Bat dang thuc cuc tri

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

- Trang 1-

<b>BẤT ĐẲNG THỨC </b>

<b>I. </b> <b>Bất đẳng thức Cauchy: </b>

 <b>Cho 2 số a, b không âm: </b>

a + b  2 ab hay a2 + b2  2ab.
Dấu „=‟ xảy ra khi a = b.

 <b>Cho 3 số a, b, c không âm: </b>
a + b + c  33

abc .

Dấu „=‟ xảy ra khi a = b = c

 <b>Tổng quát: Cho n số x1, x2, x3, …, xn</b>
<b>khơng âm: (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng </b>
<b>trung bình nhân) </b>

1 2 3 n n

1 2 3 n

x x x ... x

x x x ...x
n

   



<i>Dấu bằng xảy ra khi x</i>1 = x2 = x3 = …= xn

<b>Bài tập cơ bản: Cho các số a, b, c dương. Cm: </b>
<b>1.</b> a2 + b2 + c2  1

3(a + b + c)

2 _

ab + ac + bc.
<b>2.</b>



a b



1 1 4

a b

 

 _  _

 

<b>3.</b>



a b c



1 1 1 9

a b c

 

  _   _

 

<b>TỔNG QUÁT: Với n số n số x</b>1, x2, x3, …, xn

khơng âm. Ta có bất đẳng thức Cauchy hệ quả:





2

1 2 3 n

1 2 3 n

1 1 1 1

x x x ... x ... n

x x x x

 

    _     _

 

Chuyển theo vế ta sẽ được bđt thường dùng:

2

1 2 3 n 1 2 3 n

1 1 1 1 n

...

x x x  x x x x  ... x

<b>1.</b> <b>Phương pháp tọa độ điểm rơi: (cơ bản) </b>

Phương pháp: Đi tìm dấu bằng của bất đẳng thức
xảy ra khi nào? Sau đó dùng phương pháp tách biến
để sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

<b>Ví dụ:(xem kĩ VD để nắm rõ phương pháp) </b>
Cho a,b > 0 và a + b = 5. Cm:

<b>a. </b>1 1 4

a b 5 <b>b. </b>

1 4 9

a  b 5 <b>c. </b>
9 4

5
a  b
<b>a. Dấu bằng xảy ra khi a = b = </b>5

2<b> và đẳng thức </b>
<b>có dạng giống với hệ quả Cauchy. </b>

Áp dụng bđt Cauchy sao cho dấu bằng xảy ra:





a b 2 ab (1)

1 1

a b 4

1 1 1 _a _b

2 (2)

a b ab

  

 _ _  _ _

 _ _

 




Mà a b 5 1 1 4

a b 5

   ∎

 Nhận xét: Ta sử dụng bđt Cauhy ở 2 vế (1) và
(2) mà vẫn đảm bảo a = b

<b>b.</b> <b>Dấu bằng xảy ra khi b = 2a hay a = </b>b
2<b>và </b>
<b>đẳng thức có dạng giống hệ quả Cauchy. </b>

Áp dụng bđt Cauchy sao cho dấu bằng xảy ra:
 a b b 3 ab2(1)

2 2 4

   ( a = b
2)
 1 2 2 3 4₂(2)

a  b b ab (vẫn đảm bảo a =
b
2)

b b 1 2 2

a 9

2 2 a b b

  

 _   _   _

  

Mà a b a b b 5
2 2

     1 4 9

a b 5

   ∎

 Nhận xét: Ta sử dụng bđt Cauhy ở 2 vế (1) và
(2) mà vẫn đảm bảo a = b

2 bằng việc tách
b b

a b a

2 2

1 4 1 2 2

a b a b b

    




    


<b>Cách giải sai lầm: </b>

 a b 2 ab (dấu bằng xảy ra khi a = b) (1)
 1 4 4 1

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

- Trang 2-





1 4 1 4 8

a b 8

a b a b 5

 

  _  _   

 

Rõ ràng là tại (1) và (2) đã xảy ra mâu thuẫn nên cách
chứng minh này sai.

<b>c. Dấu bằng xảy ra khi 2a = 3b = 6 </b>
Áp dụng bđt Cauchy sao cho dấu bằng xảy ra:

3 2

3 2

3 2

3 2

a a a b b a b

5 (1)

3 3 3 2 2 3 2

3 3 3 2 2 3 2

5 (2)

a a a b b a b



    






     


a a a b b 9 4

25

3 3 3 2 2 a b

  

 _     _  _

  

Mà a a a b b 5 9 4 5

3    3 3 2 2   a b ∎

 Nhận xét: Ta sử dụng bđt Cauhy ở 2 vế (1) và
(2) mà vẫn đảm bảo a b

32 bằng việc tách:

a a a b b

a b

3 3 3 2 2

9 4 3 3 3 2 2

a b a a a b b

      




      


<b>Bài toán 1: (đề thi đại học khối A năm 2003) </b>
Cho 3 số x, y, z dương sao cho: x + y + z ≤ 1. Cm:

2 2 2

2 2 2

1 1 1

x y z 82

x y z

     

<b>Dấu bằng xảy ra khi</b>x y z 1

3

   <b>. Ta có: </b>

2 2 ₈₂

2 2 2 81 160

1 1 1 1

x x ... 82

x 81x 81x 81 x

     

(Cauchy 82 số) tách 1₂

x thành 81 số 2

1

81x để dấu bằng
xảy ra được đảm bảo. Một cách tương tự:

2 2 ₈₂

82

2 81 160 2 81 160

1 1 1 1

y 82 ; z 82

y 81 y z 81 z

   

Vậy:

82 82 82

81 160 81 160 81 160

1 1 1

P 82 82 82

81 x 81 y 81 z

  

164 164 164

81 160 81 160 81 160

1 1 1

82

81 x 81 y 81 y

 

 __   __

 

492

3.81 160 160 160

1
82 3.

81 x y z

 

 _ _

 

Mà: ₁   _x _{y z} _{3 xyz}3 1 ₃3

xyz

  (Cauchy 3 số)
(vẫn đảm bảo x y z 1

3
   )
Suy ra:

 

492 ₂₄₃ ₁₆₀ _{160 160} 492 ₁₆₀

243

3.160
492

243

1 1

82 3. 82 3.

81 x y z ₈₁ _xyz

3
82 3.

81

 

 

 



 

  _ _

  _ _

 

 _ _

 

480 492 480

492 492

4.243 4.243

3 3 3

82 3. 82 82

3 3

   

 _ _ _ _

   

<b>Vậy: </b> 2 2 2

2 2 2

1 1 1

x y z 82

x y z

      ∎

<b>Bài toán 2: (đề thi đại học khối A năm 2005) </b>
Cho x, y, z là các số dương thỏa: 1 1 1 4

x  y z . Cm:

1 1 1

1
2x y zx2y z x y 2z
<b>Dấu bằng xảy ra: </b>x y z 3

4

   <b>. Áp dụng bất đẳng </b>
thức tương tự như VD:





x x y z



1 1 1 1 16

x x y z

 

   _    _

 

1 1 1 1 16

(1)

x x y z 2x y z

    

 





x y y z



1 1 1 1 16

x y y z

 

   _    _

 

1 1 1 1 16

(2)

x y y z x 2y z

    

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

- Trang 3-




x y z z



1 1 1 1 16

x y z z

 

   _    _

 

1 1 1 1 16

(3)

x y z z x y 2z

    

 

Cộng theo vế các bất đằng thức (1)(2)(3) ta được:

16 16 16 1 1 1

4

2x y z x 2y z x y 2z x y z

4.4 16

 

   _   _

      _ _

 

Đơn giản 2 vế cho 16 ta được điều phải chứng minh∎

<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>1.</b> Cho a ≥ 6. Tìm Min của _{S a}2 18

a
 
<b>2.</b> Cho 0 < a ≤ 1

2. Tìm Min của 2

1
S 2a

a
 
<b>3.</b> Cho a, b 0

a b 1







  . Tìm Min của S ab ab1
<b>4.</b> Cho a,b,c 0

a b c 1







   . Tìm Min của
1

S abc

abc
 

<b>5.</b> Cho a, b > 0. Tìm Min của: S a b ab
a b
ab



 


<b>6.</b> Cho

a, b,c 0
3
a b c

2









   . Tìm Min của:
1 1 1
S a b c

a b c
     
<b>7.</b> Cho

a, b,c 0
3
a b c

2









   . Tìm Min của

2 2 2 1 1 1

S a b c

a b c
     

<b>8.</b> Cho a, b, c, d > 0. Tìm Min của:

2a 2b 2c 2d

S 1 1 1 1

3b 3c 3d 3a

   

   

   

   

    

    

<b>9.</b> Cho

a, b,c

0

a b c 1







  

Chứng minh rằng

2 2 2

1 1 1 2 2 2

81

a b c ab bc ac

S



     

<b>10.</b>Cho a,b,c 0
a b c 1







   Chứng minh rằng:

2 2 2

a b c 1 1 1

S 28

b c a a b c

      

<b>2.</b> <b>Phương pháp đặt ẩn phụ: </b>

Phương pháp: Bằng cách thay các ẩn ban đầu
bẳng các ẩn phụ, đưa bài toán ban đầu về bài tốn
mới có cách giải dễ dàng.

<b>Ví dụ: (Bất đẳng thức Jensen) </b>

Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng:

a b c 3

b c acab 2
Đặt u a b v b c t a c

u t v u v t v t u

a b c

2 2 2

     

   

Thế vào VT của bất phương trình ta được:

u t v u v t v t u

2v 2t 2u

     

 

1 u t u v v t

1 1 1

2 v v t t u u

 

 _         _

 

1 u t u v v t

3

2 v v t t u u

 

 _       _

 

6

1 u t u v v t 3

6 . . . 3

2 v v t t u u 2

 

 _  _

  ∎

<b>Bài toán 1: (đề thi đại học khối A năm 2007) </b>
Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa
mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:













2 2 2

x y z y z x z x y

P

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

  

  

  

 Nhận xét: Biểu thức P ở dạng đối xứng với x,
y, z mà xyz = 1 nên ta có khả năng dự đoán Min P = 2
khi x = y = z = 1. Vậy ta giải quyết bài toán P <i><b> 2. </b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

- Trang 4-













2 2

2 2

2 2

x y z x .2 yz 2x x

y y 2z z y y 2z z y y 2z z

y z x y .2 zx 2y y

z z 2x x z z 2x x z z 2x x

z x y z .2 xy 2z z

x x 2y y x x 2y y x x 2y y



 

  



 

  



 

  

Để bài tốn gọn hơn ta có thể đặt:
ax x; by y; cz z
Theo giả thiết đề bài thì a.b.c = 1

Khi đó: P 2a 2b 2c

b 2c c 2a a 2b

  

  

Tới đây ta có thể giải bài tốn bằng cách đặt
u = b + 2c; v = c + 2a; t = a + 2b ∎

<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>1.</b> Cho ∆ABC. Chứng minh rằng

2 2 2

a b c

a b c
b c a  c a ba b c   
<b>2.</b> Cho ∆ ABC. CMR :



b c a 



a b c c a



 b



abc
<b>3.</b> Cho ∆ABC. CMR:

2 2 2

1 1 1 p

(p a) (p b) (p c) (p a)(p b)(p c)  
<b>3.</b> <b>Phương pháp Cauchy tích thành tổng: </b>

Phương pháp: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng
minh về các bất đẳng thức đơn giản, sử dụng

Cauchy ngược dấu có kết hợp tọa độ điểm rơi và
chọn lựa chính xác các cặp số cần Cauchy.
<b>Ví dụ: Chứng minh rằng: </b>







ab cd  ac b d a, b, c, d0<b>(1) </b>
<b>(1)</b> 



a c b d ab













a c b d cd











1

Theo BĐT Cơsi ta có:

1 a b 1 c b

VT

2 a c b c 2 a c b d

   

   

   

   

   

 

1 a c b d 1

1 1 1

2 a c b c 2

 

 

 

 

    

  ∎

<b>Bài toán 1: Chứng minh rằng: </b>









a b 1 b a 1 ab a,b 1 

Bài này chúng ta hồn tồn có thể chia cả 2 vế
cho ab sau đó áp dụng phương pháp như VD trên, tuy

nhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới:

<b>phương pháp nhân thêm hằng số. </b>

Ta có :

 

 

 

 

 

 

= .

= .

b -1 +1 _ab
a b -1 a b -1 1 a =

2
a -1 +1 ab

b a -1 b a -1 1 b. =

2
2

2







 _





 a

 

b -1 + b a -1

 

ab+ab= ab

2 2

 ∎

Dấu “ = ” xảy ra  b 1 1 b 2

a 1 1 a 2

 

 

 

 

 

  _ 

  

 Nhận xét: Ta thấy việc nhân thêm hằng số 1
vào biểu thức khơng hồn tồn tự nhiên, tại sao lại
nhân thêm 1 mà không phải là 2. Thực chất của vấn đề
là chúng ta đã chọn điểm rơi của BĐT.

<b>Bài toán 2: </b>
Cho a,b,c 0

a b c 1







   Tìm giá trị lớn nhất:
S a b  b c  c a

Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như
nhau do đó điểm rơi của BĐT sẽ là a b c 1

3
   . Từ
đó ta dự đoán Max S = 6 .  a + b = b + c = c + a =

2

3  hằng số cần nhân thêm là
2
3.

 .





.





2
a b

3 2 3 ₃

a b a b .

2 3 2 2

   

 

 .





.





2
b c

3 2 3 ₃

b c b c .

2 3 2 2

   

 

 .





.





2
c a

3 2 3 ₃

c a c a .

2 3 2 2

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

- Trang 5-

a b b c c a

     





.

2
2 a b c 3.

3 ₃ 3

.2 6

2 2 2

  

   ∎

<b>Cách giải sai lầm: </b>



 





 





 



2

2

2

a b 1
a b a b .1

b c 1
b c b c .1

c a 1
c a c a .1



 




 _





 




 

  

 

  

 

  

 a b b c c a 2 a b c





3 5

2 2

  

      

<b>Dấu bằng xảy ra: a + b = b + c = c + a = 1 </b> a + b +
c = 2 trái với giả thiết.

 Nhận xét: Việc sử dụng tọa độ điểm rơi rất
quan trọng trong việc giải các bài toán Cauchy.
<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>1.</b> Cho a3; b4;c2 Tìm:

Max S ab c 2 bc a 3 ca b 4

2 2

     
<b>2.</b> Cho x, y, z >0. Tìm

Min f(x, y, z) =





6

2 3
x y z

xy z

 
<b>3.</b> Chứng minh: n 1

n 1 (1) 1 n N
n

    

<b>4.</b> Cho a,b,c,d 0
a b c d 1







    Tìm Max

a b c b c d c d a d a b

S

           

<b>5.</b> Cho a,b,c,d 0
a b c d 1







    Tìm Max

3 3 3 3

S 2a b  2b c  2c d  2d a
<b>6.</b> Cho a2; b6;c 12 . Tìm Min:

3 4

bc a 2 ca b 6 ab c 12
abc

S

     

<b>4.</b> <b>Phương pháp Cauchy ngược dấu: </b>

Phương pháp: Phân tích các số hạng trong bất
đẳng thức thằng hiệu của 2 số bị trừ và số trừ. Áp
dụng Cauchy cho mẫu của số trừ.

<b>Ví dụ: Các số dương a, b, c thoả mãn: </b>a  b c 3.
Chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2

a b c 3

1 b 1 c 1 a  2.

 Nhận xét: Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng
thức Cauchy với mẫu số vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi
chiều.

2 2 2

a b c a b c 3

1 b 1 c 1 a  2b2c2a  2
Tuy nhiên, rất may mắn ta lại có thể dùng bất đẳng
thức đó theo cách khác:



2 2



₂ ₂

2 2 2

a 1 b b

a ab ab ab

a a a

1 b 1 b 1 b 2b 2

 

      

  

Ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy: 2

1 b 2bở
dưới mẫu nhưng lại có được một bất đẳng thức thuận
chiều.

Tương tự:

Tương tự: b ₂ b bc

1 c   2 và 2

c ca

c
1 a   2
Cộng vế theo vế cả bất đẳng thức ta được:

2 2 2

a b c ab bc ca

a b c

1 b 1 c 1 a 2

 

     

  

ab bc ca 3
3

2 2

 

  

Vì



a b c



2 3 ab bc ca



 



ab bc ca  3.
Đẳng thức xảy ra khi a= b = c = 1.∎

<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>1.</b> Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thoả
mãn: a  b c 3. Chứng minh:

2 2 2

1 1 1 3

1 a 1 b 1 c 2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

- Trang 6-

2 2 2

1 a 1 b 1 c

3

1 b 1 c 1 a

 _  _  _

   .

<b>3.</b> Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực
dương thoả mãn: a   b c d 4. Ta có :

2 2 2 2

1 1 1 1

2
1 a 1 b 1 c 1 d 

<b>4.</b> Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực
dương thoả mãn: a   b c d 4. Ta có:

2 2 2 2

a b c d

2
1 b 1 c 1 d 1 a 

<b>5.</b> Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực
dương thoả mãn: a   b c d 4ta có :

2 2 2 2

1 a 1 b 1 c 1 d

4

1 b 1 c 1 d 1 a

 _  _  _  _

   

<b>6.</b> Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực
dương thoả mãn: a   b c d 4 ta có:

2 2 2 2

a b c d

2
1 b c 1 c a 1 d a 1 a b 

<b>7.</b> Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực
dương ta ln có:

3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 2 2

a b c d a b c d

a b b c c d d a 2

  

   

   

<b>8.</b> Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực
dương ta luôn có:

4 4 4 4

3 3 3 3 3 3 3 3

a b c d a b c d

a 2b b 2c c 2d d 2a 3

  

   

   

<b>9.</b> Cho a, b, c0 thoả mãn: a  b c 3. CM:

2 2 2

3 3 3

a b c

1
a2b b 2c c 2a 

<b>10.</b>Cho x, y, x > 0 thoả mãn xy yz zx 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 2 2

x y z

T

x y y z z x

  

  

<b>5.</b> <b>Phương pháp tách ghép hạ bậc: </b>

Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
với đẳng thức cùng bậc sao cho đẳng thức kết quả có
bậc nhỏ hơn đẳng thức đã cho.

<b>Lưu ý: Dấu bằng bất đẳng thức vẫn phải ln </b>
đảm bảo.

<b>Ví dụ: Cho a, b, c dương. Chứng minh rằng: </b>

2 2 2

a b c a b c

b c c a a b 2

 

  

  

 Nhận xét:

2

a
b c ,

2

b
c a ,

2

c

abcó bậc của tử lớn
hơn bậc của mẫu là 1. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Sử dụng Cauchy theo phương pháp trên:

 a2 b c a

b c 4



 



 b2 c a b

c a 4



 



 b2 c a b

c a 4



 



Cộng theo vế ta được:

2 2 2

a b c a b c a b c

a b c

b c c a a b 2 2

   

      

   ∎

<b>Bài toán 1: Cho a,b dương, a + b =1. CM: </b>

2 2

a b 1

a 1 b 1 3
<b>Dấu bằng xảy ra khi </b>a b 1

2

  . Áp dụng như trên:

2

2

a a 1 2

a

a 1 9 3

b b 1 2

b

b 1 9 3

 

 

 




 _ _

 




 



2 2 _a _b

a b 2 2

a b

a 1 b 1 3 9 9



     

 





5 2 1

a b

9 9 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

- Trang 7-
<b>Bài toán 2: Cho a,b,c dương và a + b + c = 3. Tìm </b>

min:





 



 





3 3 3

a b c

P

1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b

  

     

<b>Dự đoán P min bằng </b>3

4 khi a = b = c = 1. Áp dụng
Cauchy như trên:











 



3 _{1 b} _{1 c}

a 3a

1 b 1 c 8 8 4

 

  

 











 



3 _{1 c} _{1 a}

b 3b

1 c 1 a 8 8 4

 

  

 











 



3 _{1 a} _{1 b}

c 3c

1 a 1 b 8 8 4

 

  

 

Suy ra:





 



 









3 3 3

a b c

1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b

3 a b c 6 2(a b c)

4 8

 

     

    

 

3.3 6 2.3 3

4 8 4



   ∎

<b>II. </b> <b>Bất đẳng thức Bunhiacopxki:(B.C.S) </b>

 <b>Cho 2 cặp số: </b>

1 1 2 2

a .b a .b  (a₁2a )(b2₂ ₁2b )2₂
Dấu „=‟ xảy ra khi 1 2

1 2

a a

b b

(Nếu bỏ dấu thì cần thêm điều kiện  0)

 <b>Cho 3 cặp số: </b>

1 1 2 2 3 3

a .b a .b a b  (a₁2a₂2a )(b₃2 ₁2b2₂b )2₃
Dấu „=‟ xảy ra khi 1 2 3

1 2 3

a

a a

b  b b

(Nếu bỏ dấu thì cần thêm điều kiện  0)

 <b>Cho n cặp số: </b>

2 2 2 2

1 1 n n 1 n 1 n

a .b  .... a b  (a  ... a )(b  ... b )
Dấu „=‟ xảy ra khi 1 2 n

1 2 n

a a a

...
b  b  b
(Nếu bỏ dấu thì cần thêm điều kiện 0)
<b>Hệ quả: Cho các số không âm: </b>





2

2 2 2

1 2 n

1 2 n

1 2 n 1 2 n

a a ... a

a a a

...

b b b b b ... b

  
   

  
<b>Dấu “=” xảy ra khi </b> 1 2 n

1 2 n

a a a

...
b  b  b

<b>1.</b> <b>Phương pháp tọa độ điểm rơi: </b>

Phương pháp: Đi tìm dấu bằng của bất đẳng thức
xảy ra khi nào? Sau đó dùng phương pháp tách biến
để sử dụng bất đẳng thức B.C.S.

<b>Ví dụ: Cho a + b = 2. Chứng minh: </b>
a4 + b4 2

Ta có: 2  a b 1 1 a 



2b2



 a2 + b2 2



2 2



 



4 4



</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

- Trang 8-
<b>Bài toán 1: (đề thi đại học khối A năm 2003) </b>

Cho 3 số x, y, z dương sao cho: x + y + z ≤ 1. Cm:

2 2 2

2 2 2

1 1 1

x y z 82

x y z

     

<b>Dấu bằng của bài toán xảy ra khi x = y = z = 1/3. </b>
Ta sẽ làm mất dấu căn ở từng số hạng bằng cách sử
dụng B.C.S như sau:

Ta có: (x2 1₂)(m2 n )2 mx n

x x

   

<b>Dấu bằng của B.C.S xảy ra khi </b>m x2 1
n  9<b>. </b>
<b>Vậy ta có thể chọn m = 1 và n = 9. </b>

2 2 2

2

1 9

(x )(1 9 ) x

x x

   

2
2

1 9

82 (x ) x

x x

   

2
2

1 1 9

(x ) x

x 82 x

 

   _  _

 

Biểu thức hoán vị theo x, y, z nên tương tự ta có:

2
2

1 1 9

(y ) y

y 82 y

 

  _  _

 

2
2

1 1 9

(z ) z

z 82 z

 

  _  _

 

Cộng theo vế ta được: P 1 x y z 9 9 9

x y z

82

 

 _      _

 

<b>(1) </b>

Áp dụng hệ quả của B.C.S cho 3 số 9 9 9
x y z

1 9 9 9

P x y z

x y z

82

 

 _      _

 

1 81

x y z

x y z
82

 

 _    _

 

 

(dấu bằng vẫn đảm bảo)

Ta tiếp tục áp dụng Cauchy có sử dụng dấu bằng xảy
ra (hoặc có thể dùng khảo sát hàm):

81 1 80

x y z x y z

x y z x y z x y z

       

     

80
2

x y z
 

  82 ( do x + y + z ≤ 1) (2)
Từ (1) và(2) ta có điều phải chứng minh.∎

<b>Bài tập tương tự: </b>
<b>1.</b> Cho 2 2 2

a b c 1. Chứng minh rằng:
a 3b 5c   35.

<b>2.</b> Cho x2y2 1. Chứng minh rằng:
x 1 y y 1 x  2 2 .
<b>3.</b> Cho 36x216y2 9. Chứng minh rằng:

5
y 2x

4

  .

<b>4.</b> Cho a a 1



 

b b 1

 

c c 1



4
3

      . Chứng

minh rằng: a  b c 4.

<b>5.</b> với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện

2 2 2 2

a b  c d 1. Chứng minh:



₂

 

2 ₂

 

2 ₂



2

x axb  x cxd  2x 1
<b>6.</b> Cho a, b, c: a  b c 1. Chứng minh:

a b b c  c a  6
<b>7.</b> Chứng minh:





₁2 2₂ 2_n





2

1 2 n 1 2 n

1 2 n

a a a

b b ... b ... a a ... a

b b b

 

   _    _   

 

<b>2.</b> <b>Phương pháp hệ quả B.C.S: </b>

Phương pháp: Gộp từng mẫu trong mỗi phân số
thành một mẫu chung. Chú ý đến khả năng nhân
chia thêm biến số cho tử để có thể áp dụng.

<b>Ví dụ: Chứng minh rằng: </b>

2 2 2

a b c a b c

a, b, c 0

b c c a a b 2

 

    

   <b>. </b>

Áp dụng hệ quả ta được:









2

2 2 2

a b c

a b c a b c

b c c a a b 2 a b c 2

   

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

- Trang 9-
<b>Bài toán 1: Chứng minh rằng: </b>

a b c 3

a, b, c 0
b c c a ab  2  <b>. </b>

Ta có: a b c 3

b c c a ab 2

2 2 2

a b c 3

ab ac bc ba ca cb 2

   

  

Áp dụng hệ quả ta được:









2

2 2 2 _a _{b c}

a b c

ab ac bc ba ca cb 2 ab bc ca
 

  

    

Mà:



a b c



23 ab bc ca



 



Do đó:

2 2 2

a b c 3

ab ac bc ba cacb2. Suy ra đpcm∎
<b>Bài toán 2: Chứng minh rằng: </b>

3 3 3 2 2 2

a b c a b c

a, b, c 0

b c c a a b 2

 

    

   <b>. </b>

Ta có:

3 3 3 2 2 2

a b c a b c

b c c a a b 2

 

  

  

4 4 4

a b c 3

ab ac bc ba ca cb 2

   

  

Áp dụng hệ quả ta được:









2

2 2 2

4 4 4 _a _b _c

a b c

ab ac bc ba ca cb 2 ab bc ca
 

  

    

Mà: a2b2  c2 ab bc ca 
Do đó:













2 2 2

4 4 4 _a _b _c _{ab bc ca}

a b c

ab ac bc ba ca cb 2 ab bc ca

   

  

    

2 2 2

a b c

2
 

 ∎

<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>1.</b> Giả sử x, y, z 1:1 1 1 2

x y z

    . Chứng minh:
x  y z x 1  y 1  z 1 .

<b>2.</b> Với a, b, c là các số thực dương. Tìm Min:

3a 4b 5c

P

b c c a a b

  

  

<b>3.</b> Chứng minh rằng nếu a, b, c0 : abc 1 thì

1 1 1

1
2 a 2 b 2 c  .
<b>4.</b> Với mọi số dương a, b, c dương ta có:

2 2 2

a b c

1

a 8bc b 8ac c 8ab

  

   .

<b>III. </b> <b>Bất đẳng thức vectơ: </b>

Sử dụng quy tắc ba điểm và bất đẳng thức trong
tam giác, chú ý trường hợp bất đẳng thức trở thành
đẳng thức.

Các bất đẳng thức:



a . b

 



a.b

 . Đẳng thức xảy ra khi

a, b

  cùng
phương



a b



  



a



b

 . Đẳng thức xảy ra khi

a, b

  cùng
hướng



a b





a

 

b

 . Đẳng thức xảy ra khi

a, b

 

cùng hướng

 a1  a2 ... an  a1 a2  ... an

     

. Đẳng
thức xảy ra khi

_{a ,a ,..,an}

 ₁ ₁ cùng hướng.
Trong Oxy : a(a , a ); b1 2 (b , b )1 2

 

Trong Oxyz : a(a , a ;a ); b₁ ₂ ₃ (b , b ; b )₁ ₂ ₃

<b>1.</b> <b>Phương pháp: </b>

 Lựa chọn loại bất đẳng thức

 Tách các số hạng trong các bất đẳng thức đã
cho sao cho đưa được tọa độ vectơ.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

- Trang 10-
<b>Ví dụ: Chứng minh rằng: </b>

2 2 2 2 2 2

x xyy  x xz z  y yz z (1) <b>. </b>
Ta có

2 2 2 2

1 3 1 3

VT(1) = (x y) ( y) (x z) ( z)

2 2 2 2

    

Xét hai vectơ:

1 3 1 3

u x y; y ; v x z; z

2 2 2 2

   

__  __   __ __

   

 

Khi đó ta có 2 2 2 2

| u |  x xyy ;| v |  x xz z

2 2

1 1 3 3

u v y z; y z ;| u v | y yz z

2 2 2 2

 

 __   __    

 

   

Mà theo BĐT (1) ta có

2 2 2 2

| u | | v | | u    v | x xyy  x xz z 

2 2

y yz z

   ∎

<b>Bài toán 1: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn </b>
ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

a 2b b 2c c 2a

3

ab bc ca

  

   (1)

Ta có:

(1) 1₂ 2₂ 1₂ 2₂ 1₂ 2₂ 3

b a c b a c

      

Xét ba véctơ u 1; 2 ; v 1; 2 ; w 1; 2

b a c b a c

     

__ __ __ __ __ __

     

  

Khi đó:

2 2 2 2 2 2

a 2b b 2c c 2a

| u | ;| v | ;| w |

ab bc ca

  

  

  

1 1 1 2 2 2

u v w ;

a b c a b c

 

  __     __

 

  

2

1 1 1

| u v w | 3 3

a b c

 

   _   _ 

 

  

Vì ab bc ca abc 1 1 1 1

a b c

      

Mà theo BĐT (1) ta có | u | | v | | w | | u     v w |

2 2 2 2 2 2

a 2b b 2c c 2a

3

ab bc ca

  

    ∎

Vì ba véctơ đều khác véctơ 0 nên dấu “=” xảy ra

u v w a b c

     mà ab + bc + ca =abc
suy ra a = b = c =3.

<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>1.</b> Chứng minh rằng a, b, c, d  ta có

2 2 2 2 2 2

(ac)  (b d)  a b  c d
<b>2.</b> Chứng minh rằng x, y  ta có

2 2

(x y)(1 xy) 1
(1 x )(1 y ) 2

 



 

<b>3.</b> Chứng minh rằng a, b, c, x, y, z ta có
<b>a) </b>| axby cz |  a2b2c . x2 2y2z2
<b>b) </b>

2 2 2 2 2 2

2 2 2

a b c x y z

(a x) (b y) (c z)

    

     

<b>c) </b> a2  a 1 a2 3a 1  2

<b>4.</b> Chứng minh rằng x, y, z0, x  y z 1 ta có

2 2 2

2 2 2

1 1 1

x y z 82

y z x

     

<b>5.</b> Cho ba số thực x, y, z đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

| x y | | y z | | z x |

1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x

 _  _ 

     

<b>6.</b> Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta ln có

<b>a) </b> 2 2 2 2

a b 2a2b 37  a b 6a 6b 18  5

<b>b) </b> a2 4 a22ab2 1 b26b 10 5
<b>7.</b> Chứng minh rằng a, b, c  ta có

2 2 2 2 2

2 2 2

a 2a 5 a 2ab b 1 b 2bc c 1

c 2cd d 1 d 10d 26 6 2

         

       

<b>8.</b> Chứng minh rằng a, b, c , abc 1 ta có

2 2 2 2 2 2

bc ca ab 3

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

- Trang 11-
c(a c)  c(b c)  ab

<b>10.</b>Chứng minh rằng a, b, c  ta có
<b>a) </b>a2 b2c2 abc(a b c)

<b>b) </b> 2 2 2

a b  c ab bc ca 

<b>IV. </b> <b>Dùng điều kiện có nghiệm của hệ phương </b>
<b>trình tìm Min – Max: </b>

<b>Bài toán: </b>

Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện

G(x, y)0 (hoặc G(x, y)0;G(x, y)0). Tìm giá
trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất (nếu có) của P F(x, y)
<b>Cách giải: </b>

Gọi T là một giá trị của P. Khi đó: m là một giá
trị của T khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm (x, y):

G(x, y) 0
F(x, y) m




 _

 ( hoặc

G(x, y) 0
F(x, y) m



 _

 ;

G(x, y) 0
F(x, y) m




 _



Sau đó tìm tất cả các giá trị của m để hệ trên có
nghiệm. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của P.

 <b>Lưu ý: Các phương pháp giải hệ phương </b>

trình, hệ bất phương trình

<b>Ví dụ: Cho hai số thực x , y thoả mãn điều kiện: </b>









3 3 ₃ ₃ ₃

x x 1  y yy  xy
Tìm GTNN, GTLN của 3 ₃ ₃

F x  y xy

Gọi T là miền giá trị của F . Ta có m ∈ T ∈⇔ hệ sau
có nghiệm









3 3 3 3 3

3 3 3

x x 1 y y y xy

x y xy m

 _{ } _ _




   



Đặt:

3 ₃

3

S x y

P xy

  






 Điều kiện:

2

S 4P(điều kiện có
nghiệm bậc hai của phương trình X2SX P 0)
Hệ trên

2 2

S S 3P 0 S 2S 3m(1)

S P m P S m

      

_ _

   

 

Ta có:





2

2 2 4 S S 2

S 4P S S 4S 0

3


     

0 S 4

  

Hệ phương trình có nghiệm f (S)3mcó
nghiệm0 S 4.

Vì hàm bậc hai f (S)S2 2S đồng biến trên

0 S 4nên f (0)S22Sf (4) 0 3m24

0 m 8

  

Vậy Min F 0; Max F 8 
<b>Bài tập tương tự: </b>

<b>1.</b> Cho các số thực x, y thoả mãn: x2xyy2 3.
Tìm GTLN , GTNN của biểu thức

2 2

Qx xy 2y <b>. </b>

<b>--- </b>
<b>MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC </b>

<b>1.</b> <b>(ĐH 2001) Ba số dương </b>a, b, c thỏa mãn

1 1 1

3

a  b c . CM: (1 a)(1 b)(1 c)   8

<b>2.</b> <b>(ĐH 2001) Giả sử x và y là hai số dương và </b>
x y 1. Tìm GTNN của P x y

1 x 1 y

 

 

<b>3.</b> <b>(DB A-02) Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm </b>
M thuộc miền trong của tam giác ABC có 3 góc nhọn
đến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

2 2 2

a b c

x y z

2R
 

   ; a, b, c là cạnh tam
giác, R là bán kính đường trịn ngoại tiếp. Dấu “=” xảy
ra khi nào?

<b>4.</b> <b>(DB A-02) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi </b>
thoả mãn điều kiện x y 5

4

  . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức: S 4 1

x 4y
 

<b>5.</b> <b>(DB A-02) Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên </b>
thay đổi thoả mãn 1 a    b c d 50. Chứng minh
bất đẳng thức

2

a c b b 50

b d 50

 

  và tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức S a c

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

- Trang 12-
<b>6.</b> <b>(DB A-02) Cho tam giác ABC có diện tích </b>

bằng 3

2. Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC,
CA, AB và h , h , h tương ứng là độ dài đường cao _a _b _c
kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Chứng minh rằng:

a b c

1 1 1 1 1 1

3

a b c h h h

 

 _{ }  _ _ _

 

 

 _ 

<b>7.</b> <b>(A-03) Cho x, y, z là ba số dương và </b>
x  y z 1. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 2 2

1 1 1

x y z 82

x y z

     

<b>8.</b> <b>(DBA-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ </b>
nhất của hàm số ysin x5  3 cos x

<b>9.</b> <b>(DBA-03) Tính các góc của tam giác ABC biết </b>





4p p a bc

A B C 2 3 3

sin sin sin

2 2 2 8

 




 _






trong đó BC = a, CA = b, AB = c, p a b c

2
 


<b>10.( B-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất </b>
của hàm số y x 4 x 2

<b>11.(DB B-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ </b>
nhất của hàm số yx64 1 x



 2



3 trên đoạn [-1; 1].

<b>12.(DB B-03) Chứng minh rằng: </b>

2

x x

e cos x 2 x , x

2

     

<b>13.(D-03) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất </b>
của hàm số

2

x 1
y

x 1




 trên đoạn [-1; 2].

<b>14.(DB D-03) Tính các góc A, B, C của tam giác </b>
ABC để biểu thức Qsin A sin B sin C2  2  2 đạt Min

<b>15.(A-04) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn </b>
điều kiện: cos 2A 2 2 cos B 2 2 cosC 3   . Tính ba
góc của tam giác ABC.

<b>16.(B-04) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất </b>
của hàm số

2

ln x
y

x

 trên đoạn [1; e ]. 3

<b>(A-05) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn </b>

1 1 1

4

x  y z . Chứng minh rằng:

1 1 1

1
2x y zx2y z x y 2z 

<b>17.( B-05) Chứng minh rằng với mọi </b>x ta có:

x x x

x x x

12 15 20

3 4 5

5 4 3

  _  _  _ _ _

     

      . Khi nào đẳng

thức xảy ra?

<b>18.(D-05) Cho các số x, y, z thoả mãn xyz =1. </b>

Chứng minh rằng:

3 3 3 3 3 3

1 x y 1 y z 1 z x

3 3

xy yz zx

     

   . Khi

nào đẳng thức xảy ra?

<b>19.(DB-05) Chứng minh rằng với mọi </b>x, y 0 thì

2

y 9

(1 x) 1 1 256

x y

 

 

 _  _  _ 

 _ _

<b>20.(DB-05) Cho </b>x, y, z thỏa mãn x  y z 0.
Chứng minh 3 4 x  3 4 y  3 4 z 6

<b>21.(DB-05) Cho </b>a, b, c là ba số dương thỏa mãn
3

a b c
4

   . Chứng minh rằng:

3 3 3

a 3b  b 3c  c 3a 3

<b>22.(DB-05) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn </b>
xyz 1 . Chứng minh rằng

2 2 2

x y z 3

1 y 1 z 1 x  2
<b>23.(A-06) Cho hai số thực x, y khác 0 thay đổi </b>
thoả mãn điều kiện :



xy xy



x2y2xy. Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức A 1₃ 1₃

x y

  .

<b>24.(B-06) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm </b>
giá trị nhỏ nhất của biểu thức





2 ₂





2 ₂

B x 1 y  x 1 y  y 2.
<b>25.(DB-06) Chứng minh rằng nếu 0</b>  y x 1
thì x y y x 1

4

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

- Trang 13-

1 1 1

1 1 1 64

x y z

 

 _  _  _ _
 

   

   

<b>27.(A-07) Cho x, y, z là các số thực dương thay </b>
đổi và thoả mãn điều kiện xyz =1.Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:













2 2 2

x y z y z x z x y

P

y y 2z z z z 2x x x x 2y y

  

  

  

<b>28.(B-07) Cho x, y, z là ba số dương thay đổi. Tìm </b>
giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x 1 y 1 z 1

P x y z

2 yz 2 zx 2 xy

     

 _  _ _  _ _  _

 

   

<b>29.(D-07) Cho </b>a b 0. Chư_{́ ng minh rằng :}

b a

a b

a b

1 1

2 2

2 2

 _  _ _ 

   

   

<b>30.</b>(B-08) Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả
mãn hệ thức x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức

2

2

2(x 6xy)
P

1 2xy 2y



 

<b>31.(D-08) Cho x, y là hai số thực khơng âm thay </b>
đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P (x y)(1 xy)₂ ₂

(1 x) (1 y)

 



 

<b>32.(A-09) Chứng minh rằng với mọi số thực </b>

dương x, y, z thoả mãn x x



 y z



3yz, ta có:



 

3



3







 



3

xy  xz 3 xy xz y z 5 y z
<b>33.(B-09) Cho các số thực x,y thay đổi thoả mãn </b>





3

xy 4xy2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



4 4 2 2

 

2 2



A3 x y x y 2 x y 1

<b>34.(D-09) Cho các số thực không âm x, y thay đổi </b>
và thoả mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:



3



3



S 4x 3y 4y 3x 25xy

<b>35.</b>Cho hai số thực x, y thay đổi và thoả mãn hệ
thức x2 + y2 = 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P2 x



3y3



3xy

<b>36.</b>Cho x > y > 0 là các số thực thay đổi. Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức:



1



P x

xy x y
 



<b>37.</b>Cho x là số thực dương thay đổi. Tìm giá trị
nhỏ nhất của hàm số y x x2 1

x
  

<b>38.</b>Cho x0; y0 là các số thực thay đổi. Tìm
GTNN của biểu thức

4 4 2 2

4 4 2 2

x y x y x y

Q

y x y x y x

     

<b>39.</b>Xác định các số thực a, b sao hàm số

2

ax b
y

x 1




 có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ
nhất bằng -1.

<b>40.</b>Cho tam giác ABC vng tại A. Tìm giá trị
nhỏ nhất của:





4 4 4

a b c

S

abc a b c

 



 

<b>41.</b>Cho tam giác ABC có chu vi bằng 3. Chứng

minh rằng:



 

 



3 3 3

a b c c a b b c a

1

3c 3b 3a

     

  

<b>42.</b>Cho a, b, c la_{̀ các số dương thoả mãn}

ab bc ca  abc. Chư_{́ ng minh rằng :}













4 4 4 4 4 4

3 3 3 3 3 3

a b b c c a

1

ab a b bc b c ca c a

 _  _  _

  

<b>43.</b>Cho a, b, c la_{̀ đô ̣ dài ba ca ̣nh tam giác. Tìm giá}
trị nhỏ nhất của biểu thức:

2a 2b 2c

P

2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c

  

     

<b>44.</b>Cho a, b, c la_{̀ các số dương thoả mãn}
a  b c 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2 2 2 2 2 2

P a ab b  b bc c  c caa

<b>45.</b>Cho các số thực x, y, z thoả mãn : x + y + z =6.
Chứng minh rằng : x y z x 1 y 1 z 1

8   8 8 4  4 4
<b>46.</b>Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.
Tìm GTNN của biểu thức

2 2 2

1 1 1 1

P

a b c ab bc ca

   

 

<b>47.</b>Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn a 2b 3c 1
1 a 1 b 1 c  .
Chứng minh rằng : 2 3

6

1
ab c

5


<b>48.</b>Cho a,b,c là các số không âm thỏa

2 2 2

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

- Trang 14-

2 2 2 2 2 2

a b c 3 3

b c c a a b  2

<b>49.</b>Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức:

Q 1 x  1 y  1 z

x y z

M

x 1 y 1 z 1

  

  

<b>50.</b>Cho x, y > 0 .Chứng minh rằng:





2

3

2 2

4xy 1

8

x x 4y



 

<b>51.</b>Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:
a + b + c =3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứ c:

2 2 2

a b c

P

1 b c 1 c a 1 a b

  

  

<b>52.</b>Cho các số thực x,y, z thoả mãn:

2 2 2

x y z 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :





2





2





2

2 2 2

T x  1 yz  y  1 zx  z  1 xy .
<b>53.</b>Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn:

x  y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

3 3 3

2 2 2

x y z

P

x yz y zx z xy

  

  

<b>54.</b>Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 2

2
sys

A B

1 tan 1 tan

2 2

P

C
1 tan

2

 _  _ 

  

  







<b>55.</b> Cho x 0;
2

 
 _

 . CM:

2x
cos x

sin x
  
<b>56.</b> Cho x, y, z > 0 và x + y + z = xyz. CM

2 2 2

1 1 1 3

2

1 x 1 y 1 z

  

   .

<b>57.</b>Cho x, y, z không âm và 1 1 1 2
1 x 1 y 1 z 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P xyz .

<b>58.</b>Cho 3 số thực x, y, z thỏa x3; y4 ; z2.
Chứng minh

xy z 2 yz x 3 zx y 4 2 3 2 2 6

xyz 4 6

     _  

<b>59.</b>Cho f (x)



x4 5 x







với   4 x 5. Xác
định x sao cho f(x) đạt GTLN.

<b>60.</b>Tìm GTNN của các hàm số sau:
3

f (x) x
x

  với x > 0
1

f (x) x

x 1
 

 với x > 1

<b>61.</b>Cho 0 x 4; 0 y 3. Tìm GTLN của









A 3 y 4 x 2y 3x

<b>62.</b>Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết
a, b, c0:

<b>a.</b>

5 5 5

3 3 3

2 2 2

a b c

a b c

b c a   

<b>b.</b>

5 5 5

3 3 3

a b c

a b c

bccaab  

<b>c.</b>

5 5 5 3 3 3

3 3 3

a b c a b c

b c a  b  c  a

<b>d.</b>

4 4 4

2 2 2

a b c

a b c
bc ca ab   

<b>e.</b>

3 3 3

2 2 2

a b c 1

(a b c )
a2bb 2c c 2a 3  

<b>f.</b>

3 3 3

2 2 2

a b c 1

(a b c)
(b c) (c a) (ab) 4  

<b>63.</b>Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng

4 4 4

3 3 3

x y z 1

(x y z )
y z zxxy 2  

<b>64. Cho a, b là hai số thực thoả mãn 0 < a < b < 1. </b>
Chứng minh rằng: a ln b b ln a2  2 ln a ln b .

<b>65. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn</b>

1 1 2

a c b. Chứng minh rằng:

a b c b

4
2a b 2c b

 _  _

 

</div>

<!--links-->