Bài giảng Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm (Ôn thi TN THPT)

HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Chuyên
đề :1

TÔ VĨNH HOÀI
Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa – Châu Đốc

ĐẠO HÀM
I/- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
Hàm số y = f(x)
( C )’ = 0 C: hằng số
(x)’ =1

Hàm số hợp y = f(u) ; u = g(x)

 x  2 1 x

 u  2u u


1
1
   2

x
 x


u
1
   2
u
u

n



 x  n.x

n 1

n

 sin x   cos x
 cos x    sin x

 tan x 



1



2

 
 a   a .ln a
x

n 1

.u

 sin u   u . cos u
 cos u     u . sin u

1 tan2 x

cos x

 cot x   12
sin x

e x e x
x



 u  n.u

 tan u 



u



cos2 u


 cot u   u2
sin u

eu u.eu

 
 a   u.a .ln a
u

u

 ln x   1x

 ln u   uu

 loga x   x ln1 a

 loga u   u lnua

 x   n

1

n

n

xn  1

 u   n

u

n

n n 1

u

II/- CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Cho các hàm số u ; v ; w lần lượt có đạo hàm u’ ; v’ ; w’. Ta có :
1; ( u + v – w )’ = u’ + v’ – w’
2; ( u.v)’ = u’v + uv’
Hệ quả : ( C.v )’ = C.v’ ( C : hằng số )
Mở rộng : ( uvw )’ = u’vw + uv’w + uvw’



u ' v  uv'
u
3;   

2
v

v

 v 0 
ÔN TẬP TAM THỨC BẬC HAI

1/- Dấu tam thức bậc 2
a;   0  af  x   0 , x

( f(x) cùng dấu với a , x )

Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
1

Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

b;   0  af  x   0 , x  

b

( f(x) cùng dấu với a , x 

Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi

b

)
2a
2a
 af  x   0  x  x1  x2  x
c;   0  
 af  x   0  x1  x  x2


  0 x
f(x)
Cùng dấu với a
x
b



 0
2a
f(x)
Cùng dấu với a
0
Cùng dấu với a
x


x1

x2

  0

f(x)
2/- Chú ý :

Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
2

Cho tam thức bậc hai : f ( x )  ax  bx  c
a. f ( x )  0

a  0
x  
  0

b. f ( x )  0

a  0
x  
  0
3. Dấu các nghiệm số
c. f ( x )  0

  0

 x1  x2  0  S  0
P  0


a  0
x  
   0

d. f (x) 0

f ( x ) ax 2  bx  c có 2 nghiệm x1; x2
 x1  0  x2  P  0
  0

 0  x1  x2   S  0
P  0


 a 0 
a  0
x  
  0

 x1  x2 


b
c
 S x1  x2  ; P x1.x2  
a
a

  0

 x1; x2 cùng dấu  
P  0

Lưu ý
2

1. Phương trình ax  bx  c  0
 a 0
a; Phương trình vơ nghiệm  
   0
 a 0
b; Pt có 1 nghiệm kép  
   0

 a b 0
 
 c 0

 a 0
c; Pt có 2 nghiệm phân biệt  
   0
3
2
2. Phương trình ax + bx + cx + d = 0 khi biết 1 nghiệm x = x0
Phương pháp
( Chia 2 vế của phương trình cho x – x0 )
Ta có ax3 + bx2 + cx + d = 0  ( x – x0 )( Ax2 + Bx + C ) = 0 (1)

 x  x0  0
 

2
 Ax  Bx  C  0

 2

Số nghiệm của (1) = Số nghiệm của (2) + 1
Đặt g(x) = Ax2 + Bx + C .
Tính :  = B2 – 4AC và g(x0) = Ax02 + Bx0 +C

Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
2

Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT





ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tài liệu tham khảo Ơn tập Thi

   0

Pt có 1 nghiệm      0
  g ( x0 )  0

    0

  g ( x0 )  0
Pt có 2 nghiệm  
   0

  g ( x0 )  0

   0
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt  
 g ( x0 )  0
Cách tìm x0
 a + b + c + d = 0 Phương trình có nghiệm x0 = 1
 a – b + c – d = 0 Phương trình có nghiệm x0 = –1
 x0 là nghiệm nguyên của phương trình thì x0 là ước số của d



A/- TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Lí thuyết Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a ; b) ;  x  a ; b 

y  0  Hàm số đồng biến trong ( a ; b )

y  0  Hàm số nghịch biến trong ( a ; b )



Hoặc y   0  Hàm số đồng biến trong ( a ; b )
y   0  Hàm số nghịch biến trong ( a ; b ) (Dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm)
x

y’
y

Vấn đề 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Phương pháp Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)
 Tìm tập xác định D
 Tìm y’ .Tìm các giá trị xi  D mà tại các điểm đó y = 0 hoặc không xác định
 Lập bảng xét dấu của y’
 Căn cứ dấu của y’ để kết luận
Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu của hàm số :
1; y = x3 – 3x2 + 2
Giải : Tập xác định D = 
Đạo hàm y’ = 3x2 – 6x .
y’ = 0  3x 2  6 x  0  x 0  x  2
Bảng biến thiên
x
y’
y

 

+

0
0

–

2
0


+

Vậy hàm số đồng biến trong    ; 0 ;  2 ;   , nghịch biến trong (0;2)

x 2  2x  2
2; y =
x 1
Tập xác định D =  \   1
Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
3

Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

x 2  2x
Đạo hàm y’ =
 x 1 2

Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi

y   0  x 2  2 x  0  x 0  x  2

Bảng biến thiên

x
y’

-2

 

+

0

-1

0

–

–

0


+

y
Vậy hàm số : Đồng biến trong    ;  2 ;  0 ;  
Nghịch biến trong   2 ;  1 ;   1; 0 
Vấn đề 2 Tìm m để hàm số đơn điệu trong tập X
Phương pháp
 Hàm số đồng biến trong X  y   0 x  X

 Hàm số nghịch biến trong X  y   0 x  X
Riêng hàm số nhất biến y =



Ví dụ Cho hàm số y = 

ax  b
khơng có dấu “=”
cx  d

1 3
x - mx2 + (m –2 )x + 2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định
3

Giải : Tập xác định D = 
Đạo hàm y’= -x2 – 2mx + m – 2
Hàm số nghịch biến trên tập xác định  y '  0 x  

    m 2  m  2  0   2  m 1 (Vì a = – 1 < 0 )
B/- CỰC TRỊ
Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc 1 ( Dùng y’ )
a; Tìm tập xác định D
b; Tìm y’
 Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ( hay điểm x0  D mà y x0 không tồn tại).

 

 Lập bảng xét dấu của y’

 Căn cứ bảng xét dấu của y’ nếu khi x đi qua x0 mà :
+ y’ đổi dấu từ ( + ) sang (–) thì hàm số đạt cực đại tại x 0 ; yCĐ = y0 = f(x0)
+ y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ; yCT = y0 = f(x0)
x
y’
y

xo
+

x1
–

–

y0
CĐ

+
CT

Qui tắc 2 ( Dùng y”)
a; Tìm tập xác định D
b; Tìm y’ .Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ; x1 ; …..
c ; Tìm y” . Tính y”(x0) . Nếu :
 y”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
 y”(x1) > 0 thì hàm số đat cực tiểu tại x1
Lưu ý :
 Nếu y”(x0) = 0 hay tại x0 mà y’(x0) khơng tồn tại thì khơng dùng được qui tắc 2


2ax0  b
ax 2  bx  c
Hàm số y =
đạt cực trị tại x0 . Có y0 =
a1
a1 x  b1

Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
4

Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi

 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại x0 khi tính y0 gặp khó khăn ta chia y cho y’ được thương
P(x) và số dư px + q .
Ta có y = y’.P(x) + px + q
nên y0 = y’(x0).P(x0) + px0 + q = px0 + q
(vì x0 là nghiệm của y’ = 0) .
Ví dụ Tìm cực trị của hàm số :

x2  x  2
1; y = f(x) =

x 1
Tập xác định D =  \  1 

x 2  2x  3
2
Đạo hàm y’ =
y’ = 0  x  2 x  3 0 
2
 x  1

 x1  1
 x 3 
 2

 y1  1
 y 7
 2

3
0



Bảng biến thiên


x
y’
y

 

+

–1
0
–1
CĐ

1
–

–

+

CT
 Vậy hàm số : Đạt cực đại tại x = – 1
Đạt cực tiểu tại x = 3 ; yC T = 7
2; y = f(x) = x + 2cosx
Tập xác định D = 
Đạo hàm y’ = f’(x) = 1 – 2sinx ; f”(x)

 x1
1

1

2
sin

x

0

sin
x



y’ = 0
2
x
2

Ta có

; yCĐ = – 1 ,

= – 2 cosx

  k 2
6
 k Z 
5

 k 2
6

  =  3 < 0  Hàm số đạt cực đại tại x 6  k 2 ; y  2 3
5

f   x  = 3 > 0  Hàm số đạt cực tiểu tại x =
 k 2 ; y  2 3
6
f  x

1

2

CD

CT

Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại x0
Phương pháp
Hàm số đạt cực trị tại x0 khi y’(x0) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này suy ra giá trị
của tham số. Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y”. Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số đạt cực
đại hay cực tiểu tại x0.
 Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x0 ; y0) thì thêm y0 = f(x0) .
 Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng
 f '  x0   0
 Hs đạt cực trị tại x0 ,
1; 
 f "  x0   0
 f '  x0   0
 Hs đạt cực đại tại x0
2; 
 f "  x0   0
 f '  x0   0
 Hàm số đạt cực tiểu tại x0

3; 
 f "  x0   0
Nếu f”(x0) = 0 khơng kết luận mà phải xét dấu y’
Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 + mx – 3. Tìm m để hàm số :
a; Đạt cực trị tại x = 1
b; Đạt cực đại tại x = 0
GIẢI : Tập xác định D = 
Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x2 – 4x + m
a; Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi f’(1) = 0  3 – 4 + m = 0  m  1 .
Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
5

Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tài liệu tham khảo Ơn tập Thi

Khi m = –1 ta có y’ = 3x2 – 4x + 1
x
y’
y

 

+

1/3
0
CĐ

1
0
CT

–


+

Vậy khi m = – 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Vấn đề 3 : Tìm tham số để hàm số có cực trị
Phương pháp Tìm tập xác định D và y’ = f’(x)
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x0 (hoặc y không tồn tại tại x0  D ) và y’ đổi dấu khi x
đi qua x0 .Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó thì hàm số có bấy
nhiêu cực trị

x 2  x  m 1
Ví dụ Cho hàm số y =
. Tìm m để :
x 1
1; Hàm số có cực trị
2; Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu
GIẢI : 1; Tập xác định D =  \   1
Đạo hàm :

y’ =

x 2  2x  m  2

 x 1  2

.

Hàm số có cực trị  y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó  x 2  2 x  m  2 0 có 2
nghiệm phân biệt   1  m  2  0  m   3
2; Khi m > -3 hàm số có 2 giá trị cực trị y1 = 2x1 – 1 ; y2 = 2x2 – 1 .
y1 ; y2 cùng dấu  y1.y2 > 0   2 x1  1  2 x 2  1   0  4 x1 .x 2  2 x1  x 2  1  0 (*)
Vì x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2x – m – 2 = 0 nên ta có

3
3
  3m
4
4
3
Vậy hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi  3  m  
4
(*)  4(  m  2 )  4 1  0  m 

C/- ĐIỂM UỐN
Lí thuyết
Đồ thị hàm số có điểm uốn tại x0  f”(x) đổi dấu khi x đi qua x0
D /- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1; Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong ( a;b ) nếu:

x0   a; b  : f  x 0   M
y =M
thì max

 a ;b
 f ( x )  M x  ( a; b )

x0   a; b  : f  x0   m

 f ( x)  m x  ( a; b )

thì

min y

 a;b 

=m

2; Cách tìm
a; Tìm miền giá trị của hàm số từ đó suy ra max y , min y
b; Dùng đạo hàm
 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong ( a;b )
Phương pháp

f ( x )  lim f ( x) . Lập bảng xét dấu của y’. Căn cứ bảng xét dấu để kết luận
Tìm y’ . Tìm xlim
 a
x b
 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong [ a;b ]

Phương pháp
Tìm y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0, x1…  a; b  .
Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
6

Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tài liệu tham khảo Ơn tập Thi

Tính f(a), f(b), f(x0), f(x1),……
max y
là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên.
 a; b 




min y

 a; b 

là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên

E/- TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ

Lý thuyết :
Trong hệ trục Oxy cho

 C  : y  f ( x)


vaø I  a; b  . Tịnh tiến hệ Oxy theo OI được hệ trục IXY theo

x X  a
cơng thức 
thì trong hệ trục IXY ta có  C  : Y g( X )  f  X  a   b
 y Y  b
1; Đồ thị (C) có tâm đối xứng I(a;b)
Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo công thức :

x  X  a
biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số lẻ ( F(–X) = – F(X) )

 y Y  b
2; Đồ thị (C) có trục đối xứng    : x = a
   cắt trục hoành tại điểm I(a; 0). Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo công thức :
x  X  a

 y Y

biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số chẵn
( Với I(a;0) ) ( g(– X) = g(X) )
F/- TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

I/- Tiệm cận đứng

Cách tìm Tìm tập xác định D
1. Nếu D =  \  x0 ; x1 ; ... . Tìm
 lim f ( x )   hoaëc lim f ( x )   hoaëc lim f ( x )  
x a

x a

x a

hoặc lim f ( x )    thì x a là pt tiệm cận đứng
x a

 lim f  x   M thì x = x1 khơng phải là phương trình tiệm cận đứng
x x
1

f  x   lim f  x 
2. Nếu D = ( a ; b ) tìm xlim
 a
x b
Ví dụ: y =

x2  x  6
x 2  2x  3



Tập xác định D =  \   3 ;1 



lim



x 1

x2  x  6
x2  x  6


vaø
lim
   Tiệm cận đứng x = 1
x 1  x 2  2 x  3
x2  2x  3

x2  x  6
x 2 5
 lim
  x  3 khơng phải là phương trình tiệm cận đứng
x  3 x 2  2 x  3
x  3 x  1
4
lim

II/- Tiệm cận ngang
Cách tìm Tập xác định D
 Nếu D khơng chứa  thì khơng có tiệm cận ngang
 Nếu lim f ( x )  a hay lim f ( x )  a  y = a là phương trình tiệm cận ngang

x  

x  

f  x    đồ thị khơng có tiệm cận ngang
 Nếu xlim
 
Tơ Vĩnh Hoài Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
7

Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi

III/- Tiệm cận xiên
Định nghĩa y = ax + b là phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
 lim  f  x  
x  

 ax  b    0 .

hay

a = lim

x  

f  x
x

y = f(x)

; b  lim  f  x   ax 
x  

P( x )  0 thì

Nếu phân tích được y = ax + b + P(x) mà xlim
 
y = ax + b là phương trình tiệm cận xiên .



Đặc biệt với đồ thị hàm số y =

ax 2  bx  c
dx  e

chia tử số cho mẫu số được thương ( gần đúng )

p

mx + n và số dư p  y  mx  n  dx  e
Ta có xlim
 

p
 0  y  mx  n là phương trình tiệm cận xiên
dx  e

IV-/ Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), từ đồ thị (C) suy ra :

 f ( x ) khi x  0
nên ta có (C1) :
 f ( x ) khi x  0
Giữ phần đồ thị (C) với x  0

 

1; (C1) : y = f x




Bỏ phần đồ thị (C) với x < 0
Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị (C) với x  0

 f ( x) khi f ( x)  0
 f ( x) khi f ( x)  0
Giữ phần đồ thị (C) với f(x)  0

2; (C2) : y = f (x)





= 

= 

Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với f(x) < 0
Bỏ phần đồ thị (C) với f(x) < 0

P ( x)
3; (C3) : y = f(x) =
Q( x )




 P( x)
khi Q( x)  0
 Q ( x)

= 
nên ta có (C3):
 P ( x) khi Q( x)  0

 Q( x)

Giữ phần đồ thị (C) với Q(x) > 0
Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với Q(x) < 0
Bỏ phần đồ thị (C) với Q(x) < 0

4; (C4) : y = f(x) = P ( x) .Q( x) hay y = f(x) =

 f ( x) khi P( x)  0
 f ( x) khi P( x)  0

Vì y = 




nên ta có (C2) :

P( x)
Q( x)

nên ta có (C4) :

Giữ phần đồ thị (C) với P(x)  0
Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với P(x) < 0
Bỏ phần đồ thị (C) với P(x) < 0

CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)
Lí thuyết
 P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)
 f  x   g  x 
 ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau  
có nghiệm
 f  x  g  x
( nghiệm của hệ phương trình là hồnh độ tiếp điểm )

Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M( x0 ; y0 )
Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )
Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
8

Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tài liệu tham khảo Ơn tập Thi

 Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0) (giao của (C ) và trục tung là cho x0 0 )
 Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0 (giao của (C ) và trục hoành là cho y0 0 )
Ví dụ: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :
(C ) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 tại:
a; Điểm M có hồnh độ xM = 0 b; Giao điểm của ( C ) với trục hoành
Giải :a; xM = 0  yM = 2  M  0 ; 2  y’ = f’(x) = 3x2 – 3  f’(0) = – 3
Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 )  y = – 3x + 2
b; Phương trình trục Ox : y = 0 .
Ta có x3 – 3x + 2 = 0   x  1 x 2  x  2  0  x 1  x  2








x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1)  y 0
x = – 2 phương trình tiếp tuyến y = f’(– 2)(x + 2)  y 9( x  2)  y 9 x 18

Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Phương pháp
Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.
Tiếp tuyến có hệ số góc k  f  x 0   k .

D  y f  x



0
0
Giải phương trình tìm x0
Phương trình tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 )

 f  x   k 1
có nghiệm .
 f  x   kx  b  2

Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )  
Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b
Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :
 (d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a

 (d2) vng góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k = 

1
(hay a.k = – 1 )
a

Ví dụ
Cho ( C ) : y = f(x) = x3 – 2x + 2. Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết
1; Tiếp tuyến song song với (d) : y = x + 1
2; Tiếp tuyến vng góc với (d)
GIẢI
1; Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.
2
Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1  f  x 0  1  3 x0  2 1  x 0 1
 x0 = 1  y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến : y = x
 x0 = – 1  y0 = 3 . Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4
2; Vì tiếp tuyến vng góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1 .
2
3x  2  1 1
Gọi (d1) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C )   3
có nghiệm
 x  2 x  2   x  b  2
1  3x 2  2   1  x   3 .
3
3
2 3
Từ (2) với x = 
.
 b 2 
3
9
2 3

Phương trình tiếp tuyến y = – x + 2 
9
Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A( x1 ; y1 )
Phương pháp
Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là
: y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A( x1 ; y1 ) nên y1 – y0 = f’(x0)( x 1 – x0) giải phương trình
tìm x0 thay vào (1).
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k .
Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
9

Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tài liệu tham khảo Ôn tập Thi

 f  x   k 1
là tiếp tuyến của (C)  
có nghiệm
 f  x   k  x  x1   y1  2
Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)
Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ; –4 )
Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm .
Ta có y0 = x03 – 3x0 +2 và f’(x0) = 3x02 – 3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

2
3
y – (x03 – 3x0 + 2) = (3x02 – 3)( x – x0)  y  3x 0  3 x  2 x 0  2 (1)
Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) , nên
3
2
– 4 = (3x02 – 3).2 – 2x03 + 2  x0  3 x0 0  x 0 0  x 0  3
 x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2
 x0 = 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52
Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k
Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4 .
3 x 2  3  k 1
(d) là tiếp tuyến của (C)   3
có nghiệm
 x  3x  2  k  x  2   4  2
Từ (1) và (2) ta có x3 – 3x + 2 = (3x2 – 3) (x – 2) – 4
Ta có :(d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1)





 x 3  3x 2  0  x  0  x  3
 x = 0  k  3 . Phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2
 x = 3  k  24  phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52
Vấn đề 4 :Sự tiếp xúc giữa hai đường
Phương pháp :
 f ' ( x)  g ' ( x)
Áp dụng (C) và (D) tiếp xúc với nhau  
có nghiệm.

 f ( x )  g ( x)
Từ đó suy ra giá trị tham số
Ví dụ: Cho (C) : y = f(x) = x4 – x2 + 1 và (D) : y = g(x) = x2 + m
Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau
GIẢI :
4 x 3  2 x  2 x (1)
 f ' ( x )  g ' ( x)

  4
(C) và (D) tiếp xúc với nhau  
2
2

 f ( x)  g ( x)
x  x  1  x  m
(1)  4 x 3  4 x  0  x  0  x  1
 x = 0 từ (2) ta có m = 1
 x = 1 từ (2) ta có m = 0

 2

có nghiệm

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG
Phương pháp Cho 2 đường ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của ptrình f(x)= g(x) (1 )
Phương trình ( 1 ) có bao nhiêu nghiệm thì ( C ) và ( D ) có bấy nhiêu điểm chung. Muốn tìm giao điểm ta
thay nghiệm của ( 1 ) vào y = f(x) hay y =g(x)
Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = 4x3 – 3x + 1 và (d) : y = g(x) = m(x – 1) + 2.Biện luận theo m số giao điểm của
(C) và (d).

GIẢI : Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình
 x  1 0
4x3 – 3x + 1 = m(x – 1) + 2  (x – 1)(4x2 + 4x + 1 – m) = 0 (1)   2
 4 x  4 x 1  m  0  2 
2
Đặt h(x) = 4x + 4x + 1 – m .
Tính   = 4 – 4(1 – m) = 4m và h(1) = 9 – m
 

x
0
9

 
Số điểm
chung

–
1

0

2

+
3

+

2

Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
10

3
Trang


HĐBM Toán AN GIANG
TN THPT

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

Tài liệu tham khảo Ơn tập Thi

BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
Phương pháp
Cho (C) : y = f(x) , dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình F(x; m) = 0
GIẢI : Biến đổi F(x;m) = 0  f(x) = am + b

(C ): y  f ( x )
(d ): y  am  b (cùng phương với trục Ox )

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của 

( y = a m + b là đường thẳng cùng phương với Ox cắt Oy tại điểm có tung độ

am + b)

Dựa vào đồ thị để kết luận. chú ý so sánh am + b với các giá trị cực trị yCD ; yCT , nếu đồ thị có tiệm cận

ngang thì so sánh với giá trị tiệm cận ngang
Ví dụ Cho (C) : y = x3 – 3x2 + 2.
1; Khảo sát hàm số
2; Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của :
x3 – 3x2 – m = 0 (1)
GIẢI : 1;
2; (1)  x3 – 3x2 + 2 = m + 2

y

m+2
O

1

x

 (C ) : y  x 3  3x 2  2
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của 
 (d ) : y  m  2 ( cùng phương với trục hoành)
Dựa vào đồ thị ta có :
 m  2   2 hoaëc m  2  2  m  4 hoaëc m  0 : Phương trình có 1 nghiệm
 m  2  2 hoặc m  2  2  m  4 hoaëc m 0 : Phương trình có 2 nghiệm
  2  m 2  2   4m0
Phương trình có 3 nghiệm

Tơ Vĩnh Hồi Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa
11

Trang