Chuyên đề 22 khối trụ đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

KHỐI TRỤ

Chuyên đề 22

 
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SNH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM
Lý thuyết chung
MẶT TRỤ
Các yếu tố mặt trụ:
Một số công thức:
 Đường cao:  h  OO .  

 Chu vi đáy: p  2 r .   

 Đường sinh:  l  AD  BC .  Ta 

 Diện tích đáy:  S đ   r 2 .    

có:  l  h .   
 Thể tích khối trụ:  V  h.Sđ  h. r 2 . 

 Bán kính đáy: 

 Diện tích xung quanh:  S xq  2 r.h .  

r  OA  OB  OC  OD .   

 Trục (∆) là đường thẳng đi qua 
 Diện tích tồn

 
hai điểm  O , O.   
phần:
Hình thành: Quay hình chữ 

Thiết
diện
qua
trục: Là hình 
nhật  ABCD  quanh đường trung 
Stp  Sxq  2Sđ  2 r.h  2 r 2 .  
ABCD
.
chữ nhật 
  
bình  OO , ta có mặt trụ như 
hình bên. 
 
Dạng 1. Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện
Câu 1.

(Mã 103 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng  3 2 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song 
song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được có diện tích bằng  12 2 . Diện 
tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 6 10 .

B. 6 34 .

C. 3 10 .
Lời giải 

D. 3 34 . 

Chọn A
B
O'
A

C
1

I

O
D

 

Ta có: 
S ABCD  12 2  3 2.CD
 CD  4
 CI  2

.

 CO  CI 2  IO 2  5  r
S xq  2 rl  6 10

Câu 2.

(Mã 101 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng  5 3 . Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song 
song với trục và cách trục một khoảng bằng  1 , thiết diện thu được có diện tích bằng  30 . Diện tích 
xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 10 3 .

B. 5 39 .

C. 20 3 .

D. 10 39 . 

Facebook Nguyễn Vương  1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Lời giải 
Chọn C

Gọi  O,  O  lần lượt là tâm của hai đáy và  ABCD  là thiết diện song song với trục với  A, B   O  ; 
C , D   O  . Gọi  H  là trung điểm của  AB  OH  d  OO,  ABCD    1 . 

Vì  S ABCD  30  AB.BC  30  AB 

30
 2 3  HA  HB  3 . 
5 3

Bán kính của đáy là  r  OH 2  HA2  3  1  2 . 
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng  S xq  2 rh  2 .2.5 3  20 3 .

Câu 3.

(Mã 102 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng  4 2 . Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng 
song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2 , thiết diện thu được có diện tích bằng  16 . 
Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 16 2 .

B. 8 2 .

C. 12 2 .
Lời giải 

D. 24 2 . 

Chọn A

Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục, ta được thiết diện là hình chữ nhật 
ABCD  (với AB  là dây cung của hình trịn đáy tâm  O ). 
Do hình trụ có chiều cao là  h  OO  4 2  hình trụ có độ dài đường sinh  l  AD  4 2 . 
16
16
Diện tích hình chữ nhật  ABCD  bằng  AB.CD  16  AB 

 2 2 . 
AD 4 2
Gọi K là trung điểm đoạn  AB  thì  OK  AB , lại có mp( ABCD) vng góc với mặt phẳng đáy của 
hình trụ   OK  mp( ABCD)   khoảng cách giữa  OO và  mp( ABCD) là  OK  2 . 

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 
2

 AB 
Xét tam giác vng  AOK R  OA  OK 2  AK 2  OK 2  
 
 2 

2

 2  2

2

 2 . 

Diện tích xung quanh của hình trụ là  S  2 R.l  2 .2.4 2  16 2 .
Câu 4.

Cắt hình trụ  T   bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích 
bằng  30 cm 2  và chu vi bằng  26 cm . Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy 
của hình trụ T  . Diện tích tồn phần của  T   là: 
A. 23  cm 2  . 

B.

23
cm2  . 

2

69
cm 2  . 

2
Lời giải 

C.

D. 69  cm2  . 

Chọn C

 
Gọi  h, r  lần lượt là đường cao và bán kính đáy của hình trụ  T  . Thiết diện của mặt phẳng và 
hình trụ  T   là hình chữ nhật  ABCD . Khi đó theo giả thiết ta có 




 h  2r
 h  2r
 h  2r
 h  2r




 hr  15
 h  13  2r

 h  13  2r
 
 S ABCD  h.2r  30
C



2
r  5  h  3(l )
 ABCD  2(h  2r )  26 h  2r  13 2r  15r  15  0



3
  r  2  h  10(TM )

Vậy 
Câu 5.

. 

Một hình trụ có bán kính đáy bằng  50 cm và có chiều cao là  50 cm. Một đoạn thẳng  AB  có chiều 
dài là  100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường trịn đáy. Tính khoảng cách  d  từ đoạn thẳng 
đó đến trục hình trụ.
A. d  50 cm.

B. d  50 3 cm.

C. d  25 cm.
Lời giải 

D. d  25 3 cm.

Facebook Nguyễn Vương 3


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

 
Qua  B  kẻ đường thẳng song song với  OO  cắt đường tròn đáy tại  C . 
OO  // BC  OO  //  ABC   d OO , AB  d OO ,  ABC   d O,  ABC   OH  d . ( H  là 
trung điểm của đoạn thẳng  AC ). 

AC  AB 2  BC 2  50 3 cm. 
Vậy  d  OH  OC 2  HC 2  25 cm.
Câu 6.

(THPT  Lê  Quy  Đơn  Điện  Biên  2019)  Một  hình  trụ  trịn  xoay  có  hai  đáy  là  hai  đường  trịn 
 O, R   và   O, R  . Biết rằng tồn tại dây 
cung  AB  của đường tròn   O, R  sao cho tam giác  OAB  đều và góc giữa hai mặt phẳng 

 OAB   và mặt phẳng chứa đường trịn   O, R   bằng  60 . Tính diện tích xung quanh của hình 
trụ đã cho. 
A. 4R 2  

B. 2 3R 2  

3 7 2
R  
7

Lời giải

C.

D.

6 7
R 2  
7

Chọn D

 
Gọi  K  là trung điểm  AB , đặt  AB  2a . 
  60    OK  2OK    OK 2  4OK 2  
Ta có :  AB  OK  và  AB  OO  nên  OKO

 3a 2  4  R 2  a 2     a 2 

4R2
 
7

Mặt khác :  OO2  OB 2  OB 2  4a 2  R 2  4.

4R 2
9R 2
6 7 R
 R2 
   OO 

 
7
7
7

Vậy diện tích xung quanh hình trụ đã cho là :  S xq  2Rl 
Câu 7.

6 7 R 2
. 
7

(Chun Sơn La 2019) Cho khối trụ có bán kính đáy bằng  4  cm   và chiều cao  5  cm  . Gọi  AB  
là một dây cung đáy dưới sao cho  AB  4 3  cm  . Người ta dựng mặt phẳng   P   đi qua hai điểm 

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 

A ,  B  và tạo với mặt phẳng đáy hình trụ một góc  60  như hình vẽ. Tính diện tích thiết diện của 

hình trụ cắt bởi mặt phẳng   P  . 

 



  cm  .  B. 4  4  3   cm  . 
3
3

8  4  3 
 cm  .  D.
 cm  . 

8 4  3 3
A.

3



4 4  3
C.

3

2

2

2

2

3

Lời giải

O
B

A

m

 
Gọi  S  là diện tích thiết diện,  S   là diện tích hình chiếu của thiết diện lên mặt phẳng 
đáy. Khi đó  S   S.cos 60 . 
OA2  OB 2  AB 2
1
Ta có  AB  4 3  cos 
AOB 
 
AOB  120  
2.OA.OB
2
1

4 4  3 3
 SOAB  2 OA.OB.sin120  4 3
  
 S   SOAmB  SOAB 
 
1
16
3
2
S
  .OA 
 OAmB 3
3



  S 
Câu 8.







8 4  3 3
S

. 
cos 60
3

(Tốn Học Và Tuổi Trẻ 2018) Cho hình lập phương có cạnh bằng  40   cm  và một hình trụ có 
hai đáy là hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi  S1 ,  S2  lần lượt là diện 
tích tồn phần của hình lập phương và diện tích tồn phần của hình trụ. Tính  S  S1  S 2    cm 2  . 
A. S  4  2400    . 

B. S  2400  4    .  C. S  2400  4  3  .  D. S  4  2400  3  . 
Lời giải

Facebook Nguyễn Vương 5

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

D'

C'
O'

A'

B'

D

C
O

A

B
 

Ta có:  S1  6.402  9600 . 
Bán kính đường trịn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương là:  r  20 cm ; hình trụ có 
đường sinh  h  40 cm  
Diện tích tồn phần của hình trụ là:  S2  2. .202  2 .20.40  2400 . 
Vậy:  S  S1  S 2  9600  2400  2400  4    . 
Câu 9.

(Chun Quốc Học Huế 2018) Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng  4 , thiết diện qua 
trục là hình vng. Một mặt phẳng     song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện là tứ giác 

ABBA , biết một cạnh của thiết diện là một dây cung của đường trịn đáy của hình trụ và căng 
một cung  120 . Tính diện tích thiết diện  ABBA . 
A. 3 2 . 

B.

3 . 

C. 2 3 . 
Lời giải 

D. 2 2 . 

B

O
A

l
O

B

R
A
 
Gọi  R ,  h ,  l  lần lượt là bán kính, chiều cao, đường sinh của hình trụ. 
Ta có  S xq  4  2 .R.l  4  R.l  2 . 
Giả sử  AB  là một dây cung của đường trịn đáy của hình trụ và căng một cung  120 . 

Ta có  ABBA  là hình chữ nhật có  AA  h  l . 
Xét tam giác  OAB  cân tại  O ,  OA  OB  R ,  
AOB  120  AB  R 3 . 
S ABBA  AB. AA  R 3.l  R.l 3  2 3 . 
Câu 10.

(Chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai - 2018) Ba chiếc bình hình trụ cùng chứa  1  lượng nước 
như  nhau,  độ  cao  mực  nước  trong bình  II   gấp  đơi  bình  I   và  trong  bình  III   gấp đơi  bình  II . 
Chọn nhận xét đúng về bán kính đáy  r1 ,  r2 ,  r3  của ba bình  I ,  Ox ,  III . 
A. r1 ,  r2 ,  r3  theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội  2 . 

Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

1
B. r1 ,  r2 ,  r3  theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội  . 
2
C. r1 ,  r2 ,  r3  theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội  2 . 
D. r1 ,  r2 ,  r3  theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội 

1
.
2

Lời giải
Gọi  V1 ,  V2 ,  V3  lần lượt là thể tích của bình  I ,  II ,  III . 
Ta có  V
  1  V2   r12 h1   r2 2 h2  r12 h1  r2 2 2h1  r2 
V

  2  V3   r2 2 h2   r32 h3  r2 2 h2  r32 2h2  r3 

r1
1 . 
2

r2
 2  . 
2

Từ  1  và   2   ta có  r1 ,  r2 ,  r3  theo thứ tự lập thành cấp số nhân cơng bội 
Câu 11.

1
. 
2

(Chun Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng  R  và chiều cao bằng 
phẳng     song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng 

3R
. Mặt 
2

R
. Tính diện tích thiết 
2

diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng    . 
A.

2R2 3
. 
3

B.

3R 2 3
. 
2

C.

3R 2 2
. 
2

D.

2R 2 2
. 
3

Lời giải 
Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng     là hình chữ nhật  ABCD  với  BC 
Gọi  H  là trung điểm  AB , ta có  AH 

R
 AB  2 HB  2 R 2  AH 2  R 3 . 
2

Vậy diện tích thiết diện là:  S  AB.CD  R 3.
Câu 12.

3R
. 
2

3R 3R 2 3

. 
2
2

(THPT Hải An - Hải Phịng - 2018) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng  5cm  và khoảng cách 
giữa hai đáy là  7 cm . Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục  3cm . Tính 
diện tích  S của thiết diện được tạo thành.
A. 55cm 2 .

B. 56 cm 2 .

C. 53cm 2 .

D. 46 cm 2 . 

Lời giải
D
O

H

C

7cm
A
5cmO'
B

 

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Gọi thiết diện là hình chữ nhật ABCD , H  là trung điểm  CD . 
OH  CD
 OH  ( ABCD)  d  OO;( ABCD)   d  O;( ABCD)   OH  3 cm . 
Ta có:  
OH  BC
 HC  HD  OC 2  OH 2  52  32  4 cm . 

 AB  CD  8cm . 
 S ABCD  AB.BC  8.7  56 cm 2 .
Câu 13. (Chuyên  Hạ  Long  -  2018)  Cho  hình  trụ  có  chiều  cao  bằng  6 2 cm .  Biết  rằng  một  mặt  phẳng 
khơng  vng  góc  với  đáy  và  cắt  hai  mặt  đáy  theo  hai  dây  cung  song  song  AB ,  AB   mà 
AB  AB  6 cm , diện tích tứ giác  ABBA  bằng  60 cm 2 . Tính bán kính đáy của hình trụ. 
A. 5cm . 

B. 3 2 cm . 

C. 4cm . 

D. 5 2 cm . 

Lời giải
Gọi  O ,  O  là tâm các đáy hình trụ (hình vẽ). 

 
Vì  AB  AB nên   ABBA   đi qua trung điểm của đoạn  OO  và  ABBA  là hình chữ nhật.
Ta có  S ABBA  AB. AA    60  6.AA    AA  10  cm  . 
Gọi  A1 ,  B1  lần lượt là hình chiếu của  A ,  B  trên mặt đáy chứa  A  và  B  
 ABB1 A1  là hình chữ nhật có  AB  6  cm  , 



B1 B  BB2  BB12    102  6 2



2

   2 7  cm   

Gọi  R  là bán kính đáy của hình trụ, ta có  2 R  AB1  B1 B2  AB2  8    R  4  cm  . 

Câu 14. (Chun Thái Bình - 2018) Một hình trụ có bán kính đáy  r  5cm  và khoảng cách giữa 
hai đáy  h  7 cm . Cắt khối  trụ  bởi  một  mặt  phẳng  song song  với  trục  và  cách  trục  3cm . 
Diện tích của thiết diện được tạo thành là: 
A. S  56  cm 2  . 

B. S  55  cm2  . 

C. S  53  cm 2  . 

D. S  46  cm 2  . 

Lời giải
Gọi  O, O  là tâm của hai đáy của hình trụ và   P   là mặt phẳng song song với trục và cách trục 
OO  một khoảng  3cm . 

Mp  P   cắt hai hình trịn đáy   O  ,  O   theo hai dây cung lần lượt là  AB, CD  và cắt mặt xung 
quanh theo hai đường sinh là  AD, BC . Khi đó  ABCD  là hình chữ nhật. 

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 

B
O

H
A

C
O
D
 
Gọi  H  là trung điểm của  AB . Ta có  OH  AB; OH  AD  OH   ABCD   

 d  O O,  P    d  O,  ABCD    OH  3cm . 

Khi đó:  AB  2 AH  2 OA2  OH 2  2 52  32  8 ;  AD  O O '  h  7cm . 
Diện tích hình chữ nhật  ABCD  là:  S ABCD  AB. AD  56  cm2  . 
Câu 15.

(Chun Thái Bình - 2018) Cho hình trụ có hai đáy là hai hình trịn   O   và   O  , chiều cao  2R  
và  bán kính  đáy  R . Một  mặt phẳng      đi qua  trung điểm của  OO   và  tạo với  OO   một góc 
30 . Hỏi     cắt đường trịn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? 

A.

2R 2
. 
3

B.

2R
. 
3
Lời giải 

4R
. 
3 3

C.

D.

2R

. 
3

C
O'
D

M

B K
H

O
A

Gọi  M  là trung điểm của  OO . Gọi  A ,  B  là giao điểm của mặt phẳng     và đường trịn 

 O   và  H  là hình chiếu của  O  trên  AB    AB   MHO  .
Trong  mặt  phẳng  

MHO 

K  MH 
  kẻ  OK  MH ,  
  khi  đó  góc  giữa  OO   và mặt  phẳng 

  30 . 
  là góc  OMK
Xét tam giác vng  MHO  ta có  HO  OM tan 30  R tan 30 

R 3
. 
3

Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

R2 R 2
Xét tam giác vng  AHO  ta có  AH  OA  OH  R 

. 
3
3
2

Do  H  là trung điểm của  AB  nên  AB 
Câu 16.

2

2

2R 2
. 
3

(THPT Lê Xoay - 2018) Một cốc nước hình trụ có chiều cao  9cm , đường kính  6cm .Mặt đáy 
phẳng dày  1cm , thành cốc dày  0,2cm . Đổ vào cốc  120 ml  nước sau đó thả vào cốc  5  viên bi có 

đường kính  2cm . Mặt nước cách mép cốc gần nhất với giá trị bằng 
A. 3,67  cm  . 
B. 3,08  cm  . 
C. 2, 28  cm  . 

D. 2, 62  cm  . 

Lời giải
2

Thể tích của cốc nước là:  V  . .  2,8 .8  62,72  cm3  . 

4
20
Thể tích của  5  viên bi là:  V1  5. . .13  .  cm3  . 
3
3
Thể  tích  cịn  lại  sau  khi  đổ  vào  cốc  120 ml   nước  và  thả  vào  cốc  5   viên  bi  là: 
20
V2  V  V1  120  62, 72  .  120  56,10  cm3  . 
3
V2
56,10
 2, 28  cm  . 
Chiều cao phần còn lại là:  h 

2
 .(2,8)
 .(2,8) 2
Câu 17.

(Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hình trụ có bán kính đáy bằng  R  và 
3R
chiều  cao  bằng 
. Mặt  phẳng      song  song  với  trục  của  hình  trụ  và  cách  trục  một  khoảng 
2
R
bằng  . Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng     là:
2

3 2R 2
A.
. 
2

3 3R 2
B.
. 
2

2 3R 2
C.
. 
3
Lời giải 

2 2R 2
D.
. 
3

Chọn B

 
Giả sử thiết diện là hình chữ nhật  ABCD  như hình vẽ. 

Gọi H là trung điểm của  BC suy ra  OH  BC  suy ra 

d  O; BC  

R
2 

2

R
BC  2 HB  2 OB  OH  2 R     R 3
2
Khi đó
 
2

2

2

Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Suy ra  S ABCD
Câu 18.

3 R 3 3R 2
. 
 BC . AB  R 3.

2
2

(Sở Bình Phước - 2020) Một hình trụ có diện tích xung quanh là  4 , thiết diện qua trục là một 
hình vng. Một mặt phẳng     song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện  ABBA , biết một 
cạnh của thiết diện là một dây của đường trịn đáy của hình trụ và căng một cung  1200 . Diện tích 
của thiết diện  ABBA  bằng

B. 2 2 .

A. 2 3 .

C. 3 2 .

D.

3.

Lời giải
Chọn A
Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt là  r , h . 
Theo đề ra ta có:  2 rh  4  rh  2 (1). 
Khơng giảm tính tổng qt, ta giả sử  AB  là dây của đường trịn đáy của hình trụ. Gọi O  là tâm 

của đáy trên của hình trụ. Theo bài ra ta có:  
AOB  1200 . 
Áp dụng định lý cơsin trong tam giác  OAB , ta có:  AB 2  OA2  OB 2  2OA.OB.cos 
AOB  





 AB 2  r 2  r 2  2r 2 .cos 1200   3r 2  AB  r 3  (2). 
Mặt khác, do mặt phẳng     song song với trục nên  ABBA  là hình chữ nhật và  AA  h (3). 
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:  S ABBA  AB. AA  r 3.h  rh 3  2 3 . 
Câu 19.

(Liên trường Nghệ An - 2020) Một sợi dây (khơng co giản) được quấn đối xứng đúng  10  vịng 
2
quanh một ống trụ trịn đều có bán kính  R  cm (Như hình vẽ) 


 
Biết rằng sợi dây dài 50cm . Hãy tính diện tích xung quanh của ống trụ đó. 
A. 80cm 2 . 
B. 100cm 2 . 
C. 60cm 2 . 
D. 120cm 2 . 
Lời giải
Khi trải phẳng ống trụ trịn đều ta được một hình chữ nhật có chiều rộng là chu vi của mặt đáy cịn 
chiều dài là chiều dài của trụ, mỗi vịng quấn của dây dài  5cm  là đường chéo của hình chữ nhật 
1
có kích thước lần lượt bằng chu vi đáy trụ và   chiều dài trụ(hình vẽ). 

10

p=4cm

5cm

 
2

l
 2 
Gọi chiều dài trụ là  l  cm  ,theo định lí Pitago ta có  52   2.   
 l  30 (cm). 
   10
2
Vậy diện tích xung quanh của trụ là:  S xq  2. . .30  120  cm 2  . 

Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Câu 20.

(THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật với kích thước như hình 
vẽ. Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (khơng tính viền, mép, phần thừa). 

 
A. 750, 25  cm  . 
2

B. 756, 25  cm  . 
2

C. 700  cm  . 
2

D. 700  cm 2  . 

Lời giải
Chọn B
35  10  10 15
  cm  . 
2
2
Đường cao hình trụ của cái mũ là  30 cm . 

Bán kính hình trụ của cái mũ là  r 

Diện tích xung hình trụ là:  S xq  2 rl  2. .

15
.30  450  cm 2  . 
2

2

 35 
Diện tích vành mũ là:  Sv      S d  cm 2  . 
 2 

Vậy tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ đó (khơng tính viền, mép, phần thừa) là: 
2

 35 
S  S xq  S d  Sv  450      756, 25.  cm 2  . 
 2 
Câu 21.

(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Một khối trụ có bán kính đáy r  2a . O, O lần lượt là tâm đường tròn đáy. Một
mặt phẳng song song với trục và cách trục
tứ diện OO AB bằng

A. a .

a 15
, cắt đường tròn  O  tại hai điểm A, B . Biết thể tích của khối
2

a 3 15
. Độ dài đường cao của hình trụ bằng
4
B. 6a .
C. 3a .
Lời giải

D. 2a .

Chọn C

Vẽ đường sinh  AC , khi đó mặt phẳng   ABC   song song với  OO  và cách  OO một khoảng 

a 15
. 
2
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 

Gọi  I  là trung điểm  AB , ta có  d  OO,  ABC    d  O,  ABC    OI 
Bán kính  OA  2a  suy ra  BA  2 IA  2 OA2  OI 2  2 4a 2 
Thể tích tứ diện  OO AB  bằng 

a 15
. 
2

15a 2
 a . 
4

a 3 15
 nên ta 
4

1
a 3 15
1
a 15
a 3 15
có : .OO.IO. AB 
 .OO.

.a 
 OO  3a . 
6
4
6
2
4
Vậy hình trụ có chiều cao  OO   3a . 

Dạng 2. Thể tích
Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a. Biết rằng khi cắt hình trụ đã 
cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a, thiết diện thu được là 
một hình vng. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
A. 216 a3 .

B. 150 a3 .

C. 54 a 3 .
Lời giải 

D. 108 a3 .

Chọn D
M
N
A

O

B

Q
P

H
D

C

O'

Lấy 2 điểm  M ,  N  lần lượt nằm trên đường tron tâm  O  sao cho  MN  6a . 
Từ  M ,  N  lần lượt kẻ các đường thẳng song song với trục  OO ' , cắt đường tròn tâm  O '  tại  Q , 
P . 

Thiết diện ta thu được là hình vng  MNPQ có cạnh bằng 6a. 
Gọi  H  là trung điểm của  PQ . Suy ra  OH  PQ . 
Vì  OO '   MNPQ   nên ta có  d  OO ',  MNPQ    d  O ',  MNPQ    O ' H . 
Từ giả thiết, ta có  O ' H  3a . Do đó  O ' HP  là tam giác vng cân tại  H . 
Suy ra bán kính đường trịn đáy của hình trụ là  O ' P  O ' H 2  HP 2  3a 2 . 



Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là:  V  6a. . 3a 2
Câu 2.



2

 108 a3 .

(Đề Tham Khảo 2019) Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ   H1  ,  H 2   xếp chồng lên nhau, lần 
lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là  r1 , h1 , r2 , h2  thỏa mãn  r2 

1
r1 , h2  2h1  (tham khảo 
2

hình vẽ). Biết rằng thể tích của tồn bộ khối đồ chơi bằng  30cm3 , thể tích khối trụ   H1   bằng 
Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A. 24cm3

B. 15cm3

C. 20cm3
Lời giải

D. 10cm3  

Chọn C
Gọi  V1 ,V2  lần lượt là thể tích khối trụ   H1  ,  H 2   
2

V
1 
V2   r22 h2    r1  2h1  1  
2
2 
 V1  2V2  mà  V1  V2  30  V1  20  

Câu 3.

(Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Cho hình trụ có chiều cao bằng  8a . Biết hai điểm 
A, C lần lượt nằm trên hai đáy thỏa  AC  10a , khoảng cách giữa  AC và trục của hình trụ bằng 

4a . Thể tích của khối trụ đã cho là
3

A. 128 a . 

3
B. 320 a . 

3

C. 80 a . 
Lời giải 

3
D. 200 a . 

Chọn D

Gọi   O  ,  O lần lượt là hai đường tròn đáy.  A   O  , C   O . 
Dựng  AD, CB lần  lượt  song  song  với  OO ( D   O , B   O  .  Dễ  dàng  có  ABCD là  hình  chữ 
nhật. 
Do  AC  10a, AD  8a  DC  6a . 
Gọi  H  là trung điểm của  DC . 
OH  DC
 OH   ABCD  . 

OH  AD
Ta có  OO / /  ABCD   d  OO , AC   d  OO ,  ABCD    O H  4 a . 
OH  4 a , CH  3a  R  OC  5a . 
2

Vậy thể tích của khối trụ là  V   R 2 h    5a  8a  200 a 3 . 
Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 

Câu 4.

(Sở Hà Nội 2019) Hỏi nếu tăng chiều cao của khối trụ lên  2  lần, bán kính của nó lên  3  lần thì thể 
tích của khối trụ mới sẽ tăng bao nhiêu lần so với khối trụ ban đầu? 
A. 36 . 
B. 6 . 
C. 18 . 
D. 12 . 
Lời giải 
Giả sử ban đầu khối trụ có chiều cao  h1  và bán kính  r1 . Khi đó, khối trụ có thể tích là  V1   r12 h . 
Sau khi tăng chiều cao của khối trụ lên  2  lần, bán kính của nó lên  3  lần thì khối trụ có chiều cao 
2

2h1  và bán kính  3r1 . Khi đó, khối trụ mới có thể tích là  V2    3r1  .2h1  18 r1h1 . 
Do vậy 
Câu 5.

V2
 18 . 
V1

(Chun ĐHSPHN - 2018) Cần đẽo thanh gỗ hình hộp có đáy là hình vng thành hình trụ có 
cùng chiều cao. Tỉ lệ thể tích gỗ cần phải đẽo đi ít nhất (tính gần đúng) là 
A. 30% . 
B. 50% . 
C. 21% . 
D. 11% . 
Lời giải
O'

h

R
O
a

Để gỗ bị đẽo ít nhất thì hình hộp đó phải là hình hộp đứng. 
Gọi  h  là chiều cao của hình hộp chữ nhật và  R  là bán kính đáy của hình trụ. 
Do hình hộp chữ nhật và hình trụ có cùng chiều cao nên thể tích gỗ đẽo đi ít nhất khi và chỉ khi 
a
diện tích đáy của hình trụ lớn nhất (thể tích khối trụ lớn nhất). Suy ra  R  . 
2

Gọi  V1  và  V2  lần lượt là thể tích của khối hộp và thể tích của khối trụ có đáy lớn nhất. 
Ta có:  V1  a 2 . h  và  V2   R 2 . h   .

a2
. h . 
4

a2
.h
V2

4
Suy ra:   2
  78,54% . Vậy thể tích gỗ ít nhất cần đẽo đi là khoảng  21, 46% . 
V1
a .h
4

.

Câu 6.

Một khối gỗ hình trụ có đường kính  0,5 m  và chiều cao  1  m  . Người ta đã cắt khối gỗ, phần cịn 
lại như hình vẽ bên có thể tích là  V . Tính  V . 

Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

A.

3
m3  .

16

B.

5
m3  .

64

3
m3  .

64
Lời giải
C.

D.



m  .
16
3

Gọi  V1 ,  V2  lần lượt là thể tích khối gỗ ban đầu và thể tích khối gỗ bị cắt. 

2


 0,5 
m3  . 
Thể tích của khối gỗ ban đầu là  V1   

 .1 
16
 2 
2

1  0,5 

Thể tích phần gỗ đã bị cắt đi là  V2   
 m3  . 
 .0,5 
2  2 
64
Thể tích khối gỗ cịn lại và  V  V1  V2 
Câu 7.


16




64



3
m3  . 

64

(Sở Hưng n - 2020) Cho hình trụ có  O, O  là tâm hai đáy. Xét hình chữ nhật  ABCD  có  A, B  
cùng thuộc   O   và  C , D  cùng thuộc   O  sao cho  AB  a 3 ,  BC  2a  đồng thời   ABCD   tạo 
với mặt phẳng đáy hình trụ góc  60 . Thể tích khối trụ bằng 
A.  a

3

3 . 

B.

 a3 3
9

. 

C.

 a3 3
3

. 

D. 2 a 3 3 . 

Lời giải 
Chọn A

 
Gọi  M , N  lần lượt là trung điểm của  CD, AB  và  I  là trung điểm của  OO . 
  60 . 
Suy ra góc giữa mặt phẳng   ABCD   và mặt phẳng đáy là  IMO
Ta có  IM 

1
1
MN  BC  a . 
2
2

  a 3  h  OO   2 IO   a 3 ; 
Xét  IOM  vuông tại  O , ta có  IO   IM .sin IMO
2

Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

  a . 
OM  IM .cos IMO
2
Xét  OMD  vng tại  M , có  O M 

a
1
1
a 3
 
, MD  CD  AB 
2
2
2
2
2

2
a a 3

 r  OD  OM  MD     
  r  a . 
 2   2 
2

2

Vậy  V   r 2 h   a 3 3 . 
Câu 8.

(Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho khối trụ có hai đáy là   O   và   O  .  AB , CD  lần lượt là hai đường kính 
của   O   và   O  , góc giữa  AB  và  CD  bằng  30 ,  AB  6 . Thể tích khối tứ diện  ABCD  bằng 

30 . Thể tích khối trụ đã cho bằng
A. 180 .

B. 90 .

C. 30 .
Lời giải 

D. 45 .

Chọn B
A

B

C

D

Ta chứng minh:  VABCD 

1
AB.CD.d  AB, CD  .sin  AB, CD  . 
6
A

C
B

E

D

 
Lấy điểm  E  sao cho tứ giác  BCDE  là hình bình hành. 
Khi đó   AB, CD    AB, BE   sin  AB, CD   sin  AB, BE  . 
d  D,  ABE    d  AB , CD  . 

1
1
VABCD  VABDE  .d  D,  ABE   .S ABE  AB.CD.d  AB, CD  .sin  AB, CD   
3
6
Facebook Nguyễn Vương 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

VABCD 

6VABCD
1
180
AB.CD.d  AB, CD  .sin  AB, CD   d  AB, CD  

 10 . 
6
AB.CD.sin 30 6.6. 1
2

Chiều cao của lăng trụ bằng  h  d  AB, CD   10 . 
Thể tích lăng trụ:  V  S .h   .32.10  90 .
Câu 9.

(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Từ một tấm tơn hình chữ nhật kích thước  50cm x 240cm , 
người ta làm các thùng đựng nước hình trụ có chiều cao bằng  50 cm , theo hai cách sau (xem hình 
minh họa dưới đây): 
• Cách 1: Gị tấm tơn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng. 
• Cách 2: Cắt tấm tơn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gị mỗi tấm đó thành mặt xung quanh 
của một thùng. 
Kí hiệu  V1  là thể tích của thùng gị được theo cách 1 và  V2  là tổng thể tích của hai thùng gị được 
theo cách 2. Tính tỉ số 

V1
. 
V2

 
A.

V1
 1 . 
V2

V1 1
 . 
V2 2

B.

C.

V1

 2 . 
V2

D.

V1
 4 . 
V2

Lời giải 
Chọn C
Ở  cách  1,  thùng  hình  trụ  có  chiều  cao  h  50 cm ,  chu  vi  đáy  C1  240 cm   nên  bán  kính  đáy 
R1 

C1 120

cm . Do đó thể tích của thùng là  V1   R12 h . 
2


Ở  cách  2,  hai  thùng  đều  có  có  chiều  cao  h  50 cm ,  chu  vi  đáy  C2  120 cm   nên  bán  kính  đáy 
R1 

C2 60

cm . Do đó tổng thể tích của hai thùng là  V2  2 R22 h . 
2 
2

 120 

V
 R h 1  R1  1   
Vậy  1 
 .   .
  2 . 
V2 2 R h 2  R2  2  60 
  
2

2
1
2
2

Câu 10.

(Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho  hình  trụ  có  hai  đáy  là  hình  trịn  tâm  O   và  O ,  chiều  cao 
h  a 3 . Mặt phẳng đi qua tâm  O  và tạo với  OO  một góc  30 , cắt hai đường trịn tâm  O  và 
O   tại bốn điểm là  bốn đỉnh của  một  hình  thang có đáy lớn gấp đơi đáy nhỏ  và  diện tích bằng 
3a 2 . Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng

A.

3a 3
.
3

B.

3a 3 .

C.

3a 3
.
12

D.

Lời giải
Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
3a 3
.
4


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 

Chọn B

Giả sử  ABCD là hình thang mà đề bài đề cập ( BC đáy lớn,  AD đáy nhỏ) và  r là bán kính đáy của 
 
hình trụ.
 BC  2r
Theo đề:  
 AD  r  
 BC  2 AD
Kẻ  OI  AD  AD   OOI    ABCD    OOJ   
 



OI . Theo đề  O
OI  30  
Suy ra góc giữa  OO  và   ABCD  là góc  O

OI 
cos O

OO
OO
a 3
 OI 

 2a
OI
cos 30
3
2

Ta có: S ABCD 

 AD  BC  .IO
2

 3a 2 

 r  2r  .2a
2

ra

Thể tích của khối trụ là  V  r 2 h  a 2 .a 3  a 3 3  
Câu 11. (THPT Nguyễn Huệ - Ninh Bình - 2018) Cho hình trụ và hình vng  ABCD  có cạnh  a . Hai 
đỉnh liên tiếp  A, B  nằm trên đường trịn đáy thứ nhất và hai đỉnh cịn lại nằm trên đường trịn đáy 
thức hai, mặt phẳng   ABCD   tạo với đáy một góc  45 . Khi đó thể tích khối trụ là 
A.

 a3 2
8

. 

B.

3 a 3 2
. 
8

C.

 a3 2
16

. 

D.

3 a 3 2
. 
16

Lời giải 
B
I

O

A
H
C
O'

I'
D

 
Gọi  I , I   lần lượt là trung điểm của  AB, CD ;  O, O  lần lượt là tâm đường trịn đáy của hình trụ 
(như hình vẽ);  H  là trung điểm của  II  . 

O  45 . 
Khi đó  H  là trung điểm của  OO  và góc giữa   ABCD   tạo với đáy là  HI
Do  I H 

a 2
a 2
a
. Khi đó  h  OO 
. 
 OH  OI  
4

2
2
Facebook Nguyễn Vương 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

Ta có:  r  OC  OI 2  I C 2 

a 6
. 
4

3 a 3 2
. 
16
Dạng 3. Khối trịn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện
Thể tích khối trụ là  V   r 2 h 

Câu 1.

(Đề Tham Khảo 2018) Cho tứ diện đều  ABCD  có cạnh bằng 4 . Tính diện tích xung quanh  S xq  
của hình trụ có một đường trịn đáy là đường trịn nội tiếp tam giác  BCD  và chiều cao bằng chiều 
cao của tứ diện ABCD .
A. S xq  8 3

B. S xq  8 2

C. S xq 

16 3
3

D. S xq 

16 2
 
3

Lời giải
Chọn D
Bán kính đường trịn đáy hình trụ bằng một phần ba đường cao tam giác  BCD  
1 4 3 2 3
nên r  .
 

3 2
3
2

2 4 3
16.3 4 2
Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình chóp:  h  4   .
 
 3 2   16  9  3


2

S xq  2 rh  2 .

Câu 2.

2 3 4 2 16 2
.

3
3
3

(Đề Tham Khảo 2017) Tính thể tích  V  của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng  a .
A. V 

 a3
6

B. V 

 a3
2

C. V 

 a3

D. V   a 3  

4

Lời giải
Chọn B

 
AC a 2
Bán kính đường trịn đáy là  R 
; chiều cao  h  a . 

2
2

Vậy thể tích khối trụ là:  V   R 2 h   .
Câu 3.

a2
 a3
.a 
.
2
2

Cho hình lăng trụ tam giác đều  ABC. ABC   có độ dài cạnh đáy bằng  a  và chiều cao bằng  h . 
Tính thể tích  V  của khối trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
A. V  3 a 2 h .

B. V   a 2 h .

C. V 

 a2h
9

.

D. V 

Lời giải
Chọn D
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
 a2h
3

. 


TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 

 
Khối trụ ngoại tiếp lăng trụ tam giác đều có hình trịn đáy là hình trịn ngoại tiếp tam giác đáy của 
lăng trụ, và chiều cao bằng chiều cao lăng trụ. 
Tam giác đều cạnh  a  có bán kính đường trịn ngoại tiếp bằng 

3a
. 
3

2

 3a   a 2 h
Vậy thể tích của khối trụ cần tìm là  V  h.S  h. . 
(đvtt).
 

3
 3 
Câu 4.

(Sở Quảng Ninh 2019) Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng, diện tích xung quanh 
bằng  36 a 2 . Tính thể tích  V  của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ. 
A. 27 3a3 . 

B. 24 3a3 . 

C. 36 3a3 . 
Lời giải

D. 81 3a3 . 

Ta có  S xq  36 a 2  2 Rh . 
Do thiết diện qua trục là hình vng nên ta có  2R  h . 
Khi đó  h2  36a 2  hay  h  6a ;  R  3a . 
Diện tích của mặt đáy hình lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là  B  6.

R 2 3 27a 2 3

. 
4
2

Thể tích  V  của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ là  V  B.h  81a3 3 . 
Câu 5.

(Chuyên KHTN 2019) Cho hình trụ  T   chiều cao bằng  2a , hai đường trịn đáy của  T   có tâm 

lần lượt là  O  và  O1 , bán kính bằng  a . Trên đường tròn đáy tâm  O  lấy điểm  A , trên đường tròn 
đáy tâm  O1  lấy điểm  B  sao cho  AB  5a . Thể tích khối tứ diện OO1 AB  bằng 
A.

3a 3
. 
12

B.

3a 3
. 
4

C.

3a 3
. 
6

D.

3a 3
 
3

Lời giải

Facebook Nguyễn Vương 21

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 
O1

B

H

O

B'

A

 

Kẻ đường sinh  BB '  và gọi  H  là trung điểm  OB . 
Trong tam giác vng  ABB   có  BB  OO1  2a  và AB  a 5  nên  AB 

AB 2  BB2  a . 

Tam giác  OAB  có  OB  OA  AB  a  nên  OAB  là tam giác đều   AH  OB , AH 

a 3
. Ta 
2

 AH  OB
 AH   O1OB      Thể tích khối tứ diện  A.O1OB  là 
có  

 AH  OO1
1
1
1 a 3
a3 3
. 
VO1OAB  . AH .SO1OB  AH .O1O.O1 B  .
.2a.a 
3
6
6 2
6

Câu 6.

(THPT Ba Đình 2019) Cho khối trụ có đáy là các đường trịn tâm   O  ,   O   có bán kính là R và 
chiều cao  h  R 2 . Gọi  A ,  B  lần lượt là các điểm thuộc   O   và   O   sao cho  OA  vng góc 
với  OB.  Tỉ số thể tích của khối tứ diện  OOAB  với thể tích khối trụ là: 
2
1
1
1
A.
. 
B.
. 
C.
. 
D.
. 

3
3
6
4
Lời giải

 
2

2

Thể tích khối trụ  V1   R .h   R .R 2   R

3

2 

Khối tứ diện  BOOA  có  BO  là đường cao và đáy là tam giác vng  OOA , do đó thể tích khối tứ 

1
1 1
1
2 3
R  
diện là  V2  SOOA .OB   OA  OO  OB  R.R 2.R 
3
3 2
6
6
Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 
3

Vậy 
Câu 7.

V2 R 2
1
1

 3

. 
V1
6  R 2 6

(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng  a . 
Một  hình  vng  ABCD   có  đáy  AB , CD là  hai  dây  cung  của  hai  đường  trịn  đáy  và   ABCD   
khơng vng góc với đáy. Diện tích hình vng đó bằng 
A.

5a 2
. 
4

B. 5a 2 . 

C.

5a 2 2
. 
2

D.

5a 2
. 
2

Lời giải
B
O
A

I

C
O'
C'
D

 
+ Gọi  O, O '  là tâm của 2 đường tròn đáy,  I  là trung điểm của  OO ' . 
Do tính đối xứng nên  I  là trung điểm của  AC , BD . 
Kẻ đường kính  CC '  AC '  a; CC '  2a  AC  C ' A2  C ' C 2  a 5 . 
+ Do đó  S ABCD
Câu 8.

1

5a 2
2
 AC 
. 
2
2

Cho hình lăng trụ đều  ABC . ABC  , biết góc giữa hai mặt phẳng   ABC   và   ABC   bằng  45 , 
diện tích tam giác  ABC  bằng  a 2 6 . Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng 
trụ  ABC . ABC  . 
A.

4 a 2 3
. 
3

B. 2 a 2 . 

C. 4 a 2 . 

D.

8 a 2 3
. 
3

Lời giải

A'

C'

B'

A

C

45

M
B

 

Facebook Nguyễn Vương 23


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 

 BC  AM
Gọi  M  là trung điểm  BC , khi đó 
 BC  AM , do đó góc giữa   ABC   và   ABC   
 BC  AA

MA  45 . 
là  A
Tam giác  AAM  vuông cân tại  A  nên  AM  AM 2 
Diện tích  S ABC 
Theo đề 

BC 3
BC 6
. 2
. 
2
2

1
1 BC 6
BC 2 6
AM .BC 
.BC 
. 
2
2 2
4

BC 2 6
 a 2 6  BC  2a . 
4

Hình trụ có đáy là đường trịn ngoại tiếp  ABC  có bán kính  r 

h  AA  AM 

BC 3
 a 3 . 
2

Diện tích xung quanh  S  2πrh  2π
Câu 9.

BC 3 2a 3

, đường cao 
3
3

2a 3
.a 3  4πa 2 . 
3

(THPT Đồn Thượng - Hải Dương - 2019) Cho hình trụ có bán kính  R  và chiều cao  3R . Hai 
điểm  A ,  B  lần lượt nằm trên hai đường trịn đáy sao cho góc giữa  AB  và trục  d  của hình trụ 
bằng  30 . Tính khoảng cách giữa  AB  và trục của hình trụ: 
A. d  AB, d  

R 3
. 
2

B. d  AB, d   R . 

C. d  AB , d   R 3 .  D. d  AB , d  

R
. 
2

Lời giải 
A
C

H
J

300
R 3

B
R
I

 
Gọi  I ,  J  là tâm của hai đáy (hình vẽ). 
Từ  B  kẻ đường thẳng song song với trục  d  của hình trụ, cắt đường trịn đáy kia tại  C . Khi đó, 
 . Suy ra  
ABC  30 . 
 AB, d    AB, BC   ABC
Xét tam giác  ABC  vuông tại  C , ta có: 
tan 
ABC 

AC
  R 3.tan 30  R 3. 1  R . 
 AC  CB.tan ABC
CB
3

Lại có  d //  ABC   và   ABC   AB  nên  d  d , AB   d  d ,  ABC    d  J ,  ABC   . 
Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 

Kẻ  JH  AC ,  H  AC . Vì  BC  JH  nên  JH   ABC  . Suy ra  d  J ,  ABC    JH . 
Xét tam giác  JAC  ta thấy  JA  JC  AC  R  nên  JAC  là tam giác đều cạnh  R . Khi đó chiều 
cao là  JH 
Câu 10.

R 3
R 3
. Vậy  d  d , AB  
. 
2
2

(THPT Kiến An - Hải Phịng - 2018) Cho hình lăng trụ đều  ABC . ABC  , biết góc giữa hai mặt 
phẳng   ABC   và   ABC   bằng  45 , diện tích tam giác  ABC  bằng  a 2 6 . Tính diện tích xung 
quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ  ABC. ABC  . 
A.

4 a 2 3
. 
3

B. 2 a 2 . 

C. 4 a 2 . 

D.

8 a 2 3
. 
3

Lời giải

A'

C'

B'

A

O

C

45°

M
B

 
Gọi  M  là trung điểm  BC . Khi đó ta có  BC  AM ,  BC  AM  
AMA  45  AA  AM . Gọi  O  là trọng tâm tam giác  ABC . 
Suy ra:    ABC  ,  ABC    
Đặt  BC  x ,  x  0 . Ta có  AM  AA 

x 3
x 6
 AM 
. 
2
2

1
x2 6
 a 2 6  x  2a . 
Nên  SABC  . AM .BC 
2
4
Khi đó:  AO 

2
2 2a 3 2a 3
AM  .

 và  AA  a 3 . 
3
3 2
3

Suy ra diện tích xung quang khối trụ là:  S xq  2 .OA. AA  2 .
Câu 11.

2a 3
.a 3  4 a 2 . 

3

(Trần Phú - Hà Tĩnh - 2018) Một hình trụ có thiết diện qua trục là hình vng, diện tích xung 
quanh bằng  36 a 2 . Tính thể tích  V  của lăng trụ lục giác đều nội tiếp hình trụ. 
A. V  27 3a 3 . 

B. V  81 3a 3 . 

C. V  24 3a 3 . 
Lời giải 

D. V  36 3a 3 . 

Facebook Nguyễn Vương 25