gtc1a

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (261.2 KB, 24 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

1. Đinh nghóa:

Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)
2. Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I
3. Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f khơng đổi trên I.

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch
biến của hàm số.

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y  2x24x5 b)

2 5

4 4

x

y  x c) y x 2 4x3
d) y x 3 2x2 x 2 e) y(4 x x)( 1)2 f) y x 3 3x24x1

g) 1 4 2 2 1

y  x  x  h) yx4 2x23 i) 1 4 1 2 2

10 10

y x  x 

k) 2 1

5
x
y

x



 l)

1
2

x
y

x



 m)

1
1

1
y

x
 



n) 2 2 26

x x

y

x
 


 o)

1
3

y x

x
  

 p)

4 15 9

x x

y

x

 



CHƯƠNG I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG I

ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT

VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm soá sau:
a) y 6x4 8x3 3x2 1

    b)

2
2

1
4
x
y

x





c) 22 1

x x

y

x x

 



 
d) y 2x21

x


 e) 2

3 2

x
y

x x



  f) y   x 3 2 2 x
g) y  2x1 3 x h) y x 2 x2 i) y 2x x 2
k) sin2

2 2

y x  x 

 

 

l) sin 2

2 2

y x x  x 

 

 

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến hoặc nghịch biến 
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m ( , ), m là tham số, có tập xác định D.
 Hàm số f đồng biến trên D  y 0, x  D.
 Hàm số f nghịch biến trên D  y 0, x  D.
Từ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý:

1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
2) Nếu y'ax2bx c thì:



0
0
' 0,

0
0
a b
c

y x R

a
   



 



    

 



 
 



0
0
' 0,

0
0
a b
c

y x R

a
   



 



    

 



 
 
3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c :

 Nếu  < 0 thì g(x) ln cùng dấu với a.

 Nếu  = 0 thì g(x) ln cùng dấu với a (trừ x = 
2

b
a

 )

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu

với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c với số 0:

 1 2

0 0

x x P

S
 


    

 




 1 2

0 0

x x P

S
 


    

 




 x10x2  P0
5) Để hàm số y ax 3bx2cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng

d thì ta thực hiện các bước sau:
 Tính y.

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:
0

0
a
 




 (1)

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc
tập xác định) của nó:

a) y x 35x13 b)

3
2

3 9 1

3
x

y  x  x c) 2 1
2
x
y

x





d) 2 2 3

x x

y

x

 



 e)

3 sin(3 1)

y x x f) y x2 2mx 1
x m

 




Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc
tập xác định) của nó:

a) y5xcot(x1) b) ycosx x c) ysinx cosx 2 2x 
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau ln đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác

định) của noù:

a) y x3 3mx2 (m 2)x m

     b)

3 2

2 1

3 2

x mx

y   x c) y x m

x m




d) y mx 4

x m



 e)

2 2 1

x mx

y

x m

 



 f)

2 2 3 2
2

x mx m

y

x m

 




Bài 4. Tìm m để hàm số:

a) y x 33x2mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

b) 1 3 1 2 2 3 1

3 2

y x  mx  mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.

c) 1 3 ( 1) 2 ( 3) 4

y x  m x  m x đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.
Bài 5. Tìm m để hàm số:

a) 3 ( 1) 2 ( 1) 1

3
x

y  m x  m x đồng biến trên khoảng (1; +).
b) y x 3 3(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến trên khoảng (2; +).

c) y mx m

x m4 ( 2)


 

 đồng biến trên khoảng (1; +).
d) y x m

x m



 đồng biến trong khoảng (–1; +).

e) 2 2 3 2

x mx m

y

x m

 



 đồng biến trên khoảng (1; +).

f) 2 2 3

2 1

x x m

y

x

  



 nghịch biến trên khoảng 1 ;2

 

 

 

 .

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ). Xét hàm số y = f(x) trên tập
xác định do đề bài chỉ định.

 Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.
 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.
Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại
tiếp tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thơi.

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b).
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 3 sin , 0

6
x

x  x x với x  b) 2sin 1tan , 0

3 x3 x x với x2


c) tan , 0

x x với x d) sin tan 2 , 0

2
x x x với x
Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan , 0

tana a với a bb b    2

 b) sin sin , 0

2
a a b  b với a b 

c) tan tan , 0

2
a a b  b với a b 
Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin 2 , 0

2
x

x với x

 b)

3 3 5

sin , 0

6 6 120

x x x

x  x x   với x

c) xsinx cosx 1,với 0 x
2


   

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ex  1 x với x, 0 b) ln(1x)x với x, 0

c) ln(1 ) ln 1 , 0

x x với x

x

   

 d)





2 2

1xln x 1x  1x
Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan 550 1,4

 b) 13sin 200 207 c) log 3 log 42  3

HD: a) tan 550 tan(45010 )0 . Xét hàm số ( ) 1

1
x
f x

x



 .
b) Xét hàm số f x( ) 3 x 4x3.

f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;
2 2

 



 

  vaø

0
1,sin 20 , 7

3 20

1 1;

2 2

 



 

 .

c) Xét hàm số f x( ) log ( x x1) với x > 1.

Bài 6. Cho x³ y³ z³ 0. Chứng minh rằng: x z y x y z

z + + ³y x y+ +z x

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
 Chọn được nghiệm x0 của phương trình.

 Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng

biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có

hồnh độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) x  x 5 5 b) x5x3 1 3 x  4 0
c) x x 5 x 7 x16 14 d) x215 3 x 2 x28

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) 5x 1 5 x 2 5x3 0 b) ln(x 4) 5  x
c) 3x 4x 5x

  d) 2x3x5x 38

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) x 1 35x 7 47x 5 513x 7 8

        b) 2x x x 7 2 x27x 35
Bài 4. Giải phương trình:

a) cos2 cos 2 2

3 x- 3- x+ = - cos x- cosx+2

b) 2 2

2 2

log 3 2

2 3 3

x x x

x x

+ = + +

+ +

Bài 5. Cho phương trình: 2 2 2 22 4 2 2

5x+mx+ - 5x+mx+ +m =x +2mx+m

Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc

( )

0;1

Bài 6. Giải hệ phương trình

3 3

2 2

7 7

x x y y
x y x y

ìï + = +

ïïí

ï + = + +

ïïỵ (CĐSP Trà Vinh Khối A – 2005 )

Bài 7. Giải hệ phương trình

3 3

6 6

3 3

x x y y
x y

ìï - =

-ïïí

ï + =

ïïỵ (ĐH Ngoại Thương Khối A – 2001 )

Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a)
3 2
3 2
3 2
2 1

2 1
2 1

x y y y

y z z z

z x x x

    

    

   

b)
3 2
3 2
3 2
2
2
2

x y y y

y z z z

z x x x

    


    

   

c)
3 2
3 2
3 2

6 12 8

y x x

z y y

x z z

   

   

  

d)

x y y x

x y
x y
tan tan
5
2 3
4
,
2 2

 
   

  


  


e)

x y x y

x y
x y

sin sin 3 3

, 0

   


 





f)

x y y x

x y
x y

sin 2 2 sin 2 2

2 3
0 ,
2


   

  

  




g) x x y y x y
x y

cot cot

5 7 2

0 , 

   

 

  

h)

HD: a, b) Xét hàm số f t( ) t3 t2 t

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

I. Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D.

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}.

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0.

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng
có đạo hàm.

III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm
trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.

2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = 0 và
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

 Tìm f (x).

 Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm.

 Xét dấu f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi.

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
 Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).

 Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …).

Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi.

Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.

II. CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y 3x2 2x3

  b) y x3 2x22x 1 c) 1 3 4 2 15
3

y x  x  x

d) 4 2 3

2
x

y  x  e) y x 4 4x25 f)

2 3

2 2

x

y x 

g) 2 3 6

x x

y

x

  



 h)

3 4 5

x x

y

x

 



 i)

2 2 15
3

x x

y

x

 



Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y (x 2) (3 x 1)4

   b)

2
2

4 2 1

2 3

x x

y

x x

 



 

c) 3 22 4 4
1

x x

y

x x

 



 
d) y x x2 4

  e) y x2 2x5 f) y x  2x x 2
Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y3 2x 1 b)

3 2

2 1

x
y

x


 c) 4

x x

y e e
 

d) y x 2 5x 5 2lnx e) y x  4sin2x f) y x  ln(1x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x0) = 0 hoặc tại x0 khơng có đạo hàm.

2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0.

Chú ý:

 Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d có cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm
phân biệt.

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

+ y x( )0 ax03bx02cx0d

+ y x( )0 Ax0B, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y.
 Hàm số

' '

ax bx c

y

a x b

 



 =

( )
( )
P x

Q x (aa 0) có cực trị  Phương trình y = 0 có hai
nghiệm phân biệt khác '

'
b
a

 .

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

0
0

0
( )

( )

( )
P x
y x

Q x

 hoặc 0 0

0
'( )
( )

'( )
P x
y x

Q x


 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
nghiệm ngoại lai.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu:
a) y x3 3mx2 3(m2 1)x m3

     b) y2x3 3(2m1)x26 (m m1)x1
c) y x2 m m( 2 1)x m4 1

x m

   



 d)

2 2

x mx m

y

x m

  



 

Bài 2. Tìm m để hàm số:

a) y(m2)x33x2mx 5 có cực đại, cực tiểu.

b) y x3 3(m 1)x2 (2m2 3m 2)x m m( 1)

        có cực đại, cực tiểu.

c) y x 3 3mx2(m2 1)x2 đạt cực đại tại x = 2.

d) y mx4 2(m 2)x2 m 5

     có một cực đại 1 .
2
x
e) y x2 2mx 2

x m

 



 đạt cực tiểu khi x = 2.

f) 2 ( 1) 2 4 2

x m x m m

y

x

    



 có cực đại, cực tiểu.

g) 2

x x m

y
x

 



 có một giá trị cực đại bằng 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau khơng có cực trị:

a) y x 3 3x23mx3m4 b) y mx 33mx2 (m1)x1

c) 2 5

3
x mx
y

x

  



 d)

2 ( 1) 2 4 2
1

x m x m m

y

x

    




Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y ax3 bx2 cx d

    đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x =
1
3

b) y ax 4bx2c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3.

c) 2

1
x bx c
y

x

 



 đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.
d) y ax2 bx ab

bx a

 



 đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.

e) 2 22

ax x b

y

x

 





đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số :

a) y x 32(m 1)x2(m2 4m1)x 2(m21) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:
1 2

1 2

1 1 1 ( )

2 x x

x x   .

b) 1 3 2 1

y x  mx mx đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1 x2 8.

c) 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

3 3

y mx  m x  m x đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:
1 2 2 1

x  x  .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

a) 2 2
1

x mx m

y

x m

  



  có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu.

b) 2 ( 1) 2 4 2

x m x m m

y

x

    



 có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực
tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

c) 2 3

x x m

y

x

  



 có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả M m 4.

d) 2 2 3 2

x x m

y

x

  



 coù

CĐ CT

y  y  .
Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) yx3mx2 4 có hai điểm cực trị là A, B và

2
2 900

729
m

AB  .

b) y x 4 mx24x m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ
O làm trọng tâm.

c) y x2 mx m 2
x m

  



 có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh
hai điểm cực trị ln ln nằm cùng một phía đối với trục hồnh.

d) 2

1
x mx
y

x



 có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.

e) 2 2 5

x mx

y

x

  



 có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường
thẳng y = 2x.

f) y x2 2x m 3
x m

  



 có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y2x3mx212x 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

b) y x 3 3mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân
giác thứ nhất.

c) y x 3 3mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường
thẳng (d): 3x 2y 8 0.

d) 2 (2 1) 2 1

x m x m

y

x

   



 có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng
(d): 2x 3y 1 0 .

Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y x2 (m 1)x 2m 1

x m

   



 có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt
phẳng toạ độ.

b) 2 2 (4 2 1) 32 2 2

mx m x m m

y

x m

   



 có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ
hai và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.

c) y mx2 (m2 1)x 4m2 m
x m

   



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.

d) 2 (2 1) 2 1

x m x m

y

x

   



 có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung).
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x ( )ax3bx2cx d .

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.
 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:

1 1 1

2 2 2

( )
( )

y f x Ax B

   



  



 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.

2) Hàm số phân thức ( ) ( ) 2
( )

P x ax bx c
y f x

Q x dx e

 

  

 .

 Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 0 0
0
'( )
'( )
P x
y

Q x

 .

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
cực trị ấy là: y P x'( ) 2'( ) ax b

Q x d



  .

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
a) y x 3 2x2 x1 b) y3x2 2x3 c) y x 3 3x2 6x8

d) 2 2 1

3
x x
y

x

 



 e

2 1

x x

y
x

 




Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số:

a) y x 3 3mx23(m21)x m 3 b)

2 6

x mx
y

x m

 





c) y x 3 3(m1)x2(2m2 3m2)x m m ( 1) d)

2 2

x mx m

y

x m

  



 

Bài 3. Tìm m để hàm số:

a) y2x33(m 1)x26(m 2)x1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song

với đường thẳng y = –4x + 1.

b) y2x33(m 1)x26 (1 2 )m  m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên
đường thẳng y = –4x.

c) y x 3mx27x3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vng góc

với đường thẳng y = 3x – 7.

d) y x 3 3x2m x m2  có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (): 1 5

2 2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

1. Định nghóa:

Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R).
a)

0 0

( ) ,

max ( ) : ( )

D

f x M x D

M  f x   x D f x  M

  


b)

0 0

( ) ,

min ( ) : ( )

D

f x m x D

m f x   x D f x  m

  


2. Tính chất:

a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì max ( )[ ; ]a b f x f b( ), min ( )[ ; ]a b f x f a( ).
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì max ( )[ ; ]a b f x f a( ), min ( )[ ; ]a b f x f b( ).

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên 
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

 Tính f (x).

 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.
 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].
 Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có).

 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).

 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.



1 2



[ ; ]

max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )n

a b

M f x  f a f b f x f x f x



1 2



[ ; ]

min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )n

a b

m f x  f a f b f x f x f x

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y x 24x3 b) y4x3 3x4 c) y x 42x2 2

d) y x2 x 2

   e) 2 1

2 2

x
y

x x




  f)

2
2

2 4 5

x x

y

x

 




g) y x2 1 ( 0)x

x

   h)

2
2

1
1
x x
y

x x

 



  i)

4 2

3 1 ( 0)

x x

y x

x x

 

 


Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y 2x3 3x2 12x 1

    treân [–1; 5] b) y3x x 3 treân [–2; 3]
c) y x 4 2x23 treân [–3; 2] d) y x 4 2x25 treân [–2; 2]

e) 3 1

3
x
y

x



 treân [0; 2] f)

1
1
x
y

x



 trên [0; 4]

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

g) 4 2 7 7
2

x x

y

x

 



 treân [0; 2] h)

2
1

1
x x
y

x x

 


 

treân [0; 1]
i) y 100 x2

  treân [–6; 8] k) y 2x 4 x

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) 2sin 1

sin 2

x
y

x




 b) 2

cos cos 1

y

x x



  c)

2sin cos 1

y x x
d) ycos2x 2sinx1 e) ysin3xcos3x f)

2
4 2

1
1
x
y

x x




 

g) y4 x2 2x 5 x2 2x3 h) y x2 4x x2 4x 3

    

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức 
Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.

 Chứng minh một bất đẳng thức.

 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành
đẳng thức.

Bài 1. Giả sử D



( ; ; ) /x y z x 0,y0,z0,x y z  1



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức: P x1 y1 z1

x y z

  

   .

HD: P 3  x11y11z11

  

 

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:



( 1) ( 1) ( 1)



1 1 1 9

1 1 1

x y z

 

        

  

 

 P  3

4. Dấu “=” xảy ra  x = y = z = 
1
3. Vaäy

3
min

D P .

Baøi 2. Cho D = ( ; ) / 0, 0, 5

x y x y x y

 

   

 

 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

4 1

4
S

x y

  .

HD:





1 1 1 1 1 25

x x x x y

 

         

  

4 1

4( ) 25

4
x y

x y

 

   

 

 S  5. Dấu “=” xảy ra  x = 1, y = 1

4. Vaäy minS = 5.

Bài 3. Cho D =



( ; ) /x y x0,y0,x y 1



. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 1

1 1

x y

P x y

x y x y

    

   .

HD: (1 ) 2 (1 ) 2 1 2

1 1

x y

P x y

x y x y

       

   =

1 1 1 2

1 x1 y x y   .
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:



(1 ) (1 ) ( )



1 1 1 9

1 1

x y x y

x y x y

 

        

  

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

 11x 11y x y 1 92

  

 P  5

2 . Dấu “=” xảy ra  x = y = 
1

3. Vaäy minP = 
5
2.

Bài 4. Cho D =



( ; ) /x y x0,y0,x y 4



. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

3 4 2

x y

P

x y

 

  .

HD: P 4x x12 y12 8 8y y x y2

  (1)

Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 2 .1 1

4 4

x x

   (2)

2 2

1 3 1 . . 3

8 8 8 8 4

y y y y

y    y  (3)

 P  9

2 . Daáu “=” xảy ra  x = y = 2. Vậy minP = 
9
2.

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị 
Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.

Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

( ) (1)

(2)
f x y

x D

 





Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy
(sau khi biến đổi) có dạng: m  y0 M (3)

Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:

min ( ) ; max ( )

D f x m D f x M

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) 22 1

x x

y

x x

 


  b)

2
2

2 7 23

2 10

x x

y

x x

 



  c)

2sin cos 1

sin 2cos 3

x x

y

x x

 



 

d) 2sin cos 3

2 cos sin 4

x x

y

x x

 



 

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( )D f x m; max ( )D f x M. Khi đó:
1) Hệ phương trình x Df x( )




 có nghiệm

 m  M.
2) Hệ bất phương trình x Df x( )




 có nghiệm

 M .
3) Hệ bất phương trình x Df x( )




 có nghiệm

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) 4 x 2 44 x 2

    b) 3x5x 6x2 c) x5(1 x)5161

Bài 2. Tìm m để phương trình x3- 3x2- m=0 có nghiệm xỴ ê úé ù1;3

ë û

Đáp số:

-

4 £

m

£

0

Bài 3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 3 2 2 3

3
x

x x

e - e + e =m

Bài 4. Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: - x3+3x2+k3- 3k2=0

Đáp số:

- < <

1 k

3,

k

¹

0,

k

¹

2

Bài 5. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) x 2x2 1 m

   b) 2 x 2x (2 x)(2x)m
c) 3x 6 x (3x)(6 x)m d) 7 x  2x (7 x)(2x) m
Bài 6. Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm x+ 9- x- - x2+9x+m=0

(Hướng dẫn: PTÛ m=x2- 9x+2 - x2+9x+9 (1)

Đặt t= - x2+9x,0 9

t

£ £

(1)Û m= - t2+2t+9 Đáp số: 9 10

4 m

- £ £ )

Bài 7. Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 1 1 2 1 1 2

9+ -x - (a+2).3+ -x +2a+ =1 0

Đáp số:

a

³

4

Bài 8. Cho phương trình

(

2+ 3

) (

x+ -2 3

)

x =m

a) Giải phương trình khi m = 4

b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm.
Bài 9. Cho phương trình x2+ 1- x+ 1+ =x m

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Xác định m để phương trình có nghiệm.

Đáp số: b)

1

2

5

2 m

+

£

Bài 10.(ĐH 2006 Khối B)

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x2+mx+ =2 2x+1

Bài 11.(ĐH 2007 Khối A)

Tìm m đề phương trình sau có nghiệm 3 x- 1+m x+ =1 24x2- 1

Bài 12.(ĐH 2007 Khoái B)

Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm
thực phân biệt: x2+2x- 8= m x

(

- 2

)

Bài 13.(ĐH 2008 khối A)

Tìm tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 14.(ĐH 2007 khối D)

Tìm các giá trị của tham số m để hệ ptrình có nghiệm

3 3

1 1

1 1 15 10

x y

x y m

x y

ìïï + + + =
ïïï

íï

ï + + + =

-ïï
ïỵ

Bài 15.Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  R:
a) x 2x2 1 m

   b) m 2x29 x m c) mx4 4x m 0

Bài 16.Cho bất phương trình: x3 2x2 x 1 m 0

     .
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].
Bài 17.Tìm m để các bất phương trình sau:

a) mx x 3 m 1 có nghiệm. b) (m2)x m  x 1 có nghiệm x  [0; 2].
c) m x( 2 x1)x2 x 1 nghiệm đúng với mọi x  [0; 1].

VẤN ĐỀ 5: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong chứng minh BĐT 
Để chứng minh f x

 

0 ta chứng minh Minf x

 

0

Để chứng minh f x

 

0 ta chứng minh Maxf x

 

0

Để chứng minh f x

 

g x

 

ta chứng minh Minf x

 

Maxg x

 

Bài 1. Chứng minh rằng: x4- x+ >1 0, " Ỵ ¡x

Baøi 2. CMR: 3a3+7b3>9ab2 "a b, >0 (CĐSP Trà Vinh Khối B – 2005)

Bài 3. Cho 256b3³ 27a4, CMR: x4+ax b+ ³ 0 " Ỵ ¡x

Bài 4. Chứng minh rằng: 1+xlnỗỗỗốx+ 1+x2ữữữứữ 1+x2, " x Ă

Bi 5. Tỡm tt c các giá trị a để ln(1x) x ax2, x 0 Đáp số: 0< £a 1

Bài 6. a) Chứng minh rằng nếu a > 0 là số sao cho ax  1 x với mọi x0 thì a e b)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

1. Định nghóa:

Điểm U x f x



0; ( )0



đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;

b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ
thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị cịn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị
2. Tính chất:

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f(x0) = 0 và
f(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì U x f x



0; ( )0



là một điểm uốn của đồ thị hàm số.

 Đồ thị của hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d (a  0) ln có một điểm uốn và đó
là tâm đối xứng của đồ thị.

Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:

a) y x 3 6x23x2 b) y x 3 3x2 9x9 c) y x 4 6x23

d) 4 2 2 3

4
x

y  x  e) y x 412x348x210 f) y3x5 5x43x 2
Bài 2. Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:

a) y x 3 3x23mx3m4; I(1; 2). b)

2 8

( 1) ( 3)

3 3

x

y  m x  m x ; I(1; 3)
c) y mx 3nx21; I(1; 4) d) y x 3 mx2nx 2; I2 ; 33  

 

e) y x3 3mx2 2
m

   ; I(1; 0) f) y mx 33mx24; I(–1; 2)
Bài 3. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn:

a) 5 4 4 (4 3) 3 5 1

5 3
x

y  x  m x  x b)
2

2
1
1
x mx
y

x

 





Bài 4. Chứng minh đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:

a) 22 1

1
x
y

x x




  b) 2

1
1
x
y

x




 c)

2
2

2 3

x x

y
x





d) 22 1

1
x
y

x



 e) 2 1

x
y

x


 f)

2
2

2 5

x x

y

x x

 



 

g) 22 2 3

3 3

x x

y

x x




  h)

2
2

3
1

x x

y
x




 i)

3
2 4 5

x
y

x x



 

Bài 5. Tìm m, n để đồ thị của các hàm số:

a) y x 4 2x3 6x2mx2m1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).

b) 3 2 2

3 3

x

y  x mx có điểm uốn ở trên đường thẳng y x 2.

c) 1 4 2

y x mx n có điểm uốn ở trên Ox.

IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

1. Định nghóa:

 Đường thẳng x x 0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

0
lim ( )

x x f x



; 
0
lim ( )

x x f x



 ;

0
lim ( )

x x f x



;

0
lim ( )

x x f x



 
 Đường thẳng y y 0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x ( ) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim ( )

x f x y

 ; lim ( ) 0

x  f x y


 Đường thẳng y ax b a  , 0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x ( )
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:





lim ( ) ( ) 0

x  f x ax b

   ; lim



( ) ( )



x   f x ax b

  

2. Chú ý:

a) Nếu y f x ( )Q xP x( )( ) là hàm số phân thức hữu tỷ.

 Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x 0.
 Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.
 Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng
các công thức sau:





( )

lim ; lim ( )

x x

f x

a b f x ax

x

   

  

hoặc lim ( ); lim



( )



x x

f x

a b f x ax

x

     

  

Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 2 5

1
x

y
x


 b)
10 3
1 2
x
y
x


 c)
2 3
2
x
y
x




d) 2 4 3

1
x x
y
x
 


 e)
2
( 2)
1
x
y
x


 f)
2

7 4 5

2 3
x x
y
x
 


Bài 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 2

4 5

x
y

x x



  b) 2

2
9
x
y
x


 c)
2
2
4 5
1
x x
y
x
 


d) 2 22 3 3

1
x x
y
x x

 


  e)

3
2
1
1
x x
y
x
 

 f)
4
3
4
1
x x
y
x
 


Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) y x2 4x

  b) 2

4 2
9
x
y
x



 c) 2

1
4 3
y
x x

 

d) 1

1
x
y x

x


 e) y33x2 x3 f)

2 3 2

2
x x
y
x
 


V. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 2 1

2 1

x
x

y 

 b) ln 2

x x

e e

y   c) yln(x2 5x6)
Bài 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:

a)y

x2 m x m2

4 2(2 3) 1



    b)

2
2

3 2( 1) 4

x
y

x m x




   c) 2

3
2
x

y

x x m




  

d) y x

x2 m x m2
3

2( 2) 1




    e)

x
y

x2 m x m2
1

2( 1) 2




    f) 2

2 2 1

y

x mx m



  

Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:

a) 2 (3 2) 2 1

x m x m

y

x

   



 b)

2 (2 1) 3

mx m x m

y

x

   





Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn
trên hai trục toạ độ:

a) 3 2 1

1
x x
y
x

 

 b)
2
3 4
2
x x
y
x
  

 c)
2 7
3
x x
y
x
 



Bài 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam
giác có diện tích S đã chỉ ra:

a) 2 1

1
x mx
y
x

 


 ; S = 8 b)

2 (2 1) 2 3
1

x m x m

y

x

   



 ; S = 8

c) 2 2 2(2 1) 4 5

x m x m

y

x

   



 ; S = 16 d)

2
2 2
1
x mx
y
x
 


 ; S = 4

Bài 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm
số đến hai tiệm cận bằng một hằng số:

a) 2 1

1
x x
y
x
 

 b)
2

2 5 4

3
x x
y
x
 

 c)
2 7
3
x x
y
x
 



VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
 Tìm tập xác định của hàm số.

 Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc khơng xác định.

+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.
 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y.

– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y.

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục
toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao
điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể
vẽ chính xác hơn.

+ Vẽ: oxy, cực trị(nếu có), điểm uốn(nếu có), tiệm cận(nếu có), điểm đặc biệt.
+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.
2. Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a ( 0):

 Tập xác định D = R.

 Đồ thị ln có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

 Các dạng đồ thị:

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 2 nghiệm phân
biệt

 ’ = b2 – 3ac > 0

y’ = 0 có nghiệm kép
 ’ = b2 – 3ac = 0

Y’ = 0 vô nghiệm
 ’ = b2 – 3ac < 0

3. Hàm số trùng phương y ax 4bx2c a( 0):

 Tập xác định D = R.

 Đồ thị ln nhận trục tung làm trục đối xứng.

y

x
0

I

y

x
0 I

y

x
0

I

y

x
0

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

 Các dạng đồ thị:

4. Hàm số nhất biến y ax b (c 0,ad bc 0)
cx d



   

 :

 Tập xác định D = \R d
c

 



 

 .

 Đồ thị có một tiệm cận đứng là x d
c

 và một tiệm cận ngang là y a
c

 . Giao điểm
của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

 Các dạng đồ thị:

5. Hàm số hữu tỷ 2 ( . ' 0, )

' '

ax bx c

y a a tử không chia hết cho mẫu
a x b

 

 

 :

 Tập xác định D = \ '
'
b
R

a

 



 

 .

 Đồ thị có một tiệm cận đứng là '
'
b
x

a

 và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai
tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

a > 0a < 0y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
 ab < 0

y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm

 ab > 0

y

x
0

y

x
0

y

x
0

y

x
0

0

ad – bc > 0
x
y

0

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

 Các dạng đồ thị:

a.a > 0 a.a < 0

y = 0 có 2 nghiệm phân
biệt

Y = 0 vô nghiệm

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y x3 3x2 9x 1

    b) y x 33x23x5 c) yx33x2 2
d) y (x 1) (42 x)

   e)

2 1

3 3

x

y  x  f) yx3 3x2 4x2
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x4 2x2 1

   b) y x 4 4x21 c)
4

2 5
3

2 2

x

y  x 
d) y (x 1) (2 x 1)2

   e) yx42x22 f) y2x44x28
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 1

2
x
y

x



 b)

2 1

1
x
y

x



 c)

3
4
x
y

x





d) 1 2

1 2
x
y

x



 e)

3 1

3
x
y

x



 f)

2 1

x
y

x




Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 2 1

x x

y
x

 


 b)

2 2

x x

y
x

 


 c)

2 2

x x

y
x

 




d) 1 1

y x

x
  

 e)

2
1

x
y

x


 f)

2 2
1

x x

y
x






0 x

y

0 x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1. Nhắc lại một số kiến thức

a) Định nghĩa giá trị tuyệt đối: A A khi A 00
A khi A

ìï ³

= íï - <

ïỵ

b) Định lý cơ bản: A B B 0
A B

ìï ³
ï

= Û íï = ±

ïỵ

c) Một số tính chất về đồ thị:

+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
+ Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

2. Ba dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Từ đồ thị( ) :C y=f x( )®( ) :C1 y= f x( )

B1. Ta coù : 1

( ) khi f(x) 0 (1)
( ) : ( )

( ) khi f(x) 0 (2)

f x
C y f x

f x

ìï ³

= = íï - <

ïỵ

B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C1) như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do (2) )
 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ta sẽ được (C1)

Minh họa: ( ) :C y=x3- 3x+ ®2 ( ) :C1 y= x3- 3x+2

VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ

TUYỆT ĐỐI

VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ

TUYỆT ĐỐI

( )

y

=

f x

( )

y

=

f

-

x

( )

y

= -

f x

( )

y

= -

f x

-y

O x

O
-1
-2

2
1
4
3
2
1

x
y

O
-1
-2

2
1
4
3
2
1

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Dạng 2:Từ đồ thị ( ) :C y=f x( )®( ) :C2 y= f x( ) ( đây là hàm số chẵn)

B1. Ta coù : 2

( )

( ) khi x 0 (1)
( ) :

( ) khi x 0 (2)

f x
C y f x

f x

ìï ³

= = íï - <

ïỵ

B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C2) như sau.

Do đồ thị của hàm số chẳn nên ta chỉ cần vẽ phần nằm bên phải trục oy, và lấy
đối xứng qua oy ta sẽ được (C2).

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do (1) )

 Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( do tính chất
hàm chẳn )

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta sẽ được (C2)

Minh họa: 3 3

( ) :C y=x - 3x+ ®2 ( ) :C y= x - 3x +2

Dạng 3:Từ đồ thị( ) :C y=f x( )®( ) :C3 y =f x( )

B1. Ta coù : 3

( ) 0

( ) (1)

( ) : ( )

( ) (2)

f x

y f x
C y f x

y f x

ìï ³
ïï
ï é =

= Û í ê

ïï ê
=-ï ê
ï ë
ỵ

B2. Từ đồ thị (C) đã vẽ ta có thể suy ra đồ thị (C3) như sau:

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox ( do f x

( )

³ 0)

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (1) )
 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox ( do (2) )

Minh hoïa: 3 3

( ) :C y=x - 3x+ ®2 ( ) :C y =x - 3x+2

O
-1
-2

2
1
4
3
2
1

x
y

O
-1
-2

2
1
4
3
2
1

O
-1
-2

2
1
4
3
2
1

x
y

O
-1
-2

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1. Cho hàm số : y= - x3+3x (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

) 3

a y= - x + x b) y= - x3+3x c) y = - x3+3x

Bài 2. Cho hàm số : 1

x
y

x

+
=

- (1)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2. Từ đồ thị (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thị các hàm số sau:

1
)

x
a y

x

- b)

1
1

x
y

x

+
=

- c)

1
1

x
y

x

+
=

d) 1

x
y

x

+
=

- e)

1
1

x
y

x

+
=

-Bài 3. Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x 3 3 x 2 b) y x33x2 2 c) y x 4 2x2 3

d) y x 11

x



 e)

2 2

x x

y

x

 



 f)

2 3 3
2

x x

y

x

 

</div>

gtc1a

<b>CHƯƠNG I</b>

<b>ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT </b>

<b>VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ</b>

<b>CHƯƠNG I</b>

<b>ỨNG DỤNG ĐẠO HAØM ĐỂ KHẢO SÁT </b>

<b>VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ</b>

I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ





( )

II. CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ









III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

























-

4

£

<i>m</i>

£

0

- < <

1

<i>k</i>

3,

<i>k</i>

¹

0,

<i>k</i>

¹

2

<i>a</i>

³

4

(

) (

)

1

2

5

2

<i>m</i>

+

£

£

(

)

 

 

 

 

 

 

 

 









IV. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ







