Tài liệu ôn toán - Bài tập hình học lớp 12 - phần 5

Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
Cho mặt phẳng (a) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.
· (a) và (S) khơng có điểm chung
Û d ( I ,(a )) > R
· (a) tiếp xúc với (S)
Û d ( I ,(a )) = R
((a) là tiếp diện)
Khi đó tiếp điểm H của (a) và (S) là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
· (a) cắt (S) theo một đường tròn
Û d ( I ,(a )) < R
Khi đó tâm H của đường trịn giao tuyến là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
Bán kính r của đường tròn giao tuyến: r = R 2 - IH 2
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
ì( P ) : 2 x + 2 y + z - 1 = 0
ì( P ) : 2 x - 3y + 6 z - 9 = 0
b) í
a) í
2
2
2
2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z - 6 x - 2 y + 4z + 5 = 0
ỵ(S ) : ( x - 1) + ( y - 3) + ( z + 2) = 16
ì( P ) : x + y - 2 z - 11 = 0

c) í
2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z + 2 x - 4 y - 2 z + 2 = 0
ì( P ) : x + 2 y + 2 z = 0
e) í
2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 2 z + 10 = 0

ì( P ) : x - 2 y + 2z + 5 = 0
d) í
2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z - 6 x - 4 y - 8z + 13 = 0
ì( P ) : z - 3 = 0
f) í
2
2
2
ỵ(S ) : x + y + z - 6 x + 2 y - 16 z + 22 = 0

Bài 2. Biện luận theo m, vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S):
a) ( P ) : 2 x - 2 y - z - 4 = 0;

(S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2(m - 1) x + 4my + 4z + 8m = 0

b) ( P ) : 4 x - 2 y + 4 z - 5 = 0;

(S ) : ( x - 1)2 + ( y + 2)2 + (z - 3)2 = (m - 1)2

c) ( P ) : 3x + 2 y - 6z + 7 = 0;

(S ) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + (z + 1)2 = (m + 2)2

d)
Baøi 3.
a)
c)
Baøi 4.

( P ) : 2 x - 3y + 6z - 10 = 0;
(S ) : x 2 + y 2 + z2 + 4mx - 2(m + 1) y - 2z + +3m 2 + 5m - 4 = 0
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
I (3; -5; -2), (P ) : 2 x - y - 3z + 1 = 0
b) I (1; 4; 7), ( P ) : 6 x + 6 y - 7 z + 42 = 0
I (1;1; 2), ( P ) : x + 2 y + 2z + 3 = 0
d) I (-2;1;1), ( P ) : x + 2 y - 2 z + 5 = 0
Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước:

a) (S ) : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 + ( z + 2)2 = 24 tại M(-1; 3; 0)
b) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 6 x - 2 y + 4 z + 5 = 0 tại M(4; 3; 0)
c) (S ) : ( x - 1)2 + ( y + 3)2 + (z - 2)2 = 49 tại M(7; -1; 5)
d) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 2 y - 2z - 22 = 0 và song song với mặt phẳng 3 x - 2 y + 6z + 14 = 0 .
e) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y + 2z - 11 = 0 và song song với mặt phẳng 4 x + 3z - 17 = 0 .
f) (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y + 4 z = 0 và song song với mặt phẳng x + 2 y + 2z + 5 = 0 .
g) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0 và chứa đường thẳng d : x = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + 1

h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1),
D(4; 1; 0).
i) Tiếp xúc với mặt cầu: x 2 + y 2 + z 2 - 10 x + 2 y + 26 z - 113 = 0 và song song với 2 đường
thẳng: d1 :

x + 5 y - 1 z + 13
x + 7 y +1 z - 8
=
=
, d1 :
=
=
.
2
-3
2
3
-2
0

Trang 39


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng
Bài 1. Cho tứ diện ABCD.
· Viết phương trình các mặt của tứ diện.

· Viết phương trình mặt phẳng chứa một cạnh và song song với cạnh đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và song song với mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt phẳng đi qua cạnh AB và vng góc với (BCD).
· Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh tứ diện.
· Tìm toạ độ các điểm A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm A, B, C, D
qua các mặt đối diện.
· Tính khoảng cách từ một đỉnh của tứ diện đến mặt đối diện.
· Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm I và bán kính R
của (S).
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) tại các đỉnh A, B, C, D của tứ diện.
· Viết phương trình các tiếp diện của (S) song song với các mặt của tứ diện.
a) A ( 5;1; 3) , B (1; 6; 2 ) , C ( 5; 0; 4 ) , D ( 4; 0; 6 ) b) A (1;1; 0 ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; 2 ) , D (1;1;1)

c) A ( 2; 0; 0 ) , B ( 0; 4; 0 ) , C ( 0; 0; 6 ) , D ( 2; 4; 6 ) d) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8)
f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2)
e) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0)
Baøi 2. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) lần lượt cắt ba trục toạ độ tại các điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0),
C(0; 0; –3) và E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1).
a) Tìm phương trình tổng qt của (P) và (Q).
b) Tính độ dài đường cao của hình chóp O.ABC.
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q).
Baøi 3. Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) và D(1; 3; 3).
a) Chứng minh ABCD là một tứ diện đều.
b) Chứng minh tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối đơi một vng góc.
c) Tìm phương trình tổng qt của các mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).
d) Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: (ABC) và (ABD), (BCD) và (ACD).

Trang 40

Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong khơng gian

IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
· Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
r
a = (a1; a2 ; a3 ) :
ì x = xo + a1t
ï
(d ) : í y = yo + a2 t
ïz = z + a t
3
o
ỵ
· Nếu a1a2 a3 ¹ 0 thì (d ) :

( t Ỵ R)

x - x0 y - y0 z - z0
=
=
đgl phương trình chính tắc của d.
a1
a2
a3

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng d, d¢ có phương trình tham số lần lượt là:

ì x = x0 + ta1
ì x = x0¢ + t ¢a1¢
ï
ï
và
d : í y = y0 + ta2
d ¢ : í y = y0¢ + t ¢a2¢
ï z = z + ta
ï z = z¢ + t ÂaÂ
ợ
0
3
ợ
0
3
r r
ỡa, a cuứng phửụng
ù
ù ỡ x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
· d // d¢ Û í ï
hệ y + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t , t Â) voõ nghieọm
ù ớ 0
ùợ ùợ z0 + ta3 = z0¢ + t ¢a3¢
r
r r
r r
ìï[ ar , ar¢] = 0
¢ cùng phương
ìa, auuuuuur
ìa, a¢ cùng phương

r
Û í
Û ír
Û í r uuuuuur
é a, M M ¢ ù ạ 0
Â
a
,
M
M
khoõ
n
g
cuứ
n
g
phửụng
ợ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ẽ d Â
ùợở
0 0
ợ
0 0ỷ
ỡ x0 + ta1 = x0Â + t ¢a1¢
ï
· d º d¢ Û hệ í y0 + ta2 = y0¢ + t ¢a¢2 (ẩn t, t ¢) có vô số nghiệm
ï z + ta = z¢ + tÂaÂ
3
0
3
ợ 0

r r
r r uuuuuur
ỡa, a cuứng phửụng
ớ
a, aÂ, M0 M0Â ủoõi moọt cuứng phửụng
ợ M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ẻ d Â
r
r r
r uuuuuur
Û [ a , a¢] = ëé a , M0 M0¢ ûù = 0
ì x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢
ï
· d, d¢ cắt nhau Û hệ í y0 + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (ẩn t, t¢) có đúng một nghiệm
ïz + ta = z¢ + t ÂaÂ
ợ0
3
0
3
r
r r
r r
ỡ
ỡa, a khoõ
[
Â
]
n
g
cuứ
n

g
phửụng
ạ
a
,
a
0
ù
ớ r r uuuuuur
ớ r r uuuuuur
Â
Â
a
a
M
M
ủo
n
g
phaỳ
n
g
,
,
ùợ[ a , aÂ] .M0 M0Â = 0
0 0
ợ
r r
ỡa, a khoõng cuứng phửụng
ùù ỡ x0 + ta1 = x0¢ + t ¢a1¢

· d, d¢ chéo nhau Û í ï
hệ y + ta2 = y0¢ + t ¢a2¢ (aồn t , t Â) voõ nghieọm
ù ớ 0
ùợ ùợ z0 + ta3 = z0¢ + t ¢a3¢
r r uuuuuur
r r uuuuuur
Û a, a¢, M0 M0¢ không đồng phẳng Û [ a , aÂ] .M0 M0Â ạ 0
r r
rr
à d ^ d¢ Û a ^ a¢
Û a.a¢ = 0
Trang 41


PP Toạ độ trong khơng gian

Trần Sĩ Tùng

3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
ì x = x0 + ta1
ï
Cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: í y = y0 + ta2
ïz = z + ta
ỵ
0
3
A( x0 + ta1 ) + B( y0 + ta2 ) + C (z0 + ta3 ) + D = 0 (ẩn t)

Xét phương trình:

4.

5.

6.

7.
8.

9.

(*)

· d // (a) Û (*) vơ nghiệm
· d cắt (a) Û (*) có đúng một nghiệm
· d Ì (a) Û (*) có vơ số nghiệm
Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
ì x = x0 + ta1
ï
Cho đường thẳng d: í y = y0 + ta2 (1) và mặt cầu (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R 2 (2)
ïz = z + ta
ỵ
0
3
Để xét VTTĐ của d và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*).
· d và (S) khơng có điểm chung Û (*) vơ nghiệm
Û d(I, d) > R
· d tiếp xúc với (S) Û (*) có đúng một nghiệm
Û d(I, d) = R
· d cắt (S) tại hai điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phân biệt

Û d(I, d) < R
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)
r
Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M.
uuuuur
é M M , ar ù
ë 0
û
d(M , d) =
r
a
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
r
r
d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2
r r uuuuuur
éë a1 , a2 ùû . M1M2
d (d1, d2 ) =
r r
éë a1, a2 ùû
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt
phẳng (a) chứa d2 và song song với d1.
Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng (a) song song với nó bằng khoảng cách từ một
điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng (a).
Góc giữa hai đường thẳng
r r
Cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có các VTCP a1 , a2 .
r r

Góc giữa d1, d2 bằng hoặc bù với góc giữa a1 , a2 .
r r
a1.a2
r r
cos ( a1, a2 ) = r r
a1 . a2
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
r
r
Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng (a) có VTPT n = ( A; B; C ) .
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d¢ của
nó trên (a).
Aa1 + Ba2 + Ca3
sin ·
d ,(a ) =
A2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a32

(

)

Trang 42


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

r
Dạng 1: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) :
ì x = xo + a1t
ï
(d ) : í y = yo + a2 t
ùz = z + a t
3
o
ợ

( t ẻ R)

Dng 2: d đi qua hai điểm
uuurA, B:
Một VTCP của d là AB .
Dạng 3: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng D cho trước:
Vì d // D nên VTCP của D cũng là VTCP của d.
Dạng 4: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vng góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d ^ (P) nên VTPT của (P) cũng là VTCP của d.
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):
· Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.
ì( P)
– Tìm toạ độ một điểm A Ỵ d: bằng cách giải hệ phương trình í
(với việc chọn giá trị
ỵ(Q)
cho một ẩn)
r
r r
– Tìm một VTCP của d: a = éë nP , nQ ùû
· Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Dạng 6: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:
r
r r
Vì d ^ d1, d ^ d2 nên một VTCP của d là: a = é ad , ad ù
ë 1 2û
Dạng 7: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vng góc và cắt đường thẳng D.

· Cách 1: Gọi H là hình chiếu vng góc của M0 trờn ng thng D.
ỡH
ẻD
ớuuuuur r
ợ M0 H ^ aV
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M0, H.
· Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vng góc với d; (Q) là mặt phẳng đi qua A và
chứa d. Khi đó d = (P) Ç (Q)
Dạng 8: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2:
· Cách 1: Gọi M1 Ỵ d1, M2 Ỵ d2. Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm được M1, M2. Từ đó
suy ra phương trình đường thẳng d.
· Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) = ( M0 , d2 ) . Khi đó d = (P) Ç (Q). Do đó, một VTCP của d
r
r r
có thể chọn là a = éë nP , nQ ùû .
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Tìm các giao điểm A = d1 Ç (P), B = d2 Ç (P). Khi đó d chính là đường thẳng AB.
Dạng 10: d song song với D và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D và d1, mặt phẳng (Q) chứa D và d2.
Khi đó d = (P) Ç (Q).
Dạng 11: d là đường vng góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:
ì MN ^ d1
· Cách 1: Gọi M Î d1, N Î d2. Từ điều kiện í

, ta tìm được M, N.
ỵ MN ^ d2
Khi đó, d là đường thẳng MN.
· Cách 2:
Trang 43


PP Toạ độ trong khơng gian

Trần Sĩ Tùng

r
r r
– Vì d ^ d1 và d ^ d2 nên một VTCP của d có thể là: a = é ad , ad ù .
ë 1 2û
– Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d1, bằng cách:
+ Lấy một điểm A trên d1.
r
r r
+ Một VTPT của (P) có thể là: nP = é a , ad ù .
ë
1û
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và d2.
Khi đó d = (P) Ç (Q).
Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng D lên mặt phẳng (P):
· Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa D và vng góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
– Lấy M Ỵ D.
r
r r
– Vì (Q) chứa D và vng góc với (P) nên nQ = éë aD , nP ùû .

Khi đó d = (P) Ç (Q).
Dạng 13: d đi qua điểm M, vng góc với d1 và cắt d2:
· Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2. Từ điều kiện MN ^ d1, ta tìm được N.
Khi đó, d là đường thẳng MN.
· Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với d1.
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và d2.
Khi đó d = (P) Ç (Q).
Bài 1.
a)
d)
Bài 2.
a)
d)
Bài 3.
D
a)

r
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP a cho trước:
r
r
r
M (1; 2; -3), a = (-1;3; 5)
b) M (0; -2; 5), a = (0;1; 4)
c) M (1;3; -1), a = (1; 2; -1)
r
r
r
M (3; -1; -3), a = (1; -2; 0)

e) M (3; -2; 5), a = (-2; 0; 4) f) M (4;3; -2), a = (-3; 0; 0)
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước:
A ( 2; 3; -1) , B (1; 2; 4 )
b) A (1; -1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )
c) A ( 3;1; -5 ) , B ( 2;1; -1)

A ( 2;1; 0 ) , B ( 0;1; 2 )
e) A (1; 2; -7 ) , B (1; 2; 4 )
f) A ( -2;1; 3) , B ( 4; 2; -2 )
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng
cho trước:
A ( 3; 2; -4 ) , D º Ox
b) A ( 2; -5; 3) , D ñi qua M (5; 3; 2), N (2;1; -2)

ì x = 2 - 3t
ï
c) A(2; -5; 3), D : í y = 3 + 4t
ïỵz = 5 - 2t

d) A(4; -2; 2), D :

x + 2 y -5 z- 2
=
=
4
2
3

ì x = 3 + 4t
ï

e) A(1; -3; 2), D : í y = 2 - 2t
ïỵ z = 3t - 1

f) A(5; 2; -3), D :

x + 3 y -1 z + 2
=
=
2
3
4

Bài 4. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với mặt phẳng (P)
cho trước:
a) A ( -2; 4; 3) , (P) : 2 x - 3y + 6z + 19 = 0
b) A (1; -1; 0 ) , ( P ) : các mp toạ độ
c) A ( 3; 2;1) , ( P) : 2 x - 5y + 4 = 0
d) A(2; -3; 6), ( P ) : 2 x - 3y + 6z + 19 = 0
Baøi 5. Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho
trước:
ì( P ) : 6 x + 2 y + 2z + 3 = 0
ì( P ) : 2 x - 3y + 3z - 4 = 0
ì( P ) : 3 x + 3y - 4 z + 7 = 0
a) í
b) í
c) í
(
Q
)
:

3
x
5
y
2
z
1
=
0
(
Q
)
:
x
+
2
y
z
+
3
=
0
ỵ
ỵ
ỵ(Q) : x + 6 y + 2 z - 6 = 0
ì( P ) : 2 x + y - z + 3 = 0
ì( P ) : x + z - 1 = 0
ì( P ) : 2 x + y + z - 1 = 0
d) í
e) í

f) í
ỵ(Q) : x + y + z - 1 = 0
ỵ(Q) : y - 2 = 0
ỵ(Q) : x + z - 1 = 0
Trang 44


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong khơng gian

Bài 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với hai đường
thẳng d1, d2 cho trước:
ì x = 1 + 2t
ìx = 1- t '
ìx = 1+ t
ì x = 1 + 3t '
ï
ï
ï
ï
b) A(2; -1;1), d1 : í y = -2 + t , d2 : í y = -2 + t '
a) A(1; 0; 5), d1 : í y = 3 - 2t , d2 : í y = 2 + t '
ïỵ z = 1 + t
ïỵz = 1 - 3t '
ïỵ z = 3
ïỵ z = 3 + t '
ìx = 1- t
ìx = 1
ì x = -7 + 3t

ìx = 1+ t '
ï
ï
ï
ï
c) A(1; -2; 3), d1 : í y = -2 - 2t , d2 : í y = -2 + t ' d) A(4;1; 4), d1 : í y = 4 - 2t , d2 : í y = -9 + 2t '
ïỵ z = 3 - 3t
ïỵ z = 3 + t '
ïỵ z = 4 + 3t
ïỵ z = -12 - t '
ì x = 1 + 3t
ì x = 2t '
ìx = t
ìx = t '
ï
ï
ï
ï
e) A(2; -1; -3), d1 : í y = 1 + t , d2 : í y = -3 + 4t ' f) A(3;1; -4), d1 : í y = 1 - t , d2 : í y = 1 - 2t '
ïỵ z = -2 + 2t
ïỵ z = 2 - t '
ïỵ z = -2t
ïỵ z = 0

Bài 7. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vng góc và cắt đường thẳng
D cho trước:
ìx = t
ì x = -3 + 2t
ï
ï

a) A(1; 2; -2), D : í y = 1 - t
b) A(-4; -2; 4), D : í y = 1 - t
ïỵ z = 2t
ïỵ z = -1 + 4t
ì x = 1 + 3t
ìx = t
ï
ï
d) A(3;1; -4), D : í y = 1 - t
c) A(2; -1; -3), D : í y = 1 + t
ïỵ z = -2t
ïỵ z = -2 + 2t
ìx = 1- t
ìx = 1+ t
ï
ï
e) A(1; -2; 3), D : í y = -2 - 2t
f) A(2; -1;1), D : í y = -2 + t
ïỵ z = 3 - 3t
ïỵ z = 3
Bài 8. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2
cho trước:
ì x = 1 + 2t
ìx = 1- t '
ìx = 1+ t
ì x = 1 + 3t '
ï
ï
ï
ï

a) A(1; 0; 5), d1 : í y = 3 - 2t , d2 : í y = 2 + t '
b) A(2; -1;1), d1 : í y = -2 + t , d2 : í y = -2 + t '
ïỵ z = 1 + t
ïỵz = 1 - 3t '
ïỵ z = 3
ïỵ z = 3 + t '
ì x = -1 + 3t
ì x = 2 + 2t '
ì x = 1 + 3t
ì x = -t '
ï
ï
ï
ï
c) A(-4; -5; 3), d1 : í y = -3 - 2t , d2 : í y = -1 + 3t ' d) A(2;1; -1), d1 : í y = -2 + 4t , d2 : í y = t '
ïỵ z = 2 - t
ïỵ z = 1 - 5t '
ïỵ z = -3 + 5t
ïỵ z = 2t '
ìx = 2 + t
ì x = -4 + 3t '
ì x = -3 + 3t
ì x = 3 + 2t '
ï
ï
ï
ï
e) A(2; 3; -1), d1 : í y = 1 - 2t , d2 : í y = 1 + t '
f) A(3; -2; 5), d1 : í y = 1 + 4t , d2 : í y = 1 - t '
ïỵ z = 1 + 3t

ïỵ z = -2 + 3t '
ïỵ z = 2 + 2t
ïỵz = 2 - 3t '
Bài 9. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường
thẳng d1, d2 cho trước:
ì( P ) : y + 2 z = 0
ì( P ) : 6 x + 2 y + 2z + 3 = 0
ïï
ïï ì x = 1 + 2t
ìx = 2 - t
ìx = 1- t '
a) í
b) í ï
ï
ï
x -1 y z
ïd1 : -1 = 1 = 4 , d2 : í y = 4 + 2t
ïd1 : í y = 3 - 2t , d2 : í y = 2 + t '
ïỵ z = 1
ïỵz = 1 - 3t '
ïỵ
ỵï ïỵ z = 1 + t
ì( P ) : 2 x - 3y + 3z - 4 = 0
ì( P ) : 3 x + 3y - 4 z + 7 = 0
ïï
ïï ì x = 1 - t
ì x = -7 + 3t
ìx = 1+ t '
ìx = 1
c) í

d) í ï
ï
ï
ï
ï d1 : í y = 4 - 2t , d2 : í y = -9 + 2t '
ïd1 : í y = -2 - 2t , d2 : í y = -2 + t '
ïỵ z = 4 + 3t
ïỵ z = -12 - t '
ïỵ z = 3 + t '
ỵï
ỵï ïỵ z = 3 - 3t
Bài 10. Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng D và cắt cả hai
đường thẳng d1, d2 cho trước:
Trang 45


PP Toạ độ trong khơng gian

Trần Sĩ Tùng

ì x y -1 z - 5
ì x y -1 z - 1
ï D : 3 = -1 = 1
ïD : 2 = -1 = 2
ïï
ïï
x + 1 y z -1
x -1 y + 2 z - 2
b) íd1 :
a) íd1 :

= =
=
=
1
2 -1
1
4
3
ï
ï
ïd : x - 2 = y + 1 = z + 3
ïd : x + 4 = y + 7 = z
ïỵ 2
ïỵ 2 5
3
2
1
9
1
ì x -1 y + 2 z - 2
ì x +1 y + 3 z - 2
ïD : 1 = 4 = 3
ï D : 3 = -2 = -1
ï
ïï
x - 2 y + 2 z -1
x -1 y + 2 z - 2
ï
=
=

d) íd1 :
c) íd1 :
=
=
3
4
1
1
4
3
ï
ï
x
7
y
3
z
-9
ïd :
x+4 y+7 z
ï
=
=
d
=
=
:
2
ïỵ
ï 2 5

1
2
-1
9
1
ỵ
Bài 11. Viết phương trình tham số của đường thẳng vng góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau d1, d2 cho trước:
ì x = 3 - 2t
ì x = 2 + 3t '
ì x = 1 + 2t
ì x = -2 + 3t '
ï
ï
ï
ï
a) d1 : í y = 1 + 4t ,
b) d1 : í y = -3 + t ,
d2 : í y = 4 - t '
d2 : í y = 1 + 2t '
ïỵ z = 2 + 3t
ïỵ z = -4 + 4t '
ïỵ z = -2 + 4t
ïỵ z = 1 - 2t '
ì x = 2 + 2t
ìx = 1+ t '
ì x = 2 + 3t
ì x = -1 + 2t '
ï
ï

ï
ï
c) d1 : í y = 1 + t ,
d2 : í y = 3 + t '
d) d1 : í y = -3 - t ,
d2 : í y = 1 - 2t '
ïỵ z = 3 - t
ïỵ z = 1 + 2t '
ïỵ z = 1 + 2t
ïỵ z = 2 + t '
Bài 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng D trên mặt
phẳng (P) cho trước:
ì x + 2 y - 3 z -1
ì x -3 y-2 z+2
ïD :
ï
=
=
a) í
b) íD : -1 = 2 = 3
2
-1
3
ïỵ( P ) : 2 x - y + 2z + 3 = 0
ïỵ( P ) : 3 x + 4 y - 2z + 3 = 0
ì x +1 y -1 z - 3
ì
x y z -1
ïD :
ïD :

=
=
= =
c) í
d)
í
1
2
-2
-2 1
1
ïỵ( P ) : 2 x - 2 y + z - 3 = 0
ïỵ( P ) : x + y - z + 1 = 0
ì x - 2 y + 2 z -1
ï
e) íD : 3 = 4 = 1
ïỵ( P ) : x + 2 y + 3z + 4 = 0

ì x -1 y - 2 z
ï
f) íD : 1 = -2 = -1
ïỵ( P ) : 2 x - y - 3z + 5 = 0

ì ì5 x - 4 y - 2 z - 5 = 0
ì ìx - y - z -1 = 0
ïD : í
ïD :
g) í ỵ x + 2z - 2 = 0
h) í íỵ x + 2z - 2 = 0
ïỵ( P ) : 2 x - y + z - 1 = 0

ïỵ( P ) : x + 2 y - z - 1 = 0
Bài 13. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vng góc với đường thẳng d1
và cắt đường thẳng d2 cho trước:
ì x = -1
ï
x -1 y - 2 z
a) A(0;1;1), d1 :
=
= , d2 : í y = t
3
1
1
ïỵ z = 1 + t
ìx = 2
ï
x -1 y + 1 z
=
= , d2 : í y = 1 + 2t
b) A(1;1;1), d1 :
2
-1 1
ïỵz = -1 - t
x +1 y - 4 z
x -1 y +1 z - 3
c) A(-1; 2; -3), d1 :
=
= , d2 :
=
=
6

-2
-3
3
2
-5
Baøi 14. Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1); D(1; 1; 1). Viết phương trình tham
số của các đường thẳng sau:
Trang 46


Trần Sĩ Tùng

PP Toạ độ trong không gian

a) Chứa các cạnh của tứ diện tứ diện ABCD.
b) Đường thẳng qua C và vng góc với mp(ABD).
c) Đường thẳng qua A và qua trọng tâm của tam giác BCD.
Baøi 15. Cho tam giác ABC có A(1; 2; 5) và hai trung tuyến: (d1 ) :

x -3 y -6 z -3
=
=
,
-2
2
1

x-4 y-2 z-2
. Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau:
=

=
1
1
-4
a) Chứa các cạnh của tam giác ABC.
b) Đường phân giác trong của góc A.
Bài 16. Cho tam giác ABC có A(3; -1; -1), B(1; 2; -7), C (-5;14; -3) . Viết phương trình tham số của
các đường thẳng sau:
a) Trung tuyến AM.
b) Đường cao BH.
c) Đường phân giác trong BK.
d) Đường trung trực của BC trong DABC.
Baøi 17. Cho bốn điểm S(1; 2; -1), A(3; 4; -1), B(1; 4;1), C(3; 2;1) .
a) Chứng minh S.ABC là một hình chóp.
b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp.
c) Viết phương trình đường vng góc chung của SA và BC.
Bài 18. Cho bốn điểm S(1; -2; 3), A(2; -2; 3), B(1; -1; 3), C (1; -2; 5) .
a) Chứng minh S.ABC là một tứ diện.
b) Viết phương trình các hình chiếu của SA, SB trên mặt phẳng (ABC).
(d 2 ) :

Trang 47


PP Toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Để xét VTTĐ giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:

· Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ giữa các VTCP và các điểm thuộc các đường
thẳng.
· Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm của hệ phương trình các đường thẳng.
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d1, d2 cho trước:
x -1 y + 2 z - 4
=
=
;
d2 : { x = -1 + t; y = -t; z = -2 + 3t
a) d1 :
-2
1
3
b) d1 : { x = 5 + 2t; y = 1 - t; z = 5 - t ;
d2 : { x = 3 + 2t '; y = -3 - t '; z = 1 - t '
c) d1 : { x = 2 + 2t; y = -1 + t; z = 1;

d2 : { x = 1; y = 1 + t '; z = 3 - t '

x -1 y - 2 z - 3
=
=
;
9
6
3
x -1 y + 5 z - 3
e) d1 :
=
=

;
2
1
4
x - 2 y z +1
f) d1 :
=
=
;
4
-6 -8
ì x - 2y + 2z - 2 = 0
g) d1 : í
;
ỵ2 x + y - 2 z + 4 = 0

x -7 y-6 z-5
=
=
6
4
2
x - 6 y +1 z + 3
d2 :
=
=
3
2
1
x -7 y-2 z

d2 :
=
=
-6
9
12
ì2 x + y - z + 2 = 0
d2 : í
ỵ x - y + 2z -1 = 0
ì2 x - 3y - 3z - 9 = 0
d2 : í
ỵ x - 2y + z + 3 = 0

d) d1 :

h) d1 : { x = 9t; y = 5t; z = t - 3;

d2 :

Baøi 2. Chứng tỏ rằng các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau. Viết phương trình đường vng
góc chung của chúng:
a) d1 : { x = 1 - 2t; y = 3 + t; z = -2 - 3t ; d2 : { x = 2t '; y = 1 + t '; z = 3 - 2t '
b) d1 : { x = 1 + 2t; y = 2 - 2t; z = -t;

c) d1 : { x = 3 - 2t; y = 1 + 4t; z = 4t - 2;

d2 : { x = 2t '; y = 5 - 3t '; z = 4

d2 : { x = 2 + 3t '; y = 4 - t '; z = 1 - 2t '

x - 2 y +1 z
x y -1 z + 1
=
= ;
d2 : =
=
3
-2
2
1
2
4
x -7 y -3 z-9
x - 3 y -1 z - 1
e) d1 :
=
=
;
d2 :
=
=
1
2
-1
-7
2
3
x - 2 y -1 z - 3
x - 3 y + 1 z -1
f) d1 :

=
=
;
d2 :
=
=
2
1
2
1
-2
-2
ì x - 2y + 2z - 2 = 0
ì2 x + y - z + 2 = 0
g) d1 : í
;
d2 : í
ỵ2 x + y - 2 z + 4 = 0
ỵ x - y + 2z -1 = 0
Bài 3. Tìm giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2:
a) d1 : { x = t; y = 1 - 2t; z = 3 + t ;
d2 : { x = 1 + t '; y = 2t '; z = 4 + t '
d) d1 :

b) d1 : { x = t; y = 1 + 2t; z = -4 - 3t ;

c) d1 : { x = t; y = 2 + 3t; z = -8 - 5t ;

d2 : { x = 1 + t '; y = -2 + t '; z = 3 - t '

d2 : { x = 2 + t; y = -7 - 2t; z = t

ì2 x + y + 1 = 0
ì3 x + y - z + 3 = 0
d) d1 : í
;
d2 : í
x
y
+
z
1
=
0
ỵ
ỵ2 x - y + 1 = 0
Bài 4. Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau. Khi đó tìm toạ độ giao điểm của chúng:
a) d1 : { x = 1 + mt; y = t; z = -1 + 2t ;
d2 : { x = 1 - t '; y = 2 + 2t '; z = 3 - t '
Trang 48