Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm 2014-2015 - THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Sở GD&ĐT Hải Dương)

Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI
NĂM HỌC 2014 – 2015
Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút
Đề thi gồm: 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I ( 2,0 điểm)
1) Giải phương trình:

43  x  x  1
10 x
2 x 3
x 1
2) Rút gọn biểu thức: A 


x3 x 4
x  4 1 x

( x  0; x  1)

Câu II ( 2,0 điểm)
Cho Parabol (P): y  x 2 và đường thẳng (d): y  (m  1) x  m  4 (tham số m)
1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
2) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Câu III ( 2,0 điểm)

 x  y  3m  2
3 x  2 y  11  m

1) Cho hệ phương trình: 

( tham số m)

Tìm m để hệ đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – y2 đạt giá trị lớn nhất.
2) Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định. Thực tế trên nửa
quãng đường đầu ô tô đi với vận tốc nhỏ hơn vận tốc dự định là 6 km/h. Trong nửa qng
đường cịn lại ơ tơ đi với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định là 12 km/h. Biết rằng ô tô đến B
đúng thời gian đã định. Tìm vận tốc dự định của ơ tô.
Câu IV ( 3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC cắt nhau tại H.
Dựng hình bình hành BHCD.
1) Chứng minh: Các tứ giác APHN, ABDC là các tứ giác nội tiếp.
2) Gọi E là giao điểm của AD và BN. Chứng minh: AB.AH = AE.AC


3) Giả sử các điểm B và C cố định, A thay đổi sao cho tam giác ABC nhọn và BAC
khơng đổi. Chứng minh rằng đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích khơng đổi.
Câu V ( 1,0 điểm)
Cho x; y là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S 

 x  y

2

x2  y 2



 x  y

2

xy

-----------------------------Hết------------------------------

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 1


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 – 2015
Mơn thi: Tốn

I) HƯỚNG DẪN CHUNG
- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu Ý
Nội dung
I
1 Giải phương trình:
43  x  x  1

(1)
 x  1  0
43  x  x  1  
2
 43  x   x  1 (2)

0,25

(1)  x  1
(2)  x 2  x  42  0

0,25
x  7

 x  6

0,25

Kết hợp nghiệm ta có x  7 (thỏa mãn), x  6 ( loại)
Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là S  7
I

10 x
2

x 3 x 4
10 x
2 x 3


x 4
x 4
x 1

2 Rút gọn biểu thức: A 

A


x  2

x  3 x 1

x  4 1 x
x 1

x 1


10
x  3 x  1   x  1 x  4 

 x  4 x  1
10 x   2 x  5 x  3   x  5 x  4 
3x  10

=
 x  4 x  1
 x  4
 x  1 7  3 x  = 7  3 x ( vì x  0; x  1 )
=
 x  4 x  1 x  4
II



Điểm
1,00

0,25

( x  0; x  1)

0,25

0,25

x 7



Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

0,25

x 1

Cho Parabol  P  : y  x 2 và đường thẳng  d  : y  (m 1)x  m  4
(tham số m)
1 Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d).
m = 2 ta có phương trình đường thẳng (d) là: y = x + 6
Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình

x2  x  6

1,00

0,25

2,00
1,00
0,25
0,25

Trang | 2

Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 x  2
 x2  x  6  0  
x  3
* x  2  y  4
* x 3  y 9

0,25
0,25

Vậy m = 2 thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm A 2;4  và B  3;9 
II

2 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Hồnh độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình

x 2   m  1 x  m  4



x 2   m  1 x  m  4  0 (*)

(d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi
phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

0,25

 x  y  3m  2
3 x  2 y  11  m

1 Cho hệ phương trình: 

( tham số m)

x  m  3
 y  2m  1

Giải hệ phương trình ta có 
2

1,00
0,25
0,25

2

x 2  y 2   m  3   2m  1 =  3m 2  10m  8

49
5

=
 3 m  
3
3


0.25
0,25
0,25

 1. m  4  < 0
 m> 4
III

1,00

2

2

5
5

Do  m    0 với mọi m; dấu “ = ” xẩy ra khi m 
3
3

49
5
, dấu “ = ” xẩy ra khi m 
 x2  y 2 
3
3
49
5

hay x 2  y 2 lớn nhất bằng
khi m 
3
3
III

0,25
0,25

2 Gọi vận tốc dự định của ô tơ là x (km/h) (x >6 )
Khi đó thời gian ô tô dự định đi hết quãng đường AB là

80
( h)
x

40
( h)
x 6
40
(h )
Thời gian thực tế ô tô đi nửa quãng đường còn lại là
x  12
40
40
80


Theo bài ra ta có phương trình:
x  6 x  12 x

Giải phương trình ta được x  24 ( thỏa mãn)

0,25

Thời gian thực tế ô tô đi nửa quãng đường đầu là

Vậy vận tốc dự định của ô tô là 24 (km/h)

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

0,25

0,25
0,25

Trang | 3


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

A

  900 và
Từ giả thiết ta có APH

N



ANH  900

P

H

0,25

E
O

IV

B

1

C

M I

D

 tứ giác APHN nội tiếp đường trịn (đường kính AH)
Ta có : BD// CH ( BDCH là hình bình hành) và CH  AB

IV

IV

  900
 BD  AB  ABD
Tương tự có 
ACD  900
 tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn ( đường kính AD )
2 Xét 2 tam giác ABE và ACH có :

 ) (1)
ABE  
ACH ( cùng phụ với BAC
 phụ với BDA
 ; BDA
  BCA
 (góc nt cùng chắn AB
 )
BAE
 phụ với BCA

CAH

  CAH
 (2)
 BAE
Từ (1) và (2) suy ra 2 tam giác ABE, ACH đồng dạng
AB AC

 AB. AH  AC. AE

AE AH
3 Gọi I là trung điểm BC  I cố định (Do B và C cố định)

 không đổi, B và C cố
Gọi O là trung điểm AD  O cố định ( Do BAC
định, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )
 độ dài OI khơng đổi
ABDC là hình bình hành  I là trung điểm HD
1
 OI  AH ( OI là đường trung bình tam giác ADH)
2
 độ dài AH khơng đổi
Vì AH là đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ dài AH
khơng đổi  độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN
khơng đổi  đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích khơng
đổi.

V
Ta có: S 

 x  y

2

 x  y

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25

2


x2  y 2
xy
2 xy
x2  y 2
 1+ 2

2
x  y2
xy

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

0,25

Trang | 4


Chương trình luyện thi lớp 10 chun

Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 2 xy
x2  y2  x2  y2
 3+  2


2
x

y
2
xy
2 xy



0,25

Do x; y là các số dương suy ra

2 xy
x2  y 2
2 xy x 2  y 2

2 2
.
2 ;«=»
x2  y 2

2 xy
x  y 2 2 xy
2
2
x2  y 2
2 xy
 2
  x 2  y 2   4 x2 y 2   x 2  y 2   0
2
2 xy
x y
2
2
x  y  x  y ( x; y  0)



x2  y 2
x  y  2 xy 
 1 ;« = »  x  y
2 xy
Cộng các bđt ta được S  6
S  6  x  y .Vậy Min S = 6 khi và chỉ khi x = y
2

0,25

2

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

0,25

Trang | 5


Chương trình luyện thi lớp 10 chun
Mơn: Tốn học
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em u thích tốn và muốn thi
vào lớp 10 các trường chuyên.
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong
những năm qua.
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học
sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết
quả tốt nhất.
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.
- Đặc biệt, các em cịn hỗ trợ học tập thơng qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 />
Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Trang | 6