Đề thi Olympic 10 - 3 môn Toán lớp 11 năm 2019 THPT Cưmgar có đáp án | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK</b>
<b>TRƯỜNG THPT CƯM’GAR</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN</b>
<b>Câu 1</b>(4đ). Tìm nghiệm của phương trình

cos 2
sin cos

1 sin 2

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

 

 _{trên khoảng}



;0



_.

<b>Đáp án câu 1.</b>

<b>Câu</b>

<b>Đáp án chi tiết</b>

<b>Điểm</b>

<b>Câu 1:</b>
<b>4,0</b>
<b>điểm</b>

Điều kiện: <i>x</i> 4 <i>k</i> ,



<i>k R</i>





  
Ta có:
cos 2
sin cos

1 sin 2

<i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i>
 
 



 







2

sin cos sin cos
sin cos

sin cos

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
  
  

 

1,0



sin<i>x</i> cos<i>x</i>

 

sin<i>x</i> cos<i>x</i>



sin<i>x</i> cos<i>x</i>

     

sin cos 0
sin cos 1

<i>x</i> <i>x</i>
<i>x</i> <i>x</i>
 

 _ _ _


1,0

sin 0
4
1
sin
4 2
<i>x</i>
<i>x</i>


  
 
 

 



 _ _
 
  
 






4
2
3
2
2
<i>x</i> <i>k</i>
<i>k R</i>
<i>x k</i>
<i>x</i> <i>k</i>






 


   




  


 _{. Các nghiệm điều thỏa điều kiện.}

1,0

Vì <i>x</i> 



;0



nên <i>x</i> 4





; <i>x</i> 2




.

1,0

<b>Câu 2 </b>(4đ): Cho dãy số (un) xác định bởi

n
n 1 n

0 u 1
1
u (1 u )

4


 



 


 _{; n}__N*_{. Tính}nlim u  n .
<b>Đáp án câu 2.</b>

<b>Câu</b>

<b>Đáp án chi tiết</b>

<b>Điểm</b>

<b>Câu 2:</b>
<b>4,0</b>
<b>điểm</b>

<b>Chứng minh dãy (</b>

u

n<b>_{) là dãy tăng :}</b>

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương

u

n 1 và

1 u



n, ta có:

1 1

1

(1 ) 2 (1 ) 2. 1

2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i> _   <i>u</i>  <i>u</i> _  <i>u</i>  

1 , *

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>  <i>u</i> <i>n N</i>

     ( )<i>u_n</i>

là dãy tăng.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Vì ( )<i>un</i> _{là dãy tăng và bị chặn trên bởi 1 nên dãy số (}

u

n_{) có giới hạn, giả}

sử lim un a.

1,0

Ta có:

n 1 n n 1 n

1 1

u (1 u ) , n N* lim u (1 u )

4 4

        

1,0

n 1 n 1 n
1
lim u lim(u u )

4

 

   a a2 1

4

   a 1

2
 

.
Vậy n

1
lim u .

2



_1,0

<b>Câu 3</b>(3đ). Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó, tức là
f (A) A,f (B) B,f (C) C   _{. Chứng minh rằng f biến mọi điểm M của mp(ABC) thành chính nó.}

<b>Đáp án câu 3.</b>

<b>Câu</b>

<b>Đáp án chi tiết</b>

<b>Điểm</b>

<b>Câu 3:</b>
<b>3,0 điểm</b>

Vì f (A) A,f (B) B  và f (C) C nên f biến tam giác ABC thành tam giác
ABC.

1,0

Bởi vậy nếu M thuộc mp(ABC) và f (M) M ' thì M ' thuộc mp(ABC) và

AM AM ', BM BM ',CM CM '.  

1,0

Nếu M ' và M phân biệt thì ba điểm A,B,C thuộc đường thẳng trung trực của
đoạn thẳng MM ' trên mp(ABC), trái với giả thiết ABC là tam giác.

Vậy f (M) M.

1,0

<b>Câu 4</b> (3đ). Tìm tất cả các hàm số f : R R_{thỏa mãn:}x f x2

 

f 1 x







2x x 4

 

1 , x R 

<b>Đáp án câu 4.</b>

<b>Câu</b>

<b>Đáp án chi tiết</b>

<b>Điểm</b>

<b>Câu 4:</b>
<b>3,0</b>

<b>điểm</b>

 





 

2 4

x f x f 1 x 2x x 1 , x R 

Giả sử hàm số f : R R_{là một nghiệm hàm}

Trong (1) thay x bởi 1-x ta có:









 



 



2 4

1 x f 1 x  f x 2 1 x  1 x

(2),
x R

  _.

1,0

Từ (1) và (2) ta có:



 



 



 

 



2 2 2 2 2

x x 1 x x 1 f x 1 x x x 1 x x 1

           

,  x R

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>



x2 x 1 f x



 



1 x2

 

x2 x 1



        

,  x R
Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình: x2  x 1 0

Ta có:

 

2

1 x khi x a, x b
f x c khi x a

d khi x b

   



_ 

 _

 _{với c,d thuộc R tùy ý}
Thử lại ta thấy thỏa mãn.

1,0

<b>Bài 5</b> (3đ). Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên <i>n</i>; số 23<i>n</i> 1_{chia hết cho}3<i>n</i>1_{nhưng không chia hết cho}

2

3<i>n</i> .

<b>Đáp án câu 5.</b>

<b>Câu</b>

<b>Đáp án chi tiết</b>

<b>Điểm</b>

<b>Câu 5:</b>
<b>3,0 điểm</b>

Đặt <i>An </i>= 23 1

<i>n</i>



n = 0 thì <i>A</i>0=

1

2 1 _{= 3 chia hết cho 3}1_{mà không chia hết cho 3}2

1,0

Giả sử <i>Ak </i>= 23 1
<i>k</i>

 _{chia hết cho 3}<i>k</i>+1_{mà không chia hết cho 3}<i>k</i>+2₍<i>_A</i>

<i>k </i>= <i>B</i>.3<i>k</i>+1; với <i>B</i>

nguyên, không chia hết cho 3).Ta có:

<i>Ak+</i>1<i> </i>=







 







1 3 2

3 3 3 3 3

2 <i>k</i>  1 2 <i>k</i>  1 2 <i>k</i> 1 2 <i>k</i>  2 <i>k</i> 1

<i> Ak+</i>1<i> </i>





2 _{3 2}3<i>k</i>

<i>k</i> <i>k</i>

<i>A A</i>

  

=





2

1 1 3

3<i>k</i> 3<i>k</i> 3 2 <i>k</i>

<i>B</i>   <i>B</i>  

     ₌

2 3 2 1 3

3<i>k</i> <i>B</i> 3 <i>k</i>  <i>B</i>2 <i>k</i> 

_1,0

Dễ thấy: <i>B</i>3 2 1.3 <i>k</i> chia hết cho 3 mà <i>B</i>23<i>k</i> _{khơng chia hết cho 3 (vì}<i>_B</i>_{khơng chia}

hết cho 3) nên 2 2.3 1 23

<i>k</i>

<i>k</i>

<i>B</i>   _{không chia hết cho 3}

 <i>Ak+</i>1<i> </i>chia hết cho 3<i>k</i>+2, nhưng không chia hết cho 3<i>k</i>+3.

1,0

<b>Câu 6</b> (3đ). Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đơi
một khác nhau sao cho trong đó ln có ba chữ số 1, 2, 3 và có ba chữ số có tổng bằng 9.

<b>Đáp án câu 6.</b>

<b>Câu</b>

<b>Đáp án chi tiết</b>

<b>Điểm</b>

<b>Câu 6:</b>

<b>3,0 điểm</b> Ta có 9 1 2 6

     1 3 5   2 3 4_.

Vì trong số cần lập ln có ba chữ số 1, 2, 3 nên trong ba chữ số còn lại cần có ít nhất
một chữ số thuộc



4;5;6



.

1,0

Trường hợp 1: Số cần lập có một chữ số thuộc



4;5;6



, có C C 6! 648013 23  _(số).
Trường hợp 2: Số cần lập có hai chữ số thuộc



4;5;6



, có C C 6! 648023 13  _(số).
Trường hợp 3: Số cần lập có ba chữ số thuộc



4;5;6



, có 6! 720 _(số).

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Vậy số các số cần lập là 6480 6480 720 13680   _.

</div>

<!--links-->