Chuyên đề 7: Hình học không gian - Chủ đề 7.2

BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

CHỦ ĐỀ : QUAN HỆ VNG GĨC. VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
I.

KIẾ
KIẾN THỨ
THỨC CƠ
CƠ BẢ
BẢN
1. Định nghĩa và các phép tốn:
Định nghĩa, tính chất và các phép tốn về vectơ trong khơng gian được xây dựng hồn tồn
tương tự như trong mặt phẳng.
Phép cộng, trừ vectơ:
• Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB + BC = AC .

• Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC .
• Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , ta có: AB + AD + AA ' = AC ' .
Lưu ý:
• Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
Hai vectơ a và b ( b ≠ 0 ) ⇔ ∃!k ∈ ℝ : a = k .b .
• Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k ≠ 1 ), điểm O tùy ý.
OA − kOB
1− k
• Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.

Ta có:

MA = k .MB

OM =

Ta có: IA + IB = 0
OA + OB = 2OI
• Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm ∆ ABC, điểm O tùy ý.
Ta có:

GA + GB + GC = 0

OA + OB + OC = 3OG

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ:
Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt
phẳng.
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó a và b khơng cùng
phương.

Khi đó: a, b, c đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ ℝ : c = m.a + n.b
Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý.

. + nb
. + p.c
Khi đó: ∃!m, n, p ∈ℝ : x = ma
3. Tích vơ hướng của hai vectơ:
Góc giữa hai vectơ trong khơng gian: Ta có: AB = u, AC = v .

Khi đó: ( u , v ) = BAC (00 ≤ BAC ≤ 1800 )

Tích vơ hướng của hai vectơ trong không gian:

( )

Cho u , v ≠ 0 . Khi đó: u.v = u . v .cos u , v
• Với u = 0 hoặc v = 0 , quy ước: u.v = 0
• Với u , v ≠ 0 , ta có: u ⊥ v ⇔ u.v = 0
II.

KỸ NĂNG CƠ BẢ
BẢN
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng cơng thức tính tích vơ hướng.

Xem các chun đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

1|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

• Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một
vectơ với một số).
• Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng
tâm của tam giác.
Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ , M

là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a , CB = b ,

AA ' = c . Khẳng định nào sau đây đúng?
1
1
A. AM = b − a + c .
B. AM = a − c + b .
2
2
Hướng dẫn :

1
C. AM = a + c − b .
2

1
D. AM = b + c − a .
2

1
1
AB + AB′ . Khi đó :
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1

AM = AB + AB ′ = AB + AB + BB ′ = AB + AA′ = AC + CB + AA′ = − a + b + c .
2
2
2
2
2
2
2
2
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song
với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng
• Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng
Ví dụ : Trong khơng gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và
đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:

Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì AM =

A. OA + OC = OB + OD .
1
1
C. OA + OB = OC + OD .
2
2
Hướng dẫn:

B. OA + OB + OC + OD = 0 .
1
1
D. OA + OC = OB + OD .
2

2

Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB = CD hoặc AC = BD . Khi đó

(

)

A. OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD AB = DC .
B. OA + OB + OC + OD = 0 : Với O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD .
1
1
1
1
1
C. OA + OB = OC + OD ⇔ OA − OC = OD − OB ⇔ CA = BD .
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
D. OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD .
2
2
2

2
2
Vậy chọn A.

Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
III. KIẾN THỨ
THỨC CƠ
CƠ BẢ
BẢN
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Vectơ a ≠ 0 được gọ i là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng
với đường thẳng d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:

( ) (

Cho a //a ' , b //b ' và a ' , b ' cùng đi qua một điểm. Khi đó: a, b = a ', b '

)

( )

Giả sử u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và u , v = ϕ .
ϕ

Khi đó: a, b = 
0
180 − ϕ

( )

( 0 ≤ ϕ ≤ 90 )
( 90 < ϕ ≤ 180 )
0

0

0

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

0

2|THBTN


Chun đề 7. Hình học khơng gian

BTN_7_2

( )

Nếu a //b hoặc a ≡ b thì a, b = 00 .
3. Hai đường thẳng vng góc:

( )

a ⊥ b ⇔ a, b = 900 .
Giả sử u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: a ⊥ b ⇔ u.v = 0

Cho a //b . Nếu a ⊥ c thì b ⊥ c .
Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
IV. KỸ NĂNG CƠ BẢ
BẢN :
Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vng góc
Ví dụ :Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau,
mệnh đề nào sai?
A. A′C ′ ⊥ BD .
B. BB ′ ⊥ BD .
C. A′B ⊥ DC ′ .
D. BC ′ ⊥ A′D .
Hướng dẫn
Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vng góc các cạnh đáy nên BB ′ ⊥ BD

Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG
I. KIẾ
KIẾN THỨ
THỨC CƠ
CƠ BẢ
BẢN
1. Định nghĩa: d ⊥ (α ) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (α )
d ⊥ a
d ⊥ b

2. Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng: 
⇒ d ⊥ (α )
a, b ⊂ (α )
a ∩ b = I
3. Tính chất:
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng tại trung

điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách
đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
a ∈ b
 α ⊥ a ⇒ (α ) ⊥ b
( )
a ≠ b

a ⊥ (α ) ⇒ a //b
b ⊥ α
( )

(α ) // ( β )
⇒ a ⊥ (β )

a ⊥ (α )

(α ) ≠ ( β )

(α ) ⊥ a ⇒ (α ) // ( β )

( β ) ⊥ a
a // (α )
⇒b⊥a

b ⊥ (α )

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

3|THBTN

Chun đề 7. Hình học khơng gian

BTN_7_2

 a ⊄ (α )

a ⊥ b ⇒ a // (α )
 α ⊥b
( )
4. Định lý ba đường vng góc:

Cho a ⊂ (α ) và b ⊄ (α ) , b ' là hình chiếu của b lên (α ) . Khi đó: a ⊥ b ⇔ a ⊥ b '
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Nếu d vng góc với (α ) thì góc giữa d và (α ) là 900 .
Nếu d khơng vng góc với (α ) thì góc giữa d và (α ) là thì góc giữa d và d ' với d ' là
hình chiếu của d trên (α ) .
Chú ý: góc giữa d và (α ) là ϕ thì 00 ≤ ϕ ≤ 900 .
II.

KỸ NĂNG CƠ BẢ
BẢN
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) thì d vng góc với hai đường thẳng trong (α ) .
B. Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α ) .
C. Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) thì d vng góc với

bất kì đường thẳng nào nằm trong (α ) .

D. Nếu d ⊥ (α ) và đường thẳng a || (α ) thì d ⊥ a .
Hướng dẫn :
A. Đúng vì d ⊥ (α ) ⇔ d ⊥ a, ∀a ⊂ (α ) .
B. Sai vì Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) thì d ⊥ (α ) .
d ⊥ a
d ⊥ b

C. Đúng vì 
⇒ d ⊥ (α ) ⇔ d ⊥ c, ∀c ⊂ (α ) .
 a, b ⊂ ( α )
a ∩ b = I


a // (α )
D. Đúng vì 
⇒d ⊥a
d ⊥ (α )

Bài 4. GĨC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
I.

KIẾ
KIẾN THỨ
THỨC CƠ
CƠ BẢ
BẢN
1. Góc giữa hai mặt phẳng:

a ⊥ (α )
Nếu 

thì góc giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
b
⊥
β
(
)

a ⊥ d , a ⊂ (α )
Giả sử (α ) ∩ ( β ) = d . Từ điểm I ∈ d , dựng 
thì góc giữa hai mặt phẳng (α )
b ⊥ d , b ⊂ ( β )
và ( β ) là góc giữa hai đường thẳng a và b .
Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng (α ) và ( β ) là ϕ thì ϕ ∈  00 ;900  .
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:
Xem các chun đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

4|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong (α ) và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu
vng góc của đa giác ℋ lên ( β ) . Khi đó S ' = S .cos ϕ với ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (α ) và

(β ).
3. Hai mặt phẳng vng góc:

Nếu hai mặt phẳng (α ) vng góc mặt phẳng ( β ) thì góc giữa hai mặt phẳng (α ) và

( β ) bằng 900.
a ⊂ (α )
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: 
⇒ (α ) ⊥ ( β )
a ⊥ ( β )
4. Tính chất:

(α ) ⊥ ( β )

(α ) ∩ ( β ) = d
⇒ a ⊥ (β )

 a ⊂ (α )
a ⊥ d

(α ) ⊥ ( β )

 A ∈ (α )
⇒ a ⊂ (α )

A∈ a
a ⊥ ( β )

(α ) ⊥ ( γ )

⇒ d ⊥ (γ )
( β ) ⊥ ( γ )

(α ) ∩ ( β ) = d

II.

KỸ NĂNG CƠ BẢ
BẢN
Dạng 1 : Góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) và đáy là tam giác vuông ở A. Khẳng định nào sau
đây sai?

S

A. ( SAB ) ⊥ ( ABC ) .
B. ( SAB ) ⊥ ( SAC ) .
C. Vẽ AH ⊥ BC , H ∈ BC thì góc ∠ASH là góc giữa hai

mặt phẳng ( SBC ) và ( ABC )
D. Góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SAC ) là góc

∠SCB.
Hướng dẫn :

SA ⊂ ( SAB )
A. Đúng vì 
⇒ ( SAB ) ⊥ ( ABC ) .
SA ⊥ ( ABC )
 AB ⊥ AC
B. Đúng vì 
⇒ AB ⊥ ( SAC ) ,
 AB ⊥ SA

B

A
H
C

 AB ⊂ ( SAB )
⇒ ( SAB ) ⊥ ( SAC )

 AC ⊥ ( SAC )

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

5|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

 AH ⊥ BC
C. Đúng vì 
⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⇒ BC ⊥ SH ⊃ ( SAH ) .
 AH ⊥ SA
 BC ⊥ AH
⇒ ( ( SBC ) ; ( ABC ) ) = ( SH ; AH ) = SHA nên góc giữa hai mặt phẳng ( SBC ) và

 BC ⊥ SH

( ABC ) là góc giữa hai đường thẳng

SH và AH , là góc SHA .

D. Sai do cách xác định như câu C.

B. BÀI TẬP
NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU
Câu 1.

Trong khơng gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:
A. AD ⊥ DC .

Câu 2.

Câu 3.

B. AC ⊥ BD .

C. AD ⊥ BC .

D. AB + BC = AC .

Trong không gian cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?
A. AC , AB, AD, AC ' .

B. A ' D, AA ', A ' D ', DD ' .

C. AC , AB, AD, AA ' .

D. AB ', AB , AD, AA ' .

Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chọn mệnh đề đúng:

1
A. MN = ( AD + BC ) . B. MN = 2( AB + CD ) .
2
1
C. MN = ( AC + CD) . D. MN = 2( AC + BD) .
2
Câu 4.

Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là u , v . Gọi α là
góc giữa hai đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. α = (u, v ) .
B. cos α = cos(u , v) .
C. Nếu a và b vng góc với nhau thì u.v = sin α .
D. Nếu a và b vng góc với nhau thì u.v = 0 .

Câu 5.

Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
A. Nếu AB + BC + CD + DA = 0 thì bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng
B. Tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC thì ta có đẳng thức: 2 AI = AB + AC
C. Vì BA + BC = 0 nên suy ra B là trung điểm của AC
D. Vì AB = −2 AC + 3 AD nên 4 điểm A, B, C , D đồng phẳng.

Câu 6.

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn mệnh đề đúng:
A. AG = 1 ( AB + AC + CD ) .
4

C. AG = 1 ( AB + AC + AD ) .
4

Câu 7.

B. AG = 1 ( BA + BC + BD ) .

3
D. AG = 1 ( BA + BC + BD ) .
4

Cho tứ diện đều ABCD . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. AD.CD = AC.DC = 0 .

B. AC.BD = 0 .

C. AD.BC = 0 .

D. AB.CD = 0 .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

6|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
Câu 8.

Trong khơng gian cho 3 vectơ u , v, w không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Các vectơ u + v, v, w đồng phẳng.
B. Các vectơ u + v, − 2u , 2 w đồng phẳng.
C. Các vectơ u + v, v, 2w không đồng phẳng.

(

)

D. Các vectơ 2 u + v , − u, − v không đồng phẳng.
Câu 9.

Cho lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' . Đặt AA ' = u , AB = v , AC = w . Biểu diễn vectơ BC ' qua
các vectơ u, v, w . Chọn đáp án đúng:
A. BC ' = u − v + w .

B. BC ' = u + v + w .

C. BC ' = u + v − w .

D. BC ' = u − v − w .

Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Nếu AB = 3 AC − 4 AD thì 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng.

1
B. AB = 3 AC ⇔ BC = CA
3
1
C. Nếu AB = − BC thì B là trung điểm của AC .

2
D. Cho d ⊂ (α ) và d ' ⊂ ( β ) . Nếu mặt phẳng (α ) và ( β ) vng góc với nhau thì hai đường
thẳng d và d ' cũng vng góc với nhau.
Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a , CB = b , AA ' = c .
Khẳng định nào sau đây đúng?
1
1
A. AM = a − c + b .
B. AM = b − a + c .
2
2
1
1
C. AM = a + c − b .
D. AM = b + c − a .
2
2
Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
1
1
A. OA + OC = OB + OD .
B. OA + OB + OC + OD = 0 .
2
2
1
1
C. OA + OB = OC + OD .
D. OA + OC = OB + OD .
2

2
Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; SD =

d . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a + c = d + b .

B. a + b = c + d .

C. a + d = b + c .

D. a + c + d + b = 0 .

Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB = b , AC = c ,

AD = d .Khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. MP = c + b − d .
2
1
C. MP = c + d − b .
2

(

)

(

)

1
d +b−c .
2
1
D. MP = c + d + b .
2
B. MP =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

(

)

(

)

7|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 15. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt

AC ' = u , CA ' = v , BD ' = x , DB ' = y . Chọn khẳng định đúng?

1

u+v+ x+ y .
4
1
C. 2OI = − u + v + x + y .
4

(

A. 2OI =

)

(

)

B. 2OI = −
D. 2OI =

1
u +v+ x+ y .
2

(

)

1
u+v+ x+ y .
2

(

)

Câu 16. Cho chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 6 . Tính góc α giữa
đường SC và mặt phẳng ( SAD ) ?
A. α ≈ 200 42' .

B. α ≈ 20070' .

C. α ≈ 69017 ' .

D. α ≈ 69030 ' .

Câu 17. Cho S . ABC có ( SAC ) và ( SAB ) cùng vng góc với đáy, ∆ ABC đều cạnh a , SA = 2a

Tính góc

α

giữa SB và ( SAC ) ?

A. α ≈ 220 47 ' .

B. α ≈ 22079' .

C. α ≈ 370 45' .

D. α ≈ 67012 .

Câu 18. Cho ∆SAB đều và hình vng ABCD nằm trong 2 mặt phẳng vng góc nhau. Tính góc giữa
SC và ( ABCD ) ?

A. α ≈ 18035' .

B. α ≈ 1 5 0 62 ' .

C. α ≈ 370 45' .

D. α ≈ 63072' .

Câu 19. Cho S.ABCD có đáy hình thang vng tại A và B, AD = 2a, AB = BC = a, SA vng góc

với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600. Tính góc giữa SD và
mặt phẳng ( SAC ) ?
A. α ≈ 2405' .

B. α ≈ 34015' .

C. α ≈ 73012 ' .

D. α ≈ 6208' .

Câu 20. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = 2a , đáy là tam giác vuông tại A , ABC = 600 ,

, AB = a . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABC ) ?
A. α ≈ 760 24'

B. α ≈ 44012'

C. α ≈ 63015'

D. α ≈ 73053'

Câu 21. Cho S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SC tạo đáy góc 450, SA vng góc với đáy. Tính
góc giữa ( S A B ) và ( SCD) ?
A. α ≈ 35015' .

B. α ≈ 75009 ' .

C. α ≈ 67019' .

D. α ≈ 38055' .

Câu 22. Cho chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy và ( SCD )

tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Tính góc giữa ( SBC ) và ( SCD ) .
A. α = 74012' .

B. α = 42034 ' .

C. α = 300 .

D. α = 600 .

Câu 23. Cho S . ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc. Biết rằng SA = SB = a, SC = a 2. Hỏi góc

giữa ( SBC ) và ( ABC ) ?
A. α ≈ 500 46 ' .

B. α = 63012 ' .

C. α = 34073' .

D. α = 42012' .

Câu 24. Cho S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, SA vng góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt

phẳng đáy góc 450 và hợp với ( SAB ) góc 300. Tính góc giữa ( SBC ) và mặt phẳng đáy?
A. α = 83081' .

B. α = 79001' .

C. α = 62033' .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

D. α ≈ 540 44 ' .

8|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 25. Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều

có độ dài 5a. Tính góc giữa ( SBC ) và ( ABCD ) ?

A. α = 750 46 '

B. α = 710 21'

C. α = 68031'

D. α ≈ 65012'

Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) (α ) thì d

vng góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α ) .
B. Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) thì d vng góc với hai đường thẳng trong (α ) .
C. Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm trong (α ) thì d ⊥ (α ) .
D. Nếu d ⊥ (α ) và đường thẳng a // (α ) thì a ⊥ d .
Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vng
góc với ∆?
A. Vô số.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước?
A. Vô số.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vng góc với
một đường thẳng thì song song nhau.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là:
A. 5 2 .

B. 50.

C. 2 5 .

D. 12.

Câu 31. Cho hình chóp S .ABCD có SA ⊥ ( ABC ) và △ ABC vuông ở B . AH là đường cao của △SAB .

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. SA ⊥ BC .
B. AH ⊥ BC .

C. AH ⊥ AC .

D. AH ⊥ SC .

Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) . Gọi H là hình chiếu của A lên ( P ) . M, N là các điểm

thay đổi trong ( P ) . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Nếu AM = AN thì HM = HN .
C. Nếu AM > AN thì HM < HN .

B. Nếu AM > AN thì HM > HN .
D. Nếu HM > HN thì AM > AN .

Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau đây:
A. Ba mặt phẳng ( ABC ) ; ( ABD ) ; ( ACD ) đôi một vuông góC.
B. Tam giác BCD vng.
C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng ( BCD ) là trực tâm tam giác BCD.
D. Hai cạnh đố i của tứ diện vng góc.
Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. MA = MB ⇒ M ∈ ( P ) .

B. MN ⊂ ( P ) ⇒ MN ⊥ AB .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

9|THBTN


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
C. MN ⊥ AB ⇒ MN ⊂ ( P ) .

D. M ∈ ( P ) ⇒ MA = MB .
VẬN DỤNG THẤP

Câu 35. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Phân tích vectơ AC ' theo các vectơ AB, AD, AA ' .
Chọn đáp án đúng:
1
A. AC ' = AA ' + AB + AD .
B. AC ' = AA ' + 2 AB + AD .
2

1
C. AC ' = 2 AA ' + AB + AD .
D. AC ' = AA ' + AB + AD .
2

(

(

)

)

Câu 36. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Tích vơ hướng của hai vectơ AB và
A ' C ' có giá trị bằng:

A. a .

B. a 2 .

2

C. a

2

D.

2.

2a 2
.
2

Câu 37. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có: AB + B ' C ' + DD ' = k AC ' . Giá trị của k là:
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1.
Câu 38. Cho tứ diện ABCD , gọi M , N là trung điểm của các cạnh AC và BD , G là trọng tâm của tứ

diện ABCD và O là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị k thỏa mãn đẳng thức

(

)

OG = k OA + OB + OC + OD là:
A. 4.

B.

1
.
2

C.

1
.

4

D. 2.

Câu 39. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' . Đặt AA ' = a , AB = b , AC = c , Gọi I là điểm thuộc CC '
1
sao cho C ' I = C ' C , G là trọng tâm của tứ diện BA ' B ' C ' . Biểu diễn vectơ IG qua các vectơ
3

a, b, c . Chọn đáp án đúng :
A. IG =

11

 a + b − 2c  .
43


B. IG =

1
a + b + 2c .
3

C. IG =

1
1

 b + c − 2a  .

4
3


D. IG =

1
a + c − 2b .
4

(

(

)

)

Câu 40. Cho chóp S . ABC có ∆ SAB đều cạnh a, ∆ABC vuông cân tại B và ( SAB) ⊥ ( ABC ).

Tính góc giữa SC và ( ABC ) ?
A. α = 39012' .

B. α = 46073' .

C. α ≈ 350 45' .

D. α = 52067'

Câu 41. Cho chóp S. ABCD có mặt phẳng đáy là hình vng cạnh a, SA = a 3, SA vng góc với mặt

phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC ?
A. α ≈ 69017 ' .
B. α ≈ 72084 ' .
C. α ≈ 840 62 ' .
D. α ≈ 27 0 38 ' .
Câu 42. Cho lăng trụ đều ABC . A ' B ' C ' có AB = 1, AA ' = m ( m > 0 ) . Hỏi m bằng bao nhiêu để góc

giữa AB ' và BC ' bằng 600 ?
A. m = 2.

B. m = 1 .

C. m = 3.

D. m = 5.

Câu 43. Cho chóp S. ABCD có mặt phẳng đáy là hình vng cạnh a , ∆SAB là tam giác vuông cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SC và AD ?
Xem các chun đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

10 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
A. α ≈ 39 0 22 ' .

B. α ≈ 73 0 45 ' .

C. α ≈ 35 015 ' .

D. α ≈ 42 0 24 ' .

Câu 44. Cho hình chóp S . ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh a, ABC = 600 , SA vng góc mặt

phẳng đáy là SA = a 3. Tính góc giữa ( SBC ) và ( ABCD ) ?
A. α ≈ 33011'

B. α ≈ 140 55 '

C. α ≈ 62017 '

D. α ≈ 26033'

Câu 45. Cho hình chóp S. ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ ( ABCD ) , gọi E , F lần lượt

là hình chiếu vng góc của A lên SB và SD . Chọn mệnh đề đúng :
A. SC ⊥ ( AEF ) .

B. SC ⊥ ( ADE ) .

C. SC ⊥ ( ABF ) .

D. SC ⊥ ( AEC ) .

Câu 46. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC . Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên ( ABC ) .

Khi đó khẳng định nào đúng?
A. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

B. H là tâm đường tròn nộ i tiếp tam giác ABC .
C. H là trọng tâm tam giác ABC .
D. H là trực tâm tam giác ABC .
Câu 47. Cho hình chóp S . ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vng góc

với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (α ) đi qua điểm A và vng góc đường thẳng SB cắt các
đường SB , SC lần lượt tại M , N .
1
1. MN = BC .
2
2. SA ⊥ MN
3. A, D , M , N không đồng phẳng.

4. (α ) ⊥ ( SBC ) .
5. Thiết diện cắt hình chóp S. ABCD bởi mặt phẳng (α ) là hình bình hành.
Có bao nhiêu nhận định sai?
A. 0
B. 3

C. 2

D. 4

Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
khơng liền kề nhau.
1
1
5
1
A. .

B. .
C. .
D.
.
3
2
3
2
Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên
liền kề nhau.
1
A. − .
3

B.

1
.
2

C. −

5
.
3

D.

1
.

2

Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh SC . Tính

cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( EBD ) .
A.

1
.
3

B.

1
.
2

C. −

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

5
.
3

D.

1
.
2

11 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a 3 , mặt phẳng đáy BC = 3a , BC ⊂ ( P ) ,

A ∉ ( P ) 0. Gọi A′ là hình chiếu vng góc của A lên ( P ) . Tam giác A′BC vuông tại A′ . Gọ i

α là góc giữa ( P ) và ( ABC ) . Chọn khẳng định đúng.
A. α = 300 .

B. α = 600 .

C. α = 450 .

D. cosα =

2
.
3

Câu 52. Cho tam giác đều ABC cạnh a . d B , dC lần lượt là đường thẳng đi qua B , C và vng góc

( ABC ) . ( P )

là mặt phẳng đi qua A và hợp với ( ABC ) một góc bằng 60o . ( P ) cắt d B , dC tại

D và E . AD =

a 6
, AE = a 3 . Đặt β = DAE . Khẳng định nào sau đây là khẳng định
2

đúng?
A. β = 30o .

B. sin β =

2
.
6

C. sin β =

6
.
2

D. β = 60o .

Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ( ABC ) và ( ABD ) cùng vng góc với mặt phẳng

( BCD ) . Gọi

BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD , DK là đường cao của tam giác

ACD , bảy điểm A , B , C , D , E , F , K không trùng nhau. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định sai?

A. ( ABE ) ⊥ ( DFK ) .

B. ( ADC ) ⊥ ( DFK ) .

C. ( ABC ) ⊥ ( DFK ) .

D. ( ABE ) ⊥ ( ADC ) .

Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có O là tâm của hình vng ABCD , AB = a , SO = 2 a .

Gọi ( P ) là mặt phẳng qua AB và vng góc với mặt phẳng ( SCD ) . Thiết diện của ( P ) và
hình chóp S . ABCD là hình gì?
A. Hình thang vng.
C. Hình thang cân.

B. Tam giác cân.
D. Hình bình hành.

Câu 55. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh có độ dài bằng a , M là trung điểm đoạn CD . Gọi α là
góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng?
A. α = 30 o .

B. cos α =

3
.
4

C. cos α =

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

1
.
3

D. cos α =

3
.
6

12 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1
A

2
B

3

A

4
D

5
A

6
C

7
A

8
C

I – ĐÁP ÁN 7.2
9 10 11 12
A A B D

21
B

22
A

23
A

24
B

25
D

26
C

27
A

28
D

29
D

30
A

31
C

32
C

33
B

34
C

35
D

41
B

42
D

43
D

44
C

45
A

46
A

47
C

48
A

49
A

50
D

51
A

52
B

53
A

54
C

55
D

13
A

14
C

15
C

16
A

17
A

18
D

19
A

20
B

36
A

37
D

38
C

39
A

40
A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:
A. AD ⊥ DC .
B. AC ⊥ BD .
C. AD ⊥ BC .
Hướng dẫn giải
Tứ diện ABCD là đều nên AD khơng thể vng góc với D C .

Câu 2.

D. AB + BC = AC .

Trong khơng gian cho hình hộp ABCD.A ' B ' C ' D ' . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?
A. AC , AB, AD, AC ' .

B. A ' D, AA ', A ' D ', DD ' .

C. AC , AB, AD, AA ' .

D. AB ', AB , AD, AA ' .

Hướng dẫn giải

Từ hình vẽ ta thấy các vectơ A ' D, AA ', A ' D ', DD ' cùng thuộc mặt phẳng ( AA ' D ' D ) .
A

B

D

C

B′

A′
D′

Câu 3.

C′

Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chọn mệnh đề đúng:
1
A. MN = ( AD + BC ) . B. MN = 2( AB + CD) .
2
1
C. MN = ( AC + CD) . D. MN = 2( AC + BD) .
2
Hướng dẫn giải
MN = MA + AD + DN
Ta có: 
MN = MB + BC + CN
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có:
2MN = ( MB + MA) + ( BD + AC ) + ( DN + CN )
⇔ 2 MN = ( BD + AC ) ⇔ MN =

1
( AC + BD )

2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

A
M

B

D
N
C

13 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
Câu 4.

Trong khơng gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là u , v . Gọi α là
góc giữa hai đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. α = (u, v ) .
B. cos α = cos(u , v) .
C. Nếu a và b vng góc với nhau thì u.v = sin α .
D. Nếu a và b vng góc với nhau thì u.v = 0 .
Hướng dẫn giải

(

) (

)

Ta có: ⇔ 4 IG = IC ' + 2 IC ' + IC + CB + C ' B ' + C ' A ' . (Theo tính chất tích vơ hướng của hai
vectơ)
Câu 5.

Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
A. Nếu AB + BC + CD + DA = 0 thì bốn điểm A, B, C , D đồng phẳng
B. Tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC thì ta có đẳng thức: 2 AI = AB + AC
C. Vì BA + BC = 0 nên suy ra B là trung điểm của AC
D. Vì AB = −2 AC + 3 AD nên 4 điểm A, B, C , D đồng phẳng.
Hướng dẫn giải

Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng AB + BC + CD + DA = 0 đúng với mọ i điểm A, B, C , D
nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng.
Câu 6.

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn mệnh đề đúng:
A. AG = 1 ( AB + AC + CD ) .

B. AG = 1 ( BA + BC + BD ) .

4
C. AG = 1 ( AB + AC + AD ) .
4

3

D. AG = 1 ( BA + BC + BD ) .
4

Hướng dẫn giải
Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên suy ra:

GA + GB + GC + GD = 0
⇔ AG = GB + GC + GD

(

) (

) (

⇔ AG = GA + AB + GA + AC + GA + AD

⇔ 4 AG = AB + AC + AD
1
⇔ AG = AB + AC + AD
4

(

Câu 7.

)

)

Cho tứ diện đều ABCD . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. AD.CD = AC.DC = 0 .

B. AC.BD = 0 .

C. AD.BC = 0 .
D. AB.CD = 0 .
Hướng dẫn giải
Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vng góc.

Vậy AC.BD = AD.BC = AB.CD = 0 .
Câu 8.

Trong không gian cho 3 vectơ u , v, w không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Các vectơ u + v, v, w đồng phẳng.
B. Các vectơ u + v, − 2u , 2 w đồng phẳng.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

14 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
C. Các vectơ u + v, v, 2w không đồng phẳng.

(

)

D. Các vectơ 2 u + v , − u, − v không đồng phẳng.
Hướng dẫn giải

Vì u, v, w khơng đồng phẳng nên :
•

u + v, v, w khơng đồng phẳng,

•

u + v, v, 2w khơng đồng phẳng.

•

u + v, − 2u , 2 w không đồng phẳng.

(

)

Các vectơ 2 u + v , − u, − v hiển nhiên là đồng phẳng.
Câu 9.

Cho lăng trụ tam giác ABC . A ' B ' C ' . Đặt AA ' = u , AB = v , AC = w . Biểu diễn vectơ BC ' qua
các vectơ u, v, w . Chọn đáp án đúng:
A. BC ' = u − v + w .

B. BC ' = u + v + w .

C. BC ' = u + v − w .
Hướng dẫn giải
Ta có:

D. BC ' = u − v − w .

BC ' = BC + CC ' = BA + AC + CC ' = −v + w + u = u − v + w
Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. Nếu AB = 3 AC − 4 AD thì 4 điểm A, B, C , D đồng phẳng.

1
B. AB = 3 AC ⇔ BC = CA
3
1
C. Nếu AB = − BC thì B là trung điểm của AC .
2
D. Cho d ⊂ (α ) và d ' ⊂ ( β ) . Nếu mặt phẳng (α ) và ( β ) vuông góc với nhau thì hai đường
thẳng d và d ' cũng vng góc với nhau.
Hướng dẫn giải
AB = 3 AC − 4 AD thỏa mãn biểu thức c = ma + nb (với m, n là duy nhất) của định lý về các
vectơ đồng phẳng.
Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C ′ , M là trung điểm của BB′ . Đặt CA = a , CB = b , AA ' = c .
Khẳng định nào sau đây đúng?
1
1
A. AM = a − c + b .
B. AM = b − a + c .
2
2
1

1
C. AM = a + c − b .
D. AM = b + c − a .
2
2
Hướng dẫn giải

Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì AM = 1 AB + 1 AB′ .
2

2

Khi đó:
1
1
1
1
1
1
1
1
AM = AB + AB ′ = AB + AB + BB ′ = AB + AA′ = AC + CB + AA′ = − a + b + c .
2
2
2
2
2
2
2
2

Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ
để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

15 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
1
1
A. OA + OC = OB + OD .
2
2
1
1
C. OA + OB = OC + OD .
2
2
Hướng dẫn giải

B. OA + OB + OC + OD = 0 .
D. OA + OC = OB + OD .

Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB = CD hoặc AC = BD .
Khi đó

•

OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ AB = CD

•

OA + OB + OC + OD = 0 : O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD . (Loại)
1
1
1
1
1
OA + OB = OC + OD ⇔ OA − OC = OD − OB ⇔ CA = BD (Loại)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
OA + OC = OB + OD ⇔ OA − OB = OD − OC ⇔ BA = CD (Loại)
2
2
2
2
2

•
•

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; SD =

d . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. a + c = d + b .

B. a + b = c + d .

C. a + d = b + c .
Hướng dẫn giải

D. a + c + d + b = 0 .

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD , khi đó SA + SC = SB + SD = 2SO . Vậy a + c = d + b .
Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB = b , AC = c ,

AD = d .Khẳng định nào sau đây đúng?
1
1
A. MP = c + b − d .
B. MP = d + b − c .
2
2
1
1
C. MP = c + d − b .
D. MP = c + d + b .
2
2
Hướng dẫn giải

1
1
1
1
1
1
1
1
MP = MC + MD = MA + AC + AD = − AB + AC + AD = c + d − b .
2
2
2
2
2
2
2
2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Câu 15. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt

AC ' = u , CA ' = v , BD ' = x , DB ' = y . Chọn khẳng định đúng?

1
u+v+ x+ y .
4
1
C. 2OI = − u + v + x + y .
4
Hướng dẫn giải
Do I là tâm hình bình hành ABCD nên
A. 2OI =

(

)

(

)

4OI = OA + OB + OC + OD
1
⇔ 4OI = C′A + D′B + A′C + B′D
2
1
⇔ 4OI = − AC ′ + BD′ + CA′ + DB′
2

(

B. 2OI = −
D. 2OI =

1
u +v+ x+ y .
2

(

)

1
u+v+ x+ y .
2

(

)

)

(

)

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

16 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
⇔ 2OI = −

1
u +v+ x+ y
4

(

)

Câu 16. Cho chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a 6 . Tính góc α giữa
đường SC và mặt phẳng ( SAD ) ?
A. α ≈ 200 42' .

B. α ≈ 20070' .

C. α ≈ 69017 ' .

D. α ≈ 69030 ' .
Hướng dẫn giải
CD ⊥ AD
⇒ CD ⊥ ( SAD ) . Tức D là
Ta có 
 CD ⊥ SA

S

hình chiếu vng góc của C lên ( SAD )
⇒ Góc giữa SC và ( SAD ) là CSD .

SD = SA2 + AD 2 = a 7 ;
CD
1
tan CSD =
=
⇒ CSD ≈ 200 42 '
SD
7

A

D

Câu 17. Cho S . ABC có ( SAC ) và ( SAB ) cùng vng

góc với đáy, ∆ ABC đều cạnh a , SA = 2a Tính
B
góc α giữa SB và ( SAC ) ?

A. α ≈ 220 47 ' .

C

B. α ≈ 22079' .

C. α ≈ 370 45' .
D. α ≈ 67012 .
Hướng dẫn giải
Lấy H là trung điểm AC. Dễ chứng minh BH ⊥ ( SAC )

S

suy ra H là hình chiếu vng góc của B lên ( SAC ) .

⇒ Góc giữa SB và ( SAC ) là góc BSH .
SH = SA2 + AH 2 =
⇒ tan BSH =

a 17
a 3
; BH =
2
2

3
⇒ α ≈ 22047'
17

H

A

Câu 18. Cho ∆SAB đều và hình vng ABCD nằm trong 2 mặt

phẳng vng góc nhau. Tính góc giữa SC và ( ABCD ) ?
0

A. α ≈ 18 35' .

B. α ≈ 1 5 0 62 ' .

C. α ≈ 370 45' .
Hướng dẫn giải

D. α ≈ 63072' .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

B

17 | T H B T N

C


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
Lấy H là trung điểm AB khi

S

đó SH ⊥ ( ABCD ) .

⇒ Góc giữa SC và ( ABCD) là SCH .
a 3
a 5
, CH = HB 2 + BC 2 =
2
2
3
⇒ tan SCH =
⇒ α ≈ 37 0 45 '
5
SH =

A

D

H
B

C

Câu 19. Cho S.ABCD có đáy hình thang vng tại A và B, AD = 2a, AB = BC = a, SA vuông góc

với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 600. Tính góc giữa SD và
mặt phẳng ( SAC ) ?
A. α ≈ 2405' .

B. α ≈ 34015' .

C. α ≈ 73012 ' .
Hướng dẫn giải
Dễ chứng minh

D. α ≈ 6208' .

DC ⊥ AC

và

nên

DC ⊥ SA

S

DC ⊥ ( SAC ) , vậy góc giữa SD và ( SAC ) là DSC .
Dễ thấy góc giữa SC tạo mặt phẳng đáy là góc SCA nên
S C A = 6 0 0.

SA = a 6, SD = a 10, CD = a 2
⇒ tan DSC =

CD
1
=
⇒ α ≈ 2405 '

SD
5

D
A

Câu 20. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = SC = 2a , đáy là tam

giác vuông tại A , ABC = 600 , , AB = a . Tính góc giữa

B

C

hai mặt phẳng ( SAC ) và ( ABC ) ?
A. α ≈ 760 24'

B. α ≈ 44012'

C. α ≈ 63015'
D. α ≈ 73053'
Hướng dẫn giải
Từ giải thiết có. SA = SB = SC = 2a , nếu ta hạ

S

SH ⊥ ( ABC ) thì H là tâm đường trịn ngoại tiếp
∆ABC ⇒ H là trung điểm BC.

( SAC ) ∩ ( ABC ) = AC

⇒ Góc giữa
AC ⊥ ( SHM )


Ta có: 

( SAC ) và ( ABC )

là

SMH .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

B

H

C

18 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
SH
a
= 2 3 ⇒ SMH ≈ 73053'
, SH = a 3 ⇒ tan SMH =

MH
2
A0

HM =

M

Câu 21. Cho S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SC tạo đáy góc 45 , SA vng góc với đáy. Tính
góc giữa ( S A B ) và ( SCD) ?
A. α ≈ 35015' .

B. α ≈ 75009 ' .

C. α ≈ 67019' .
Hướng dẫn giải
Ta thấy giao tuyến của ( SAB ) và ( SCD ) là

D. α ≈ 38055' .

đường d qua S và song song với AB.

S

Dễ chứng minh d ⊥ ( SAD ) nên góc giữa

( SAB )

d

và ( SCD) là DSA .

Ta dễ thấy góc giữa SC và mặt phẳng đáy
là góc SCA = 450 .Từ đó dễ dàng tính
được SA = AC = a 2, AD = a .

A

1
⇒ tan DSA =
⇒ α ≈ 35015 ' .
2

Câu 22. Cho chóp S . ABCD có đáy là hình vng
cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy

D

B

C

và ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Tính góc giữa ( SBC ) và ( SCD ) .
A. α = 74012' .

B. α = 42034 ' .

C. α = 300 .
Hướng dẫn giải
Dễ chứng minh được góc giữa

D. α = 600 .

( SCD)

S

và đáy là

SDA = 450 nên SA = a
Lấy M , N là trung điểm SB, SD. Dễ chứng minh

AN ⊥ ( SCD ) , AM ⊥ ( SBC )

suy ra góc giữa

( SBC ) và ( SCD ) là góc giữa AN , AM .
AM = AN = MN =

N
M

DB a 2
=
⇒ MAN = 600 .
2
2

D
A

Câu 23. Cho S . ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc. Biết

rằng SA = SB = a, SC = a 2. Hỏi góc giữa ( SBC )

B
C

và ( ABC ) ?
A. α ≈ 500 46 ' .

B. α = 63012 ' .

C. α = 34073' .
Hướng dẫn giải

D. α = 42012' .

Hạ SH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAH ) ⇒ Góc giữa ( SBC ) và ( ABC ) là SHA.
SH =

SB.SC a 6
6
=
⇒ tan SHA =
⇒ α ≈ 500 46' .
BC
3
2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

19 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Câu 24. Cho S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, SA vng góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt

phẳng đáy góc 450 và hợp với ( SAB ) góc 300. Tính góc giữa ( SBC ) và mặt phẳng đáy?
A. α = 83081' .

B. α = 79001' .

C. α = 62033' .
Hướng dẫn giải

D. α ≈ 540 44 ' .

Dễ thấy rằng SCA = 450 , BSC = 300.

S

⇒ SA = x 2 + a 2

∆SBA ⇒ SB = SA2 + AB 2 = x 2 + 2a2
∆SBC ⇒ SB.tan 300 = BC

⇔ x 2 + 2a2 = 3.x ⇔ x = a
A

BC = x ⇒ AC = x 2 + a2

D

⇒ SA = a 2.

C

Xét ∆SAB có tan SBA = 2 nên α ≈ 540 44 ' .

B

Câu 25. Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ
nhật cạnh AB = 4a, AD = 3a. Các cạnh bên đều

có độ dài 5a. Tính góc giữa ( SBC ) và ( ABCD )
?
A. α = 750 46 '
0

B. α = 710 21'

C.

0

D. α ≈ 65 12'

α = 68 31'

Hướng dẫn giải
Hạ SH ⊥ ( ABCD). Do các cạnh bên bằng nhau

S

nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy,
tức H là tâm đáy. Lấy I là trung điểm BC nên
góc giữa ( SBC ) và ( ABCD ) là SIH .

IH = 2a, SH = SC2 − HC 2 =
⇒ tan SIH =

5a 3
.
2

5 3
⇒ α ≈ 65012' .
4

D

A

Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
I
H

A. Nếu đường thẳng d vng góc với hai
C
B
đường thẳng cắt nhau nằm trong (α ) (α ) thì d vng góc với bất kì đường thẳng nào nằm

trong (α ) .
B. Nếu đường thẳng d ⊥ (α ) thì d vng góc với hai đường thẳng trong (α ) .
C. Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng nằm trong (α ) thì d ⊥ (α ) .
D. Nếu d ⊥ (α ) và đường thẳng a // (α ) thì a ⊥ d .

•

Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có thể vng góc với hai đường thẳng song song nằm trên mặt phẳng (α ) nên
đáp án này sai.

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

20 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
•

Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α ) thì lúc đó nó vng góc với mọ i đường
thẳng nằm trong mặt phẳng (α ) nên nó vng góc với hai đường thẳng thì hiển nhiên đúng.

•

đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (α) thì nó sẽ

vng góc với mặt phẳng (α ) và do đó d vng với mọi đường thẳng nằm trong (α ) là hiển
•

nhiên đúng.
Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α ) thì d song song hoặc trùng với giá của véc tơ
pháp tuyến của mặt phẳng (α ) do đó nếu đường thẳng a // (α ) thì a ⊥ d là đúng.

Câu 27. Trong khơng gian cho đường thẳng ∆ và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vng
góc với ∆?
A. Vơ số.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Hướng dẫn giải
Qua điểm O có vơ số đường thẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước chúng nằm trong
mặt phẳng qua O và vng góc với đường thẳng ∆.
Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vng góc với đường thẳng ∆ cho trước?
A. Vô số.
B. 2.
C. 3.
D. 1.
Hướng dẫn giải:
Qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng đi qua O và vng góc với một đường
thẳng cho trước
Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vng góc với
một đường thẳng thì song song nhau.

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song.
C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một mặt phẳng thì song song.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba thì song song.
Hướng dẫn giải:
Hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba thì song song nếu hai
đường thẳng này đồng phẳng. Trong trường hợp không đồng phẳng chúng có thể chéo nhau
trong khơng gian.
Các đáp án khác đều đúng hiển nhiên
Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là:
A. 5 2 .
Hướng dẫn giải:

B. 50.

C. 2 5 .

D. 12.

Độ dài đường chéo của hình hộp là 32 + 42 + 52 = 50 = 5 2

Vậy đáp án đúng là 5 2 .
Câu 31. Cho hình chóp S .ABCD có SA ⊥ ( ABC ) và △ ABC vuông ở B . AH là đường cao của △SAB .

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. SA ⊥ BC .
B. AH ⊥ BC .
Hướng dẫn giải:

C. AH ⊥ AC .

D. AH ⊥ SC .

Ta có SA ⊥ ( ABC ) nên SA ⊥ BC .
Mà △ ABC vuông tại B: AB ⊥ BC .

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

21 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
 AH ⊥ BC
 SA ⊥ BC
⇒ BC ⊥ AH ⊂ ( SAB ) ; 
⇒ AH ⊥ SC ⊂ ( SBC ) .

 AH ⊥ SB
 AB ⊥ BC
 AH ⊥ AC
Nếu 
⇒ AC ⊥ AB ⊂ ( SAB ) thì △ ABC vuông tại A (Vô lý).
SA ⊥ AC
Vậy AH ⊥ AC là sai.

Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng ( P ) . Gọi H là hình chiếu của A lên ( P ) . M, N là các điểm

thay đổi trong ( P ) . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. Nếu

B. Nếu
C. Nếu
D. Nếu

AM
AM
AM
HM

=
>
>
>

AN
AN
AN
HN

thì
thì
thì
thì

HM
HM
HM
AM

= HN .

> HN .
< HN .
> AN .

Hướng dẫn giải

Theo tính chất mố i liên hệ giữa đường xiên

( AM , AN )

và hình chiếu ( HM , HN ) . Đường

xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại. Mệnh đề sai là “Nếu AM > AN thì
HM < HN ”.
Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề
sau đây:
A. Ba mặt phẳng ( ABC ) ; ( ABD ) ; ( ACD ) đơi một vng góC.
B. Tam giác BCD vng.
C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng ( BCD ) là trực tâm tam giác BCD.
D. Hai cạnh đố i của tứ diện vng góc.
Hướng dẫn giải:

•

Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đơi một vng góc nên AB ⊥ ( ACD) ; AC ⊥ ( ABD) ;

AD ⊥ ( ABC ) do đó ba mặt phẳng ( ABC ) ; ( ABD) ; ( ACD) đôi một vuông góc.
•

Gọi H là hình chiếu của A trên ( BCD) . AH ⊥ ( BCD )

AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( ABH ) ⇒ CD ⊥ BH
Tương tự AH ⊥ ( BCD ) ⇒ AH ⊥ BC ⇒ CD ⊥ ( ADH ) ⇒ BC ⊥ DH
•

Do đó H là trực tâm của tam giác BCD .
Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đơi một vng góc nên
AB ⊥ ( ACD ) ⇒ AB ⊥ CD
AC ⊥ ( ABC ) ⇒ AC ⊥ BD
AD ⊥ ( ABC ) ⇒ AD ⊥ BC

•

Vậy hai cạnh đối của tứ diện vng góc.
Vậy tam giác BCD vuông là sai.

Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai?
A. MA = MB ⇒ M ∈ ( P ) .

B. MN ⊂ ( P ) ⇒ MN ⊥ AB .

C. MN ⊥ AB ⇒ MN ⊂ ( P ) .

D. M ∈ ( P ) ⇒ MA = MB .

Hướng dẫn giải:
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

22 | T H B T N

BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điể m
A và B ⇒ Nếu M ∈ ( P ) ⇒ MA = MB
Mặt phẳng

( P)

là mặt phẳng trung trực của

⇒ AB ⊥ ( P )

AB

do đó Nếu

MN ⊂ ( P ) ⇒ MN ⊥ AB .
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điể m
A và B ⇒ Nếu MA = MB ⇒ M ∈ ( P ) .
Nếu MN ⊥ AB ⇒ MN ⊂ ( P) là sai vì MN có thể là đoạn thẳng đi qua A và vng góc với AB
lúc đó MN // ( P ) .
VẬN DỤNG THẤP
Câu 35. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Phân tích vectơ AC ' theo các vectơ AB, AD, AA ' .

Chọn đáp án đúng:
1
AA ' + AB + AD .

2
1
C. AC ' = 2 AA ' + AB + AD .
2

(

(

)

B. AC ' = AA ' + 2 AB + AD .

A. AC ' =

)

D. AC ' = AA ' + AB + AD .

Hướng dẫn giải

Lưu ý phép cộng vectơ đối với hình vng ABCD : AB + AD = AC .
Ta có: AC ' = AC + AA ' = AA ' + AB + AD
Câu 36. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Tích vơ hướng của hai vectơ AB và
A ' C ' có giá trị bằng:

A. a 2 .

C. a 2 2 .

B. a 2 .

D.

2a 2
.
2

Hướng dẫn giải

(

) (

)
⇒ A ' C '. AB = A ' C ' . AB .cos ( A ' C ', AB ) = a.a.1 = a

Ta có: A ' C ', AB = AC , AB = BAC = 45°

2

Câu 37. Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' có: AB + B ' C ' + DD ' = k AC ' . Giá trị của k là:
A. 3.
B. 0.
C. 2.
D. 1.
Hướng dẫn giải

Ta có AC ' = AB + BC + CC ' = AB = B ' C ' + DD ' . Vậy k = 1 .
Câu 38. Cho tứ diện ABCD , gọi M , N là trung điểm của các cạnh AC và BD , G là trọng tâm của tứ

diện ABCD và O là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị k thỏa mãn đẳng thức

(

)

OG = k OA + OB + OC + OD là:
A. 4.

B.

1
.
2

C.

1
.
4

D. 2.

Hướng dẫn giải
Vì G là trọng tâm tứ diện nên:
GA + GB + GC + GD = 0

(

) (

) (

) (

)

⇔ GO + OA + GO + OB + GO + OC + GO + OD = 0

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

23 | T H B T N


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
⇔ 4GO + OA + OB + OC + OD = 0 ⇔ 4OG = OA + OB + OC + OD
1
⇔ OG = OA + OB + OC + OD .
4
1
Vậy k = .
4

(

)

Câu 39. Cho lăng trụ tam giác ABC.A ' B ' C ' . Đặt AA ' = a , AB = b , AC = c , Gọi I là điểm thuộc CC '
1
sao cho C ' I = C ' C , G là trọng tâm của tứ diện BA ' B ' C ' . Biểu diễn vectơ IG qua các vectơ
3

a, b, c . Chọn đáp án đúng :
A. IG =

11

 a + b − 2c  .
43


B. IG =

1
a + b + 2c .
3

C. IG =

1
1

 b + c − 2a  .
4
3


D. IG =

1
a + c − 2b .
4

(

)

(

)

Hướng dẫn giải
Ta có: G là trọng tâm của tứ diện BA ' B ' C ' nên :
4 IG = IB + IA ' + IB ' + IC '

(

) (

) (

)

⇔ 4 IG = IC + CB + IC ' + C ' A ' + IC ' + C ' B ' + IC '

(

) (

)

⇔ 4 IG = IC ' + 2 IC ' + IC + CB + C ' B ' + C ' A '
1
1
⇔ 4 IG = CC ' + 0 + 2CB − AC = AA ' + 2CB − AC
3
3
1
⇔ 4 IG = a + 2 b − c − c
3
11

⇔ IG =  a + 2b − 3c 
43


(

)

Câu 40. Cho chóp S . ABC có ∆SAB đều cạnh a, ∆ABC vng cân tại B và ( SAB) ⊥ ( ABC ).

Tính góc giữa SC và ( ABC ) ?
A. α = 39012' .
Hướng dẫn giải

B. α = 46073' .

C. α ≈ 350 45' .

D. α = 52067'

Lấy H là trung điểm AB. Dễ thấy SH ⊥ ( ABC ) nên CH là hình chiếu vng góc của SC
lên ( ABC ) . Góc giữa SC và ( ABC ) là SCH .
SH =

a 3
a 5
3
, HC =
⇒ tan SCH =
⇒ α ≈ 35045' .
2
2
5

Câu 41. Cho chóp S. ABCD có mặt phẳng đáy là hình

vng cạnh a, SA = a 3, SA vng góc với mặt
phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC ?
A. α ≈ 69017 ' .
B. α ≈ 72084 ' .
C.
0
0
D. α ≈ 27 38 ' .
α ≈ 84 62 ' .

Hướng dẫn giải
Lấy M là trung điểm SD. Khi đó góc cần tìm là
góc giữa OM và OC .
Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

S

24 | T H B T N
M


BTN_7_2

Chun đề 7. Hình học khơng gian
Ta có MC là trung tuyến ∆SCD ⇒ MC 2 =

SC 2 + DC 2 SD 2
−
= 2a 2
2
4

⇒ MC = a 2
Xét ∆MOC có :

cosMOC =

MO2 + OC 2 − MC 2
1
=−

2.MO.OC
2 2

⇒ α ≈ 69017 '

Câu 42. Cho lăng trụ đều ABC . A ' B ' C ' có AB = 1, AA ' = m ( m > 0 ) . Hỏi m bằng bao nhiêu để góc

giữa AB ' và BC ' bằng 600 ?
A. m = 2.
Hướng dẫn giải

B. m = 1 .

C. m = 3.

Lấy M , N , P là trung điểm BB ', B ' C ', AB khi đó

D. m = 5.

A

C

MP //AB ', MN //BC '.
P

Suy ra góc cần tìm là góc giữa MP, MN .
m2 + 1
MP = MN =
. Lấy Q là trung điểm A ' B '.

2
⇒ PN = PQ 2 + QN 2 = m2 +
Suy ra cosPMN =

B

1
.
4

PM 2 + MN 2 − PN 2
1
= ± , từ đó A '
2.PM .MN
2

M

C'

tính được m = 2.

Q
N
Câu 43. Cho chóp S. ABCD có mặt phẳng đáy là hình vng
cạnh a , ∆SAB là tam giác vuông cân tại S và nằ m
B'
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SC và AD ?
A. α ≈ 39 0 22 ' .
B. α ≈ 73 0 45 ' .

C. α ≈ 35 015 ' .
D. α ≈ 42 0 24 ' .
Hướng dẫn giải
Ta có BC //AD nên góc giữa SC và AD là góc giữa SC và BC , vậy góc cần tìm là SCB. Dễ
1
chứng minh ∆SBC vuông tại B nên tan SCB =
⇒ α ≈ 35015' .
2
Câu 44. Cho hình chóp S . ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh a, ABC = 600 , SA vng góc mặt

phẳng đáy là SA = a 3. Tính góc giữa ( SBC ) và ( ABCD ) ?
A. α ≈ 33011'
Hướng dẫn giải

B. α ≈ 140 55 '

C. α ≈ 62017 '

D. α ≈ 26033'

Lấy H là trung điểm BC . Do ABC = 600 nên
∆ABC đều. Dễ chứng minh BC ⊥ ( SAH ) ⇒ Góc

S

cần tìm là SHA .
AH =

a 3
, SA = a 3 .

2

Xem các chuyên đề khác tại toanhocbactrungnam.vn

A

D

25 | T H B T N