OnbaivnBaiTapGiaiTichPhanSoPhucTranSiTung

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (300.01 KB, 11 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRẦN SĨ TÙNG 
---- ›š & ›š ----

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

TẬP 4

ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Khái niệm số phức

· Tập hợp số phức: C

· Số phức (dạng đại số) : z a bi= +

(a, b RỴ , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)

·z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

· Hai số phức bằng nhau: a bi a b i+ = +’ ’ Ûì =í =b ba a'' ( , , ', 'a b a b RỴ )

ỵ

2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, bỴR) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay
bởi ur=( ; )a b trong mp(Oxy) (mp phức)

3. Cộng và trừ số phức:

(

a bi+

) (

+ a b i’+ ’

) (

= a a+ ’

) (

+ b b i+ ’

)

(

a bi+

) (

- a b i’+ ’

) (

= a a- ’

) (

+ b b i- ’

)

· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

· ur biểu diễn z, 'ur biểu diễn z' thì u ur r+ 'biểu diễn z + z’ và u ur r- ' biểu diễn z – z’.

4. Nhân hai số phức :

(

a bi a b i+

)(

'+ '

) (

= ’– ’aa bb

) (

+ ab’ ’+ ba i

)

· (k a bi+ )=ka kbi k R+ ( Ỵ )

5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi=

· 1 1

2 2

; ' ' ; . ' . '; z z

z z z z z z z z z z

z z

ổ ử

= = = ỗ ÷=

è ø ;

2 2

z z a= +b

· z là số thực Û z z= ; z là số ảo Û z= -z

6. Môđun của số phức : z = a + bi
· z = a2+b2 = zz = OMuuuur

· z ³ " Ỵ0, z C, z = Û =0 z 0

· . 'z z = z z. ' ·

' '

z z

z = z · z z- ' £ ±z z' £ +z z'

7. Chia hai số phức:

· z 1 12 z

z

- = (z ¹ 0) · 1
2

' ' '. '.

z z z z z z z
z = - = z = z z ·

' '

z w z wz

z = Û =

I. SỐ PHỨC

CHƯƠNG IV

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

8. Căn bậc hai của số phức:

· z x yi= + là căn bậc hai của số phức w a bi= + Û z2 =w Û 2 2

x y a
xy b

ì - =

í =

ỵ

· w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0

· w ¹0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
· Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a

· Hai căn bậc hai của a < 0 là ± -a i.

9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0¹ ).

D =B2-4AC

· D ¹0: (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2
2

B
z

A
- ± d

= , (d là 1 căn bậc hai cuûa D)
· D =0: (*) có 1 nghiệm kép: 1 2

B
z z

A

= =

-Chú ý: Nếu z0Ỵ C là một nghiệm của (*) thì z cũng là một nghiệm cuûa (*). 0

10. Dạng lượng giác của số phức:

· z r= (cosj +isin )j (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z ¹ 0)

2 2

cos
sin

r a b
a
r
b
r
ì

ï = +

ïï

Ûí j =

ï j =

ïỵ

·j là một acgumen của z, j =( ,Ox OM)

· z = Û =1 z cosj+isin (j jỴR)

11. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho z r= (cosj +isin ) ,j z r'= '(cos ' sin ')j +i j :

· z z rr. '= '. cos(

[

j + j +') sin(i j + j')

]

[

cos( ') sin( ')

]

' '

z r i

z =r j - j + j - j

12. Công thức Moa–vrơ:

[

r(cosj +isin )j

]

n=rn(cosnj +isin )nj , (n NỴ *)

(

cosj +isinj =

)

n cosnj +isinnj

13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

· Số phức z r= (cos j+isin )j (r > 0) có hai căn bậc hai là:

cos sin

2 2

cos sin cos sin

2 2 2 2

r i

vaø r i r i

ổ j+ jử

ỗ ữ

ố ứ

ộ ự

ổ j jử ổj ử ổj ử

- ỗ + ữ= ờ ỗ + p +ữ ỗ + pữỳ

ố ứ ở ố ứ è øû

· Mở rộng: Số phức z r= (cos j+isin )j (r > 0) có n căn bậc n là:
nr cos k2 isin k2 ,k 0,1,...,n 1

n n

ổ + + + ử =

-ỗ ữ

ố ø

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia

Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức. 
Chú ý các tính chất giao hốn, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.

Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a)

( ) (

4 –i + 2 3 – 5+ i

) ( )

+i b) 2 1 2

i æ iử

- +ỗ - ữ

ố ứ c)

(

)

2 5
2 3

3 4

i ổ iử

- -ỗ - ữ

ố ứ

d) 3 1 3 2 1

3i 2 i 2i

ỉ ư ỉ ư

- + - +

-ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ e) 3 1

5 3

4 5i 4 5i

ỉ ư ỉ ư

+ - - +

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ f)

(

2 3 3- i

)( )

+i

i
i
i

i

- 2

3 h)

i
2
1

+ i) i

i

1
1

k)
m
i

m l)

a
i
a

-+ m)

)
1
)(
2
1
(

3
i
i

i

o) 1
2

i
i
+

- p) i a

b
i

a+ q) 2 3

4 5

i
i

-+

Bài 2. Thực hiện các phép toán sau:

( ) ( )

1+i 2- 1–i 2 b)

( ) ( )

2+i 3- -3 i 3 c)

(

3 4+ i

)

1 3

2 i

ổ - ử

ỗ ữ

ố ứ e) 2 2

2
2

)
2
(
)
2
3
(

)
1
(

)
2
1
(

i
i

+

-+

-+ f)

( )

2-i

g) ( 1 )- +i 3-(2 )i 3 h)

(1 )

-

i

100 i) (3 3 )+ i 5

Bài 3. Cho số phức z x yi= + . Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:
a) z2-2z+4i b)

iz
i
z

Bài 4. Phân tích thành nhân tử, với a, b, c Ỵ R:

a) a2+1 b) 2a2+3 c) 4a4+9b2 d) 3a2+5b2

e) a4+16 f) a3-27 g) a3+8 h) a4+a2+1

Bài 5. Tìm căn bậc hai của số phức:

a) 1 4 3- + i b) 4 6 5+ i c) 1 2 6- - i d) 5 12- + i

e) 4 5
3 2i

- - f) 7 24- i g) 40 42- + i h) 11 4 3.+ i

i) 1 2

4+ 2 i k) 5 12- + i l) 8 6+ i m) 33 56- i

VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức

Giả sử z = x + yi. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình.

Bài 1. Giải các phương trình sau (ẩn z):

a) z2 + z =0 b) z2 + z2 =0

c) z+2z =2-4i d) z2 -z=0

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

g) 1
4
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ

-+
i
z
i

z h)

i
i
z
i
i
+
+

-=

-+
2
3
1
1
2

i) 2z -3z= -1 12i k)

(

3 2- i

) ( )

2 z i+ =3i

l) ) 0

2
1
](
3
)
2
[( - + + + =
i
iz
i
z

i m) 3 1 3 1

2 2

zổỗ - iư÷= + i

è ø

o) 3 5i 2 4i
z

= - p)

(

z+3i z

)

(

2-2z+5

)

( )(

z2+9 z2- + =z 1

)

0 r) 2z3-3z2+5z+ - =3 3 0i

Bài 2. Giải các phương trình sau (ẩn x):

a) x2 - 3.x+1=0 b) 3 2.x2 -2 3.x+ 2=0

c) x2- -

( )

3 i x+ - =4 3i 0 d) 3 .i x2-2x- + =4 i 0

e) 3x2- + =x 2 0 f) i x. 2+2 .i x- =4 0

g) 3x3-24 0= h) 2x4+16 0=

i) (x+2)5+ =1 0 k) x2+ 7 0=

l) x2+2 1

( )

+i x+ + =4 2i 0 m) x2-2 2

( )

-i x+18 4+ i=0

o) ix2+4x+ - =4 i 0 p) x2+ -

(

2 3i x

)

Bài 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:
a) 2 3+ i và- +1 3i b) 2i và- +4 4i

Bài 4. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm:

a) a = +3 4i b) a = 7-i 3 c) a = -2 5i

d) a = - -2 i 3 e) a = 3-i 2 f) a = -i

g) a = +(2 )(3 )i -i h) a =i51+2i80+3i45+4i38 i) 5
2
i
i
+
=

-a

Bài 5. Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z1, z2thoả mãn điều kiện

đã chỉ ra:

a)z2-mz m+ + =1 0,ñk z: 12+z22 =z z1 2+1 b) z2-3mz+ =5i 0,ñk z: 13+z23=18
c) x2+mx+ =3i 0,ñk z: 12+z22 =8

Bài 6. Cho z z1, 2là hai nghiệm của phương trình

(

1+i 2

)

z2- +

(

3 2i z

)

+ - =1 i 0. Tính giá
trị của các biểu thức sau:

a) A z= 12+z22 b) B z z= 1 22 +z z1 22 c) 1 2
2 1

z z

C

z z

= +

Bài 7. Giải các hệ phương trình sau:
a)
ỵ
í
ì

-=
+
+
=
+
i
z
z
i
z
z
2
5
4
2
2
2
1

2
1 b) 
ỵ
í
ì
+

-=
+

-=
i
z
z
i
z
z
.
2
5
.
5
5
.
2
2
2
1
2

1 c) 13 52

2 4

1 2

.( ) 1

z z
z z
ì + =
ï
í
=
ïỵ
d)

1 2 3

1
1

. . 1

z z z

z z z

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

g) 12 22
1 2

5 2
4

z z i

z z i

ìï + = +

í + =

-ïỵ h)

z i z
z i z

ì - =

í =

-ïỵ i)

2 2

1 2 1 2
1 2

4 0

z z z z
z z i

ìï + + =

í + =

ïỵ

Bài 8. Giải các hệ phương trình sau:
a) ì +í + = -xx y2y= -31 2i i

ỵ b) 2 2

5
8 8

x y i

x y i

ì + =
-í

+ =

-ỵ c)

4
7 4

x y
xy i
ì + =

í = +

ỵ

2 2

1 1 1 1
2 2
1 2

i
x y

x y i

+ =
-ï

ï + =

-ỵ

2 2 6

1 1 2
5

x y
x y

ì + =

-ï

í + =

ïỵ f)

3 2

1 1 17 1

26 26

x y i

i
x y

ì + = +
ï

í + = +
ïỵ

g) 2 25
1 2

x y i

x y i

ì + =

-í + = +

ỵ h) 3 3

2 3

x y

x y i

ì + =

í + =

-ỵ

VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm

Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm 
hệ thức giữa x và y.

Bài 1. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:

a) z z+ + =3 4 b) z z- + - =1 i 2 c) z z- +2i =2 z i

-d) 2 .i z- =1 2 z+3 e) 2i-2z = 2z-1 f) z+ =3 1

g) z i+ = - -z 2 3i h) z 3i 1

z i

+ i) z- + =1 i 2

k) 2+ = -z i z l) z+ <1 1 m) 1< - <z i 2

Bài 2. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
mỗi điều kiện sau:

a) z+2i là số thực b) z- +2 i là số thuần ảo c) .z z =9

VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức

Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác.

Bài 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:

a) -2+2 3.i b) 4 – 4i c) 1- 3.i

4
sin
.
4

cosp -i p e)

8
cos
.
8

sinp -i p

- f) (1-i. 3)(1+i)

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

a) 3 cos20

(

o+ sin 20i o

)(

cos25o+ sin 25i o

)

b) 5 cos .sin .3 cos .sin

6 i 6 4 i 4

æ p+ pử ổ p+ pử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ø

c) 3 cos120

(

o+isin120o

)(

cos 45o+isin 45o

)

d) 5 cos sin 3 cos sin

6 6 4 4

ỉ + ư ỉ + ử

ỗ ữ

ỗ ữ ố ứ

ố ứ

p p p p

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

e) 2 cos18

(

o +isin18o

)(

cos 72o+isin 72o

)

f) cos85 sin 85

cos 40 sin 40

i
i
+
+
o o
o o
g)
)
15
sin
.
15
(cos
3

)
45
sin
.
45
(cos
2
0
0
0
0
i
i
+

+ h) 2(cos 45 sin 45 )

3(cos15 sin15 )

i
i
+
+
o o
o o
i)
)
2
sin
.

2
(cos
2
)
3
2
sin
.
3
2
(cos
2
p
p
p
p
i
i
+
+
k)
2 2

2 cos sin

3 3

2 cos sin

2 2

ổ + ử
ỗ ữ
ố ứ
ổ + ử
ỗ ữ
ố ứ
p p
p p
i
i

Bài 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a) 1-i 3 b) 1+i c) (1-i 3)(1+i) d) 2.i.( 3-i)

e)
i
i
+

-1
3

1 f)

i
2
2

+ g) sinj+i.cosj h) 2+i 2

i) 1+i 3 k) 3-i l) 3 0+ i m) tan5

8 i

p
+

Bài 4. Viết dưới dạng đại số các số phức sau:

a) cos 45o+isin 45o b) 2 cos sin

6 6

ổ + ử

ỗ ữ

ố ứ

p p

i c) 3 cos120

(

o+isin120o

)

d) (2 )+i 6 e) 3

(1 )(1 2 )

i

i i

+ - f)

i

g) 1
2 1

i
i

+ h)

(

)

1 i 3

- + i)

40
7 1 3

(2 2 ) .
1
i
i
i
ổ + ử
- ỗ ữ

-ố ứ

k) 1 cos3 sin3

4 4
2 i
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ

p p l) 1 100 cos sin

1 4 4

i i
i
ỉ + ư ỉ + ử
ỗ ữ
ỗ - ữ ố ứ
ố ứ

p p m)

(

)

1
3-i

Bài 5. Tính:

(

cos12o+ sin12i o

)

5 b)

(

1 + i

)

16 c) ( 3-i)6

d) ëé 2 cos30

(

0+isin300

)

ûù7 e) (cos15o+isin15 )o 5 f) (1 )+i 2008+ -(1 )i 2008

g)
21
3
2
1
3
3
5
ữữ
ứ
ử
ỗỗ
ố
ổ

-+

i

i h) 12

2
3
2
1
ữữ
ứ
ử
ỗỗ
ố
ổ

+i i)

2008
1
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ +
i
i

k) (cos sin ) .(15 3 )7

3 i 3 i i

p - p + l) 2008

2008

1 , 1 1

z bieát z
z
z

+ + =

Bài 6. Chứng minh:

a) sin 5 16sint= 5t-20sin3t+5sint b) cos5 16 cost= 5t-20 cos3t+5cost

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) (2 )( 3 2 )(5 4 )- - +i i - i b)

6 6

1 3 1 7

2 2

i i

ổ- + ử ổ - ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ø è ø

16 8

1 1

i i

ổ + ử +ổ - ử

ỗ - ữ ç + ÷

è ø è ø d)

3 7 5 8

2 3 2 3

i i

+ +

-e) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )- i + i + + i - -i f)

1 + + + + +

i i i

2 3

...

i

2009

g) i2000+i1999+i201+i82+i47 h) 1+ + + +i i2 ... in, (n³1)

i) i i i i. . ...2 3 2000 k) i-5( )-i -7+ -( )i 13+i-100+ -( )i 94

Bài 2. Cho các số phức z1= +1 2 ,i z2 = - +2 3 ,i z3= -1 i. Tính:

a)z z1+ +2 z3 b) z z1 2+z z2 3+z z3 1 c) z z z1 2 3

d) z12+z22+z32 e) 1 2 3
2 3 1

z z z

z +z + z f)

2 2
1 2

2 2
2 3

z z
z z
+
+

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) A z= 4+iz3- +(1 2 )i z2+3 1 3 ,z+ + i với z= +2 3i

b) ( 2 2 )(23 2), 1( 3 )

B= -z z + z - +z z với z= -i

Bài 4. Tìm các số thực x, y sao cho:

a) (1 2 )- i x+ +(1 2 ) 1y i= +i b) 3 3

3 3

x y i

i i

-+ =

-c) (4 3 ) 2 (3 2 ) 4 2 1 2 (3 2 )2
2

i x i xy y x xy y i

- + + = - +

-Bài 5. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:

a) 8 6+ i b) 3 4+ i c) 1+i d) 7 24- i

1
1

i
i

ổ + ử

ỗ - ữ

ố ứ f)

1 3

i
i

ổ - ử

ỗ ữ

ỗ - ÷

è ø g)

1 2

2- 2 i h) i, –i
i) 3

1 3

i
i

-+ k) 1

2+ 2i l) -2 1

(

+i 3

)

1 1

1+i+1-i

Bài 6. Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:

a) -i b) –27 c) 2 2+ i d) 18 6+ i

Bài 7. Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:

a) 2-i 12 b) 3+i c) 2- i d) 7 24- + i

Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) z3-125 0= b) z4+16 0= c) z3+64i=0 d) z3-27i=0
e) z7-2iz4-iz3- =2 0 f) z6+iz3+ - =i 1 0 g) z10+ - +( 2 )i z5- =2i 0

Bài 9. Gọi u u1; 2là hai căn bậc hai của z1= +3 4i vaø v v1; 2 là hai căn bậc hai của

2 3 4

z = - i. Tính u1+ u2 + +v1 v2?

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 10.Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) z2+ 5 0= b)z2+ 2 2 0z + = c) z2+ 4 10 0z + =

d) z2- 5 9 0z + = e) -2z2+ 3 1 0z - = f) 3z2- 2 3 0z + =

g) (z z z z+ )( - ) 0= h) z2+ + =z 2 0 i) z2 = +z 2
k) 2z+3z = +2 3i l)

(

z+2i

)

2+2

(

z+2i

)

- =3 0 m) z3 =z

n) 4z2+8 z2 =8 o) iz2+ +(1 2 ) 1 0i z+ = p) (1 )+i z2+ +2 11 0i=

Bài 11.Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a)

4z i 54z i 6 0
z i z i

æ + ử - + + =

ỗ - ữ

-ố ứ b)

(

)(

)

(

)

5 3 3 0

z+ i z- z + +z =

(

z2+ 2z

) (

-6 z2+ 2z

)

-16 0= d) z3- +

(

1 i z

)

2+ +

(

3 i z

)

- =3i 0
e)

(

z + i z

)

(

2 2 2 0- z +

)

= f) z2-2iz+ - =2 1 0i

g) z2- -

(

5 14i z

)

-2 12 5

(

+ i

)

=0 h) z2-80z+4099 100- i=0

(

z+ -3 i

)

2-6

(

z+ - +3 i

)

13 0= k) z2-

(

cosj +isinj +

)

z icos sinj j =0

Bài 12.Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x2- +

(

3 4i x

)

+ - =5 1 0i b) x2+ +

( )

1 i x- - =2 i 0 c) 3x2+ + =x 2 0

d) x2+ + =x 1 0 e) x3- =1 0

Bài 13.Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a)z3-iz2-2iz- =2 0 b) z3+ -

( ) (

i 3 z2+ 4 4- i z

)

- + =4 4i 0

Bài 14.Tìm m để phương trình sau:

(

z i z+

)

(

2-2mz m+ 2-2m

)

a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực
c) Có ba nghiệm phức

Bài 15.Tìm m để phương trình sau: z3+ +(3 )i z2- -3 (z m i+ =) 0có ít nhất một nghiệm thực

Bài 16.Tìm tất cả các số phức z sao cho (z-2)(z i+ ) là số thực.

Bài 17.Giải các phương trình trùng phương:

a) z4-8 1

( )

-i z2+63 16- i=0 b) z4-24 1

( )

-i z2+308 144- i=0
c) z4+6(1 )+i z2+ + =5 6i 0

Bài 18.Cho z z1, 2 là hai nghiệm của phương trình: z2- +

(

1 i 2

)

z+ - =2 3i 0. Tính giá trị

của các biểu thức sau:

a) z12+z22 b) z z1 22 +z z1 22 c) z13+z23

d) 1 2

2 1 1 2

1 2 1 2

z z

z z z z

ỉ ư ỉ ư

+ + +

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ e)

3 3
2 1 1 2

z z +z z f) 1 2
2 1

z z
z + z

Bài 19.Cho z z1, 2 là hai nghiệm của phương trình: x2- + =x 1 0. Tính giá trị của các biểu
thức sau:

a) x12000+x22000 b) x11999+x19992 c) x1n+x n N2n, Ỵ

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a) z 3

z i- = b) z2+z2 =1 c)

z
z
=

Bài 21.Hãy tính tổng S= + +1 z z2+z3+...zn-1 biết rằng z cos2 isin2

n n

p p

= + .

Bài 22.Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a) i4+ + + +i3 i2 i 1 b) (1 )(2 )-i +i c) 2

i
i
+

-d) 1 sin cos , 0

i

- a+ a < <a p e) 3 cos sin

6 i 6

ổ ử

- ỗ + ữ

ố ứ

p p f) cot ,

i

+ < <p

a p a

g) sin (1 cos ), 0

i

+ - < <p

a a a

Bài 23.Tìm mơđun và một acgumen của các số phức sau:

(

)

(

)

8 6

6 8

2 3 2 (1 )

(1 ) 2 3 2

i i

i i

+ +

- - b)

(

)

(

)

10 4

( 1 ) 1

3 2 3 2

i

i i

- +
+

- +

(

1+i 3

) (

n+ -1 i 3

)

n

d) sin cos

8 i 8

- p + p e) cos sin

4 -i 4

p p f) 2 2 3

i
- +

g) 1 sin cos , 0

i

- a+ a < <a p h) 1 cos sin , 0

1 cos sin 2

i
i

+ +

< <

-a a a p

a a i) 4 3- i

Bài 24.Tìm mơđun và một acgumen của các số phức sau:

(

)

(

)

8 6

6 8

2 3 2 (1 )

(1 ) 2 3 2

i i

i i

+ +

- - b)

(

)

(

)

10 4

( 1 ) 1

3 2 3 2

i

i i

- +
+

- +

(

1+i 3

) (

n+ -1 i 3

)

n

Bài 25.Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực:

(

2+i 5

) (

7+ 2-i 5

)

7 b) 19 7 20 5

9 7 6

n n

i i

æ + ử +ổ + ử

ỗ - ữ ỗ + ữ

ố ứ è ø

6 6

1 3 1 3

2 2

i i

ổ- + ử ổ- - ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ø è ø d)

5 5

1 3 1 3

2 2

i i

ổ- + ử ổ- - ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

6 6

3 3

2 2

i i

ổ + ử ổ - ử

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ è ø

Bài 26.Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 2 3 3
2

z- + i = . Tìm số phức z có mơđun
nhỏ nhất.

Bài 27.Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau:

4 ; (1 )(1 2 ); 2 6

1 3

i i i i

i i

- +

-a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vng.

Bài 28.Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a) z3+ -(2 2 )i z2+ -(5 4 ) 10i z- i=0 b) z3+ +(1 )i z2+ -( 1)i z i- =0
c) z3+ -(4 5 )i z2+ -(8 20 )i z-40i=0

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

a) Tính ( 3 )P - i b) Giải phương trình ( ) 0P z = .

Bài 30.Giải phương trình

1
2

z
z

z

ổ + ử

=ỗ - ữ

-ố ứ , bieỏt z= +3 4i là một nghiệm của phương trình.

Bài 31.Giải các phương trình sau:

a) z4+2z3-z2+2 1 0z+ = b) z4-2z3-z2-2 1 0z+ =

c) z4- +

(

1 2

)

z3+ +

(

2 2

)

z2- +

(

1 2

)

z+ =1 0 d) z4-4z3+6z2-4 15 0z- =

e) z6+z5-13z4-14z3-13z2+ + =z 1 0

Bài 32.Giải các phương trình sau:

a) (z2+3z+6)2+2 (z z2+3z+ -6) 3z2 =0 b)

z i
z i

ổ + ử

ỗ - ữ

ố ứ

c) (z2- +z 1)4-6 (z z2 2- +z 1)2+5z4 =0 d)

3 2

1 0

z i z i z i
z i z i z i

ỉ - ư +ỉ - ư +ỉ - ư+ =

ỗ + ữ ỗ + ữ ỗ + ữ

ố ứ è ø è ø

Bài 33.Chứng minh rằng: nếu z £1 thì 2 1
2

z i
iz

-£

+ .

Bài 34.Cho các số phức z z z1, ,2 3. Chứng minh:

a) z z1+ 22+ z2+z32+ z3+z12 = z12+ z22+ z32+ z z1+ +2 z32

b) 1+z z1 22+ z z1- 22 = +

(

1 z12

)(

1+ z22

)

c) 1-z z1 2 2- z z1- 22 = -

(

1 z12

)(

1- z22

)

d) Neáu z1 = z1 =c thì z z1+ 22+ z z1- 22 =4c2.

</div>

OnbaivnBaiTapGiaiTichPhanSoPhucTranSiTung

<b>BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 </b>

<b>TẬP 4 </b>

ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

(

)(

) (

) (

)

<b>I. SỐ PHỨC </b>

<b>CHƯƠNG IV </b>

[

]

[

]

[

]

(

)

( ) (

) ( )

(

)

(

)( )

( ) ( )

( ) ( )

(

)

<sub>( )</sub>

(1 )

-

<i>i</i>

(

) ( )

(

)

(

)

( )(

)

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(