NW359 360 DẠNG 19 số PHỨC và PHÉP TOÁN số PHỨC GV

DẠNG TOÁN 19: CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Các phép toán về số phức.
 Định nghĩa:
Khái niệm số phức

a, b Ỵ ¡ a
b
z = a + bi
Số phức (dạng đại số):
. Trong đó
; là phần thực, là phần ảo.
Hai số phức bằng nhau
ïì a = c
z1 = z2 Û ïí
ïïỵ b = d
z1 = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )
z2 = c + di ( c; d Ỵ ¡ )
Cho hai số phức
và
. Khi đó
.
Phép cộng số phức
z1 = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )
z2 = c + di ( c; d Ỵ ¡ )
Cho hai số phức
và
.
z1 + z2 = ( a + c) +( b + d ) i z1 - z2 = ( a - c ) +( b - d ) i
Khi đó

;
Số phức liên hợp
z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )
z = a - bi
Số phức liên hợp của
là
.
Mô đun của số phức
z = a + bi ( a, b Î ¡ )

Với

z = a 2 +b2
ta có

BÀI TẬP MẪU
z−w
z = 3+i
w = 2 + 3i
Câu 1: Cho hai số phức
và
. Số phức
bằng
1 + 4i
1 − 2i
5 + 4i
A.
B.
C.
Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm hiệu của hai số phức
2. HƯỚNG GIẢI:
z = 3+i

D.

5 − 2i

B1:
w = 2 + 3i
B2:
B3: Tính tổng phần thực và phần ảo.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:

Lời giải
Chọn B
Ta có:

z = 3+i

và

w = 2 + 3i

. Do đó

z − w = (3 + i) − (2 + 3i ) = 1 − 2i
Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1:

Cho hai số phức
5
A. .

z1 = 2 − 4i

và
3i
B. .

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

z2 = 1 − 3i.

Phần ảo của số phức
−5i
C.
.

z1 + iz2

bằng
−3
D. .
Trang 1


Lời giải

Chọn D
Ta có:
Suy ra

z2 = 1 − 3i ⇒ z2 = 1 + 3i ⇒ iz2 = i ( 1 + 3i ) = 3i 2 + i = −3 + i
z1 + iz2 = 2 − 4i + ( −3 + i ) = −1 − 3i

Vậy phần ảo của số phức
Câu 2:

Cho hai số phức
5
A. .

z1 + iz2

z1 = 1 − 8i
B.

là

−3

.

.

z2 = 5 + 6i.

và

5i
.

z = z2 − iz1
Phần ảo của số phức liên hợp
bằng
−5
−5i
C. .
D.
.

Lời giải
Chọn C
Ta có:
Suy ra

z1 = 1 − 8i ⇒ z1 = 1 + 8i ⇒ i z1 = i ( 1 + 8i ) = 8i 2 + i = −8 + i.
z = z2 − iz1 = 5 + 6i − ( −8 + i ) = 13 + 5i ⇒ z = 13 − 5i

Vậy phần ảo của số phức liên hợp
Câu 3:

Cho hai số phức
−4i
A.
.

z1 = 2 + 3i

và
−4
B. .

z = z2 − iz1

z2 = 6i.

là

−5

.

.

Phần ảo của số phức
8i
C. .
Lời giải

z = iz1 − z2

bằng
8
D. .

Chọn D
z1 = 2 + 3i ⇒ iz1 = i ( 2 + 3i ) = 3i 2 + 2i = −3 + 2i.
Ta có:

z2 = 6i ⇒ z 2 = −6i ⇒ z = iz1 − z2 = −3 + 2i − ( −6i ) = −3 + 8i.

Câu 4:

Câu 5:

z = iz1 − z2 8
Vậy phần ảo của số phức
là .
z1 = 1 + 2i
z2 = 2 - 3i
z = 3 z1 - 2 z2
Cho hai số phức
và
. Phần ảo của số phức liên hợp
.
12
−12
1
−1
A. .
B.
.
C. .
D. .
Lời giải
Chọn B
z = 3 z1 - 2 z2 = 3( 1 + 2i ) - 2 ( 2 - 3i ) = ( 3 + 6i ) +( - 4 + 6i ) =- 1 +12i.
Ta có
z = 3 z1 - 2 z2 z =- 1 +12i =- 1- 12i

Số phức liên hợp của số phức
là
.
z = 3 z1 - 2 z2 −12
Vậy phần ảo của số phức liên hợpcủa số phức
là
.

Cho hai số phức
54 + 26i
A.
.

z1 = 5 - 2i
B.

z2 = 3 - 4i

và
54 − 30i

.

w = z1 + z2 + 2 z1 z2

. Số phức liên hợpcủa số phức
−54 − 26i
54 − 26i
C.
.

D.
.
Lời giải

là

Chọn D
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 2


Ta có

z1 = 5 - 2i Þ z1 = 5 + 2i z2 = 3 - 4i Þ z 2 = 3 + 4i
;
.

Suy ra:

w = z1 + z2 + 2 z1 z2 = 5 + 2i + 3 - 4i + 2 ( 5 - 2i ) ( 3 + 4i ) = 8 - 2i + 2 ( 23 +14i ) = 54 + 26i

Vậy số phức liên hợpcủa số phức
Câu 6:

Cho số phức
22
A. .

z = 5 - 3i

w = z1 + z2 + 2 z1 z2

là

w = 54 + 26i = 54 - 26i

w = 1 + z +( z )

.

2

. Phần thực của số phức
33
−22
B.
.
C. .
Lời giải

bằng
D.

−33

.

Chọn A
2

2

z = 5 - 3i Þ z = 5 + 3i Þ ( z ) = ( 5 + 3i ) = 25 + 30i + 9i 2 = 16 + 30i

Ta có

.

w = 1 + z +( z ) = 1 + 5 + 3i +16 + 30i = 22 + 33i
2

Suy ra

.

w = 1 + z +( z )

Câu 7:

2

22
Vậy phần thực của số phức
bằng
.
3
z1 = 4 - 3i +( 1- i )
z2 = 7 + i
w = 2 z1 z2

Cho hai số phức
và
. Phần thực của số phức
bằng
9
18
74
2
A. .
B. .
C. .
D.
.
Lời giải
Chọn C

z1 = 4 - 3i +( 1- 3i + 3i 2 - i 3 ) = 4 - 3i +( 1- 3i - 3 + i ) = 2 - 5i

Ta có

.

Suy ra

z1.z2 = ( 2 + 5i ) ( 7 + i ) = 9 + 37i Þ z1.z2 = 9 - 37i.
w = 2 ( 9 - 37i ) = 18 - 74i

Do đó

.

Câu 8:

w = 2 z1 z2

18
bằng .
2
( 1 + 2i ) z = 5( 1 + i )
z
Cho số phức thỏa mãn
. Tổng bình phương phần thực và phần ảo của số
w = z + iz
phức
bằng:
6
8
2
4
A. .
B. .
C. .
D. .
Lời giải
ChọnD

Vậy phần thực của số phức

2

5( 1 + i )
10i ( 1- 2i )
10i
=
=
= 4 + 2i.
( 1 + 2i) z = 5( 1 + i ) Û z =
1 + 2i
1 + 2i
5
2

Ta có

w = z + iz = ( 4 - 2i ) + i ( 4 + 2i ) = 2 + 2i

Suy ra
Vậy số phức

.

w

có phần thực bằng

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

2

, phần ảo bằng

2

. Suy ra

2 2 + 22 = 8

.
Trang 3


Câu 9:

Cho số phức

z

( 2 + i) z +
thỏa mãn

phần ảo của số phức
13
A. .

w = z +1 + i

2 ( 1 + 2i )
= 7 + 8i
1+i

. Tính

. Kí hiệu

a, b

lần lượt là phần thực và

P = a 2 + b2 .

5

25
C. .
Lời giải

B. .

7
D. .

Chọn C

( 2 + i) z +
Ta có

2 ( 1 + 2i )
2 ( 1 + 2i )
= 7 + 8i Û ( 2 + i ) z = 7 + 8i 1+i
1+i

Û ( 2 + i ) z = 4 + 7i Û z =

.

4 + 7i ( 4 + 7i ) ( 2 - i )
=
= 3 + 2i
2 +i
( 2 + i) ( 2 - i)

.

Suy ra
Câu 10:

ïì a = 4
w = z +1 + i = 4 + 3i Þ ùớ
ắắ
đ P = 16 + 9 = 25.
ùùợ b = 3

Cho số phức
b =3
A.
.

z

thỏa mãn

B.

z + 2.z = 6 - 3i
b =- 3

.

b

. Tìm phần ảo
b = 3i
C.
.
Lời giải

của số phức

z.

D.

b =2

.

ChọnA
z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )
z = a - bi
Đặt
, suy ra

.
ïì 3a = 6
a + bi + 2 ( a - bi ) = 6 - 3i Û 3a - bi = 6 - 3i Û ïí
Û
ïỵï - b =- 3

Theo giả thiết, ta có
b
z 3
Vậy phần ảo của số phức là .
 Mức độ 2

z = a + bi ( a; b Î ¡ )
Câu 1: Cho số phức
A.

S =- 4

iz = 2 ( z - 1- i ) .
thỏa mãn
S =4
B.
.

.

Tính
S = 2.

C.

Lời giải

ïìï a = 2
í
ïỵï b = 3

.

S = ab.

D.

S =- 2.

ChọnA
z = a + bi ( a; b Î ¡ )
z = a - bi
Đặt
, suy ra
.
iz = 2 ( z - 1- i ) Û i ( a + bi ) = 2 ( a - bi - 1- i ) Û - b + ai = 2a - 2 +( - 2b - 2) i
Ta có
ïì - b = 2a - 2 ïìï 2a + b = 2
ùỡ a = 2
ùớ
ớ
ùớ
ắắ
đ S = ab =- 4.
ïỵï a =- 2b - 2 ïỵï a + 2b =- 2 ïỵï b =- 2

Câu 2:

Có bao nhiêu số phức
0
A. .

z

z.z = 10 ( z + z )
thỏa mãn
1
B. .

và
2
C. .
Lời giải

z

có phần ảo bằng ba lần phần thực?
3
D. .

ChọnC
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 4

z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )
Đặt
Từ

, suy ra

Câu 4:

.

2
2
ù
z.z = 10 ( z + z ) ắắ
đ ( a + bi ) ( a - bi ) = 10 é
ë( a + bi ) +( a - bi ) ûÛ a + b = 20a.

Hơn nữa, số phức

Câu 3:

z = a - bi

( 2)

b = 3a

z

( 1)

có phần ảo bằng ba lần phần thực nên
.
2
2
ìï a + b = 20a ìï a = 2
ïìï a = 0
ïí
Û ïí
í
ïïỵ b = 3a
ïïỵ b = 0
( 1) ( 2)
ïỵï b = 6
Từ
và
, ta có
hoặc
.
z = 2 + 6i
z =0
2
Vậy có số phức cần tìm là:
và
.
z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )
( 1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i.
P = a + b.
Cho số phức
thỏa

Tính
1
1
P=
P =2
2
P =1
P =- 1
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
ChọnC
z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )
z = a - bi
Đặt
, suy ra
.
® ( 1+ i ) ( a + bi ) + 2 ( a - bi ) = 3 + 2i
( 1 + i ) z + 2 z = 3 + 2i ¾¾
Từ
ìï
1
ïï a =
ïì a - b = 2

ï
2 ¾¾
Û ( a - b) i +( 3a - b) = 3 + 2i Û ïí
Û í
® P = a + b =- 1.
ïïỵ 3a - b = 3 ïï
3
ïï b =2
ïỵ

Cho số phức
P = 144
A.
.

z

5 z + 3 - i = ( - 2 + 5i ) z
thỏa mãn
B.

P =3 2

P = 3i ( z - 1)

. Tính
P = 12
C.
.

.

2

.
D.

P =0

.

Lờigiải
ChọnC
z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )
z = a - bi
Đặt
, suy ra
.
5 z + 3 - i = ( - 2 + 5i ) z Û 5( a - bi ) + 3 - i = ( - 2 + 5i ) ( a + bi )
Theo giả thiết, ta có
Û 5a + 3 - ( 5b +1) i =- 2a - 5b +( 5a - 2b) i
ìï 5a + 3 =- 2a - 5b
Û ïí
Û
ïỵï 5b +1 = 2b - 5a

ìïï 7 a + 5b + 3 = 0
Û
í
ïỵï 5a + 3b +1 = 0

P = 3i ( z - 1) = - 12i = 12

2

Câu 5:

Cho số phức
P = −1
A.
.

.

2

3i ( z - 1) =- 12i

Do ú

ỡùù a =1
.
ớ
ùợù b =- 2 ị z = 1- 2i

. Vậy
z = a + bi ( a, b ∈ ¡
B.

)

P = −5

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

thỏa mãn
.

.
z + 2 + i − z ( 1+ i) = 0

P=3
C.
.
Lời giải

z >1
và

. Tính
P=7
D.
.

P = a+b

.

Trang 5

Chọn D

z = a + bi ( a; b Ỵ ¡ )

z = a2 +b2

, suy ra

Đặt
Ta có:

.

z + 2 + i − z ( 1 + i ) = 0 ⇔ ( a + 2 ) + ( b + 1) i = z + i z

a + 2 = a 2 + b 2
 a + 2 = z

⇔
⇔
b + 1 = z
b + 1 = a 2 + b 2
Từ

( 1)

và

( 2)

suy ra

( 1)
( 2)

a − b +1 = 0 ⇔ b = a +1

. Thay vào

( 1)

ta được

 a + 2 > 1
( do z > 1) ⇔ a = 3
2
a + 2 = a 2 + ( a + 1) ⇔ 
2
 a − 2a − 3 = 0

z = 5 >1

z = 3 + 4i

Do đó
có
P = a +b = 3+ 4 = 7
Vậy
.

Câu 6:

. Suy ra

.

z >1
(thỏa điều kiện

).

z − 4 = ( 1 + i ) z − ( 4 + 3z ) i
z
Tìm mơđun của số phức biết
.
1
z =
z =2
z =4
z =1
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn B
z − 4 = ( 1 + i ) z − ( 4 + 3z ) i ⇔ z + 3iz = 4 + z + z i − 4i ⇔ ( 1 + 3i ) z = z + 4 + ( z − 4 ) i
Ta có
Suy ra

( 1 + 3i ) z

( z + 4) + ( z − 4)

= z + 4 + ( z − 4 ) i ⇔ 10 z =

2

⇔ 10 z = ( z + 4 ) + ( z − 4 ) ⇔ 8 z = 32 ⇔ z = 4 ⇔ z = 2
2

2

Câu 7:

b=4

Có bao nhiêu số phức
1
A. .

2

z

2

2

2

.

2

z = z +z
thỏa mãn điều kiện
?
4
2
B. .
C. .
Lời giải
2

3
D. .

ChọnD
Đặt

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

z = a − bi, z = a 2 + b 2

, suy ra
.
2
2
2
z = z + z ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi ⇔ 2abi − b 2 = b 2 + a − bi
2

Ta có

)

2

 b = 0

1

⇔ a = −
 2ab = −b
2

⇔ 2
2
2
 2b + a = 0
 −b = b + a
•

b=0⇒a=0 ⇒ z =0

.

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA

Trang 6


•

1
1 1


b=
z=− + i


1
a
1
2 ⇒
2 2
a = − ⇒ b2 = − = ⇒ 

2
2 4
b = − 1
z = − 1 − 1 i



2
2 2

Vậy có
Câu 8:

3

.

số phức thỏa ycbt.

z = a + bi

Số phức
a+b
Khi đó
là
9
A. .

z − 2 + 5i = 1
( 1 − 3i ) z
a b
( với , là số nguyên) thỏa mãn
là số thực và
.

8

B. .

6
C. .
Lời giải

ChọnB
z = a + bi ( a; b Î ¡ )
Đặt
.
( 1 − 3i ) z = ( 1 − 3i ) ( a + bi ) = a + 3b + ( b − 3a ) i
Ta có:
.
( 1 − 3i ) z
b − 3a = 0 ⇒ b = 3a ( 1)
Vì
là số thực nên
.
2
z − 2 + 5i = 1 ⇔ a − 2 + ( 5 − b ) i = 1 ⇔ ( a − 2 ) + ( 5 − b ) 2 = 1 ( 2 )

Thế

( 1)

( 2)

vào
ta có:
a+b = 2+6 =8

Vậy
.
Câu 9:

( a − 2)

2

+ ( 5 − 3a )

2

7
D. .

.

a = 2 ⇒ b = 6
⇔
 a = 7 (loaïi)
2
= 1 ⇔ 10a − 34a + 28 = 0
5


.

z z + 2z + i = 0
z = a + bi a b
Cho số phức

( , là các số thực ) thỏa mãn
. Tính giá trị của biểu

T = a + b2

thức
.
T = 4 3−2
A.
.

B.

T = 3+ 2 2

.

T = 3− 2 2
C.
.
Lời giải

D.

T = 4+2 3

.

ChọnC
Đặt

z = a + bi ( a, b ∈ ¡

Ta có

)

z = a2 + b2

, suy ra
.
z z + 2 z + i = 0 ⇔ ( a + bi ) a + bi + 2 ( a + bi ) + i = 0

⇔ a a 2 + b 2 + 2a + b a 2 + b 2 i + 2bi + i = 0 ⇔ a a 2 + b 2 + 2a + b a 2 + b 2 i + 2bi + i = 0

(

)

a a 2 + b2 + 2 = 0
a a 2 + b 2 + 2a = 0

⇔ a a + b + 2a + b a + b + 2b + 1 i = 0 ⇔ 
⇔
2
2
b a + b + 2b + 1 = 0 b a 2 + b 2 + 2b + 1 = 0
2

2

(

2

2

)

a = 0
a = 0

⇔
⇔
2b + 1
2
 b = − b
b b + 2b + 1 = 0
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

.
Trang 7


2b + 1
2b + 1


 b = − b
 b = − b

2b + 1
b =−
⇔
⇔
⇔ b = 1− 2
2
b
+
1
1
b
−
− ≤ b < 0
≥0
 2

b

T = a + b = 3− 2 2

.

2

Suy ra
Câu 10:

Có bao nhiêu số phức
1
A. .

z

.
z + 1 − 3i = 3 2

thỏa mãn
2
B. .

và

( z + 2i )

3

C. .
Lời giải

2

là số thuần ảo?
4
D. .

Chọn C
Đặt

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

( z + 2i )

2

2

. Khi đó

=  x + ( y + 2 ) i  = x 2 − ( y + 2 ) + 2 x ( y + 2 ) i

x= y+2

( z + 2i )

2

là số thuần ảo nên

( 1)
thay vào

ta được phương trình

.

x = y + 2
2
x2 − ( y + 2) = 0 ⇔ 
 x = − ( y + 2)

.

2 y 2 = 0 ⇔ y = 0 ⇒ x = 2 ⇒ z1 = 2

( 1)

(
(

)
)

.

éy = 1 + 5
2y - 4y - 8 =0 Û ê
ê
ê
ëy = 1- 5

ta được phương trình

.

số phức thỏa mãn u cầu bài tốn.

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức
A.

.

2

Với
thay vào
 z 2 = −3 − 5 + 1 + 5 i
⇒
 z = −3 + 5 + 1 − 5 i
 3

3

2

2

x = − ( y + 2)

Vậy có
 Mức độ 3

z + 1 − 3i = 3 2 ⇔ ( x + 1) + ( y − 3 ) = 18 ( 1)

2

Theo giả thiết ta có
Với

)

A = 21010

.

B.

A = (1+ i)

2020

A = −21010

.
.

A = 21010 i

C.
Lời giải

.

D.

A = −21010 i

.

Chọn B
Ta có:

( 1+ i)

2

= 2i

2
A = ( 1 + i ) 



1010

= ( 2i )

1010

= 21010.i1010 = −21010

. Suy ra
.
z1 = −3i,
Oxy
A, B, C
Câu 2. Trong mặt phẳng
, gọi
lần
lượt
là

các
điểm
biểu
diễn
các
số
phức
.
z2 = 2 − 2i, z3 = −5 − i

G
 ABC
G
. Gọi là trọng tâm của tam giác
. Hỏi
là điểm biểu diễn số
phức nào trong các số phức sau:
z = −1 − 2i
z = 2−i
z = −1 − i
z = 1 − 2i
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
Lời giải

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 8


Chọn A
A ( 0; − 3) , B ( 2; − 2 ) , C ( −5; − 1) ⇒ G ( −1; − 2 )
Vì
.
z1 + z2 = 3 z1 = z2 = 1
z1 z2 + z1z2
z1 z2
Câu 3. Cho các số phức ,
thoả mãn
,
. Tính
.
A.
C.

z1 z2 + z1z2 = 0
z1 z2 + z1z2 = 2

.

B.

z1 z2 + z1z2 = 1

.

z1 z2 + z1z2 = - 1
D.
.
Lời giải

.

Chọn B
z1 + z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = z1 + z2 + z1 z2 + z1z2
2

2

2

Ta có
Þ

( 3)

2

= 12 + 12 + z1 z2 + z1z2 Û z1 z2 + z1z2 = 1

z0

Câu 4. Kí hiệu

.

là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình

z + 2 z + 10 = 0
2

. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức

w = i 2020 z0

A.

?
M ( 3; − 1)

.

B.

M ( 3;1)

M ( −3;1)

.

C.
Lời giải

.

D.

M ( −3; −1)

.

Chọn D
 z = −1 + 3i
z 2 + 2 z + 10 = 0 ⇔ 
 z = −1 − 3i . Suy ra z0 = −1 + 3i .
Ta có:
M ( −3; −1)
w = i 2021 z0 = i(−1 + 3i) = −3 − i
. Suy ra : Điểm
biểu diễn số phức w .
2
m0
z − 6 z + m = 0, m ∈ R (1)
Câu 5. Trong tập các số phức, cho phương trình
. Gọi
là một giá trị của
m

để phương trình

khoảng
A.

20

( 0;20 )

(1)

có hai nghiệm phân biệt

có bao nhiêu giá trị

.

B.

Chọn D
Điều kiện để phương trình

11

m0 ∈ Ν

.

z1 , z2

thỏa mãn

z1 z1 = z2 z2

. Hỏi trong

?

12

C.
.
Lời giải

( 1) có hai nghiệm phân biệt là:

D.

10

.

∆ =9−m ≠ 0 ⇔ m ≠ 9.

z .z = z2 .z2 thì ( 1) phải có nghiệm
Phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn 1 1
phức. Suy ra ∆ < 0 ⇔ m > 9 .
Vậy trong khoảng

( 0; 20 )

có 10 số m0 .

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 9

Câu 6.

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A là điểm biểu diễn của số phức

z = 1 + 2i

, B là điểm thuộc

y=2

đường thẳng
sao cho tam giác OAB cân tại O. Tìm số z biểu diễn B.
z = 1 + 2i
z = −1 + 2i
A.
.
B.
.
z = 3 + 2i, z = −3 + 2i
z = −1 + 2i, z = 1 + 2i
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B

A ( 1; 2 ) , B ( x; 2 ) , x ≠ 1
Ta có,

∆OAB
OA = OB
Để
cân tại O khi và chỉ khi
x = 1
⇔ 12 + 22 = x 2 + 22 ⇔ x 2 + 4 = 5 ⇔ x 2 = 1 ⇔ 
 x = −1
Do đó
Câu 7.

B ( −1; 2 ) ⇒ z = −1 + 2i

( z + 2i ) ( z + 2 )

z

Xét các số phức thỏa mãn
là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm
z
biễu diễn của là một đường tròn, tâm của đường trịn đó có tọa độ là
( 1; −1)
( 1;1)
( −1;1)
( −1; −1)
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
Lời giải
Chọn D
z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ )
M ( x; y )
z
Gọi
. Điểm biểu diễn cho là
.
Ta có:

( z + 2i ) ( z + 2 ) = ( x + yi + 2i ) ( x − yi + 2 )

= x ( x + 2 ) + y ( y + 2 ) + i ( x − 2 ) ( y + 2 ) − xy 

⇔ x ( x + 2) + y ( y + 2) = 0
⇔ ( x + 1) + ( y + 1) = 2
2

Câu 8.

là số thuần ảo

2

.

I ( −1; −1)
z

Vậy tập hợp tất cả các điểm biễu diễn của là một đường trịn có tâm
.
M,N
z = 1 + i; z ' = 2 + 3i
ω
Gọi
lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức
. Tìm số phức
có
uuuu
r uuuu
r r
Q
MN + 3MQ = 0.
điểm biểu diễn là sao cho
1
4 5
2 1
2 1
ω = − i.
ω = + i.
ω = − − i.
ω = + i.
3
3 3
3 3
3 3
A.
B.
C.

D.
Lời giải
Chọn D

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 10


Vì

M ( 1;1) , N ( 2;3 )

Ta có

Q ( x; y )
. Gọi
uuuu
r
uuuu
r
uuuu
r
MN = ( 1; 2 ) ; MQ = ( x − 1; y − 1) ⇒ 3MQ = ( 3 x − 3;3 y − 3)

Ta có hệ phương trình

Câu 9.

Cho số phức

P=7
A.
.

z = a + bi

2

x=

1 + 3x − 3 = 0

3
⇔

2 + 3 y − 3 = 0
y = 1

3

,

( a, b ∈ ¡ )

B.

P = −1

thỏa mãn

.

z −1
=1
z −i

và
P =1
C.
.
Lời giải

z − 3i
=1
z +i

P = a +b
. Tính
.
P=2
D.
.

Chọn D
z −1
=1
⇔ z − 1 = z − i ⇔ a − 1 + bi = a + ( b − 1) i ⇔ 2a − 2b = 0
z −i
Ta có
(1).

z − 3i
=1
⇔ z − 3i = z + i ⇔ a + ( b − 3) i = a + ( b + 1) i ⇔ b = 1
z +i
(2).
a = 1

b = 1
P=2
Từ (1) và (2) ta có
. Vậy
.
( 2- i ) ( 1+ i ) + z = 4- 2i
z
Câu 10.
Cho số phức z thỏa mãn hệ thức:
.Tính mơđun của ?

z = 12 - 32
A.

z = 12 + 32
.

B.

z = 12 + 3i 2
C.

.

z = 12 - 3i 2
.

D.
Lời giải

.

Chọn B

( 2- i ) ( 1+ i ) + z = 4- 2i Û z = ( 4- 2i ) - ( 2- i ) ( 1+ i ) = 1- 3i
 Mức độ 4
Câu 1.

Xét các số phức
w=

các số phức
A.

34.

z

z = 2
thỏa mãn

4 + iz
1+ z

. Trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

, tập hợp điểm biểu diễn của

là một đường trịn có bán kính bằng
B.

26.

34.
C.
Lời giải

D.

26.

Chọn A
w=

Ta có

4 + iz
⇒ w(1 + z ) = 4 + iz ⇔ z ( w − i ) = 4 − w ⇒ 2 w − i = 4 − w
1+ z

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 11


Đặt

w = x + yi ( x, y ∈ ¡

)

2. x 2 + ( y − 1) =
2

Ta có

( x − 4)

2

+ y 2 ⇔ 2 ( x 2 + y 2 − 2 y + 1) = x 2 − 8 x + 16 + y 2

⇔ x 2 + y 2 + 8 x − 4 y − 14 = 0 ⇔ ( x + 4 ) + ( y − 2 ) = 34
2

Câu 2.

2

34
w

Vậy tập hợp điểm biễu diễn của các số phức
là đường trịn có bán kính bằng
z +3 = 5
z - 2i = z - 2- 2i
z
Cho số phức z thỏa mãn
và
. Tính .
z =5
z = 5
z =2
z = 10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
z = a + bi , ( a, b Ỵ R )
Đặt
.
Ta có:
gz + 3 = 5 Û a + bi + 3 = 5
2

Û ( a + 3) + b2 = 25

(*)

gz - 2i = z - 2- 2i Û a + bi - 2i = a + bi - 2- 2i
Û a 2 + (b - 2)2 = ( a - 2)2 + (b - 2)2
Û a 2 = (a - 2)2
éa - 2 = a
Û ê
ê
ëa - 2 = - a
Û a =1
2
a =1
16+ b2 = 25 Þ b2 = 9 Þ z = 1 + 9 = 10
Thế
vào (*) ta được
.

Câu 3.

Cho số phức

A.

4

z

z +1 =

có phần ảo gấp hai phần thực và

.

B.

Chọn C
z = a + bi
Đặt
z +1 =

vi

6
.

a ẻ Â, b ẻ Ă

C.
Li gii

. Do

z

5
5

2 5
5

.

. Khi đó mơ đun của

D.

2 5

có phần ảo gấp hai phần thực nên

z

là:

.

b = 2a
.

2 5
2 5
4
2
Û a + 2ai + 1 =
Û ( a + 12 ) + ( 2a ) =
5
5
5

Û 5a 2 + 2a + 1=

4
1
2
Û a =- Þ b =5
5
5

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 12


1 2
5
- iÞ z =
5 5
5

z =-

Do đó
Câu 4.

.
z - ( 2 + i ) = 10

z

Cho số phức có phần ảo khác 0 thỏa mãn
w = 1+ i - z
số phức

w =5

w = 13
A.

.

B.

và

z.z = 25
. Tìm mơ đun của

w = 29
.

C.
Lời giải

w = 17
.

D.

.

Chọn A
z = a + bi ( a ẻ Ă , b ạ 0) .
t
ỡù z - ( 2+ i ) = 10 ìï a + bi - ( 2+ i ) = 10
ï
ï
Û í
í r
ïï z.z = 25
ï
ïỵï ( a + bi ) ( a - bi ) = 25
ïỵ
Ta có:
ìï ( a - 2) 2 + ( b - 1) 2 = 10 ìï 2a + b = 10
éa = 3; b = 4
ê
Û ïí
Û ïí 2
Û
Þ z = 3+ 4i
ïï a2 + b2 = 25
ïỵï a + b2 = 25 ê
a = 5; b = 0
ở
ùợ
ị w = 1+ i - z = 1+ i - ( 3+ 4i ) = - 2- 3i Þ w = 13
.
z=
Câu 5.

i- m
1- m(m - 2i )

Tìm tất cả các số thực m biết
m = 0; m = 1
m =- 1
A.
.
B.
.

z. z =

2- m
2

và
trong đó i là đơn vị ảo.
m = 0; m = - 1
"m
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn A
Phân tích: Vì z đang cịn rất phức tạp, đặc biệt là dưới mẫu do đó chúng ta nghĩ ra việc làm
đơn giản nó về dạng chuẩn

z=
Ta có
=

z = a + bi ( a, b Ỵ ¡ )

sau đó tìm được

z

và thay vào biểu thức

z.z

i- m
(1- m)(1- m2 - 2mi ) - m(1- m2 ) + 2m + i (1- m2 + 2m2 )
=
=
1- m(m - 2i )
(1- m2 )2 + 4m2
(1+ m2 )2

m(1+ m2 ) + i (1+ m2 )
m
i
=
+
2 2
2
(1+ m )

1+ m
1+ m2

Þ z=

m
i
2
1+ m
1+ m2

Như vậy:
z. z =

2- m
m2 + 1
1
1
1
Þ
= - (m - 2) Û
= - (m - 2)
2
2
2
2
2
(m + 1)
2
m +1

ém = 0
Û m3 - 2m2 + m = 0 Û ê
ê
ëm = 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

.

Trang 13


Câu 6.

Cho số phức
2
A. .

z

z 2 + 4 = z ( z + 2i )

thỏa điều kiện
0
B. .

z +i

. Giá trị nhỏ nhất của

1
3
C. .
D. .
Lời giải

bằng

Chọn B.
z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ )
Giã sử
.
2

z 2 + 4 = z ( z + 2i ) Û z 2 - ( 2i ) = z ( z + 2i ) Û ( z - 2i ) ( z + 2i ) = z ( z + 2i )
éz + 2i = 0 (1)
Û ê
êz - 2i = z (2)
ë

(1)

Û z = - 2i

z + i = - 2i + i = - i = 1
. Suy ra

.

Û x + yi - 2i = x + yi Û

2

x2 + ( y - 2) = x2 + y 2 Û x 2 + y 2 - 4y + 4 = x2 + y 2

(2)
2

z + i = x - yi + i = x2 + ( 1- y ) = x 2 ³ 0 " x Ỵ ¡
Û y =1
. Suy ra
,
.
z +i
Vậy giá trị nhỏ nhất của
Câu 7.

Cho số phức

z

bằng

0

.

2z + i = 2z - 3i + 1
thỏa món h thc

ổ 3ữ
ử
Aỗ
1; ữ
ỗ
ỗ
ố 4ữ
ứ
z
MA

ngn nht, vi
.
ổ - 5ữ
ử
ổ - 9ử
Mỗ
- 1; ữ
Mỗ
0; ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ố 8ứ
4ứ

A.
B.

. Tỡm cỏc im

ổ
- 9 ử
Mỗ
; 0ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố4 ứ

C.
Li gii

M

D.

biu din s phc

ổ1 23ữ
ử
Mỗ
;.
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ố20 20ứ

Chn D
z = x + yi
Gọi

2z + i = 2z − 3i + 1 ⇔ 4x + 8y + 9 = 0( d)

, đường thẳng đi qua A vng góc với d có pt:

8x − 4y − 5 = 0.
4x + 8y + 9 = 0
 1 23 
⇒ M  ; − ÷.

8x − 4y − 5 = 0
 20 20 
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
Câu 8.

Phần ảo của số phức
1 − 21010
A.
.

2
3
2020

w = 1 + ( 1 + i ) + ( 1 + i ) + ( 1 + i ) + ... + ( 1 + i )

1010

C.

2

bằng:

−2

1010

B.

1
D. .

Lời giải
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 14


Chọn A
Số phức

S2020 =

w

là tổng của 2021 số hạng một cấp số nhân với

u1 ( 1- q 2021)
1- q

1. é
ê1- ( 1+ i )
= ë
1- ( 1+ i )

2021

u1 = 1; q = 1+ i
2 1010

ù 1- ( 1+ i ) é( 1+ i ) ù
ú
ê
ú
û
ë
û
=
-i

=

.

- 1 1+ i
1010
+
( 2i )
i
i

= i +( 1- i ) .21010.i 4.252+2 = i +( 1- i ) .21010 (- i ) = i - ( 1+ i ) .21010 =- 21010 +( 1- 21010) i

Câu 9.

Cho số phức

z+2 + z−2 =8

z

thỏa mãn
z
biểu diễn cho số phức thỏa mãn:

( E) :
A.

x2 y2
+
=1
16 12

( E) :
.

( C ) : ( x + 2) + ( y − 2)
2

C.

. Trong mặt phẳng phức, tập hợp những điểm

B.
2

x2 y2
+
=1
12 16

.

( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 2)
2

= 64

.

M

2

=8

D.
Lời giải

Chọn A
M ( x; y ) F1 (−2;0) F2 (2;0)
Gọi
,
,
.

( x − 2)

z + 2 + z − 2 = 8 ⇔ ( x + 2)2 + y 2 +
Ta có
Do đó điểm

M ( x; y )

nằm trên elip

F1 F2 = 2c ⇔ 4 = 2c ⇔ c = 2.

( E) :
Câu 10

x2 y2
+

= 1.
16 12

Ta có

( E)

có

2

+ y 2 = 8 ⇔ MF1 + MF2 = 8

2a = 8 ⇔ a = 4,

.

ta có

b 2 = a 2 − c 2 = 16 − 4 = 12.

Vậy tập hợp các điểm M là elip

.

z1 = z2 = z3 = 2017
z1 z2 z3
z1 + z2 + z3 ≠ 0.
Cho các số phức , ,
thỏa mãn 2 điều kiện

và
P=

z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
.
z1 + z2 + z3

Tính
P = 2017.
A.

B.

P = 1008, 5.

P = 2017 2.

C.
Lời giải

D.

P = 6051.

Chọn A

2017 2
z
=
 1

z1
2

 z1 z1 = 2017


2017 2
2
z1 = z2 = z3 = 2017 ⇒  z2 z2 = 2017 ⇒  z2 =
.
z2


2
 z3 z3 = 2017

20172
 z3 =
z3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 15


2

 z z + z z + z z  z z + z z + z z 
zz +z z +z z

P = 1 2 2 3 3 1 =  1 2 2 3 3 1 ÷ 1 2 2 3 3 1 ÷
z1 + z2 + z3
 z1 + z2 + z3   z1 + z2 + z3 
2

Ta có

 2017 2 2017 2 2017 2 2017 2 2017 2 2017 2
.
+
.
+
.
 z1 z2 + z2 z3 + z3 z1   z1
z
z
z
z
z1
2
2
3
3
=
÷
2
2
2
2017
2017

2017
 z1 + z2 + z3  
+
+

z1
z2
z3



÷
÷ = 2017 2.
÷
÷


⇒ P = 2017.

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 16