Chu so tan cung

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ 3

CHỮ SỐ TÂN CÙNG.

Tiết 9:

TÌM MỘT CHỮ SỐ TẬN CÙNG

A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN<b>:</b><i><b> </b></i>

1) Tìm chữ số tận cùng của tích<b>:</b>
+ Tích các số lẽ là một số lẽ.

+ Tích của một số tận cùng bằng 5 với bất kỳ số lẽ nào cũng tận cùng bằng 5.
+ Tích của một số chẳn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẳn.

+ Tích của một số tận cùng bằng 0 với bất kỳ số tự nhiên nào cũng tận cùng
bằng 0.

2) Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa:

<b>a) Tìm một chữ số tân cùng:</b>

+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 Khi nâng lên lũy thừa bất kỳ( khác
0) thì vẫn có tận cùng bằng 0; 1; 5 ; 6.

+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 3; 7; 9 nâng lên lũy thừa 4n đều có tận cùng
là 1.

…34n_{= ….1;} _…..74n_{= ….1;} _…94n_{= …1}

+ Các số tự nhiên có tận cùng bằng 2; 4; 8 nâng lên lũy thừa 4n (n0) đều có tận

cùng là 6.

…24n_{= ….6;} _…..44n_{= ….6;} _…84n_{= …6.}

+ Các số tự nhiên có tận cùng là 4 hoặc 9 khi nâng lên lũy thừa lẽ thì có chữ số
tận cùng bằng chính nó.

<b>B/ Ví dụ </b>: Tìm một chữ số tân cùng<i>:</i>

1) Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

7430_{; 49}31_{; 87}32_{; 58}33_{; 23}35_.
2) CMR 8102_{– 2} 102 _{Chia hết cho 10.}

<i>Giải:</i>

1) Coù : 7430_{= 74}4.7_.742_{= (…6). (…6) = (…6);}
4931_{= (….9);}

8732_{= 87}4.8_{= (…1);}

5833_{= 58}32_{. 58 = 58}4.8_{. 58 = (…6). 58 = (…8);}
2335_{= 23}32_{. 23}3_{= (…1) .(…7) = (…7).}

2) 8102_{= 8}100_.82 _{= 8}4.25_.82_{= (…6). 64 = ….4}
2 102_{= 2}100_.22 _{= 2}4.25_.22_{= (…6) . 4 = ….4.}

Vậy 8102_{– 2} 102 _{có tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.}

<b>C/ Bài Tập</b>:

1) CMR A = 51n_{+ 47}102 _(n__{N) Chia heát cho 10.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Giaûi</b>:

1) 51n_{= ….1}

47102 _{= 47}100_.472_{= 47}4.25_.472_{= (….1).( …9) = …9}
Vaäy A = ….1 + ….9 = ….0 nên chia hết cho 10.

2) Coù 175_{+ 24}4_{– 13}21 _{= 17}4_{.17 + (…6) – (13}2₎10_{. 13 = (…1).17 + (…6) – (…9)}10_.13
= (…7) + (…6) – (..1). 13 = (…7) + (…6) – (..3) = (…3) + (…3) = (…
0).

Vậy số 175_{+ 24}4_{– 13}21 _{chia hết cho 10.}
Tiết 10:

LUYÊN TẬP

1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n:

a) 74n _{- 1 chia heát cho 10.}
b) 34n+1_{+ 2 chia heát cho 5.}
c) 24n+1_{+ 3 chia heát cho 5}
d) 24n+2_{+ 1 chia heát cho 5}

e) 92n+1_{+ 1 chia hết cho cả 2 và 5.}

2) Tìm các số tự nhiên n để n10_{+ 1 chia hết cho 10.}

3) Biết rằng số tự nhiên n chia hết cho 2 và n2 _{- n chia hết cho 5. Tìm chữ số tận cùng}
của n?

<b>Giaûi: </b>

1) a/ Coù 74n _{- 1 = (…1) – 1 = (…0) neân chia heát cho 10.}

b/ 34n+1_{+ 2 = 3}4n_{.3 + 2 = (…1). 3 + 2 = (…3) + 2 = …5 nên chia hết cho 5.}
c/ 24n+1_{+ 3 = 2}4n_{. 2 + 3 = (…6). 2 + 3 = (…2) + 3 = (…5) neân chia heát cho 5.}
d/ 24n+2_{+ 1 = 2}4n_.22_{+ 1 = (…6). 4 + 1 = (…4) + 1 = (..5) nên chia hết cho 5.}
e/ 92n+1_{+ 1 = (…9) + 1 = (…0) nên chia hết cho 10. ( vì 2n + 1 là số lẽ).}
2) Có n10_{+ 1 chia heát cho 10 => n}10_{= n}5.2_{= (n}5₎2_{có tận cùng bằng 9.}

=> n5_{tận cùng bằng 3 hoặc 7 => n tận cùng bằng 3 hoặc 7.}

3) Có n2_{– n = n.(n – 1) chia hết cho 5 nên n hoặc n – 1 chia hết cho 5}
Do đó n tận cùng là 0 ; 5 hoặc n – 1 tận cùng là 0 ; 5.

=> n tận cùng là 0 ; 5 hoặc 1; 6 .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Tiết 11:

TÌM HAI CHỮ SỐ TÂN CÙNG TRỞ LÊN

A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN<b>:</b><i><b> </b></i>

<b>1) Tìm hai chữ số tân cùng:</b>

+ Các số có tận cùng bằng 01; 25; 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận
cùng bằng 01; 25; 76.

+ Các số 320_{(hoặc số 81}5_{); 7}4_{; 51}2_{; 99}2_{có tận cùng bằng 01.}

+ Các số 220_{; 6}5_{; 18}4_{; 24}2_{; 74}2_{; 68}4_{có tận cùng bằng 76.}

+ Số 26n_{( n > 1) có tận cùng bằng 76.}

<b>2) Tìm ba chữ số tân cùng trở lên:</b>

+ Các số có tận cùng bằng 001; 376; 625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận
cùng bằng 001; 376; 625.

+ Số có tận cùng bằng 0625 nâng lên lũy thừa nào khác 0 cũng tận cùng bằng
0625.

+ Một số chính phương thì khơng có tận cùng là 2; 3; 7; 8
<b>B/ Ví dụ</b>: Tìm hai chữ số tân cùng<i>:</i>

a) Tìm hai chữ số tân cùng của 2100_.
b) Tìm hai chữ số tân cùng 71991_.

Giải<b>: </b>a) Ta có: 210_{= 1024. Bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng}
76.

Do đó 2100_{= (2}10₎10_{= 1024}10_{= (1024}2₎5_{= (…76)}5_{= …76}
Vậy hai chữ số tận cùng của 2 100_{là 76.}

b) 74_{= 2401. Số có tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận}
cùng bằng 01. Do đó: 7 1991_{= 7}1998_.73_{= (7}4₎497_{. 343 = ( …01)}497_{. 343 = (…01). 343}
= …43.

Vậy 71991_{có tận cùng bằng 43.}

<b>C/ Bài Tập:</b>

1) Tìm hai chữ số tận cùng của:

a) 5151_{; b) 6}666_; _{c) 14}101_{. 16}101_; _d) ₉₉99

99 ; e) 5n, với n > 1

Giaûi:

1) a) 5151_{= (51}2₎25_{. 51 =}

_

_{...01 .51}

_

25 _

_

_{...01 .51 ...51}

_

_ _;
b) 6666_{= (6}5₎133_{. 6 = (..76)}133_{. 6 = (…76) . 6 = …56}

c) 14101_{. 16}101_{= (14 . 16)}101_{= 224}101_{= (224}2₎50_{.224 = (…76)}50_{.224 = (…76) .224 =}
…24;

d) ₉₉99 ₂ ₁ ₂

99 99 <i>k</i> (99 ) .99 (...01) .99 (..01).99 ...99<i>k</i> <i>k</i>

     ;

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Tiết 12:

<b>CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH, MỘT LŨY THỪA</b>

1. Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay
nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn, khi so xổ số muốn biết có trúng những giải
cuối hay khơng ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng. Trong tốn học, khi xét một số có chia
hết cho 2, 4, 8 hoặc chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta chỉ cần xét 1, 2, 3 chữ số tận
cùng của số đó (xem § 10).

2. Tìm chữ số tận cùng của tích.
- Tích các số lẻ là một số lẻ.

- Đặc biệt, tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận
cùng là 5.

- Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.

Đặc biệt, tích của một số chẳn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng có chữ
số tận cùng là 0.

3. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.

- Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 1, 5, 6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì
( khác 0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.

- Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3, 7, 9 khi nâng lên luỹ thừa 4n đều có
tận cùng là 1.

...34n = ...1; ...74n = ...1; 94n = ...1

- Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 2, 4, 8 nâng lên lũy thừa 4n (n ≠ 0) đều

có tận cùng là 6.

...24n = ...6 ; ...44n = ...6 ; 84n = ...6

( Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên lũy thừa lẻ
đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận cùng lần
lượt là 6 và 1).

4. Một số chính phương thì không có tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
Thí dụ 1:

Cho A = 51n + 47102 (n є N).

Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10.
Giải:

51 n = … 1

47102 = 47100 . 472 = 474.25 . 472 = … 1 × … 9 = … 9.

Vaäy A = … 1 + … 9 = … 0 ; Vậy A chia hết cho 10.

Thí dụ 2: Ta đã biết ngồi dương lịch, Âm lịch người ta còn ghi lịch theo hệ đến CAN
CHI, chẳng hạn Nhâm Ngọ, Quý Mùi, Giáp Thân, … Chữ thứ nhất chỉ hàng CAN của
năm. Có 10 can là:

Hàng
can

Giáp t Bính Đinh Mậu Kỉ Canh Tân Nhâm Quý

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

số

Muốn tìm hàng CAN của một năm ta dùng công thức đơn giản sau đây rồi đối chiếu
kết quả với bảng trên:

<b>Hàng CAN = Chữ số tận cùng của năm dương lịch _ ₃</b>

(Nếu chữ số tận cùng của năm dương lịch nhỏ hơn 3 thì ta mượn thêm 10).

Bây giờ bạn hảy tìm hàng CAN của các năm Ngọ quan trọng trong lịch sử giành độc
lập của dân tộc ta trong thế kỉ XX đó là năm 1930 năm Đảng CSVN ra đời và năm

1954 chiến thắng Điện Biên Phủ.

<i><b>Giaûi : 10 </b></i>__{3 = 7}_ _{CANH ; 1930 là năm CANH NGỌ}
4 _ _{3 = 1}_ _{GIAÙP ; 1954 là năm GIÁP NGỌ}

BÀI TẬP

1. Nước Việt Nam dân chủ cộng hòa ra đời sau cách mạng tháng Tám năm 1945, đó là
một năm Dậu. Hãy tìm hàng CAN của năm Dậu đó.

2. Em tuổi gì ? Tìm hàng CAN của tuổi đó.
3. Tìm chữ số tận cùng của các số sau :

7430_{; 49}31_{; 97}32_{; 58}33_{; 23}35 _.
4. Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau 5n_{( n > 1 ).}

5. Chứng tỏ rằng các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10.
a) A = 98 . 96 . 94 .92 __{91 . 93 . 95 . 97}

b) B = 405n_{+ 2}405_{+ m}2_(m,n_є_{N ; n}_≠_0).
6. Tìm chữ số tận cùng của các số sau :
a) 234567 _{; b) 579}675

7. Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số ?
Tích A = 2 . 22_{. 2}3_....210_{x 5}2_{. 5}4_{. 5}6_…514_{tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?}
8*. Cho S = 1 + 31 _{+ 3}2₊₃3_{+ … + 3}30_.

</div>

<!--links-->