,
thỏa mãn

 2a + 3b  1
log 
÷ = ( log a + log b )
 5  2

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

.

log 2a + 3b = log a + 2 log b

.

1
log ( 2a + 3b ) = 3log a + 2 log b
4

B.

 2a + 3b  1
log 
÷ = ( log a + log b )
 4  2

.

D.
Lời giải

.

.

Chọn A
4a 2 + 9b 2 = 13ab ⇔ ( 2a + 3b ) = 25ab ⇔
2

Ta co

Lấy logarit thập phân
Câu 2.

a>0 b>0

 2a + 3b 
log 
÷ = log
 5 

(

)

2a + 3b
= ab
5

ab =

.

1
( log a + log b )
2

.

a + b = 14ab
,
thỏa mãn
. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
a+b 1
log 3
= ( log 3 a + log 3 b )
2 ( log 3 a + log 3 b ) = log 3 ( 14ab )
4
2
A.
.
B.
.
1
log
a
+
b
−
4
=
(

)
( log 3 a + log 3 b )
3
log 3 ( a + b ) = 2 ( log 3 a + log 3 b )
2
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A

Cho

2

2

2

Ta co

a 2 + b 2 = 14ab ⇔ ( a + b )

2

 a+b
⇔
÷ = ab
= 16ab

 4 

.

2

Lấy logarit cơ số
⇔ log 3

3

hai vế ta được

a+b 1
= ( log 3 a + log 3 b )
4
2

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

 a+b
a+b
log 3 
= log 3 a + log 3 b
÷ = log 3 ( ab ) ⇔ 2 log 3
 4 
4

.

Trang 7


Câu 3.

a, b, c

Cho các số dương
log c ( ab )

thức
6
5
A. .

B.

log a ( bc ) = 2

log a ( bc ) = 2 log b ( ca ) = 4
thỏa mãn
,
. Tính giá trị của biểu

.

Chọn B
Ta co

và

khác

1

⇒

log b ( ca ) = 4

log c ( bc )
log c a
⇔

8
7

.

=2 ⇔

log c ( ca )
log c b

10
9

C.
Lời giải

.

1 + log c b
=2
⇔ 2 log c a − log c b = 1
log c a

=4 ⇔

D.

1 + log c a
=4
⇔ log c a − 4 log c b = −1
log c b

Từ (1) và (2) ta co
log 27 5 = a; log 8 7 = b log 2 3 = c
log12 35
Cho
,
. Giá trị của
bằng
3b + 2ac
3b + 2ac
3b + 3ac
c+3
c+2
c +1
A.
.

B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn D
log 27 5 = a ⇒ log 3 5 = 3a
Ta co
log 8 7 = b ⇒ log 2 7 = 3b
.
log 2 5 = log 2 3.log 3 5 = 3ac

Ta co

log12 35

=

(2).

.

D.

3b + 3ac
c+2

.

log 2 35 log 2 7 + log 2 5 3b + 3ac

=
=
log 2 12 log 2 4 + log 2 3
c+2

I=

Câu 5.

.

(1)

5

log c a = 7

5 3 8
log b = 3
= + =
⇒
log
ab
(
)
=
log
a
+
log

b
 c
c
7
c
c
7 7 7

Câu 4.

7
6

−1 
1
2
3
149 
 log + log + log + ... + log
÷
log126 
2
3
4
150 

a = log 3 5 b = log 2 7 c = log 2 3
,
,
. Tính

a b c
theo , , .
1 + c + 2ac
c + 2ac
1 + 2c + 2ac
I=
I=
I=
1 + 2c + b
1 + 2c + b
1 + 2c + b
A.
.
B.
.
C.
.
Lời giải
Chọn A
log 2 5 = log 2 3log 3 5 = a.c
Từ giả thiết suy ra
.
Cho

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

I=

D.

1 + c − 2ac
1 + 2c + b

.

.

Trang 8


I=

Ta co

−1 
1
2
3
149 
−1
 1 2 3 149  log150
.log  . . .....
 log + log + log + ... + log
÷=
÷=
log126 
2
3
4
150  log126

 2 3 4 150  log126

= log126 150

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

=

log 2 150 1 + log 2 3 + 2 log 2 5 1 + c + 2ac
=
=
.
log 2 126 1 + 2 log 2 3 + log 2 7 1 + 2c + b

a = log 3 4 b = log5 4
log12 80
b
a
,
. Hãy biểu diễn
theo và .
a + 2ab
2a 2 − 2ab
log12 80 =
log12 80 =
ab + b

ab
A.
.
B.
.
2
a + 2ab
2a − 2ab
log12 80 =
log12 80 =
ab
ab + b
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn A
1
2+
b
log 4 ( 42.5 ) 2 + log 5 =
log 4 80
log 4 80
4
a + 2ab
1
=
log12 80 =
=

=
1+
=
log 4 ( 4.3)
log 4 12
log 4 12
1 + log 4 3
a
ab + b
Ta co
.
a = log x y b = log z y
x, y , z
xyz ≠ 1
1
Cho
là các số thực dương tùy ý khác và
. Đặt
,
. Mệnh đề
nào sau đây đúng?
3ab + 2 a
3ab + 2b
log xyz ( y 3 z 2 ) =
log xyz ( y 3 z 2 ) =
a + b +1
ab + a + b
A.
.
B.

.
3ab + 2a
3ab + 2b
log xyz ( y 3 z 2 ) =
log xyz ( y 3 z 2 ) =
ab + a + b
a + b +1
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn C
a
1
log x z = log x y.log y z =
log y z =
a = log x y b = log z y
b
b
Do
,
nên
,
a
3a + 2
b
log x ( y 3 z 2 ) 3.log y + 2.log z =
x
x

3ab + 2a
a
log xyz =
=
1+ a + =
log x ( xyz )
1 + log x y + log x z
b ab + a + b
Ta co
.
Đặt

C = log 5 log 5

5 5 5

Tính
− n.
A.

... 5 5
(
B.

3n.

n

dấu căn) theo

n

.

C.
Lời giải

−3n.

D.

2n.

Chọn A
1

 ÷

⇒ C = log 5 log 5 5 5 


n

5 5 5

Ta co

1

n

... 5 5 = 5 5 ÷

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA


n

1
 = log 5  5 ÷
  = −n

.
Trang 9


6 log 2a b − log b2 c = log a

Câu 9.

c
c
− 2 log b − 1
b
b

c > b > a >1
a b c
Cho , , là các số thực thỏa
và

. Mệnh đề
nào sau đây đúng?
log b c = 2 log a b + 1
log b c = 2 log a b − 1
A.
B.
3log a b + log b c = 1
3log a b − log b c = 1
C.
D.
Lời giải
Chọn A
c
c
6 log 2a b − log b2 c = log a − 2 log b − 1
⇔ 6 log 2a b − logb2 c = log a c − log a b − 2 log b c + 1
b
b
Ta co
⇔ 6 log 2a b − log b2 c = log a b ×logb c − log a b − 2 log b c + 1
.
x = log a b y = log b c
Đặt
,
.
2
2
6 x − y = xy − x − 2 y + 1 ⇔ 6 x 2 + ( 1 − y ) x − y 2 + 2 y − 1 = 0
Ta co
∆ = ( 1 − y ) − 24 ( − y 2 + 2 y − 1) = 25 y 2 − 50 y + 25 = 25 ( y − 1)

2

Khi đo

Suy ra

2


y − 1 − 5 ( y − 1)
1− y

x=
x =

3 x + y = 1
3
12

⇔
⇔
y − 1 + 5 ( y − 1)

 y − 2x = 1
 x = y −1
 x =

2
12

.
y = log b c > log b b = 1

x = log a b > log a a = 1
nên
và
.
3x + y > 1
y − 2 x = 1 ⇔ log b c − 2 log a b = 1 ⇔ log b c = 2log a b + 1
Suy ra
nên nhận
.
1
1
1
+
+ ... +
log 2 n ! log 3 n !
log n n !
n >1
Câu 10 . Cho
là một số nguyên. Giá trị của biểu thức
bằng
0.
n !.
1.
n.
A.
B.
C.

D.
Lời giải
Chọn D
1
1
1
1
+
+
+ ... +
log 2 n ! log 3 n ! log 4 n !
log n n !
n >1 n∈¢
Vì
,
nên
Vì

c > b > a >1

= log n! 2 + log n! 3 + log n! 4 + ... + log n! n = log n! ( 2.3.4...n ) = log n! n ! = 1
 Mức độ 4
Câu 1.

Co

tất

cả

bao

nhiêu

số

dương

a

.

thỏa

mãn

đẳng

thức

log 2 a + log 3 a + log 5 a = log 2 a.log 3 a.log 5 a
A. 3.

B. 1.

C. 2.
Lời giải

D. 0.

Chọn A
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 10


Ta co
log 2 a + log 3 a + log 5 a = log 2 a.log 3 a.log 5 a
⇔ log 2 a + log 3 2.log 2 a + log5 2.log 2 a = log 2 a.log 3 5.log 5 a.log 5 a
⇔ log 2 a. ( 1 + log 3 2 + log 5 2 ) = log 2 a.log 3 5.log 52 a

 log 2 a = 0
⇔

2
⇔ log 2 a. ( 1 + log 3 2 + log 5 2 − log 3 5.log 52 a ) = 0
1 + log 3 2 + log 5 2 − log 3 5.log 5 a = 0
a = 1
a = 1

⇔
1 + log 3 2 + log 5 2 ⇔ 
±
log 5 a = ±


log
5
a
=

5
3



Vậy co 3 số dương
Câu 2.

1+ log3 2 + log 5 2
log 3 5

.
log 2 a + log 3 a + log 5 a = log 2 a.log 3 a.log 5 a

a

thỏa mãn đẳng thức
.
a > 0 a ≠1
n
Cho
,
, tìm sớ ngun dương sao cho
log a 2021 + 22 log a 2021 + 32 log 3 a 2021 + ... + n 2 log n a 2021 = 1010 2 × 20212 log a 2021
A.

1010

.

Chọn C
n 2 log
Ta co

B.

n

a

2021

.

C.
Lời giải

2021 = n 2 .n.log a 2021 = n3 log a 2021

log a 2021 + 2 log
2

.

D.

, suy ra

1011

(

.

)

2021 + 3 log 3 a 2021 + ... + n log n a 2021 = 13 + 23 + ... + n 3 .log a 2021
2

a

2020

2

2

 n(n + 1) 
=
.log a 2021
 2 

.
log a 2021 + 2 log a 2021 + 32 log 3 a 2021 + ... + n 2 log n a 2021 = 1010 2 × 20212 log a 2021
2

Do đo

2

2

 n(n + 1) 
 n(n + 1) 
⇔
.log a 2021 = 10102 × 20212 log a 2021 ⇔ 
= 10102 × 20212


 2 
 2 

⇔ n 2 (n + 1) 2 = 20202 × 20212 ⇒ n = 2020

Câu 3.

Cho

(với

b >1
a b
, là các số dương thỏa mãn
và

a
P = log a a + 2 log b  ÷
b
b
A.

6

.

n

là sớ ngun dương).
a ≤b
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.
B.

7

.

5

C. .
Lời giải

D.

4

.

Chọn C
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 11


P=
Ta co:

Đặt

log b a
+ 4. ( log b a − 1)
log b a
a
=
+ 4. ( log b a − 1)
log b
log b a − 1
b

t = log b a
P=

Ta co

, khi đo do

t
+ 4 ( t − 1)

t −1
f (t ) =

Xét hàm số

Ta co

a ≤ b < a ⇒ logb

, với

t ∈ ( 1; 2 )

t
+ 4 ( t − 1)
t −1

với


t =
⇔
1
2
t =
⇔ ( t − 1) =

f ′(t ) = 0
4
f (t ) =

Bảng biến thiên của hàm số

Từ bảng biến thiên suy ra

b

a⇒

t
<1< t
⇔1< t < 2
2

.

.

t ∈ ( 1; 2 )

3
2
1
2

f ′(t ) =

, với

−1

( t − 1)

2

+4

.

.

t
+ 4 ( t − 1)
t −1

với

t ∈ ( 1; 2 )

3
min f ( t ) = f  ÷ = 5.
( 1;2 )
2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 4.

( a ) ≤ 1 ≤ log

P

bằng

5

.

4 log 2a x + 3logb2 x = 8log a x.log b x
a b x
Cho , , là các số dương, khác 1 và thỏa mãn
(*). Khi
đo mệnh đề (*) tương đương với mệnh đề nào sau đây?
x = ab
a3 = b2
a = b2
a3 = b2
a = b2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
hoặc
.
Lời giải
Chọn D
m = log a x n = log b x
x ≠1

m≠0 n≠0
Đặt
,
; khi đo do
nên
,
.

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 12


2

4 log 2a x + 3log b2 x = 8log a x.log b x

Ta co

m 1
n = 2
⇔
m = 3
 n 2

2m = n

Ta co

⇒ log a x =

.

1
log b x
⇔ a = b2
2

1
1
1
1
m = n ⇒ log a x = log b x
⇔ a3 = b2
3
2
3
2

Ta co
Câu 5.

hoặc

 2m = n
⇔m n
 =
3 2

trở thành

m
m
⇔ 4 ÷ −8 + 3 = 0
2
2
n
n
4m + 3n = 8mn

x y
, là các số thực dương thỏa mãn
1 + log x + 3log y
M=
−2 + 4 log ( x + 9 y 3 )
bằng
1
M =−
2
M =2
A.
.
B.
.
Cho

.
ln x + 9 ln 2 y = 6 ln x.ln y
2

M=

C.
Lời giải

1
4

. Giá trị của biểu thức

M=

.

D.

1
2

.

Chọn D
ln 2 x + 9 ln 2 y = 6 ln x.ln y ⇔ ln 2 x − 6 ln x.ln y + 9 ln 2 y = 0 ⇔ ( ln x − 3ln y ) = 0
2

Ta co
2
⇔ ( ln x − 3ln y ) = 0 ⇔ ln x − 3ln y = 0 ⇔ ln x = 3ln y ⇔ ln x = ln y 3 ⇔ x = y 3

.

1 + log x + log y
1 + log x + 3log y
1 + log x + log x
1 + 2 log x
=
=
3 =
3
−2 + 4 log ( x + 9 y ) −2 + 4 log x + 9 y
−2 + 4 log ( x + 9 x ) −2 + 4 log ( 10 x )
3

M=

(

)

Ta co
=

1 + 2 log x
1 + 2 log x 1
=
=
−2 + 4 + 4 log x 2 + 4 log x 2
2

Câu 6.

a >1 b > 0 c > 0

Cho

,

( a, b, c )
A.

0

.

,

và thỏa mãn

thỏa mãn điều kiện đã cho là
1
B. .

bc 

log 2a ( bc ) + log a  b3c 3 + ÷ + 4 + 4 − c 2 = 0
4


2
C. .

Lời giải

. Số bộ

D. Vô số.

Chọn B
2

1
1
 2 2

bc
b c + − b 2 c 2 = bc  b c − bc + ÷ = bc  bc − ÷ ≥ 0
4
2


4

b3c 3 +

3 3

Ta co

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

nên

bc
≥ b 2c 2
4

,

Trang 13


2

a >1

mà

bc 

log ( bc ) + log a  b3c 3 + ÷ + 4 + 4 − c 2 ≥ log 2a ( bc ) + log a b 4 c 4 + 4 + 4 − c 2
4 

2
a

do đo

2

2
bc 


log ( bc ) + log a  b3c 3 + ÷ + 4 + 4 − c 2 ≥ ( log a ( bc ) + 2 ) + 4 − c 2 ≥ 0
4 

2
a

nên co

.

2

Mặt khác


a = 2
log a ( bc ) = −2


1

⇔ 4 − c 2 = 0
⇒ b =
2
4

bc 



1
log 2a ( bc ) + log a  b3c3 + ÷ + 4 + 4 − c 2 = 0
bc =
c = 2
4 



2

nên
Co

bc 

log 2a ( bc ) + log a  b3c 3 + ÷ + 4 + 4 − c 2 = 0
4


1

bộ số

x >1

Câu 7. Cho
1
3
A. .

( a, b, c )

.

thỏa mãn bài toán.

và thỏa mãn

log 2 ( log 8 x ) = log 8 ( log 2 x )

B.

3

.

. Khi đo giá trị của

C.
Lời giải

27

.

( log 2 x )

D.

2

3 3

bằng

.

Chọn C
1

⇔ log 2  log 2 x ÷ = log 2
log 2 ( log 8 x ) = log 8 ( log 2 x )
3


Ta co
1
⇔
log 23 x = log 2 x
⇔ log 23 x = 27 log 2 x ⇔ log 2 2 x = 27
27

Vậy

Câu 8.

( log 2 x )

Cho

2

hàm

A.

2021
2

số

.

3

)

log 2 x ⇔ 1 log 2 x = 3 log 2 x
3

(do

log 2 x > 0

)

= 27.

 1 
T= f

÷+
 2021 
T=

(


1
17 
f ( x) = log 2  x − + x 2 − x + ÷
2
4 ÷


 2 
f
÷+ ... +
 2021 

B.

.

Tính

giá

trị

của

biểu

thức

 2020 
f
÷
 2021 

T = 2021

T = 2020

.

C.
Lời giải

.

D.

T = 1010

.

Chọn C

Ta co


1
= log 2 1 − x − +
2
f ( 1− x)


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

( 1− x)

2

− ( 1− x) +

 2
17 
17 
1 
=
log
x
−
x
+
−
x
−
÷


2

÷÷

4 ÷
4 
2 ÷



, nên

Trang 14




1
17 
17 
1 
= log 2  x − + x 2 − x + ÷
+ log 2  x 2 − x + −  x − ÷÷
÷
2
4 
4 
2 ÷
f ( x) + f ( 1− x)






17
1  2
17 
1  
= log 2  x 2 − x + + x − ÷
x
−
x
+
−
x
−

÷÷
4
2 ÷
4 
2  ÷ = log 2 4 = 2



.

Do đo
 1 

T= f
÷+
 2021 
 1 
= f
÷+
 2021 

Câu 9.

 2 
f
÷+ ... +
 2021 

 2020 
 2 
f
÷+ f 
÷+
 2021 
 2021 

Cho các sớ thực

2014

A.

 2019 

f
÷+ ... +
 2021 

 1010 
f
÷+
 2021 

 1011 
f
÷
 2021  = 1010.2 = 2020

1
1
+
= 2020
log b a log a b

a > b >1
a b
,
thỏa mãn
và

1
1
−
log ab b log ab a

P=

 2020 
f
÷
 2021 

.

. Giá trị của biểu thức

bằng

.

2016

B.

.

2018

C.
Lời giải

.

2020

D.

.

Chọn B
log a b > 0 log b a > 0
log b a > log a b
nên
,
và
.
1
1
+
= 2020
⇔ log b a + log a b = 2020 ⇔ log b2 a + log 2a b + 2 = 2020
logb a log a b

a > b >1

Do

Ta co
⇔ log b2 a + log 2a b = 2018

.
P = log b ab − log a ab = log b a + log b b − log a a − log a b = log b a − log a b

Khi đo

P = ( log b a − log a b )
2

Nên

Câu 10. Cho
A.

x = 2021!

A = 2021

2

2
a

A=
. Tính giá trị của

.

B.

.

= log a + log b − 2 = 2018 − 2 = 2016 ⇒ P = 2016
2
b

A = 4042

1
log 22021 x
.

+

1
log 32021 x

C.
Lời giải

+ ... +

A = 2020

1
log 20202021 x

.

+

D.

.

1
log 20212021 x

A = 1010

.

.

Chọn B
A=

1
log 22021 x

+

1
log 32021 x

+ ... +

1
log 20202021 x

+

1
log 20212021 x

= log x 22021 + log x 32021 + ... + log x 2020 2021 + log x 20212021

= 2021.log x 2 + 2021.log x 3 + ... + 2021.log x 2020 + 2021.log x 2021
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 15


= 2021. ( log x 2 + log x 3 + ... + log x 2020 + log x 2020 ) = 2021.log x ( 2.3.....2020.2021)
= 2021.log

2021!

( 2021!) = 2021.2 = 4042

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

.

Trang 16