SKKN Sang tao tu BT goc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

PHO

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH CHƯƠNG
TRƯỜNG THCS TÔN QUANG PHIỆT

=====***=====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài

HƯỚNG DẪN HỌC SINH

KHÁ, GIỎI SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN MỚI

TỪ BÀI TOÁN GỐC

Nàm hoüc 2007

Nàm hoüc 2007

Nàm hoüc 2007

Nàm hoüc 2007 ---- 2008

2008

2008

2008

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Năm học: 2007 - 2008

Người viết: Lê Thanh Hồ

Giáo viên tốn trường THCS Tơn Quang Phiệt

PHỊNG GIÁO DỤC THANH CHƯƠNG

Trường THCS Tôn Quang Phiệt

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TOÁN

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI TỐN

SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN MỚI TỪ BAØI

SÁNG TẠO CÁC BAØI TỐN MỚI TỪ BÀI

SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN MỚI TỪ BÀI

SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN MỚI TỪ BÀI

TOÁN GỐC

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2.Mục đích nghiên cứu

Đây là một đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của mơn hình học, đặc
biệt nó giúp phát triển khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, nếu vấn đề này được quan tâm thường
xun trong dạy học của các thầy cơ giáo thì chắc chắn đề tài sẽ là kinh nghiệm bổ ích trong việc đào
tạo và bồi dưỡng đội ngũ học sinh khá giỏi tốn. Vì trong thực tế dạy học tốn rất nhiều bài tốn mà
trong khi giải ta có thể tìm được nhiều ý tưởng hay độc đáo để từ đó có thể sáng tạo nên chuỗi bài
tập liên quan với nhau, có thể tổng qt hố bài tốn...

nhưng trong khuôn khổ của bài viết này tôi chỉ xin phép đưa ra 2 bài toán mẫu để minh hoạ cho 1 ý
tưởng dạy học toán ""Dạy toán là dạy cho học sinh biết cách sáng tạo toán""

3.Đối tượng và phạm vi áp dung:

Đề tài này được viết trong quá trình dạy và học của tơi tại trường THCS Tơn Quang Phiệt là 1 trường
trọng điểm của huyện nên có nhiều học sinh có khả năng tiếp thu học tập mơn tốn, học sinh rất
ham học và tìm tịi cái mới. Việc thể hiện đề tài khá thuận lợi.

I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1.Lý do chọn đề tài

Ở trường THCS dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải tốn là đặc trưng chủ yếu
của hoạt động toán học của HS. Để rèn luyện kỹ năng giải tốn cho HS ngồi việc trang bị tốt kiến thức cơ

bản cho HS giáo viên cần hướng dẫn cho HS biết cách khai thác, mở rộng kết quả các bài tốn cơ bản để
HS suy nghĩ tìm tịi những kết quả mới sau mỗi bài tốn .

Nhưng thật tiếc là trong thực tế chúng ta chưa làm được điều đó một cách thường xuyên. Phần lớn GV chúng
ta chưa có thói quen khai thác một bài toán thành một chuỗi bài toán liên quan, trong giải tốn chúng ta chỉ
dừng lại ở việc tìm ra kết quả của bài tốn. Điều đó làm cho HS khó tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức
đã học. Cho nên khi bắt đầu giải một bài toán mới HS không biết phải bắt đầu từ đâu? cần vận dụng kiến
thức nào? bài tốn có liên quan đến những bài tốn nào đã gặp?

Hình học khơng đơn thuần ""Chỉ vẽ hình là ra"".Nó cũng địi hỏi cần phải có suy luận, phân tích, tưởng tượng
cái đức tính cần có của người làm toán. Các bạn đã bao giờ tự hỏi, tại sao nhiều người tự mình sáng tạo ra
được rất nhiều bài toán trong các lĩnh vực như đại số, giải tích, số học, ....nhưng trong hình học lại quá ít
như vậy hay chưa? Nếu xem xét một cách nghiêm túc thì trong hình học khơng phải khó tìm ra sự sáng tạo
mà vấn đề là chúng ta đã dành cho hình học sự quan tâm ở mức nào.

Trong q trình dạy tốn và bồi dưỡng HS giỏi tốn tơi thấy rằng việc tìm tịi mở rộng các bài tốn quen
thuộc thành các bài tốn mới, tìm các cách giải khác nhau cho 1 bài toán để từ đó khác sâu kiến thức cho
HS là một phương pháp khoa học và hiệu quả.Qúa trình này bắt đầu từ các bài tốn đơn giản đến bài tập
khó là là bước đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho HS.

Một điều chắc chắn rằng việc tìm tịi mở rộng bài tốn sẽ kích thích hứng thú học tập và óc sáng tạo của
HS .

Từ đó giúp HS có cơ sở khoa học khi phân tích , định hướng tìm lời giải cho ác bài tốn khác. Hơn nữa là
củng cố cho HS lịng tin vào khả năng giải tốn của mình.

Chỉ vậy thơi, chúng ta đã nhen nhóm lên trong các em một tình u tốn học, một mơn học được coi là q
khơ khan.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Hình 3

Gọi K là trực tâm AEN thì NK = NB(do AK // ON; O là
trung điểm AB) => EK // BF (vì cùng vng góc với AC).
Từ đó ta dễ chứng minh: EKN = FBN (g.c.g) => NE = NF

Hình 2

Hình 1

Lời giải :

a.Gọi N' là giao điểm của AD và BC, thì N'N vng góc AB
ta chứng minh M thuộc N'N. Lấy M' là trung điểm N'N ta dễ
chứng minh M'D vng góc DO và M'C vng góc CO => M' là
giao điểm 2 tiếp tuyến kẻ từ D,C => M' trùng M => MN vng
góc AB

b. CÁCH 1.(hình 1)

Gọi B' là điểm đối xứng của b qua N thì B'A // NO => B'A
vng góc NE => B'E vng góc AN => B'E // BF .Từ đây dễ
chứng minh B'NE = BNF (g.c.g) => NE = NF

CÁCH 2.(hình 2)

Kẻ OH vuông góc AD ; OI vuông góc BC

Từ sự đồng dạng của 2 tam giác: DAN và CBN

Lại có các tứ giác ONHE ; ONFI nội tiếp ta suy ra:

goùcNHO = goùcNEO = goùcNIO = gócNFO => EOF cân tại O
=> NE = NF

Nhận xét:

Sau khi giải bài tốn tơi thấy rằng bài tốn có thể được xây
dựng thành các bài tốn khác ở mức độ khó hơn.

Sau đây tơi xin nêu 1 số suy nghĩ đó:

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ NHẤT (sáng tạo ra các bài

tốn mới với giả thiết rộng hơn)

1.TÌNH HUỐNG1:Trước khi đưa ra bài toán mới GV cần đưa ra
câu hỏi gợi mở để HS suy nghĩ và phát hiện vấn đề, ví dụ như:
?. Hãy xác định xem GT nào của bài tốn là giả thiết HẸP, có
thể thay bằng một GT RỘNG hơn như thế nào?

? với GT mới kết quả bài toán sẽ như thế nào?
Bài 1.1:

Cho đường trịn (O) đường kính AB. Các dây cung AC,BD cắt
nhau tại N. Qua N vẽ đường thẳng vng góc NO, đường
úthẳng này cắt các đường thẳng AD,BC lần lượt tại E, F.
Chứng minh NE = NF

Lời giải: (Hình 3)

BÀI TỐN XUẤT PHÁT 1:( đề thi HSG lớp 9 tỉnh nghệ an năm 2008)

Cho đường trịn O đường kính AB và dây cung CD( C,D không trùng với A,B). Gọi M là giao điểm các tiếp tuyến
của đường tròn tại C,D ; N là giao điểm các dây cung AC và BD. Đường thẳng qua N và vng góc NO cắt AD,BC
tại E,F. Chứng minh:

a. MN vng góc với AB
b. NE = NF

E

F
B'

N

K
N'

F
E

N

A

I
H

F

E

N

N'

B

M

N'

B

M

O

O

O

B

D

C

A

D

C

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Lời giải: (hình 6)

Kẻ OP vng góc AC ; OQ vng góc BD khi đó các tứ giác OQNE;
OPNF

nội tiếp nên ta có: gócNOF = gócNPF (1)
goùcNOE = goùcNQE (2)

NCA đồng dạng NDB (g.g) lại có P; Q là trung điểm của AC;
BD nên => NPC đồng dạng NQD => gócNQD = gócNPC hay
là

gócNQE = gócNPF (3). từ (1);(2);(3) => gócNOE = gócNOF

kết hợp với NO vng góc EF ta suy ra EOF cân tại O => NE = NF

Hình 6
Bài 1.4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Các đường thẳng
AD, BC cắt nhau tại N ở ngoài (O). Đường thẳng qua N vng
góc NO cắt các đường thẳng AC, BD tại E,F.

Chứng minh: NE = NF Hình 5

Hình 4
Lời giải:(Hình 4)

Lấy B' đối xứng với B qua N. Khi đó B'A // NO => B'A _⊥ NF

vì B'N vng góc AF => N là trực tâm của B'AF => AN vng góc
B'F => BE // B'F

(vì cùng vng góc với AN)

Từ đây dễ dàng chứng minh được: B'NF = BNE (g.c.g)
nên => NE = NF

3.TÌNH HUỐNG 3:

Cần chú ý rằng trong bài toán gốc AB là đường kính của đường trịn
nếu xem đây là GT HẸP, thì GT RỘNG hơn là xét AB như là 1 dây
cung bất kỳ ta sẽ có 4 bài mới tốn sau là sự tổng qt của bài tốn
1.1 và bài 1.2

Bài 1.3:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O).Các đường chéo AC,
BD cắtnhau tại N . Qua N vẽ đường thẳng vng góc NO , đường
thẳng này cắt các đường thẳng AD, BC tại E, F

Chứng minh NE = NF

Lời giải: (Hình 5)

kẻ OQ vuông góc AD và OR vuông góc BC => Q,R là trung điểm
của AD, BC.

Chú ý rằng: DNA đồng dạng CNB nên suy ra DNQ đồng dạng
CNR => gócDQN = gócCRN

=> gócNQO = gócNEO (1)
các tứ giác EQON, FRNO nội tiếp nên:

gócNQO = gócNEO và gócNRO = gócNFO (2)
Từ (1) và (2) => gócNEO = gócNFO => EOF cân tại F => NE = NF

2.TÌNH HUỐNG 2: Với 1 thay đổi nhỏ trong GT ta có được bài toán 1.1 là 1 bài toán mạnh hơn.
Bây giờ ta hãy để ý đến vị trí của điểm N là giao điểm 2 dây cung AC ; BD
Để sáng tạo ra bài toán mới, ta thay GT N là giao điểm của AC; BD thành GT N là giao điểm của
AD vàØ BC. Với GT mới này ta sẽ có bài tốn sau:

Bài1.2:

Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB. 2 dây cung AD , BC cắt nhau tại điểm N ở ngồi (O)
Qua N kẻ đường vng góc với NO, đường thẳng này cắt các đường thẳng BD, AC lần lượt tại E, F
Chứng minh rằng : NE = NF

Q
P

F
E

N

R
Q

F
E

N
B'

F
E

C
D

A

O B

N

O

O

A

D

C

B

A
D

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 2

:(

Sáng tạo ra bài

toán mới là hệ quả của bài tốn gốc)

Hình 8b

Lời giải:(Hình 8b)

Từ kết quả của bài tốn 1.6 ta có:

IE = IF và IA = IB => AE = FB và AF = BE (1)
Tứ giác AMBP nội tiếp nên EM.EP = EA.EB (2)
Tứ giác ANQB nội tiếp nên: FN.FQ = FB.FA (3)
Từ (1) => EA.EB = FA.FB (4)

Từ (2) ; (3) ;(4) => EM.EP = FN.FQ

Bài 1.7:
Cho đường tròn tâm (O). Dây cung AB
I là trung điểm của AB, qua I vẽ các
dây MN,PQ sao cho MP cắt AB tại E,
NQ cắt AB tại F.

Chứng minh: EM. EP = FN.FQ

Lời giải:(Hình 8)

Kẻ OL vng góc PM; OK vng góc QN khi đó ta có các tứ giác
OIEL; OIFK nội tiếp

=> gócOLI = gócOEI và gócOKI = goùcOFI (1)

Từ sự đồng dạng của IMP đồng dạng IQN và L;K là trung
điểm của PM; QN nên => ILM đồng dạng IKQ
=> gócILM = gócIKQ => gócOLI = gócOKI (2)

Từ (1) và (2) => gócOEI gócOFI => EOF cân tai O (3)
I là trung điểm AB nên OI vng góc EF (4)

Từ (3) và (4) => IE = IF
NHẬN XÉT:

Bằng những thay đổi trong GT của bài toán gốc ta đã sáng tạo
thêm những bài toán mới ở 1 cung bậc cao hơn, tổng quát hơn.
Đưa ra nhận xét này tôi muốn nêu lên 1 khẳng định rằng mọi bài
toán đều bắt nguồn từ những bài cơ bản, cũng như biển cả phải
bắt nguồn từ những dịng sơng.

Lời giải:(Hình 7)

Kẻ OP vng góc AB; OQ vng góc CD khi đó ta có:
các tứ giác OPEN; OQNF nội tiếp

cho nên: gócNOF = gócNQF (1)
gócNOE = gócNPE (2)
Tứ giác ABCD nội tiếp nên:

NCD đồng dạng NBA ( Góc N chung; gócNBA =
gócNDC)

Do P; Q là trung điểm của AB, CD nên:
NQC đồng dạng NPA ( c.g.c)

=> gócNQC = gócNPA hay là gócNQF = gócNPE (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => gócNOF = gócNOE

=> EOF cân tai O, kết hợp với ON vng góc EF
=> NE = NF

Hình 8
Hình 7

Bài 1.6:

Cho đường trịn tâm (O). Dây cung AB I là trung điểm
của AB, qua I vẽ các dây MN,PQ sao cho MP cắt AB tại
E, NQ cắt AB tại F.

Chứng minh : IE = IF
Bài 1.5:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Các đường thẳng AD, BC cắt

nhau tai N. Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt các
đường thẳng AB, CD tại E, F

Chứng minh : NE = NF

F
E

Q
M

I
P

Q

K
L

F
E

Q
M

I
E

F
N

O

O

O
A

D

C

B

A B

P

N

A B

N

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

x

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 3 (Sáng tạo ra các bài tốn mới khó hơn ,

trong cách giải cần sử dung kết quả của bài tốn gốc)

Lời giải: (Hinh 10)

Vẽ OT vuông góc BD và OK vuông góc BC => TK
// CD => gócBKT = gócBCD (1)

Ta có gócOTN = gócOEN ( vì tứ giác OTEN nội
tiếp) (2)

gócN'Kx = gócOF'N' (vì tứ giác OF'N'K nội
tiếp) (3)

Vì gócBCD = gócNN'D (2) (Do tứ giác NCN'D
nội tiếp)

Từ (1) và (2) => gócBKT = gócNN'D = gócNN'T
=> Tứ giác KNN'T nội tiếp

=>gócNKN' = gócNTN' (4)

Lại có: gócNKN'+ gócN'Kx = 900 (5)
gócNTN' + góc OTN = 900 (6)
Từ (4) ; (5) ; (6) => gócN'Kx = gócOTN (7)
Từ (2); (3) ;(7) =>gócOEN = gócOF'N' (8)
Sử dụng kết quả bài tốn 1.1 và 1.2 ta có các

OEF vaø OE'F'

là các tam giác cân tại O kết hợp với (8) ta có
gócEOFù = gócE'OF' => gócFOF' = gócEOE' (9)
Do OE = OF; OE' = OF' nên cùng với (9) suy ra:
OEE' = OFF' (c.g.c) => EE' = FF'

Hinh 10
Bài 1.9:
Cho đường tròn (o) đường kính AB, dây cung CD; dây AD cắt BC tại N, AC cắt BD tại N'. Đường thẳng qua
N vng góc với NO cắt BD, AC tại E, F

đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt các đường thẳng AD, BC tại E', F',. Chứng minh rằng EE' = FF'

Hình 9
Lời giải:

Gọi A' là giao điểm của AI và (O). AM là phân giác gócA
nên:

MB
AB =

MC
AC =

MA + MB
AB + AC =

BC
AB + AC =

1
2 (1)
BI là tia phân giác cuûa ABM => IM

IA=
MB
AB (2)
Từ (1) và (2) => IM = AI

2 (3)

Chú ý rằng AB'I cân tại B' và B'N là phân giác gócAB'I
nên => NI = NA = AI

2 (4)
Từ (3) và (4) => IM = IN
Bài 1.8:

Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác, B', C' là điểm chính giữa các cung AB khơng
chứa C và cung AC không chứa B của (O). B'C' cắt AI tại N, đường thẳng AI
cắt BC tại M

Chứng minh: IM = IN

K
T

F

E

F'

E'

N

N'
B

A'
M
N

I

B'

C'

O
A

C
B

A
O

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo ra các bài toán về chứng minh các đường thẳng

đồng qui, chứng minh các đường thẳng song song nhờ vận dung kết quả bài tốn

gốc

Hình 11

Lời giải: cách 1: Gọi K là giao điểm của EE' và FF'
Ta chứng minh K; O; B thẳng hàng

Từ kết quả của bài tốn 1.9: OEE' = OFF'
=> gócOE'E = gócOF'F => Tứ giác OKF'E' nội tiếp
chú ý rằng N là trực tâm N'AB nên NN' vng góc AB
=> gócON'N + gócN'OB = 900 (1)

Trong tứ giác OKF'N' có:

gócON'F' + gócN'OK +gócOKF' +gócKF'N' = 3600

=> gócN'OK +gócOKF'+gócKF'N'=2700 (vì gócON'F'= 900 )
=> gócN'OK + gócOKF' + gócKF'O + gócOF'N' = 2700
=>(gócOF'K +gócN'OK) + gócOKF' + gócOF'N' =2700 (2)
vì gócOKF' + gócOF'N' = gócOKF' + gócOE'F' = 1800 (3)
Từ (2) ; (3) => gócOF'K +gócN'OK = 900 (4)
Chú ý rằng OEF đồng dạng OE'F' (g.g) nên:
OF

OF' =
ON

ON' (5) và gócNOF = gócN'OF' (6) => gócN'ON = gócF'OF (7)
Từ (5) và (7) => ONN' đồng dạng FOF' (c.g.c)

=> goùcON'N = goùcOF'F = goùcOF'K (8)

Từ (1); (4); => gócON'N + gócN'OB = gócOF'K +gócN'OK (9)

Từ (8) ; (9) => gócN'OK = gócN'OB chứng tỏ K thuộc đường thăng OB vậy EE'; FF' AB đồng qui

Bài 1.10:
Cho đường trịn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'.
Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt AD, BC tại E, F

đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. Chứng
minh rằng 3 đường thẳng AB, EE', FF' đồng qui tại 1 điểm

I _K

F'

E'

F

E N

N'

A O B

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

CÁCH 2 (Tương tự cách giải 2 bài toán 10)
a. Chứng minh EE'; FF'; AB đồng qui

gọi K là giao điểm của FF' và AB

Theo định lý Menelauyt cho ABC và 3 điểm E' ; E; K thẳng hàng ta có : FB
FC.

F'C
F'A.

KA

KB = 1 (22)
Tiếp tục sử dụng định lý Menelauyt cho các tam giác:

* CAN' và 3 điểm F; N; E ta coù: FC
FN'.

EN'
EA .

NA

NC = 1 (23)
*Với DBN' và F; N; E ta có: ED

EN'.
FN'

FB .
NB

ND = 1 (24)
Với AND và 3 điểm F'; E'; N' ta có:N'D

N'A.
E'N
E'D.

F'A

F'N= 1 (25)
*Với BNC và 3 điểm F'; E'; N' ta có: N'C

N'B.
F'N
F'C.

E'B

E'N = 1 (26)
nhân từng vế của (22);(23);(24);(25);(26) ta có:

FB
FC.
F'C
F'A.
KA
KB.
FC
FN'.
EN'

EA .
NA
NC.
ED
EN'.
FN'
FB.
NB
ND.
N'D
N'A.
E'N
E'D.
F'A
F'N.
N'C
N'B.
F'N
F'C.
E'B
E'N =1
=>(NA
NC.
NB
ND.
N'D
N'A.
N'C
N'B).(
ED

EA.
E'B
E'D.
KA

KB) = 1 (27)
*Với AND và 3 điểm N'; B; C ta có: BN

BD.
N'D
N'A.

AC

NC = 1 (28)
*Với BNC và 3 điểm D; A; N' ta có: AN

AC.
N'C
N'B.

DB

DN = 1 (29)
Nhân từng vế của (28) và (29) ta có: BN

BD.
N'D
N'A.
AC

DN.
NA
AC.
N'C
N'B.
DB

DN = 1 =>
NB
ND.
N'D
N'A.
NA
NC.
N'C

N'B = 1 (30)

TừØ (27) và (30) ta có: ED
EA.

E'B
E'D.

KA

KB = 1 (31)

Hệ thức (31) cùng với định lý đảo Menelauyt => 3 điểm E'; E; K thẳng hàng từ đó suy ra 3 đường thẳng EE';FF'
AB đồng qui tại K

b.Chứng minh E'F; EF'; CD đồng qui:
Chứng minh tương tự như cách 1

Gọi giao điểm của CD và EF' laø I

Sử dụng định lý Menelauyt cho ADC và 3
điểm E; I ;F' thẳng hàng ta có:

ID
IC.

EA
ED.

F'C

F'A = 1 (19)
Từ (17) => ED

EA.
F'C
F'A =

FC
FB.

E'B
E'D (20)

Từ (19) và (20) ta có:

ID
IC.

FC
FB.

E'B

E'D = 1 (21)

Hệ thức 21 cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy
ra E'; I; F thẳng hàng từ đó suy ra E'F; EF', CD

đồng qui tại I Hinh 16

b. Chứng minh EF'; E'F, CD đồng qui

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

*Với BNC và 3 điểm F'; N'; E' ta có: N'B
N'C.

F'N
F'C.

E'B

E'N = 1 (5)
Nhân từng vế của 5 đẳng thức trên ta có:

FB
FC.
F'C
F'A.
KA
KB.
FC
FN'.
EN'
EA .
NA
NC.
ED
EN'.
FN'
FB .
NB
ND.
N'D
N'A.
E'N
E'D.
F'A
F'N.
N'B
N'C.
F'N
F'C.
E'B
E'N = 1

=> (NA

NC.
NB
ND.
N'D
N'A.
N'C
N'B).(
ED
EA.
E'B
E'D.
KA

KB) = 1 (6)
*Với AND và 3 điểm N'; B; C ta có: BN

BD.
N'D
N'A.

CA

CN = 1 (7)
*Với BNC và 3 điểm D; A; N' ta có: AN

AC.
N'C
N'B.

DB

DN = 1 (8)
Nhân từng vế của (7) và (8) ta có: BN

BD.
N'D
N'A.
CA
CN.
AN
AC.
N'C
N'B.
DB
DN = 1
=> NB

ND.
N'D
N'A.
NA
NC.
N'C

N'B = 1 (9) ; Từ (6) và (9) =>
ED
EA.

E'B
E'D.

KA

KB = 1 (10)
Hệ thức (10) cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy ra 3 điểm K; E; E' thẳng hàng
từ đó suy ra EE' ; FF' AB đồng qui tại K

Hình 11

Cách 2: bài 1.10

Gọi K là giao điểm của AB và FF' để chứng minh
EE'; FF' AB đồng qui ta cân chứng minh K; E;E'
thẳng hàng

Sử dụng định lý Menelauyt cho ABC với 3 điểm K;
F; F' thẳng hàng ta có:

FB
FC.

F'C
F'A.

KA

KB = 1 (1)

*Với CAN' và 3 điểm F; N; E ta có:
FC

FN'.
EN'

EA .
NA

NC = 1 (2)

* Với DBN' và 3 điểm F; N; E ta có:

ED
EN'.

FN'
FB.

NB

ND = 1 (3)

* Với ADN và 3 điểm F'; E'; N' ta có:
N'D

N'A.
E'N

E'D.

F'A

F'N = 1 (4)

I _K
F'
E'
F
E N
N'

A O B

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

j

Từ kết quả của bài toán 1.9 khi đã chứng minh được EE' = FF' ta chú ý rằng EE'; FF' là cặp cạnh đối
của tứ giác EE'F'F nên có thể đưa ra bài tốn sau:

Bài 1.11:Cho đường trịn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'.
Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt AD, BC tại E, F

đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F'.gọi K là giao điểm
của EE' và FF'. Chứng minh NN'// với tia phân giác góc E'KF'.

Hình 12
Lời giải:(Hình 12)

Sử dụng kết quả của các bài tốn 1; 2; 9 ta có:
NE = NF; N'E' = N'F' và EE' = FF',

gọi P; Q là trung điểm của E'F và EF' khi đó ta có:
NP // EE' và NP = 1

2EE'; N'Q // EE' vaø N'Q =
1
2EE'
NQ // FF' vaø NQ = 1

2FF'; N'P // FF' và N'P =
1
2FF'

từ đó suy ra : Tứ giác NQN'P là hình thoi => NN' là phân giác gócPNQ

Do gócPNQ = gócE'KF' (góc có canh tương ứng song song) => NN' // Kj là tia phân
giác gócE'KF'

Q
P

K

F'

E'

F
E

N

N'

A O B

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Bài 1.13: Cho đường tròn (o) đường kính
AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt
BC tại N'. Đường thẳng qua N vng góc
với NO cắt AD, BC tại E, F

đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt
các đường thẳng BD, AC tại E', F.

Gọi P;Q;R;S lần lượt là trung điểm của
E'F; EF';EE'; FF'

Chứng minh: PQ; RS; NN' địng qui

Lời giải: (Hình 14)

Ta dễ chứng minh được các tứ giác NPN'Q và
PRQS là các hình bình hành

nên suy ra NN'; PQ; RS cắt nhau tại trung điểm
mỗi đường => NN'; PQ; RS đồng qui

Hình 14

Lời giải: ( Hình 12 )

Sử dụng kết quả bài 1.10 ta có EE'; FF'; AB
đồng qui tại K. Theo định lý Mene'lauyt cho tam
giác ABC với 3 điểm E'; E; K thẳng hàng ta
có:

KA
KB.

E'B
E'D.

ED

EA=1 (1)

Theo định lý Mene'lauyt cho tam giác ABC với 3
điểm F'; F; K thẳng hàng ta có:

KA
KB.

FB
FC.

F'C

F'A=1 (2)
Từ (1) và (2) ta có:

E'B
E'D.

ED
EA =

FB
FC.

F'C
F'A (3)
=>E'B.FC

E'D.FB =
F'C.EA
F'A.ED (4)

Gọi I là giao điểm của E'F và CD . áp dung
định lý Menelauyt cho tam giác BCD với 3 điểm
E'; I; F thẳng hàng ta có:

ID
IC.

E'B
E'D.

FC

FB=1 (5)
Từ (4) và (5) => ID

IC.
F'C
F'A.

EA

ED = 1 (6)

Từ (6) và định lý đảo Menelauyt đảo ta suy ra
E; I; F' thẳng hàng

Vậy 3 đường thẳng E'F; CD; EF' đòng qui tại I.

Hình 13

Bài 1.12: Cho đường trịn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'. Đường
thẳng qua N vng góc với NO cắt AD, BC tại E, F

đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. gọi K là giao điểm của
EE' và FF'.

Chứng minh rằng CD, EF', E'F đồng qui

S
R

Q
P

F
E

F'
E'

N

N'
A

I

K

F
E

F'

E'

N
N'

A

O B

O _B

D C

D

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

XÂY DỰNG BÀI TỐN TỔNG QT

Hình 16

BÀI 1.15
(tổng quát bài 1.10 và 1.12):(hình 16)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
các đường chéo AC; BD cắt nhau tại N; các
đường thẳng AD; BC cắt nhau tại N'.

Đường thẳng qua N vng góc với NO cắt các
đường thẳng AD; BC tại E; F. Đường thẳng
qua N' vng góc với N'O cắt các đường
thẳng BD; AC tại E'; F'. Chứng minh rằng:
a. Các đường thẳng EE'; FF'; AB đồng qui
b. Các đường thẳng E'F; EF'; CD đồng qui

Hình 15
Lời giải: (Hình 15)

Sử dụng kết quả bài tốn 1.9 ta có: EE'O = FF'O => gócEOE' = gócFOF' ; gócEE'O = gócFF'O (1)

Ta có : goùcOEK = goùcEE'O + goùcEOE' (2)
goùcOFK = goùcFF'O + goùcFOF' (3)

Từ (1) => gócEE'O + gócEOE' = gócFF'O + gócFOF' (4)
Từ (2); (3); (4) => gócOEK = gócOFK (5)

Từ (5) và chú ý rằng E;F cùng phía so với KO nên tứ giác OKEF nội tiếp.

Cũng từ kết quả EE'O = FF'O và các tam giác EOF và E'OF' là các tam giác cân tại O
cho nên ta có kết quả sau: gócEOE' = gócNON' = gócFOF' (6)

Tứ giác ONN'T có : gócONT = gócON'T = 90_° => ONN'T là tứ giác nội tiếp => gócNON' = gócNTN' (7)
Từ (6) vàØ (7) => gócFOF' = gócNTN' = gócFTF' (8)

từ (8) và chú ý rằng O, T cùng phía so với FF' nên tứ giác OTF'F nội tiếp

Bài 1.14:
Cho đường trịn (o) đường kính AB, dây cung CD. AC cắt BD tại N, AD cắt BC tại N'. Đường thẳng qua
N vng góc với NO cắt AD, BC tại E, F

đường thẳng qua N' vng góc với N'O cắt các đường thẳng BD, AC tại E', F',. gọi K là giao điểm của
EE' và FF'. Gọi T là giao điểm của các đường thẳng EF và E'F'

Chứng minh rằng các tứ giác OKEF; OTF'F là các tứ giác nội tiếp

HƯỚNG KHAI THÁC THỨ 4: sáng tạo ra các bài toán về tứ giác nội tiếp

K
I

F
E

F'
E'

N
N'
K

T
F'

E'

F

E

N
N'

A

O

B

O

C

D

A

D C

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Hinh 16

Lời giải:CÁCH 1 (Hình 16)

a.Chứng minh EE'; FF' AB đồng qui

Gọi K là giao điểm của FF' và AB, ta chứng minh K, E; E' thẳng hàng
Sử dụng định lý Menelauyt cho tam giác ABC;

ADB; F'NE'; AN'C.

*Với ABC và 3 điểm K; F; F' thẳng hàng ta có: KB
KA.

F'A
F'C.

FC

FB=1 (1)
*Với E'NF' và 3 điểm B ; C; N' thẳng hàng ta có: N'F'

N'E'.
BE'
BN.

CN

CF'=1 (2)
Sử dụng kết quả bài tốn 5 thì: N'E' = N'F' nên từ (2) => BE'

BN.
CN

CF' = 1 =>
BN
CN.

CF'

BE'= 1 (3)
*Với EN'F và 3 điểm B; N; D thẳng hàng ta có: DE

DN'.
NF
NE.

BN'

BF = 1 (4)
Sử dụng kết quả bài toán 1 thì: NE = NF nên từ

(4) => DE
DN'.

BN'

BF = 1 (5)
*Với AN'C và 3 điểm B; N; D thẳng hàng ta có: DA

DN'.
BN'

BC .
NC

NA = 1 (6)
Từ sự đồng dạng của 2 tam giác AND và BNC ta suy ra: NA

NB =
ND
NC =

AD
BC =>

AD
BC.

NB

NA =1 (7)

Từ (7) => AD

BC.
NB
NA.

NC

NC = 1 (8)
Từ (6) và (8) => N'B

N'D =
NB
NC (9)
Từ (3);(5) và (9) suy ra: DE

BF =
CF'
BE' (10)
TỪ (10) => (BF

DE)

2_{= (}BE'

CF')

2₍₁₁₎

Từ kết quả bài tốn 7b ta có:

ED.EA = FC.FB (12)
F'C.F'A = E'D.E'B (13)
Từ (12) => FB

DE =
EA

FC (14)
Từ (13) => E'B

F'C =
F'A

E'D (15)
Từ (11);(14);(15) sy ra:

FB
DE.

EA
FC =

E'B
F'C.

F'A

E'D (16)
Từ (16) => EA

ED
E'D
E'B =

F'A
F'C

FC
FB (17)
Nhân 2 vế của (17) với KB

KA và từ (1) ta có:
KB

KA
EA
ED

E'D
E'B =

KB
KA

F'A
F'C

FC

FB = 1 (18)

Hệ thức (18) cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy ra 3 điểm K; E; E' thẳng hàng từ đó suy ra
3 đưừng thẳng EE'; FF' AB đồng qui tại K

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

y
x
t
d
y
x
d
y
x'
d

HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 3:

Lật ngược vấn đề của bài tốn gốc ta sẽ có bài toán chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định sau:

Bài 2.3:

Cho góc xOy. Đường thẳng d thay đổi cắt các tia Ox, Oy tại M, N. Biết rằng giá trị biểu thức 1
OM +

1

ON có giá trị
không đổi khi d thay đổi. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định.

Hình 19
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 2: Thay đổi vị trí của I bằng cách lấy

I là 1 điểm bất kỳ nằm ngồi góc xOy

Bài 2.2_{: Cho 2 đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O}

điểm I cố định nằm ngồi góc xOy. Đường thẳng d thay đổi
luôn qua I cắt các tia Ox, Oy tại M, N. Qua I vẽ các đường
thẳng song song với xx' và yy' chúng cắt xx', yy' tại D, E
Chứng minh rằng biểu thức: OD

OM -
OE

ON có giá trị khơng
đổi

Lời giải: (Hình 19)
Ta có: OD

OM -
OE
ON =

IE
OM -

ID
ON =

IN
NM -

IM
NM = -1
=> OD

OM -
OE
ON = -1

Hình 18
Từ cách giả của bài tốn trên ta có các hướng mở rơng bài tốn

như sau:

HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 1: Thay đổi vị trí của điểm I bằng cách lấy
I là 1 điểm bất kỳ nằm trong góc xOy ta sẽ có bài tốn sau:

Bài tốn 2.1_:

Cho góc xOy và điểm I cố định nằm ở miền trong góc xOy. Đường
thẳng d thay đổi luôn qua I cắt Ox , Oy tại M, N.

Qua I vẽ các đường thẳng song song với Ox , Oy, chúng cắt Ox, Oy
tại D, E.

Chứng minh rằng biểu thức: OD
OM+

OE

ON có giá trị khơng đổi
LỜI GIẢI: (Hình 18)

Bạn đọc hãy giải bài tốn như cách giải bài toán 2.
Kết quả là: OD

OM+
OE

ON = 1 => (đpcm)

Hình 17
Lời giải: ( Hình 17)

Qua I vẽ các đường thẳng song song với Ox , Oy
các đường thẳng này cắt Ox, Oy tại D, E. Khi đó
các điểm D, E cố định và OEID là hình thoi. Ta
đặt OD = a khơng đổi.

Ta có:
EI
OM +

ID
ON =

NI

NM+

MI
NM =

NI +MI
NM = 1
=> a

OM+
a

ON = 1 =>
1
OM +

1
ON =

1
a= const

BÀI TỐN XUẤT PHÁT 2:_{Cho góc xOy và 1 điểm I cố định trên tia phân giác Ot . Đường thẳng d thay đổi luôn đi qua I, cắt các}

tia Ox, Oy tại M, N. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức : 1
OM +

1

ON có giá trị không thay đổi khi d thay đổi nhưng luôn qua I

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

x

y
d

d

Hình 21
HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 4: Thay giả thiết góc xOy bằng tam giác ABC và điểm cố

định I nằm trong tam giác ABC ta có bài toán sau:
Bài 2.5

Cho tam giác ABC. I là giao điểm 3 đường phân giác trong, đường thẳng d thay
đổi luôn qua I cắt các cạnh AB, AC và tia CB tại M, N, P. Chứng minh giá trị của
biểu thức: AB

AM.BM +
AC
AN.CN -

BC

BP.CP có giá trị không đổi khi d thay đổi và
luôn qua I

Lời giải: (Hình 21)

Qua I vẽ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác ABC chúng cắt

AB,BC,CA tại G, F, E, S, R, K. Khi đó ta có AGIK, BEIF, CRIS là các hình thoi
Ta có: gócBMP = gócFMI > gócMBI = gócIBE = gócBIF > gócFIM = gócBPM
Suy ra: BP > BM

Đặt AG = a; BE = b; CR = c

áp dụng kết quả bàitoán gốc và các bài 2.2 và 2.3 ta có:
1

AM +
1
AN =

1
a;

1
CN +

1
CP =

1
b;

1
BM -

1
BP =

1
c
Cộng từng vế các đẳng thức này ta có:

1
AM +

1
AN +

1
CN +

1
CP +

1
BM -

1
BP =

1
a+
1
b+
1
c
=> ( 1

AM+
1
BM)+(
1
AN+
1
CN)+(
1
CP
-1
BP) =

1
a+
1
b+
1
c
=> AB

AM.BM+
AC
AN.CN

-BC
BP.CP =

1
a+

1
b+

1
c = Const

Lời giải: (Hình 20)

Tương tự cách giải bài 2.3 ta đặt 1
OM +

k
ON =

1

a (1) (a > 0 cho trước)

Lấy D trên Ox sao cho OD = a thì OD < OM . Qua D kẻ song song với Oy cát MN tại I.
Lấy E trên Oy sao cho OE = ID khi đó OEID là hình bình hành

áp dụng kết quả bài 2.1 ta có: OD
OM+

OE
ON = 1 =>

1

OM +

OE
OD.ON =

1
OD =

1
a (2)
Từ (1) và (2) => 1

OM +
k
ON =

1
OM +

OE

OD.ON => k =
OE

OD => OE = K.OD (3)

Hệ thức (3) chứng tỏ E cố định. Hình bình hanh OEID có E, O, D cố định nên I cũng là
điểm cố định

Sâu hơn 1 chút từ bài 2.3 ta có thể đưa ra bài tốn tơng qt hơn

như sau:

Bài 2.4

Cho góc xOy. 1 đường thẳng d thay đổi luôn cắt Ox, Oy tại
M, N.

Gỉa sử tồn tại số thực k sao cho 1
OM +

k

ON có giá trị khơng đổi.
Chứng minh rằng d ln đi qua 1 điểm cố định.

Hình 20
Lời giải:(Hình 20)

Gỉa sử: 1
OM +

1
ON =

1

a (1) (a > 0 cho trước)

Lấy D trên Ox sao cho OD = a thì OD < OM . Qua D kẻ song song với Oy cát MN tại I. Lấy E trên Oy sao cho OE = ID khi đó OEID là
hình bình hành

áp dụng kết quả bài 2.1 ta có: OD
OM+

OE
ON = 1 =>

1
OM +

OE
OD.ON =

1
OD =

1
a (2)
Từ (1) và (2) => 1

OM +
1
ON =

1
OM +

OE
OD.ON =>

OE

OD = 1 => OE = OD (3)

Hệ thức (3) cùng với chú ý D cố định ta suy ra E cố định => I cố định ( vì OEID là hình bình hành)
vậy đường thẳng d ln đi qua điểm cố định I

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

d

Hình 22

Bài 2.7

Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng d thay đổi cắt các đường thẳng AB, AD, AC tai M, N, P.
Chứng minh rằng: AB

AM +
AD
AN =

AC
AP

HƯỚNG MỞ RỘNG THỨ 5: Đặc biệt hoá bài 2.5 bằng cách cho tam giác ABC là tam giác đều có cạnh bằng a ta sẽ có
bài tốn mới sau đây

Bài 2.6

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 3. I là giao điểm 3 đường phân giác, đường thẳng d thay đổi luôn qua I cắt AB,
AC, và tia CB tại M, N, P

a.Chứng minh: 1
AM.BM+

1
AN.CN

-1
BP.CP = 1
b.Chứng minh: 1

IM2 +

1
IN2 +

1
IP2 = 2

* Bạn đọc tự giải theo cách giải bài 2.5

F
G

M

P
N

A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

KẾT LUẬN :

Qua phần nội dung đã trình bày ở trên ta thấy việc khai thác các bài tập học sinh sẽ :
-Được củng cố 1 hệ thống kiến thức cơ bản và nâng cao

-Được phát triển tư duy, kỹ năng sáng tạo
-cảm thấy rất hứng thú trong quá trình học tập

-Tự tin hơn khi phải đối mặt với những bài tốn khó, những bài tốn lạ

-Khơng xem thường những bài tốn cơ bản bởi vì các bài tốn đơn giản là bắt đầu của sự sáng tạo
-Có thái độ tích cực hơn khi học tập tốn, say sưa tìm tịi khám phá những góc khuất trong mỗi bài
tốn để sáng tạo nên bài tập mới

-Kiến thức toán được nâng cao

BAØI HỌC RÚT RA:

*Đổi mới dạy học là 1 q trình, song mỗi giáo viên cần có ý thức tìm tịi những phương pháp dạy
học phù hợp với từng loại bài tập và từng đôi tượng HS theo phương pháp dạy học mới là lấy HS
làm trung tâm, tích cực hố các hoạt động của HS trong q trình học tập

*Học sinh THCS cịn ở độ tuổi thiếu niên, khả năng tư duy, khái quát còn hạn chế. Do đó khi đứng
trước các bài tốn khó việc tìm ra lời giải đã khó chứ chưa nói gì đến việc sáng tạo. Vì vậy
người giáo viên cần có sự đầu tư để có phương pháp dạy thích hợp để mỗi HS đều có thể tự tin
trong học tập và sáng tạo

*Chuyên đề""Rèn luyện năng lực tư duy và khả năng sáng tạo thông qua việc khai thác kết quả bài
toán gốc để sáng tạo ra các bài tốn mới"" là một ví dụ nhỏ minh hoạ cho 1 ý tương khơng nhỏ
theo một nghĩa nào đó.Qua chun đề này tôi mong muốn gửi đến đồng nghiệp 1 chút kinh nghiệm

nhỏ mà tôi đã thực hiện cùng với những HS khá giỏi tốn của trường THCS Tơn Quang Phiệt
trong năm học 2007 -2008

*Cuối cùng xin tóm lại điều quan trọnh nhất: ""Trong cuộc sống cũng như trong dạy học tốn khơng
có cái tầm thường và cũng khơng có bài tốn nào tầm thường cả, trước mỗi bài toán hãy dành thời
gian nắm bắt các yếu tố vàø định hướng trong suy nghĩ, chứ đừng cảm nhận quá nhiều""

Thiết nghĩ đó là 1 kinh nghiệm dạy học mơn toán./.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

B. ĐỀ NGHỊ:

Thay mặt hội đồng xét SKKN

A. ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

PHẦN ĐÁNH GIÁ NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG XÉT SKKN CẤP HUYỆN

A. ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI

B. ĐỀ NGHỊ:

</div>

<!--links-->