Tuyển tập 692 bài Hình học - Trung tâm GD&ĐT 17 Quang Trung
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.59 MB, 177 trang )
TRUNG TÂM GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
17 QUANG TRUNG
Địa chỉ: 17 Quang Trung – Xuân Khánh – Ninh Kiều – Cần Thơ
Điện thoại: 0939.922.727 – 0915.684.278 – (07103)751.929
200 BÀI TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
200 TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
200 BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Cần Thơ 2013
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 1 -
I. Đường thẳng
II. Đường tròn
III. Các đường cônic
IV. Tam giác
V. Tứ giác
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 2 -
I. ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1 : x 7y 17 0 ,
d 2 : x y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(0;1) tạo với d1 , d 2
một tam giác cân tại giao điểm của d1 , d 2 .
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi d 1, d 2 là:
x 7y 17
x y5
x 3y 13 0 (1 )
12 ( 7) 2
12 12
3x y 4 0 ( 2 )
Đường thẳng cần tìm đi qua M(0;1) và song song với 1 hoặc 2 .
KL: x 3y 3 0 và 3x y 1 0
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng d1 : 2x y 5 0 .
d 2 : 3x 6y – 7 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; –1) sao cho đường
thẳng đó cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
hai đường thẳng d 1, d2.
d1 VTCP a1 (2; 1) ; d2 VTCP a 2 (3; 6)
Ta có: a1 .a 2 2.3 1.6 0 nên d1 d 2 và d1 cắt d 2 tại một điểm I khác P. Gọi d là
đường
thẳng
đi
qua
P(
2;
–1)
có
phương
trình:
d : A(x 2) B(y 1) 0 Ax By 2A B 0
d cắt d 1, d 2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
2A B
A 3B
cos 450 3A 2 8AB 3B2 0
A 2 B2 22 (1)2
B 3A
Câu 2.
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x y 5 0
* Nếu B = –3A ta có đường thẳng d : x 3y 5 0
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. d : 3x y 5 0 ; d : x 3y 5 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) d1 : x 7y 17 0 , d 2 : x y 5 0 , P(0;1) .
ĐS: x 3y 3 0 ; 3x y 1 0 .
Câu 3.
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1 : 3x y 5 0 , d 2 : 3x y 1 0 và
điểm I(1; 2) . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1 , d 2 lần lượt tại A và B
sao cho AB 2 2 .
Giả sử A(a; 3a 5) d1 ; B(b; 3b 1) d 2 ; IA (a 1; 3a 3); IB (b 1; 3b 1)
b 1 k(a 1)
I, A, B thẳng hàng IB kIA
3b 1 k(3a 3)
Nếu a 1 thì b 1 AB = 4 (không thoả).
b 1
Nếu a 1 thì 3b 1
(3a 3) a 3b 2
a 1
2
AB (b a) 2 3(a b) 4 2 2 t 2 (3t 4) 2 8 (với t a b ).
2
5
+ Với t 2 a b 2 b 0,a 2 : x y 1 0
2
2
4
2
+ Với t
ab
b ,a : 7x y 9 0
5
5
5
5
5t 2 12t 4 0 t 2; t
________________________________________________________________________
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 3 -
Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x y 1 0 ,
d 2 : 2x – y –1 0 . Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;–1) cắt (d1) và (d2)
tương ứng tại A và B sao cho 2MA MB 0 .
Giả sử: A(a; –a–1), B(b; 2b – 1).
Từ điều kiện 2MA MB 0 tìm được A(1; –2), B(1;1) suy ra (d): x – 1 = 0
Câu 4.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 0). Lập phương trình đường
thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : x y 1 0, d 2 : x – 2y 2 0 lần lượt
tại A, B sao cho MB = 3MA.
A (d1 )
A(a; 1 a) MA (a 1; 1 a)
Ta có
.
B(2b 2; b) MB (2b 3; b)
B (d 2 )
Từ A, B, M thẳng hàng và MB 3MA MB 3MA (1) hoặc MB 3MA (2)
2 1
A 0; 1
A ;
(1) 3 3 (d) : x 5y 1 0 hoặc (2)
(d) : x y 1 0
B(4;3)
B(4; 1)
Câu 5.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1). Lập phương trình đường
thẳng (d) đi qua M và cắt hai đường thẳng d1 : 3x y 5 0, d 2 : x y 4 0 lần lượt
tại A, B sao cho 2MA – 3MB 0 .
Câu 6.
Giả sử A(a;3a 5) d1 , B(b; 4 b) d 2 .
2MA 3MB (1)
Vì A, B, M thẳng hàng và 2MA 3MB nên
2MA 3MB (2)
5
2(a 1) 3(b 1)
a
5 5
+ (1)
2 A ; , B(2; 2) . Suy ra d : x y 0 .
2 2
2(3a 6) 3(3 b)
b 2
2(a 1) 3(b 1)
a 1
+ (2)
A(1; 2), B(1;3) . Suy ra d : x 1 0 .
2(3a 6) 3(3 b)
b 1
Vậy có d : x y 0 hoặc d : x 1 0 .
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm M(3; 1). Viết phương trình đường
thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho (OA 3OB) nhỏ nhất.
Câu 7.
PT đường thẳng d cắt tia Ox tại A(a;0), tia Oy tại B(0;b):
M(3; 1) d 1
x y
1 (a,b>0)
a b
3 1 Côsi 3 1
2 . ab 12 .
a b
a b
Mà OA 3OB a 3b 2 3ab 12 (OA 3OB)min
Phương trình đường thẳng d là:
a 3b
a 6
12 3 1 1
b 2
a b 2
x y
1 x 3y 6 0
6 2
________________________________________________________________________
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 4 -
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
M(4;1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho giá trị của tồng OA OB nhỏ
nhất.
ĐS: x 2y 6 0
Câu 8.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
9
4
M(1; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O sao cho
nhỏ nhất.
2
OA OB2
Đường thẳng (d) đi qua M(1; 2) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B khác O, nên
x y
A(a;0); B(0; b) với a.b 0 Phương trình của (d) có dạng 1 .
a b
1 2
Vì (d) qua M nên 1 . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpski ta có :
a b
Câu 9.
2
2
2 1 9 4
9 4
9
9
4
9
1 2 1 3
1 . 1. 1 2 2 2 2
.
2
2
b 9 a
b
a
b 10
OA OB 10
a b 3 a
1 3
2
1 2
20
Dấu bằng xảy ra khi : 1: và 1 a 10, b
3 a
b
a b
9
d : 2x 9y 20 0 .
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
M(3;1) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho tam giác ABC cân tại A với
A(2;–2).
ĐS: x 3y 6 0; x y 2 0
Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng d qua M(2;1)
và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng S 4 .
Gọi A(a;0), B(0; b) (a, b 0) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d :
x y
1 .
a b
2 1
2b a ab
1
Theo giả thiết, ta có: a b
.
ab
8
ab 8
Khi ab 8 thì 2b a 8 . Nên: b 2; a 4 d1 : x 2y 4 0 .
Khi ab 8 thì 2b a 8 . Ta có: b 2 4b 4 0 b 2 2 2 .
+ Với b 2 2 2 d : 1 2 x 2 1 2 y 4 0
+ Với b 2 2 2 d : 1 2 x 2 1 2 y 4 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) M(8; 6),S 12 .
ĐS: d : 3x 2y 12 0 ; d : 3x 8y 24 0
Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2; –1) và đường thẳng d có phương
trình 2x – y 3 0 . Lập phương trình đường thẳng () qua A và tạo với d một góc α có
1
cosα
.
10
Ptđt () có dạng: a(x – 2) b(y 1) 0 ax by – 2a b 0 (a 2 b2 0)
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 5 -
Ta có: cos
2a b
2
2
5(a b )
1
7a2 – 8ab + b2 = 0. Chon a = 1 b = 1; b = 7.
10
(1): x + y – 1 = 0 và (2): x + 7y + 5 = 0
Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) và đường thẳng
d : 2x 3y 4 0 . Lập phương trình đường thẳng đi qua A và tạo với đường thẳng d
một góc 450 .
Ptđt () có dạng: a(x – 2) b(y 1) 0 ax by – (2a b) 0 (a 2 b 2 0) .
a 5b
2a 3b
Ta có: cos 450
5a 2 24ab 5b 2 0
2
2
13. a b
5a b
+ Với a 5b . Chọn a 5, b 1 Phương trình : 5x y 11 0 .
+ Với 5a b . Chọn a 1, b 5 Phương trình : x 5y 3 0 .
Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x y 2 0 và điểm
I(1;1) . Lập phương trình đường thẳng cách điểm I một khoảng bằng 10 và tạo với
đường thẳng d một góc bằng 450 .
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng: ax by c 0 (a 2 b2 0) .
2a b
a 3b
1
Vì (d,
) 450 nên
2
2
2
a b . 5
b 3a
4c
c 6
Với a 3b : 3x y c 0 . Mặt khác d(I; ) 10
10
10
c 14
2 c
c 8
Với b 3a : x 3y c 0 . Mặt khác d(I; ) 10
10
10
c 12
Vậy các đường thẳng cần tìm: 3x y 6 0; 3x y 14 0 ; x 3y 8 0;
x 3y 12 0 .
Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 ,
d 2 có phương trình lần lượt là 3x y 2 0 và x 3y 4 0 . Gọi A là giao điểm của
d1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1 và d 2 lần lượt
1
1
tại B , C ( B và C khác A ) sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất.
2
AB AC 2
Ta có A d1 d 2 A(1;1) . Ta có d1 d 2 . Gọi là đường thẳng cần tìm. H là hình
1
1
1
1
chiếu vng góc của A trên . ta có:
(khơng đổi)
2
2
2
AB AC
AH
AM 2
1
1
1
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
khi H M, hay là đường thẳng đi qua
2
2
AB AC
AM 2
M và vng góc với AM. Phương trình : x y 2 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với M(1; 2) , d1 : 3x y 5 0 , d 2 : x 3y 5 0 .
ĐS: : x y 1 0 .
Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : x – 3y – 4 0 và
đường tròn (C) : x 2 y 2 – 4y 0 . Tìm M thuộc (d) và N thuộc (C) sao cho chúng đối
xứng qua điểm A(3; 1).
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 6 -
Vì M (d) M(3b+4; b) N(2 – 3b; 2 – b)
6
5
8 4
N ;
5 5
N (C) (2 – 3b)2 + (2 – b)2 – 4(2 – b) = 0 b 0; b
38 6
Vậy có hai cặp điểm: M(4;0) và N(2;2) hoặc M ; ,
5 5
Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1) và đường thẳng : 2x 3y 4 0 .
Tìm điểm B thuộc đường thẳng sao cho đường thẳng AB và hợp với nhau góc 450 .
x 1 3t
có PTTS:
và VTCP u (3; 2) . Giả sử B(1 3t; 2 2t) .
y 2 2t
15
t 13
2
169t 156t 45 0
t 3
13
32 4
22 32
Vậy các điểm cần tìm là: B1 ; , B2 ; .
13 13
13 13
1
AB.u
1
0
(AB, ) 45 cos(AB; u)
AB. u
2
2
Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x 3y 6 0 và điểm
N(3; 4) . Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác OMN (O là gốc tọa
15
độ) có diện tích bằng .
2
Ta có ON (3; 4) , ON = 5, PT đường thẳng ON: 4x 3y 0 .
Giả sử M(3m 6; m) d .
1
2S
Khi đó ta có SONM d(M, ON).ON d(M, ON) ONM 3
2
ON
4.(3m 6) 3m
13
3 9m 24 15 m 1; m
5
3
+ Với m 1 M(3; 1)
13
13
+ Với m
M 7;
3
3
Câu 19. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d : x 2y 2 0 .
Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC
.
Giả sử B(2b 2; b), C(2c 2;c) d .
2 6
Vì ABC vng ở B nên AB d AB.u d 0 B ;
5 5
2 5
5
AB
BC
5
5
c 1 C(0;1)
1
5
2
BC
125c 300c 180 =
c 7 C 4 ; 7
5
5
5
5 5
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 7 -
Câu 20. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x y 3 0 , d 2 : x y 9 0
và điểm A(1; 4) . Tìm điểm B d1 , C d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
Gọi B(b;3 b) d1 , C(c;9 c) d 2 AB (b 1; 1 b) , AC (c 1;5 c) .
AB.AC 0
(b 1)(c 1) (b 1)(5 c) 0
ABC vuông cân tại A
(*)
2
2
2
2
AB AC
(b 1) (b 1) (c 1) (5 c)
Vì c 1 khơng là nghiệm của (*) nên
(b 1)(5 c)
(1)
b 1
c 1
(*)
2
(b 1)2 (5 c) (b 1) 2 (c 1) 2 (5 c) 2 (2)
(c 1) 2
b c 2
Từ (2) (b 1)2 (c 1)2
.
b c
+ Với b c 2 , thay vào (1) ta được c 4, b 2 B(2;1), C(4;5) .
+ Với b c , thay vào (1) ta được c 2, b 2 B(2;5), C(2;7) .
Vậy: B(2;1), C(4;5) hoặc B(2;5), C(2;7) .
Câu 21. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A(0; 1) B(2; –1) và các đường thẳng có
phương trình: d1 : (m –1)x (m – 2)y 2 – m 0 ; d 2 : (2 – m)x (m –1)y 3m – 5 0 .
Chứng minh d1 và d 2 luôn cắt nhau. Gọi P = d 1 d2. Tìm m sao cho PA PB lớn nhất.
(m 1)x (m 2)y m 2
Xét Hệ PT:
.
(2 m)x (m 1)y 3m 5
2
m 1 m 2
3 1
Ta có D
2 m 0, m
2 m m 1
2 2
d1 , d 2 luôn cắt nhau. Ta có: A(0;1) d1 , B(2; 1) d 2 , d1 d 2 APB vng tại P
P nằm trên đường trịn đường kính AB.
Ta có: (PA PB) 2 2(PA 2 PB2 ) 2AB2 16
PA PB 4 . Dấu "=" xảy ra PA = PB P là trung điểm của cung AB
P(2; 1) hoặc P(0; –1) m 1 hoặc m 2 .
Vậy PA PB lớn nhất m 1 hoặc m 2 .
Câu 22. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (): x – 2y – 2 0 và hai điểm
A(1; 2) , B(3; 4) . Tìm điểm M () sao cho 2MA 2 MB2 có giá trị nhỏ nhất.
Giả sử M M(2t 2; t) AM (2t 3; t 2), BM (2t 1; t 4)
2
26 2
Ta có: 2AM 2 BM 2 15t 2 4t 43 f (t) min f (t) f M ;
15
15 15
Câu 23. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : 2x y 3 0 và 2 điểm
A(1;0), B(2;1) . Tìm điểm M trên d sao cho MA MB nhỏ nhất.
Ta có: (2x A y A 3).(2x B y B 3) 30 0 A, B nằm cùng phía đối với d.
Gọi A là điểm đối xứng của A qua d A(3; 2) Phương trình AB : x 5y 7 0 .
Với mọi điểm M d, ta có: MA MB MA MB AB .
Mà MA MB nhỏ nhất A, M, B thẳng hàng M là giao điểm của AB với d.
8 17
Khi đó: M ; .
11 11
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 8 -
II. ĐƯỜNG TRÒN
Câu 24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng (d):
2x – y – 5 0 và đường tròn (C’): x 2 y2 20x 50 0 . Hãy viết phương trình đường
trịn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1; 1).
ĐS: A(3; 1), B(5; 5) (C): x 2 y 2 4x 8y 10 0
3
, A(2; –
2
3), B(3; –2), trọng tâm của ABC nằm trên đường thẳng d : 3x – y – 8 0 . Viết phương
trình đường trịn đi qua 3 điểm A, B, C.
Tìm được C (1; 1) , C 2 ( 2; 10) .
1
11
11
16
+ Với C1 (1; 1) (C): x 2 y 2 x y 0
3
3
3
91
91
416
+ Với C 2 (2; 10) (C): x 2 y 2 x y
0
3
3
3
Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có diện tích bằng
Câu 26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho ba đường thẳng: d1 : 2x y 3 0 ,
d 2 : 3x 4y 5 0 , d 3 : 4x 3y 2 0 . Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc d1
và tiếp xúc với d2 và d 3.
Gọi tâm đường tròn là I(t;3 2t) d 1.
3t 4(3 2t) 5 4t 3(3 2t) 2
t 2
5
5
t 4
49
9
Vậy có 2 đường trịn thoả mãn: (x 2) 2 (y 1) 2
và (x 4)2 (y 5)2
.
25
25
Câu hỏi tương tự
a) Với d1 : x – 6y –10 0 , d 2 : 3x 4y 5 0 , d 3 : 4x 3y 5 0 .
Khi đó: d(I, d 2 ) d(I, d 3 )
2
2
2
10
70 7
ĐS: (x 10) y 49 hoặc x y .
43
43 43
2
2
Câu 27. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : x 3y 8 0 ,
' :3x 4y 10 0 và điểm A(–2; 1). Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc
đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng .
Giả sử tâm I(3t 8; t) .. Ta có: d(I, ) IA
3(3t 8) 4t 10
2
2
(3t 8 2) 2 (t 1) 2 t 3 I(1; 3), R 5
3 4
PT đường trịn cần tìm: (x 1) 2 (y 3) 2 25 .
Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng : 4x 3y 3 0 và
' : 3x 4y 31 0 . Lập phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với đường thẳng tại
điểm có tung độ bằng 9 và tiếp xúc với '. Tìm tọa độ tiếp điểm của (C) và ' .
Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C). (C) tiếp xúc với tại điểm M(6;9) và (C) tiếp
xúc với nên
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 9 -
54 3a
4a 3b 3 3a 4b 31
3 6a 85
d(I, ) d(I, ')
4a 3
4
5
5
IM u (3; 4)
3(a 6) 4(b 9) 0
3a 4b 54
25a 150 4 6a 85
a 10; b 6
54 3a
a 190; b 156
b 4
Vậy: (C) : (x 10)2 (y 6) 2 25 tiếp xúc với ' tại N(13; 2)
hoặc (C) : (x 190) 2 (y 156) 2 60025 tiếp xúc với ' tại N(43; 40)
Câu 29. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn đi qua A(2; 1) và
tiếp xúc với các trục toạ độ.
(x a) 2 (y a) 2 a 2 (a)
Phương trình đường trịn có dạng:
2
2
2
(x a) (y a) a (b)
a) a 1; a 5
b) vô nghiệm.
Kết luận: (x 1)2 (y 1)2 1 và (x 5)2 (y 5) 2 25 .
Câu 30. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) : 2x y 4 0 . Lập
phương trình đường trịn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng (d).
4
Gọi I(m; 2m 4) (d) là tâm đường trịn cần tìm. Ta có: m 2m 4 m 4, m .
3
2
2
4
4
4 16
thì phương trình đường trịn là: x y .
3
3
3
9
2
2
m 4 thì phương trình đường trịn là: (x 4) (y 4) 16 .
m
Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(–1;1) và B(3;3), đường thẳng ():
3x – 4y 8 0 . Lập phương trình đường tròn qua A, B và tiếp xúc với đường thẳng ().
Tâm I của đường tròn nằm trên đường trung trực d của đoạn AB
d qua M(1; 2) có VTPT là AB (4; 2) d: 2x + y – 4 = 0 Tâm I(a;4 – 2a)
a 3
Ta có IA = d(I,D) 11a 8 5 5a 2 10a 10 2a2 – 37a + 93 = 0
a 31
2
Với a = 3 I(3;–2), R = 5 (C): (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
Với a =
31
65
31
I ; 27 , R =
(C):
2
2
2
2
31
4225
2
x (y 27)
2
4
Câu 32. Trong hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d : x 2y 3 0 và : x 3y 5 0 . Lập
2 10
, có tâm thuộc d và tiếp xúc với .
5
Tâm I d I(2a 3; a) . (C) tiếp xúc với nên:
phương trình đường trịn có bán kính bằng
d(I, ) R
a2
10
a 6
2 10
5
a 2
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 10 -
(C): (x 9)2 (y 6) 2
8
8
hoặc (C): (x 7) 2 (y 2) 2 .
5
5
Câu 33. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 4 3x 4 0 . Tia
Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường trịn (C), bán kính R = 2 và tiếp xúc ngồi
với (C) tại A.
(C) có tâm I(2 3; 0) , bán kính R= 4; A(0; 2). Gọi I là tâm của (C).
x 2 3t
PT đường thẳng IA :
, I ' IA I(2 3t; 2t 2) .
y 2t 2
1
AI 2IA t I '( 3;3) (C): (x 3)2 (y 3) 2 4
2
Câu 34. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 – 4y – 5 0 . Hãy
4 2
viết phương trình đường trịn (C) đối xứng với đường tròn (C) qua điểm M ;
5 5
(C) có tâm I(0;2), bán kính R = 3. Gọi I’ là điểm đối xứng của I qua M
8 6
I ; (C):
5 5
2
2
8
6
x y 9
5
5
Câu 35. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 2x 4y 2 0 .
Viết phương trình đường trịn (C) tâm M(5; 1) biết (C) cắt (C) tại hai điểm A, B sao
cho AB 3 .
(C) có tâm I(1; –2), bán kính R 3 . PT đường thẳng IM: 3x 4y 11 0 . AB 3 .
Gọi H(x; y) là trung điểm của AB. Ta có:
H IM
3x 4y 11 0
3
9
2
2
2
2
IH R AH 2
(x 1) (y 2) 4
1
29
x 5 ; y 10
1 29
11 11
H ; hoặc H ; .
5 10
5 10
x 11 ; y 11
5
10
1 29
Với H ; . Ta có R 2 MH 2 AH 2 43 PT (C): (x 5) 2 (y 1) 2 43 .
5 10
11 11
Với H ; . Ta có R 2 MH 2 AH 2 13 PT (C): (x 5)2 (y 1)2 13 .
5 10
Câu 36. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 1) 2 (y 2) 2 4 và
điểm K(3; 4) . Lập phương trình đường trịn (T) có tâm K, cắt đường trịn (C) tại hai
điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất, với I là tâm của đường tròn (C).
(C) có tâm I(1; 2) , bán kính R 2 . SIAB lớn nhất IAB vuông tại I AB 2 2 .
Mà IK 2 2 nên có hai đường trịn thoả YCBT.
+ (T1 ) có bán kính R 1 R 2 (T1 ) : (x 3) 2 (y 4) 2 4
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 11 -
+ (T2 ) có bán kính R 2 (3 2)2 ( 2)2 2 5 (T1 ) : (x 3) 2 (y 4) 2 20 .
Câu 37. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác
1
ABC với các đỉnh: A(–2;3), B ; 0 , C(2; 0) .
4
1
Điểm D(d;0) d 2 thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A
4
2
2
9
1
d
3
DB AB
4 4
khi và chỉ khi
4d 1 6 3d d 1.
2
DC AC
2d
4 2 3
x 2 y 3
x 2 y3
x y 1 0 ; AC:
3x 4y 6 0
3
3
4
3
Giả sử tâm I của đường trịn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hồnh độ là 1 b và bán
kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có:
4
b 3 5b b 3
3 1 b 4b 6
b b 3 5b
32 4 2
b 3 5b b 1
2
1
Rõ ràng chỉ có giá trị b là hợp lý.
2
2
2
1
1
1
Vậy, phương trình của đường trịn nội tiếp ABC là: x y
2
2
4
Phương trình AD:
Câu 38. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng (d 1): 4x 3y 12 0 và (d2):
4x 3y 12 0 . Tìm toạ độ tâm và bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có 3 cạnh
nằm trên (d 1), (d 2) và trục Oy.
Gọi A d1 d 2 , B d1 Oy, C d 2 Oy A(3;0), B(0; 4), C(0; 4) ABC cân
đỉnh A và AO là phân giác trong của góc A. Gọi I, R là tâm và bán kính đường trịn nội
4
4
tiếp ABC I ; 0 , R .
3
3
Câu 39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x y 1 0 và hai đường
trịn có phương trình: (C1): (x 3) 2 (y 4) 2 8 , (C2): (x 5)2 (y 4)2 32 . Viết
phương trình đường trịn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).
Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử
I(a;a –1) d .
(C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 R R 1 , II 2 R R 2 II1 – R 1 II 2 – R 2
(a 3)2 (a 3)2 2 2 (a 5)2 (a 5)2 4 2 a = 0 I(0; –1), R =
2
Phương trình (C): x 2 (y 1) 2 2 .
Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC với A(3; –7), B(9; –5), C(–5;
9), M(–2; –7). Viết phương trình đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đường trịn
ngoại tiếp ABC.
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 12 -
ĐS: y + 7 = 0; 4x + 3y + 27 = 0.
Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn C : x 2 y 2 2x 0 . Viết phương
trình tiếp tuyến của C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30 .
(C) : (x 1) 2 y 2 1 I( 1; 0); R 1 . Hệ số góc của tiếp tuyến () cần tìm là 3 .
PT () có dạng 1 : 3x y b 0 hoặc 2 : 3x y b 0
+ 1 : 3x y b 0 tiếp xúc (C) d(I, 1 ) R
b 3
1 b 2 3 .
2
Kết luận: ( 1 ) : 3x y 2 3 0
+ ( 2 ) : 3x y b 0 tiếp xúc (C) d(I, 2 ) R
b 3
1 b 2 3 .
2
Kết luận: ( 2 ) : 3x y 2 3 0 .
Câu 42. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 6x 2y 5 0 và
đường thẳng (d): 3x y 3 0 . Lập phương trình tiếp tuyến với đường trịn (C), biết
tiếp tuyến không đi qua gốc toạ độ và hợp với đường thẳng (d) một góc 450 .
(C) có tâm I(3; 1), bán kính R =
5 . Giả sử (): ax by c 0 (c 0) .
d(I, ) 5
a 2, b 1, c 10
: 2x y 10 0
Từ:
2 a 1, b 2, c 10 : x 2y 10 0 .
cos(d, )
2
Câu 43. Trong hệ toạ độ Oxy , cho đường tròn (C) : (x 1) 2 (y 1) 2 10 và đường thẳng
d : 2x y 2 0 . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường trịn (C) , biết tiếp tuyến
tạo với đường thẳng d một góc 450 .
(C) có tâm I(1;1) bán kính R 10 . Gọi n (a; b) là VTPT của tiếp tuyến
(a 2 b 2 0) ,
2a b
a 3b
1
Vì (
, d) 450 nên
2
2
2
a b . 5
b 3a
4c
c 6
10
Với a 3b : 3x y c 0 . Mặt khác d(I; ) R
10
c 14
2 c
c 8
10
Với b 3a : x 3y c 0 . Mặt khác d(I; ) R
10
c 12
Vậy có bốn tiếp tuyến cần tìm:
3x y 6 0; 3x y 14 0 ; x 3y 8 0; x 3y 12 0 .
Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình tiếp tuyến chung của hai
đường trịn (C1): x 2 y 2 – 2x – 2y – 2 0 , (C2): x 2 y 2 – 8x – 2y 16 0 .
(C1) có tâm I1 (1; 1) , bán kính R1 = 2; (C2) có tâm I2 (4; 1) , bán kính R2 = 1.
Ta có: I1I 2 3 R 1 R 2 (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại A(3; 1)
(C1) và (C2) có 3 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy.
* Xét 2 tiếp tuyến chung ngoài: () : y ax b () :ax y b 0 ta có:
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 13 -
a b 1
2
2
2
2
a
a
2
d(I
;
)
R
1
a b
1
4
4
hay
d(I 2 ; ) R 2
4a b 1 1
b 4 7 2
b 4 7 2
a 2 b2
4
4
Vậy, có 3 tiếp tuyến chung:
2
47 2
2
47 2
(1 ) : x 3, ( 2 ) : y
x
, ( 3 ) y
x
4
4
4
4
Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x 2)2 (y 3) 2 2
và (C’): (x 1) 2 (y 2) 2 8 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C) và (C’).
(C) có tâm I(2; 3) và bán kính R 2 ; (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R ' 2 2 .
Ta có: II ' 2 R R (C) và (C) tiếp xúc trong Tọa độ tiếp điểm M(3; 4).
Vì (C) và (C) tiếp xúc trong nên chúng có duy nhất một tiếp tuyến chung là đường
thẳng qua điểm M(3; 4), có véc tơ pháp tuyến là II ( 1; 1) PTTT: x y 7 0
Câu 46. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1 ) : x 2 y 2 2y 3 0 và
(C2 ) : x 2 y 2 8x 8y 28 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C2 ) .
(C1 ) có tâm I1 (0;1) , bán kính R 1 2 ; (C2 ) có tâm I2 (4; 4) , bán kính R 2 2 .
Ta có: I1I 2 5 4 R 1 R 2 (C1 ),(C2 ) ngoài nhau. Xét hai trường hợp:
+ Nếu d // Oy thì phương trình của d có dạng: x c 0 .
Khi đó: d(I1 , d) d(I 2 , d) c 4 c c 2 d : x 2 0 .
+ Nếu d không song song với Oy thì phương trình của d có dạng: d : y ax b .
3
7
a 4 ; b 2
1 b
2
2
d(I1 , d) 2
3
3
a 1
Khi đó:
a ; b
4
2
d(I1 , d) d(I 2 , d)
1 b 4a 4 b
a 2 1
a2 1
a 7 ; b 37
24
12
d : 3x 4y 14 0 hoặc d : 3x 4y 6 0 hoặc d : 7x 24y 74 0 .
Vậy: d : x 2 0 ; d : 3x 4y 14 0 ; d : 3x 4y 6 0 ; d : 7x 24y 74 0 .
Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1 ) : x 2 y 2 4y 5 0 và
(C2 ) : x 2 y 2 6x 8y 16 0 . Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1 ) và (C 2 ) .
(C1 ) có tâm I1 (0;1) , bán kính R 1 3 ; (C2 ) có tâm I 2 (3; 4) , bán kính R 2 3 .
Giả sử tiếp tuyến chung của (C1 ), (C2 ) có phương trình: ax by c 0 (a 2 b 2 0) .
d(I , ) R 1
là tiếp tuyến chung của (C1 ), (C2 ) 1
d(I 2 , ) R 2
2b c 3 a 2 b 2
(1)
(2)
3a 4b c 3 a 2 b 2
3a 2b
Từ (1) và (2) suy ra a 2b hoặc c
.
2
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 14 -
+ TH1: Với a 2b . Chọn b 1 a 2,c 2 3 5 : 2x y 2 3 5 0
a 0
3a 2b
2
2
+ TH2: Với c
. Thay vào (1) ta được: a 2b 2 a b
.
a 4 b
2
3
: y 2 0 hoặc : 4x 3y 9 0 .
Câu 48. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 4 3x 4 0 . Tia Oy cắt (C) tại
điểm A. Lập phương trình đường trịn (T) có bán kính R = 2 sao cho (T) tiếp xúc ngồi
với (C) tại A.
(C) có tâm I( 2 3; 0) , bán kính R 4 . Tia Oy cắt (C) tại A(0; 2) . Gọi J là tâm của (T).
x 2 3t
Phương trình IA:
. Giả sử J(2 3t; 2t 2) (IA) .
y 2t 2
1
(T) tiếp xúc ngoài với (C) tại A nên AI 2JA t J( 3;3) .
2
2
2
Vậy: (T) : (x 3) (y 3) 4 .
Câu 49. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 1 và phương trình:
x 2 y 2 – 2(m 1)x 4my – 5 0 (1). Chứng minh rằng phương trình (1) là phương
trình của đường tròn với mọi m. Gọi các đường tròn tương ứng là (Cm). Tìm m để (Cm)
tiếp xúc với (C).
(Cm) có tâm I(m 1; 2m) , bán kính R ' (m 1) 2 4m 2 5 ,
OI (m 1)2 4m2 , ta có OI < R
(C) có tâm O(0; 0) bán kính R = 1,
3
Vậy (C) và (Cm) chỉ tiếp xúc trong. R – R = OI ( vì R’ > R) m 1; m .
5
1
và
2
(C2 ) : (x 2)2 (y 2) 2 4 . Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C1 ) và cắt
Câu 50. Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường trịn có phương trình (C1 ) : (x 1) 2 y 2
(C2 ) tại hai điểm M, N sao cho MN 2 2 .
(C1 ) có tâm I1 (1;0) , bán kính R 1
1
2
; (C2 ) có tâm I1 (2; 2) , bán kính R 2 2 . Gọi H
2
MN
là trung điểm của MN d(I 2 , d) I 2 H R
2
2
Phương trình đường thẳng d có dạng: ax by c 0 (a 2 b 2 0) .
1
2 a c a 2 b 2
d(I1 , d)
2
Ta có:
. Giải hệ tìm được a, b, c.
d(I , d) 2
2a 2b c 2 a 2 b 2
2
Vậy: d : x y 2 0; d : x 7y 6 0 ; d : x y 2 0 ; d : 7x y 2 0
2
2
________________________________________________________________________
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 15 -
Câu 51. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 – 6x 5 0 . Tìm
điểm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai
tiếp tuyến đó bằng 600 .
(C) có tâm I(3;0) và bán kính R = 2. Gọi M(0; m) Oy
600 (1)
AMB
Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB
1200 (2)
AMB
nên:
Vì MI là phân giác của AMB
IA
MI = 2R m 2 9 4 m 7
sin 300
2 3
4 3
= 60 0 MI IA
(2) AMI
MI =
R m2 9
vơ nghiệm
0
sin 60
3
3
Vậy có hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0; 7 )
= 300 MI
(1) AMI
Câu 52. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) và đường thẳng định bởi:
(C) : x 2 y 2 4x 2y 0; : x 2y 12 0 . Tìm điểm M trên sao cho từ M vẽ được
với (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 600.
Đường trịn (C) có tâm I(2;1) và bán kính R 5 .
Gọi A, B là hai tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến này lập với nhau một góc 600 thì IAM là
nửa tam giác đều suy ra IM 2R=2 5 .
Như thế điểm M nằm trên đường trịn (T) có phương trình: (x 2) 2 (y 1) 2 20 .
Mặt khác, điểm M nằm trên đường thẳng , nên tọa độ của M nghiệm đúng hệ phương
(x 2) 2 (y 1) 2 20
(1)
trình:
(2)
x 2y 12 0
Khử x giữa (1) và (2) ta được:
y 3
2
2
2
2y 10 y 1 20 5y 42y 81 0 27
y
5
6 27
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là: M 6;3 hoặc M ;
5 5
Câu 53. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 1)2 (y 2)2 9 và
đường thẳng d : x y m 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A
mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao
cho tam giác ABC vng.
(C) có tâm I(1; –2), R = 3. ABIC là hình vng cạnh bằng 3 IA 3 2
m 1
m 5
3 2 m 1 6
2
m 7
Câu 54. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 1)2 (y 2)2 9 và
đường thẳng d : 3x 4y m 0 . Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có
thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn (C) (A, B là hai tiếp điểm) sao cho
PAB là tam giác đều.
(C) có tâm I(1; 2) , bán kính R 3 . PAB đều PI 2AI 2R 6 P nằm trên
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 16 -
đường trịn (T) có tâm I, bán kính r 6 . Do trên d có duy nhất một điểm P thoả YCBT
m 19
11 m
nên d là tiếp tuyến của (T) d(I, d) 6
.
6
5
m 41
Câu 55. Trong
mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn
(C) : x y 18x 6y 65 0 và (C) : x 2 y 2 9 . Từ điểm M thuộc đường tròn (C)
kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C), gọi A, B là các tiếp điểm. Tìm tọa độ điểm M,
biết độ dài đoạn AB bằng 4,8 .
2
2
(C’) có tâm O 0; 0 , bán kính R OA 3 . Gọi H AB OM H là trung điểm của
12
9
OA 2
. Suy ra: OH OA 2 AH 2 và OM
5.
5
5
OH
x 2 y 2 18x 6y 65 0
M (C)
x 4 x 5
Giả sử M(x; y) . Ta có:
2
2
OM 5
y 3 y 0
x y 25
Vậy M(4;3) hoặc M(5; 0) .
AB AH
Câu 56. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 1) 2 (y 2) 2 4 . M là
điểm di động trên đường thẳng d : y x 1 . Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp
tuyến MT1 , MT2 tới (C) (T 1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng
T1T2 đi qua điểm A(1; 1) .
(C) có tâm I(1; 2) , bán kính R 2 . Giả sử M(x 0 ; x 0 1) d .
IM (x 0 1)2 (x 0 3) 2 2(x 0 1) 2 8 2 R M nằm ngoài (C) qua M kẻ
được 2 tiếp tuyến tới (C).
x 1 x 1
Gọi J là trung điểm IM J 0 ; 0 . Đường trịn (T) đường kính IM có tâm J
2
2
IM
bán kính R 1
có phương trình
2
2
2
x0 1
x 0 1 (x 0 1) 2 (x 0 3) 2
(T) : x
y
2
2
4
Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến MT1, MT2 đến (C) IT
M IT
M 900 T , T (T)
1
2
1
2
{T1 ,T2 } (C) (T) toạ độ T1 , T2 thoả mãn hệ:
x0 1 2
x 0 1 2 (x 0 1) 2 (x 0 3) 2
(x
)
(y
)
(1 x 0 )x (3 x 0 )y x 0 3 0 (1)
2
2
4
(x 1) 2 (y 2) 2 4
Toạ độ các điểm T1 , T2 thoả mãn (1), mà qua 2 điểm phân biệt xác định duy nhất 1
đường thẳng nên phương trình T1T2 là x(1 x 0 ) y(3 x 0 ) x 0 3 0 .
A(1; 1) nằm trên T1T2 nên 1 x 0 (3 x 0 ) x 0 3 0 x 0 1 M(1; 2) .
Câu 57. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x –1) 2 (y 1) 2 25 và
điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại hai điểm A, B
phân biệt sao cho MA = 3MB.
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 17 -
PM/(C) 27 0 M nằm ngoài (C). (C) có tâm I(1;–1) và R = 5.
Mặt khác:
PM/(C) MA.MB 3MB2 MB 3 BH 3 IH R 2 BH 2 4 d[M,(d)]
Ta có: pt(d): a(x – 7) + b(y – 3) = 0 (a2 + b2 > 0).
a 0
6a 4b
.
d[M, (d)] 4
4
2
2
a 12 b
a b
5
Vậy (d): y – 3 = 0 hoặc (d): 12x – 5y – 69 = 0.
Câu 58. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A(1; 2) và cắt đường trịn (C) có phương trình (x 2) 2 (y 1)2 25 theo một dây
cung có độ dài bằng l 8 .
d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b 2 > 0)
Vì d cắt (C) theo dây cung có độ dài l 8 nên khoảng cách từ tâm I(2; –1) của (C) đến
d bằng 3.
a 0
2a b a 2b
2
2
2
d I, d
3 a 3b 3 a b 8a 6ab 0
2
2
a 3 b
a b
4
a = 0: chọn b = 1 d: y – 2 = 0
3
a = b : chọn a = 3, b = – 4 d: 3x – 4 y + 5 = 0.
4
Câu 59. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 y 2 2x 8y 8 0 .
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : 3x y 2 0 và cắt
đường tròn (C) theo một dây cung có độ dài l 6 .
(C) có tâm I(–1; 4), bán kính R = 5. PT đường thẳng có dạng: 3x y c 0, c 2 .
Vì cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 6 nên:
c 4 10 1
3 4 c
.
d I,
4
32 1
c 4 10 1
Vậy phương trình cần tìm là: 3x y 4 10 1 0 hoặc 3x y 4 10 1 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) (C) : (x 3) 2 (y 1) 2 3 , d : 3x 4y 2012 0 , l 2 5 .
ĐS: : 3x 4y 5 0 ; : 3x 4y 15 0 .
Câu 60. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) :(x 4) 2 (y 3) 2 25
và đường thẳng : 3x 4y 10 0 . Lập phương trình đường thẳng d biết d ( ) và d
cắt (C) tại A, B sao cho AB = 6.
(C) có tâm I(– 4; 3) và có bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm AB, AH = 3. Do d
nên PT của d có dạng: 4x 3y m 0 .
m 27
16 9 m
Ta có: d(I, (1 )) = IH = AI 2 AH 2 52 32 4
4
4 2 32
m 13
Vậy PT các đường thẳng cần tìm là: 4x 3y 27 0 và 4x 3y 13 0 .
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 18 -
Câu 61. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 2x 2y 3 0 và
điểm M(0; 2). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao
cho AB có độ dài ngắn nhất.
(C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 5 M nằm trong đường tròn (C).
Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d.
Ta có: AB = 2AH = 2 IA 2 IH 2 2 5 IH 2 2 5 IM 2 2 3 .
Dấu
"=" xảy ra H M hay d IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT
MI (1; 1)
Phương trình d: x y 2 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với (C): x 2 y 2 8x 4y 16 0 , M(–1; 0).
ĐS:
d : 5x 2y 5 0
Câu 62. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có tâm O, bán kính R = 5 và
điểm M(2; 6). Viết phương trình đường thẳng d qua M, cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho
OAB có diện tích lớn nhất.
Tam giác OAB có diện tích lớn nhất OAB vng cân tại O. Khi đó d(O, d)
5 2
.
2
Giả sử phương trình đường thẳng d: A(x 2) B(y 6) 0 (A 2 B2 0)
5 2
2A 6B 5 2
47B2 48AB 17A 2 0
2
2
2
2
A B
24 5 55
A
B
47
24 5 55
A
B
47
24 5 55
+ Với B
A : chọn A = 47 B = 24 5 55
47
d: 47(x 2) 24 5 55 (y 6) 0
d(O, d)
24 5 55
A : chọn A = 47 B = 24 5 55
47
d: 47(x 2) 24 5 55 (y 6) 0
Câu hỏi tương tự:
a) (C) : x 2 y 2 4x 6y 9 0 , M(1; 8) . ĐS: 7x y 1 0; 17x 7y 39 0 .
+ Với B
Câu 63. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 6x 2y 6 0 và
điểm A(3;3) . Lập phương trình đường thẳng d qua A và cắt (C) tại hai điểm sao cho
khoảng cách giữa hai điểm đó bằng độ dài cạnh hình vng nội tiếp đường trịn (C).
(C) có tâm I(3; –1), R = 4. Ta có: A(3 ;3) (C).
PT đường thẳng d có dạng: a(x 3) b(y 3) 0, a 2 b 2 0 ax by 3a 3b 0 .
Giả sử d qua A cắt (C) tại hai điểm A, B AB = 4 2 . Gọi I là tâm hình vng.
3a b 3a 3b
1
1
Ta có: d(I, d) 2 2 ( AD AB)
2 2
2
2
a 2 b2
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 19 -
4b 2 2 a 2 b 2 a 2 b 2 a b . Chọn b = 1 thì a = 1 hoặc a = –1.
Vậy phương trình các đường thẳng cần tìm là: x y 6 0 hoặc x y 0 .
Câu 64. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x 2 y 2 13 và (C2):
(x 6)2 y2 25 . Gọi A là một giao điểm của (C1) và (C2) với yA > 0. Viết phương
trình đường thẳng d đi qua A và cắt (C1), (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
(C1) có tâm O(0; 0), bán kính R1 = 13 . (C2) có tâm I2(6; 0), bán kính R2 = 5. Giao
điểm A(2; 3). Giả sử d: a(x 2) b(y 3) 0 (a 2 b 2 0) .
Gọi d1 d(O,d), d 2 d(I 2 , d) .
Từ giả thiết R 12 d12 R 22 d 22 d 22 d12 12
(6a 2a 3b)2 (2a 3b) 2
12
a 2 b2
a 2 b2
b 0
b 2 3ab 0
.
b 3a
Với b = 0: Chọn a = 1 Phương trình d: x 2 0 .
Với b = –3a: Chọn a = 1, b = –3 Phương trình d: x 3y 7 0 .
Câu 65. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng : mx 4y 0 , đường tròn
(C): x 2 y 2 2x 2my m 2 24 0 có tâm I. Tìm m để đường thẳng cắt đường tròn
(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12.
(C) có tâm I(1; m) , bán kính R = 5. Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
(5m)2
20
2
2
2
m 16
m 16
m 16
m 2 16
m 3
2
12 d(I, ).AH 12 3m 25 m 48 0
m 16
3
IH d(I, )
SIAB
m 4m
5m
; AH IA 2 IH 2 25
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 y 2 1 , đường thẳng
(d) : x y m 0 . Tìm m để (C) cắt (d) tại A và B sao cho diện tích tam giác ABO lớn
nhất.
(C) có tâm O(0; 0) , bán kính R = 1. (d) cắt (C) tại A, B d(O; d) 1
1
1 .sin AOB
1 . Dấu "=" xảy ra AOB
900 .
Khi đó: SOAB OA.OB.sin AOB
2
2
2
900 . Khi đó d(I;d) 1 m 1 .
Vậy SAOB lón nhất AOB
2
Câu 67. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) :
2x my 1 2 0 và
đường trịn có phương trình (C) : x 2 y 2 2x 4y 4 0 . Gọi I là tâm đường trịn (C) .
Tìm m sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Với giá trị nào của m thì diện
tích tam giác IAB lớn nhất và tính giá trị đó.
(C) có tâm I (1; –2) và bán kính R = 3.
(d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B d(I, d) R
2 2m 1 2 3 2 m 2
________________________________________________________________________
TRUNG TAÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 20 -
1 4m 4m 2 18 9m 2 5m 2 4m 17 0 m R
1
1 IA.IB 9
Ta có: S
IA.IBsin AIB
IAB 2
2
2
9
900 AB = R 2 3 2 d(I,d) 3 2
Vậy: S
lớn nhất là
khi AIB
IAB
2
2
3 2
1 2m
2 m2 2m 2 16m 32 0 m 4
2
Câu hỏi tương tự:
a) Với d : x my – 2m 3 0 , (C) : x 2 y 2 4x 4y 6 0 .
8
ĐS: m 0 m
15
Câu 68. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 y 2 4x 6y 9 0 và
điểm M(1; 8) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt (C) tại hai điểm A, B
phân biệt sao cho tam giác ABI có diện tích lớn nhất, với I là tâm của đường trịn (C).
(C) có tâm I(2;3) , bán kính R 2 .
PT đường thẳng d qua M(1; 8) có dạng: d : ax by a 8b 0 ( a 2 b 2 0 ).
1
2sin AIB
.
SIAB IA.IB.sin AIB
2
900 d(I, d) IA 2 2
Do đó: SIAB lớn nhất AIB
2
a
7b
11b 3a
.
2 7a 2 66ab 118b 2 0
a 2 b2
7a 17b
+ Với b 1 a 7 d : 7x y 1 0
+ Với b 7 a 17 d :17x 7y 39 0
Câu 69. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 4x 4y 6 0 và
đường thẳng : x my – 2m 3 0 với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường trịn
(C). Tìm m để cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho diện tích IAB lớn nhất.
(C) có tâm là I (–2; –2); R = 2 . Giả sử cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
1
= sin AIB
Kẻ đường cao IH của IAB, ta có:
SABC = SIAB IA.IB.sin AIB
2
= 1 AIB vuông tại I IH = IA 1 (thỏa IH < R)
Do đó SIAB lớn nhất sin AIB
2
1 4m
8
1 15m2 – 8m = 0 m = 0 hay m =
15
m2 1
Câu hỏi tương tự:
a) Với (C) : x 2 y 2 2x 4y 4 0 , : 2x my 1 2 0 .
ĐS: m 4 .
2
2
b) Với (C) : x y 2x 4y 5 0 , : x my 2 0 .
ĐS: m 2
Câu 70. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 0 và đường
tròn (C): x 2 y 2 2x 4y 8 0 . Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn
(C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hồnh độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường
tròn (C) sao cho tam giác ABC vng ở B.
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ĐT: 07103.751.929
Trang - 21 -
Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình
x 2 y 2 2x 4y 8 0
y 0; x 2
. Vì x A 0 nên ta được A(2;0), B(–3;–1).
y 1; x 3
x 5y 2 0
900 nên AC là đường kính đường trịn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua
Vì ABC
tâm I của đường trịn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4).
Câu 71. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ): x 2 y 2 2x 4y 8 0
và đường thẳng ( ): 2x 3y 1 0 . Chứng minh rằng ( ) luôn cắt ( C ) tại hai điểm
phân biệt A, B . Tìm toạ độ điểm M trên đường trịn ( C ) sao cho diện tích tam giác
ABM lớn nhất.
9
(C) có tâm I(–1; 2), bán kính R = 13 . d(I, )
R đường thẳng ( ) cắt (C)
13
1
tại hai điểm A, B phân biệt. Gọi M là điểm nằm trên (C), ta có SABM AB.d(M, ) .
2
Trong đó AB khơng đổi nên SABM lớn nhất d(M, ) lớn nhất.
Gọi d là đường thẳng đi qua tâm I và vng góc với ( ). PT đường thẳng d là
3x 2y 1 0 .
Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường tròn (C). Toạ độ P, Q là nghiệm của
x 2 y 2 2x 4y 8 0
x 1, y 1
hệ phương trình:
P(1; –1); Q(–3; 5)
x 3, y 5
3x 2y 1 0
4
22
; d(Q, )
. Như vậy d(M, ) lớn nhất M trùng với Q.
13
13
Vậy tọa độ điểm M(–3; 5).
Ta có d(P, )
Câu 72. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 y 2 2x 4y 5 0 và
A(0; –1) (C). Tìm toạ độ các điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho ABC đều.
3 7
(C) có tâm I(1;2) và R= 10 . Gọi H là trung điểm BC. Suy ra AI 2.IH H ;
2 2
ABC đều I là trọng tâm. Phương trình (BC): x 3y 12 0
Vì B, C (C) nên tọa độ của B, C là các nghiệm của hệ phương trình:
x 2 y 2 2x 4y 5 0
x 2 y 2 2x 4y 5 0
x 3y 12 0
x 12 3y
7 3 3 3 3 7 3 33 3
Giải hệ PT trên ta được: B
;
;
;C
hoặc ngược lại.
2
2 2
2
Câu 73. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x 3) 2 (y 4) 2 35 và
điểm A(5; 5). Tìm trên (C) hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.
AB AC
(C) có tâm I(3; 4). Ta có:
AI là đường trung trực của BC. ABC vuông
IB IC
. Do đó AB và AC hợp với AI một góc
cân tại A nên AI cũng là phân giác của BAC
450 .
Gọi d là đường thẳng qua A và hợp với AI một góc 450 . Khi đó B, C là giao điểm của d
với (C) và AB = AC. Vì IA (2;1) (1; 1), (1; –1) nên d khơng cùng phương với các
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTÑH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 22 -
trục toạ độ VTCP của d có hai thành phần đều khác 0. Gọi u (1; a) là VTCP của d.
Ta có:
a 3
2a
2a
2
2
2 2 a 5 1 a
cos IA, u
2
2
2
a 1
2
1 a 2 1
5 1 a
3
x 5 t
+ Với a = 3, thì u (1;3) Phương trình đường thẳng d:
.
y 5 3t
Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là:
9 13 7 3 13 9 13 7 3 13
;
;
,
2
2
2
2
x 5 t
1
1
+ Với a = , thì u 1; Phương trình đường thẳng d:
1 .
3
3
y
5
t
3
Ta tìm được các giao điểm của d và (C) là:
7 3 13 11 13 7 3 13 11 13
;
;
,
2
2
2
2
+Vì AB = AC nên ta có hai cặp điểm cần tìm là:
7 3 13 11 13 9 13 7 3 13
7 3 13 11 13 9 13 7 3 13
;
;
;
;
,
và
,
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
Câu 74. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y 4 và các điểm
8
A 1; , B(3; 0) . Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB có diện tích
3
20
bằng
.
3
64 10
; AB : 4x 3y 12 0 . Gọi M(x;y) và h d(M, AB) .
9
3
4x 3y 12
4x 3y 8 0
1
20
Ta có: h.AB
h4
4
2
3
5
4x 3y 32 0
AB 4
4x 3y 8 0
4x 3y 32 0
14 48
+ 2
+ 2
(vô nghiệm)
M(2;0); M ;
2
2
25 75
x y 4
x y 4
Câu 75. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x 2 y 2 2x 6y 9 0 và
đường thẳng d : 3x 4y 5 0 . Tìm những điểm M (C) và N d sao cho MN có độ
dài nhỏ nhất.
(C) có tâm I(1;3) , bán kính R 1 d(I, d) 2 R d (C) .
Gọi là đường thẳng qua I và vng góc với d () : 4x 3y 5 0 .
1 7
Gọi N 0 d N 0 ; .
5 5
2 11
8 19
Gọi M1 , M 2 là các giao điểm của và (C) M1 ; , M 2 ;
5 5
5 5
MN ngắn nhất khi M M1 , N N 0 .
2 11
1 7
Vậy các điểm cần tìm: M ; (C) , N ; d .
5 5
5 5
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 23 -
III. CÁC ĐƯỜNG CÔNIC
x2 y2
1 . A, B là các điểm trên
25 16
(E) sao cho: AF1BF2 8 , với F1, F2 là các tiêu điểm. Tính AF2 BF1 .
Câu 76. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):
AF1AF2 2a và BF1BF2 2a AF1 AF2 BF1 BF2 4a 20
Mà AF1 BF2 8 AF2 BF1 12
Câu 77. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với các tiêu điểm
F1 (1;1), F2 (5;1) và tâm sai e 0, 6 .
Giả sử M(x; y) là điểm thuộc elip. Vì nửa trục lớn của elip là a
c
3
5 nên ta có:
e 0, 6
MF1 MF2 10 (x 1)2 (y 1)2 (x 5)2 (y 1)2 10
(x 2) 2 (y 1) 2
1
25
16
x 2 y2
1 . Tìm
4
1
toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục
hoành và tam giác ABC là tam giác đều.
Câu 78. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và elip (E):
2 4 3 2 4 3
ĐS: A ;
, B ;
7
7 7 7
x 2 y2
1 . Tìm các điểm M
100 25
0
(E) sao cho F
1MF2 120 (F 1, F2 là hai tiêu điểm của (E)).
Câu 79. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E):
Ta có: a 10, b 5 c 5 3 . Gọi M(x; y) (E)
3
3
x, MF2 10
x.
2
2
F1F22 MF12 MF2 2 2MF1.MF2 .cos F
1MF2
MF1 10
2
2
3
3
3
3 1
10 3 10
x 10
x 2 10
x 10
x
2
2
2
2 2
x = 0 (y= 5). Vậy có 2 điểm thoả YCBT: M1(0; 5), M2(0; –5).
2
Câu 80. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm F1 ( 3;0); F2 ( 3; 0) và đi qua
1
điểm A 3; . Lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M trên elip, hãy
2
tính biểu thức:
P F1M 2 F2 M 2 – 3OM 2 – FM.F
1
2M .
x 2 y2
3
1
x2 y2
2
2
1
1
,
a
b
3
1
a 2 b2
a 2 4b 2
4
1
P (a ex M ) 2 (a – ex M ) 2 – 2(x 2M y 2M ) – (a 2 e 2 x 2M ) 1
(E):
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 24 -
Câu 81. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho elip (E): 4x 2 16y 2 64 . Gọi F2 là tiêu điểm bên
phải của (E). M là điểm bất kì trên (E). Chứng tỏ rằng tỉ số khoảng cách từ M tới tiêu
8
điểm F2 và tới đường thẳng : x
có giá trị khơng đổi.
3
8 3x 0
,
2
MF2
3
(vì 4 x 0 4 )
(khơng đổi).
d(M, )
2
Ta có: F2 ( 12; 0) . Gọi M(x 0 ; y 0 ) (E) MF2 a ex 0
d(M, ) x 0
8 3x 0
8
3
3
Câu 82. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): 5x 2 16y 2 80 và hai điểm A(–5;
–1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích MAB.
Phương trình đường thẳng (AB): x 2y 3 0 và AB 2 5
Gọi M(x 0 ; y0 ) (E) 5x 02 16y 02 80. Ta có:
d(M; AB)
x 0 2y 0 3
x 0 2y 0 3
1 4
5
1
Diện tích MAB: S .AB.d(M; AB) x 0 2y 0 3
2
1
1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki cho 2 cặp số
; , ( 5x 0 ; 4y 0 ) có:
2
5
2
1
9
1
1 1
. 5x 0 .4y 0 5x 02 16y 02 .80 36
2
20
5 4
5
x 0 2y 0 6 6 x 0 2y 0 6 3 x 0 2y 0 3 9 x 0 2y 0 3 9
5x
4y
8
x0
1 1
5x 0 8y 0
3
max x 0 2y 0 3 9
2
x 0 2y 0 6
5
y 5
0
x 0 2y 0 3 9
3
8 5
Vậy, max SMAB 9 khi M ; .
3 3
x 2 y2
1 và hai điểm A(3;–2),
9
4
B(–3; 2) . Tìm trên (E) điểm C có hồnh độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có
diện tích lớn nhất.
x2 y2
PT đường thẳng AB: 2x 3y 0 . Gọi C(x; y) (E), với x 0, y 0
1.
9
4
Câu 83. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elíp (E) :
1
85
85 x y
85 x 2 y 2
170
AB.d(C, AB)
2x 3y 3.
3
2 3
2
13 3 2
13 9
4
13
2 13
x 2 y2
2
1
3 2
x 3
9
4
Dấu "=" xảy ra
; 2.
2 . Vậy C
2
x y
y 2
3 2
SABC
________________________________________________________________________
TRUNG TÂM LTĐH 17 QUANG TRUNG
ÑT: 07103.751.929
Trang - 25 -
