DE CUONG 9 KYII HAY

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (192.98 KB, 14 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Đề CƯƠNG TOáN 9 HọC Kỳ II

hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn
 I Các kiến thức cần nhớ

Phng trỡnh bậc nhất hai ẩn có dạng a x + by +c = 0 trong đó x, y là ẩn
a, b, c là các hệ số ( a, b khơng đồng thời = 0)

NghiƯm tỉng qu¸t

x R
a c
y x
b b

Hệ phơng trình bậc nhất hai Èn cã d¹ng

' ' '

ax by c
a x b y c

 




 



trong đó x, y là ẩn a, b , c a’ ,b ‘ c’ là các hệ số trong đó a, b a’ , b;’
khơng đồng thời bằng 0

 HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi

' '
a b
a b

 HƯ v« sè nghiƯm khi

' ' '

a b c

a b c

 HƯ v« nghiƯm khi

' ' '

a b c

a b c

 Các cách giải – phơng pháp thế
- phơng pháp cộng đại s

- phng phỏp t n ph

Bài tập 1 Giải các hệ phơng trình sau bằng phơng pháp thích hợp

2 11 7

10 11 31

x y
a
x y
 


 


. 3 2 1

2 3
x y
c
x y

 


 


2 5 8

2 3 0

x y
b
x y
 


 


. 4 3 6

2 4
x y
d
x y
 



 


0,3 0,5 3

1,5 2 1,5

x y
e
x y
 


 


2 3 1

2 2 2

x y
f
x y
  



 


52 40
28 12

x y x

x y y

  

 

   

  

 

Hớng dẫn và đáp số

2
,
1
x
a
y






 b.
3
2
1
x
y




 

1
.
1
x
d
y






. 0,3 0,5 3
1,5 2 1,5

x y
e
x y
 


 


1,5 2,5 1,5 3

1,5 2 1,5 4, 2

x y x

x y y

  

 

   

  

 

2 3 1

2 2 2

x y
f
x y
  


 


6 2

2 3 2 2 2 2 3 8

2 3 1

2 2 2 1 2

4
x

x y x

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2( ) 3( ) 4
.

( ) 2( ) 5

x y x y

a

x y x y

   


   


1 1 4

5
.

1 1 1

5
x y
b
x y

 



  



1 1
2
2 1
.
2 3
1
2 1
x y
c
x y

 
  


  
  


4 5
2

2 3 3

3 3

2 2 3

x y x y

d

x y x y


 
  


  
  

d.
4 5
2

2 3 3

3 3

2 2 3

x y x y

d

x y x y


 
 

Đặt 1 ; 1

3 2 3

u v

x y x y

 

 

1 7

4 5 2 3 66

3 5 21 1 2

2 11
u x
u v
u v
v y
 
 
 
 
  
     
 
    
 
 

Bµi tËp 3 Cho hệ phơng trình (3 ) 0

( 2) 4 1

x m y

m x y m

  




   

 víi m lµ tham số

a. Giải hệ phơng trình khi m=-1
b. Giải và biện luận hệ phơng trình

Bài 4 Cho hệ phơng trình 7 33; 7 33

2 2

m  m  2 10

(1 ) 0

mx my
m x y

 




  



a. Giải hệ phơng trình với m= -2
b. Tìm m để hệ có nghim duy nht

Bài 5 Cho hệ phơng trình ( 1) 3 4

( 1)

m x y m

x m y m

a. Giải hệ phơng tr×nh víi m= -1

b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nht tho món x+y=3

Bài 6 Cho hệ phơng tr×nh 2

3 5
mx y
x my

 


 

 m 0

a. Giải hệ phơng trình với m = 2

b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x+y < 1

Hóng dẫn và đáp số

B 4 a. Víi m=-2 hƯ cã nghiƯm ( x, y)= ( -1;3)

c. T phơng trình 2 ta có y= (m-1) x→x,m(2n-1)=-10

m ≠ 0 ;m ≠ 0,5 hÖ cã nghiÖm duy nhÊt

10
(1 2 )
( 1)10
(1 2 )
x
m m
m
y
m m



 



 
 


</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

c. m ≠ 0 và m 2 hệ phơng trình có nghiệm duy nhÊt

3 2

2
m
x

m
m
y

m










 



x+ y =3 3m 2 m 2 3 m 4

m m

 

    (tmđk)

Bài 6 a. Với m = 2hệ phơng trình có ghiệm x= 2 2 5

,y= 5 2 6

5


b.Víi mäi m hƯ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm duy nhÊt

2 5

5 6

3
m
x

m
m
y

m






 




 

 



để x+ y < 1 m2 7m 4

   >0

7 33 7 33

;

2 2

m  m 

Gi¶i bài toán bằng cách lập hệ phơng trình
Cách giải

B1: Lập hệ phơng trình

-Chn 2 n thớch hp v t điều kiện cho ẩn

-Biểu diễn các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết
-Lập hai phơng trình biểu thị mối quan hệ các đại lợng

B 2 Gải hệ phơng trình trên

B 3 Kiêm tra xem các nghiệm của hệ phơng trình có thoả mÃn điều
kiện với bài toán và kết luận

VD 1 Loại I ( Toán tìm số ,chữ số)

Tỡm s t hiờn cú hai chữ số biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn

hơn chữ số hàng chục là 1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự
ngợc lại thì đợc một số mới ( có hai chữ số) bế hơn số cũ là 27 đơn v
BG

Gọi chữ số hàng chục cần tìm là x chữ số hàng dơn vị là y
Đ kiện x, y nguyên và 0< x, y 9

Khi ú s cần tìm là 10x+ y

Khi viÕt theo thø tù ngỵc lại ta có số 10y+ x

Theo bài ta có phơng trình 2y x= 1 hay x+2y =1(1)
Theo ®iỊu kiƯn sau cđa bµi ta cã (10x+y)-(10y+x)=27
 x-y= 3(2)

Từ đó ta có hệ 2 1 7

3 4

x y x

x y y

   

 

   

  

  (tmđk)

Vậy số phải tìm là 74

Bài tập áp dụng

Bài tËp 1 Tỉng hai sè b»ng 59 .Hai lÇn số này hơn 3 lần số kia là 7
,Tìm hai sè

Bài tập 2 Cho một số có hai chữ số .Nếu đổi chỗ hai chữ số ấy cho
nhau đợc một số mới lớn hơn số đã cho là 63 .Tổng của ssố đã cho và
mới tạo thành là 99.Tìm số đã cho

H

íng dẫn

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Gọi hai số phải tìm là x,y đk x, y nguyên và 1x,y9
Theo điều kiện của bài ta cã hÖ 59 34

3 2 7 25

x y x

x y y

  

 



 

  

  (tmđk)

Vậy hai số cần tìm là 34, 25
Bài 2

Gi ch số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y đk x, y nguyên và
1≤x,y≤9

số đã cho là 10x+ y, số mới tạo thành là 10y+ x
Theo bài ra ta có hệ phơng trình 7 1

9 8

x y x

x y y

  

 



 

 

(tmđk)
Vậy số phải tìm là 18

Loi II (Toỏn chuyn động)

VD 2 : Một ô tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đờng sau
3 giờ thì gặp nhau .Nếu đi cùng chiều và xuất phát cùng một lúc cùng
một địa điểm sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km . Tìm vận tốc của mỗi
xe biết quãng đờng là 156 km

Gọi vận tốc của ô tô là x km/h
vận tốc xe đạp là y km/h
Đ kiện x> 0; y> 0

Sau 3h ô tơ đi đợc 3x km cịn xe đạp đi đợc 3y km
Theo bài ta có phơng trình 3x+3y=156  x+ y = 52(1)
theo điện sau của bài ta có phơng trình x- y = 28(2)

Từ đó ta có hệ 52 40

28 12

x y x

x y y

  

 

   

  

 

( tm ®k)
VËyvËn tốc của ô tô là 40 km/h

vn tc xe p l 12 km/h

Bài tập áp dụng

Bi tp 1 Hai điểm A ;B cách nhau 150 km và hai ô tô khởi hành
cùng 1 lúc đi ngợc chiều nhau .Gặp nhau ở vỉt5í C cách A 90 km .Nếu
vận tốc vận tốc vẫn không đổi nhng ô tô đi từ B đi trớc ô tô đi từ A 50
phút thì hai xe gặp nhau ở chính giữa quãng đờng .Tìm vận tốc của
mỗi xe?

Bài tập 2 Bác Tồn đạp xe từ xã về làng cơ Ba đạp xe từ làng lên xã
.Họ gặp nhau khi bác Tồn đi đợc 1,5 giờ cịn cơ Ba đi đợc 2 giờ .Một
lần khác cũng từ hai địa điểm trên nhng họ khởi hành đồng thời sau

1h15’ họ cịn cách nhau 10,5 km .Tìm vận tốc của mỗi ngời?

H

íng dÉn

Bµi1

Gäi vËn tốc của ô tô đi từ A là x km/h
vận tốc của ô tô đi từ Blà ykm/h
Đk x,y > 0

Theođiều kiện bài ta có p t
90 60 3 2

x  y  x y

Theo ®iỊu kiÖn sau ta cã pt
75 75 5

6
x y



</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Từ đó ta có hệ

75 75 5

3 2 30

x
x y

y
x y






(tmđk)

Vậy vận tốc của ô tô đi từ A là 45 km/ h
vận tốc của ô tô đi từ Blà 30 km/ h
Bài 2

Gọi vận tốc của bác Toàn là x km/h
vận tốc của cô Ba là y km/h
Đk x,y > 0

Theođiều kiện bài ta có p t
1,5x +2y = 38

Theo ®iỊu kiƯn sau ta cã pt

5 5

27,5 22

4x4 y  x y 

Từ đó ta có hệ 1,5 2 38 13

22 10

x y x

x y y

  

 



 

  

 

(tm®k)
VËy vËn tèc cđa bác Toàn là 12km/h

vận ýôc của cô Ba là 10 km/h

Loại III toán năng suất

VD 1 Hai công nhân cùng sơn cửa một công trình trong 4 ngày thì
xong .Nếu ngpừi thứ nhất làm một mình 9 ngày rồi ngời thứ hai làm tiếp
1ngày nữa thì xong việc. Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình bao lâu thì xong
việc?

Gọi thời gian ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là x ngày ( x>
4)

thi gian ngời thứ hai một mình xong cơng việc là yngày ( y> 4)

Một ngày ngời thứ nhất làm đợc 1

x c«ng viƯc

Một ngày ngời thứ hai làm đợc1

y c«ng viƯc

Theo bµi ta cã p t 1 1 1

4
x  y

Theo diều kiện sau của bài ta có phơng tr×nh 9 1 1

x y 

Từ đó ta có hệ

9 1
1

1 1 1 6

4
x
x y

y
x y



 

  





 



  




(tmđk) Giải hệ bằng p2 đặt ẩn phụ

VËy ngời thứ nhất làm một mình xong việc hết 12 ngày
ngời thứ hai làm một mình hết 6 ngày

Bi tp 1 Hai ngời cùng làm chung một công việc trong 4 ngày thì xong .
Nếu ngời thứ nhất làm 3h ngời hai làm 6 h thì hồn thành 0.25 cơng việc .
Hỏi nếu làm riêng mỗi ngời hồn thành cơng việc đó trong bao lâu ?

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Gäi thời gian ngời thứ nhất làm một mình hoàn thành cv lµ x h ngêi thø
hai lµ y h §k x; y > 0

Một giờ ngời thứ nhất làm đợc 1

x cv

Một giờ ngời thứ hai làm đợc 1

y cv

Một giờ cả hai ngời làm đợc 1

16 cv

Ta cã ph¬ng tr×nh

3 6 1

24
4

1 1 1 48

16
x
x y

y

x y



 

  





 



  




1 1 1

16
x y 

3 giờ ngời thứ nhất làm đợc 3

x cv

6 giờ ngời thứ hai làm đợc 6

y cv

Theo điều kiện sau ta có phơng trình
3 6 1

4
x y 

Từ đó ta có hệ

3 6 1

24
4

1 1 1 48

16
x
x y

y
x y



 

  





 



  




VËy ngêi thø nhÊt làm một mình xong công việc là 24 h; ngời thø hai lµ
48 h

***********************************************************
*****

Chuyên đề 4 hàm số y= a x2 (a ≠ 0)

phơng trình bậc hai một ẩn
I Kiến thức cần nhớ

-Hàm số y= a x2 (a ≠ 0)

TH1 a >0 hàm số đồng biến khi x > 0
hàm số nghịch biến khi x < 0

TH2 a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0
hàm số nghịch biến khi x > 0

- Đồ thị : là một pa ra bol nhận Oy là trục đối xứng

NÕu a >0 có bề lõm quay lên vày y= 0 là giá trị nhỏ nhất
Nếu a < 0 cã bỊ lâm quay xng vµ y= 0 lµ giá trị lớn nhất

S tng giao gia th hai hàm số y = a x2 (P ) và y= m x+ n (d)
Ta xét phơng trình hồnh độ a x2 = m x +n

- Nếu phơng trình có hai nghiệm thì ( P) và (d) cắt nhau tại hai điểm
- Nếu phơng trình có nghiệm kép thì ( P) và (d) tiếp xúc nhau

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Phơng trình bậc hai một ẩn a x2+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Ph¬ng tr×nh khuyÕt a x2+ bx = 0

a x2+ c = 0
a x2= 0

Cách giải không dùng công thøc nghiƯm

Phơng trình bậc hai đầy đủ dùng cơng thức nghiệm hoặc cơng thức
nghiệm thu gọn

HƯ thức Viét và ứng dụng

Nếu phơng trình a x2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) cã hai nghiƯm x1, x2

Khi đó 1 2

7 5 7 5 1

4 4 2

x    x   

1 2

1. 2

b
x x

a
c
x x

a

 



NhÈm nghiÖm nÕu a+ b+c =0 phơng trình có hai nghiệm x1 =1 , x2 =
c
a

Nếu a- b+c =0 phơng trình có hai nghiệm x1 =-1 , x2 = -c
a

§iÌu kiƯn nghiệm của phơng trình bậc hai
Phơng trình có hai nghiệm trái dấu

1 2

4 0

0
b ac

x x

Phơng trình có hai nghiệm dơng
2

1 2

4 0

0
0
b ac

x x
x x

Phơng trình có hai nghiệm ©m
2

1 2

4 0

0
0
b ac

x x
x x

  



 


 



Phơng trình trùng phơng a x4+ bx2+ c = 0 đặt t = x2 t( 0)

VD Giải các phơng trình sau
a. 32 x2 + 40 x =0

b. 8x2 – 25 = 0
c. 2x2 -7x + 3= 0
BG

a. 32 x2 + 40 x =0

 8x(4x+5)=0  x= 0 hc x = 5

Vậy phơng trình có hai nghiệm x1 = 0 ;x2 =
5
4


a. 8x2 – 25 = 0  8x2 =25  x2= 25 25 5 2

8 x 8 4

Vậy phơng trình có hai nghiÖm x1,2 = 5 2
4


</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

#= (-7)2 -4.3.2 = 25 phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt

1 2

7 5 7 5 1

4 4 2

x    x   

VD2 Cho hµm sè y= x2(P) vµ y= 2x + 3(d)

a. Vẽ đồ thị của hai hàm hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ
b. tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số

a. Vẽ đồ thị hai hàm số
Hình vẽ

(
Bµi tËp 1; Cho hai hµm sè y = x2 (p) vµ y = 2x + m (d)

a.Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ
b. Tìm m để (p) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
BG

a.Với m=3 thì d có dạng y= 2 x+ 3
đồ thị hình vẽ

b. Xét phơng trình hồnh độ
x2

= 2x + m

 x2 2x m = 0 (1)

Để (p) và (d) cắt nhau tại hai điểm ohân biệt thì phơng trình ( 1) có
hai nghiệm phân biệt

#= (-1)2-(m) = 1+m > 0 → m > -1

B

ài 2; Giải các phơng trình sau
a. 3x2 + 5x- 2=0

b. 5x2 – 6x+ 1=0

c. 4x2 – 2 3 x -1+ 3=0

Bài 3 ;Cho phơng trình x2 -(m+2)x+2m = 0 (1)
a. Giải phơng trình với m=-1

b. Tỡm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 tho món (x1+x2)2-x1

x2 5

Bài 4: Cho phơng trình x2 -2(m-1)x+2m-4 = 0 (1)
a. Giải phơng trình với m = 2

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M= x1 + x2 (x1;x2 là hai nghiệm của phơng

trình)

Bài 5:Cho phơng trình x2 6mx 4 0

. Tìm giá trÞ cđa m, biÕt r»ng

ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện 2 2

1 2

1 1 7

2
x x 

Bài 6: Cho phơng trình bậc hai : x2  2(m  1) x + m  3 = 0. (1)
1/. Chøng minh rằng phơng trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân
biệt với mọi giá trị của m.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

3/. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm đối nhau.

Một số dạng khác

( phơng trình đa về dạng phơng trình bậc hai )
Bài tập 1 Giải các phơng tr×nh sau

a. x4 -8x2-9 = 0

b. 36 y4 – 13y2+1= 0
c. x3-5x2-x+5 = 0

d. (x-1)3 –x+1 =(x-1)(x-2)(x1)2 1 ( x 2)

e. 16 30 3

3 1

x   x 
f.

4 3 2

9 1 17

1 1

x x

x x x x

 



 

Bài giải

a. Đặt t = x2 (t 0) p trình có dạng t2 - 8t -9 = 0
→ t1 = -1 (lo¹i) ; t2 =9

Víi t =9 → x2 =9 → x= ± 3

b. y = ± 0,5 ; y = ±1

c. x2(x-5) – ( x-5) =0  (x-5)(x+1)(x-1) =0
 x=5 hc x=1 hc x= -1

d. (x-1)(x1)2  1 ( x 2)=0

 (x-1)(x2-3x+2) =0

 x-1 =0 hc x2-3x+2=0 → x1 =x2 = 1; x3 = 2

Phần hình học

góc với đờng trịn

I Kiến thức cần nhớ

+ Góc ở tâm

Góc AOB là góc ở tâm
góc AOB = sđ cung AmB

sđ cung AnB = 360º - s® cung AmB
+ Gãc néi tiÕp

gãc ACB lµ gãc néi tiÕp
gãc ACB = s® cung AmB

Trong một đờng trịn

-Hai gãc néi tiÕp cïng chắn 1 cung thì bằng nhau

- Các góc nội tiếp bằng nhau thì chắn một cung hoặc chắn các cung
bằng nhau

-Góc nội tiếp hỏ hơn 90 có sđ bằng 1

2 số đo của góc ở tâm cùng chắn

cung đó

-Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn thì bằng 90

A B

x
m

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

+ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

-Góc BAx là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây cung AB

Góc BAx = 1

2s® cung AmB

-gãc BAx = gãc BCA

+ Góc có đỉnh bên trong , ngồi đờng trịn

Góc BED ; AEC là các góc có đỉnh nằm bên trong đờng trịn

Góc CFB là góc có đỉnh ở bên ngồi

đờng trịn

gãc BED = 1

2( s® cung BD + s® cung AC )

Gãc AFD = 1

2( s® cung BC - s® cung AD)

+ Tứ giác nội tiếp

-ABCD là tứ giác nội tiếp

T/C nếu ABCD nội tiếp thì gãc A + gãc C = 180º
DÊu hiÖu nhËn biÕt

-Tứ giác có 4 đỉnh nằm trê đờng trịn

-Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180º

-Tứ giác có một góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trog của đỉnh đối diện
-Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh cịn lại
d-ới một góc β

+ Một số cơng thức tính S ,C
-Độ dài đờng tròn C = 2π R
- Độ dài cung trũn l =

180
Rn

-Diện tích hình tròn S = R2

-Diện tích hình quạt tròn Sq =

360
R n


Bài tập 1 Cho tam giác ABC trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho
AD = AC . Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BDC . Từ O hạ các
đ-ờng vng góc OH. OK xuống BC . BD

a. C minh OH > OK

b. So s¸nh hai cung nhá BD vµ BC
BG

a. Ta cã AB+ AC > BC ( Bđ t tam giác )
Mà AC = AD ( GT)

→AB + AD > BC hay BD > BC
Nên OH > OK

b. Do BD> BC ( Câu a)cung BD > cung BC

A C

D B

B
C


D

B C

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài tập 2 Cho AB , AC , BC là ba đây của một đờng tròn (O) . Từ một
điểm chính giữa M của cung AB vẽ MN // BC . Gọi giao điểm của MN và
dây AC là S chứng minh

a, SM = SC
b. SN = S A
BG

a. Ta cã NMC = 1

2s® cung NC

Góc ACM =1

2 sđ cung MA

NMC =ACM hay tam giác SAN cân SA = SN

Bài tập 3 Cho tam giác ABC cân có đáy BC và Â = 20 º . Trên nửa mặt

ph¼ng bê AB không chad điểm C lấy điểm D sao cho DA = DB vµ gãc
DAB = 45º .Gäi E là giao điểm của AB và CD

a. CMR tứ gi¸c ACBD néi tiÕp
b. TÝnh gãc AED

a.Do tam gi¸c ABC cân nên ta có

BCA =(180-25): 2 = 80

Vì tam giác ABD cân ta có
ADB =180 - 2. 40 = 100º

Tø gi¸c ACBD cã BCA +ADB = 180º

Hay tø gi¸c ACBD né tiÕp

b. AED là góc có đỉnh trong dờng trịn

→ AED = 1

2(s® cung bc + sđ cung AD)

Mà BAC =20sđ cung BC = 40

ABD = 40º →s® cung AD = 80º

→AED = 60º

Bài tập 4 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đờng tròn tâm O và M là một

điểm trên cung nhỏ BC . Trên MA lấy D sao cho MA =MB . CMR

a. Tam giác MBD đều
b. #BDA = #BMC
c. MA = MB + MC
BG

a. Theo gt MB = MC →#MBD cân tại M
Mà Góc M = 60º ( Góc nội tiếp chắn cung 120º)
Vậy #BM đều

b.Ta cã BAM = BCM ( Gãc néi tiÕp ch¾n cung BM)
ADB = BMC (gãc kỊ bù với 60 và góc chắn cung

240 )

ABD =CBM

VËy #BDA =#BMC

c.Ta cã MA = MD + MA mµ MD = MB ; DA = MC
→ MA = MB + MC

A
M

N
B

B 20º A

40º
E

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài tập 5 Trên đờng tròn ( O ;R) vẽ 3 dây liên tiếp bằng nhau AB, BC ,
CD mỗi dây nhỏ hơn R các đờng thẳng AB , CD cắt nhau tại I các tiếp
tuyến của đờng tròn tại B, D cắt nhau tại K . CMR

a. BIC =BKD

b. BC là tia phân giác KBD

a. Theo gt ta có AB = BC = CD

BIC là góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn

→BIC=1

2( s® cung AD – s® cung BC )

BKC là góc có đỉnh ở bên ngồi đờng trịn

→ BKD = 1

2 (s® cungBAD-s® cung BCD)

2( s® cung BA+s® cung AD)-(s® cung BC+s® cung CD)

→BKD = 1

2 (s® cung AD -s® cung BC)

VËy BIC = BKD

b. KBC là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
KBC=1

2sđ cung BC

CBD là góc nội tiếp nên CBD = 1

2s® cung CD

→KBC = CBD

Bài tập 6 Cho tam giácABC đều .Gọi O là trung điểm của BC trên AB .
AC lần lợt lấy các điểm di động D ; E sao cho DOE =60º

a. CM tích BD . CE khơng đổi

b. cm #BOD ~ #OED DO là phân giác của góc BDE
c. Vẽ (O) tiÕp xóc víi AB . c minh DE lµ tiÕp tun cđa ( O)
BG

a. CM tích BD . CE khơng đổi
Xét BOD và #CDE có

B = C =60º

BDO =EOC (cïng= 60º - DOE)

→#BDO ~#COD ( G-G)

BD CO
BO CE

Hay BD .CE = BO. CO
→BD.CE = BD CO

BO CE

4
BC

( Khơng đổi)
b. Từ câu a ta có

BD CO

BO CE Mặt khác góc DOE = góc B = 60º

→ #BOD =# DOE( cg c)

→HDO = KDO hay DO là tia phân giác BDE

Oã

D
K
C

B C

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

b. Kẻ OK vuông góc với DE
#DHO =#DKO( ch gn )

→H = K = 90º Hay DE lµ tiÕp tuyến của ( O)

Bài tập làm thêm

Bi 1 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB và một dây CD .Q ua C vẽ đờng
vng góc với CD cắt AB ở I các tiếp tuyến tại A , B của nửa đờng tròn cắt
CD theo thứ tự tại E Và F .CMR

a. Tø gi¸c AECI , BFCI néi tiếp
b. Tam giác I E F vuông

Bi 2 Cho t giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD hai đờng
chéo AC , BD cắt nhau tại E kẻ E F vng góc với AD gọi M là trung
điểm của DE CMR ,

a. Tø gi¸c ABE F , DCE F néi tiÕp
b. CA lµ phân giác của góc BCE
c. Tứ giác BCMF nội tiÕp

Bài 3 Từ điểm M nằm bên ngoài đờng tròn (O) ta vẽ các tiếp tuyến MA,
MB với đờng tròn .Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C vẽ CD AB , CE 

MA , CF MB Gọi I là giao điểm BC và DE , K là giao điểm của BC và

DF CMR

a. Tứ giác AECD ., BFCD néi tiÕp
b. CD2 = CE . CF

c. Tø gi¸c ICKD néi tiÕp
d. IK  CD

Bài 4: Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài (O;R) vẽ hai tiếp
tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) . Lấy một điểm C trên cung nhỏ
AB (C khác A và B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của C
trên AB, AM, BM.

a) Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: C E CBAD  .

c) Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF.
Chứng minh: IK//AB.

Bµi 5 : Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường trịn

đường kính AB = 2R . Hạ BN và DM cùng vng góc với đường chéo
AC

a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được
b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bµi 6; Cho đường trịn (O;R), đường kính AB cố định và CD là một

đường kính thay đổi khơng trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn
(O;R) tại B cắt các đường thẳng AC và AD lần lượt tại E và F.

1) Chứng minh rằng BE.BF = 4R2.

2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được đường tròn.

</div>