Chuyên đề 32 ứng dụng hình học giải tích trong không gian đáp án

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

Chun đề 32

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI MỨC ĐỘ 8-9-10 ĐIỂM
Phương pháp giải một số bài toán

1. Gắn tọa độ đối với hình chóp
1.1.
Đáy là tam giác đều

 Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ
trục như hình vẽ, AB  a  1 .
 Tọa độ các điểm là:

3   1

O(0;0;0), A 0; ;0  , B   ;0;0  ,
2
2


 

3
1
 
C  ;0;0  , S  0;
; OH

  .
2
  2  SA 

Đáy là tam giác vng tại B

 Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1 .
 Tọa độ các điểm: B  O  0;0;0 ,
A  0; AB;0 , C  BC,0;0 ,



S  0; AB; 
BH  .
 SA 


Đáy là hình vng, hình chữ nhật

Hình chóp có cạnh bên (SA) vng góc với mặt đáy:
Đáy là tam giác cân tại A
Đáy là tam giác cân tại B

 Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ
trục như hình vẽ, a  1 .
 Tọa độ các điểm là:
O(0;0;0), A  0; OA;0 , B  OB;0;0 ,


C  OC ;0; 0  , S  0; OA; OH

.
 SA 


Đáy là tam giác vuông tại A

 Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1 .
 Tọa độ các điểm: A  O  0;0;0 ,
B  0; OB;0 , C  AC;0;0 ,

S  0;0; SA .

Đáy là hình thoi

 Gọi O là trung điểm AC. Chọn hệ
trục như hình vẽ, a  1 .
 Tọa độ các điểm: O  0;0;0 ,
A  OA;0;0 , B  0, OB;0 ,



C  OC;0;0  , S  OA;0; OH
.
 SA 

Đáy là tam giác thường

 Dựng đường cao BO của
ABC. Chọn hệ trục như hình vẽ,
a 1.

 Tọa độ các điểm: O  0;0;0 ,
A  OA;0;0 , B  0, OB;0 ,



C  OC;0;0  , S  OA;0; OH
.
 SA 

Đáy là hình thang vng

Facebook Nguyễn Vương  Trang 1


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1.
 Tọa độ O  0;0;0  , A OA;0;0 ,

B  0; OB;0  , C  OC;0;0 


D  0; OD;0  , S  OA;0; OH
.
 SA 

 Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1.
 Tọa độ A  O  0;0;0  , B  0; AB;0 ,

 Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1.

 Tọa độ
A  O  0;0;0  ,

C  AD; AB;0 , D AD;0;0 , S  0;0; SA .

B  0; AB;0 , C  AH ; AB;0 ,
D  AD;0;0  , S  0;0; SA .

1.2.
Đáy là tam giác, mặt bên là tam
giác thường

 Vẽ đường cao CO trong ABC .
Chọn hệ trục như hình, a = 1.
 Ta có:
O 0;0;0 , A 0;OA;0 ,


B  0; OB;0 , C  OC;0;0 , S  0; OH ; OK

 SH 


Hình chóp có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy
Đáy là tam giác cân tại C (hoặc
Đáy là hình vng-hình chữ nhật
đều), mặt bên là tam giác cân tại S
(hoặc đều)

 Gọi O là trung điểm BC, chọn hệ

trục như hình, a = 1.
 Ta có: O 0;0;0 , A 0;OA;0 ,

 Dựng hệ trục như hình, chọn a = 1.
 Ta có: A  O 0;0;0 , B AB;0;0



C AB; AD;0 , D 0; AD;0 , S  AH;0; 
AK 
SH 


B  0; OB;0 , C  OC;0;0 , S  0;0; SO

1.3.
Hình chóp tam giác đều
Gọi O là trung điểm một cạnh đáy. Dựng hệ trục như
hình vẽ và a = 1. Tọa độ điểm:
 AB 3   BC

O 0;0;0 , A  0;
;0  , B  
;0; 0  ,
2


  2

 BC


C
;0;0  ,
 2



 AB 3

S  0;
; OK
.
6
 SH 
 
OH



Hình chóp đều
Hình chóp tứ giác đều
Chọn hệ trục như hình với a = 1. Tọa độ

 

 AB 2
  AB 2 
;0;0, B  0;
;0  ,
điểm: O 0;0;0 , A

2
2





 

OB
 OA
 



 AB 2

C
;0;0  ,
2



  OA



AB 2 

D  0; 

;0
2



OB


S  0;0; SO .

2. Gắn tọa độ đối với hình lăng trụ
2.1.
Hình lập phương, hình hộp chữ nhật
Dựng hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm:

Lăng trụ đứng
Lăng trụ đứng đáy là hình thoi
Gọi O là tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục như hình

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A  O 0;0;0 ,

với

O 0;0;0 ,

B 0; AB;0 ,

A OA;0;0 ,

C  AD; AB;0  ,

B  0; OB;0  ,

D  AD;0;0  ,

C  OC;0;0  ,

A  0;0; AA  ,

D  0; OD;0  ,

B  0; AB; AA  ,
C   AD; AB; AA  , D  AD;0; AA  .

B  0; OB; AA  , C   OC;0; CC   , D  0; OD; DD 

Lăng trụ tam giác đều
Gọi O là trung điểm một
cạnh đáy, chọn hệ trục
như hình vẽ với a = 1. Ta
có:
 AB

O 0;0;0 , A ;0;0 ,
 2


 AB

B  ;0;0, C  0;OC;0 ,
 2

A  OA;0; AA ,

 AB

B   ;0; BB  , C  0;OC; CC .
2



A  OA;0; AA ,
Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường
Vẽ đường cao CO
trong tam giác ABC
và chọn hệ trục như
hình vẽ với a = 1.
Tọa độ điểm là:
O 0;0;0 , A OA;0;0 ,

B OB;0;0 ,
C  0; OC;0 ,
A OA;0; AA ,
B  OB;0; BB , C  0;OC; CC .

2.2.
Lăng trụ nghiêng:

Lăng trụ nghiêng có đáy là tam giác đều, hình chiếu
Lăng trụ nghiêng có đáy là hình vng hoặc hình
của đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trung điểm một
chữ nhật, hình chiếu của một đỉnh là một điểm
cạnh tam giác đáy
thuộc cạnh đáy khơng chứa đỉnh đó

 Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được các  Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được
các điểm O, A, B, C, D, A .
điểm O, A, B, C, A.
 Tìm tọa độ các
 Tìm tọa độ các
 điểm
 cịn
lại thơng
 qua hệ thức vectơ
 điểm
 cịn
lại thơng qua hệ thức vectơ
bằng nhau: AA  BB  CC  DD .
bằng nhau: AA  BB  CC .
Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài tốn tìm GĨC
Câu 1.

(Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O . Gọi I là tâm của hình vng

ABC D và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo
bởi hai mặt phẳng  MC D và  MAB  bằng

Facebook Nguyễn Vương 3

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A.

7 85
85

B.

17 13
65

6 85
85
Lời giải
C.

6 13
65

D.

Chọn C

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, cạnh hình lập phương là 1, ta được tọa độ các điểm như sau :
1 1 1
M  ; ;  , C   0;1;0  , D 1;1;0  và A 1;0;1 , B  0;0;1 .
2 2 6



5.1  3.3
Khi đó n MC D   0;1;3 ; n MAB    0;5;3 nên cos 
 MAB  ,  MC D    2 2 2 2
5 3 . 1 3
2

 7 85 
6 85
7 85

. Suy ra sin   MAB  ,  MC D    1  
.

 

85
85
 85 
Câu 2.

(Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O. Gọi I là tâm của hình vng

ABC D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO 

1
MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin
2

của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng
A.

6 13
.
65

B.

7 85
.
85

C.

6 85
.
85

D.

17 13
.
65

Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

Lời giải

Khơng mất tính tổng quát ta đặt cạnh của khối lập phương là 1.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho A(0; 0; 0), B (1; 0; 0), D(0;1; 0) và A(0; 0;1) (như hình vẽ).

1 1 1
 2 2 3

Khi đó ta có: M  ; ;  .





1 1
2 2

2
3

 

2 1
3 2








Suy ra: AB  (1;0;0), MA   ; ;     AB, MA   0;  ;   n1  (0; 4;3) là VTPT của mặt




phẳng ( MAB ).


  1 1 1 
   1 1 

DC   (1; 0;0), MD   ;  ;    DC , MD    0; ;    n2  (0; 2; 3) là VTPT của mặt
 2 2 3
 3 2
phẳng ( MC D) .
cosin của góc giữa hai mặt phẳng ( MAB ) và ( MC D) bằng:

 
n .n
0.0  4.2  3.( 3)
17 13
 
cos( n1 , n2 )   1 2 

.
2
2
2
2
2

2
n1 . n2
65
0  (4)  3 . 0  2  ( 3)
Câu 3.

(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật

ABCD.ABCD , có

AB  a , AD  a 2, góc giữa AC và mặt phẳng  ABCD  bằng 30 . Gọi H là hình chiếu vng góc
Facebook Nguyễn Vương 5


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
của A trên AB và K là hình chiếu vng góc của A trên

AD. Tính góc giữa hai mặt phẳng  AHK  và

 ABBA .
A. 60 .

B. 45 .

C. 90 .

D. 30 .

Lời giải

Do ABCD.ABCD là hình hộp chữ nhật nên A ' C ' là hình chiếu vng góc của A ' C trên

( ABCD)  ( A ' C , ( ABCD))  ( A ' C , A ' C ')  CA
' C '  300.

CC '

'C ' 
 CC '  a.
Ta có AC  AB 2  AD 2  a 3; tan CA
A'C '
Kết hợp với giả thiết ta được ABB ' A ' là hình vng và có H là tâm.
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vng góc của K trên A ' D '& A ' A.
Ta có

1
1
1
a 6
a


 AK 
; A ' K  A ' A2  AK 2 
;
2
2
2
AK
A ' A AD

3
3

1
1
1
a 2
a


 KF 
; KE  A ' K 2  KF 2  KE  .
2
2
2
KF
KA A ' K
3
3
Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O  A ' còn D, B, A theo thứ tự thuộc các tia

Ox, Oy, Oz. Khi đó ta có tọa độ các điểm lần lượt là:
a a
a 2
a
a 2
a 2
A(0;0; a), B '(0; a;0), H (0; ; ), K (
;0; ), E (
;0;0), F (0;0;

).
2 2
3
3
3
3

Mặt phẳng  ABB ' A ' là mặt phẳng ( yOz) nên có VTPT là n1  (1; 0; 0);
 
a2  
Ta có  AK , AH   n 2 , n 2 (2; 2; 2).
6


Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT là n 2  (2; 2; 2 );
Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  AHK  và  ABBA  .

 
1
   450.
Ta có cos  cos(n1 , n 2 ) 
2
Câu 4.

(THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a ,

SAB là tam giác đều và  SAB  vng góc với  ABCD  . Tính cos  với  là góc tạp bởi  SAC  và

 SCD  .
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

A.

3
.
7

B.

6
.
7

5
.
7
Lời giải
C.

D.

2
.
7

Chú ý: Ta có thể giải bài tốn với cạnh hình vng a  1 .
Gọi O, M lần lượt là trung điểm của AB, CD . Vì SAB là tam giác đều và  SAB  vng góc với

 ABCD  nên

SO   ABCD  .

3
 1  
Xét hệ trục Oxyz có O  0; 0;0  , M 1; 0;0  , A  0; ;0  , S  0;0;
 . Khi đó
2 
 2  

 1   1 
C 1; ;0  , D 1; ; 0  .
 2   2 
  1  3  
  1  3  
Suy ra SA   0; ;
 , AC 1; 1;0  , SC  1; ;
 , CD   0;1;0  .
2
2
2
2




     3  3 1 
;
;  .

Mặt phẳng  SAC  có véc tơ pháp tuyến n1   SA, AC   
2
2
2

    3

;0;1 .
Mặt phẳng  SAD  có véc tơ pháp tuyến n1   SC , CD   
 2

 
n1.n2
5
Vậy cos      .
n1 . n2 7
Câu 5.

(Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tâm

O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC , biết MN 

a 6
. Khi đó giá trị sin của
2

góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng  SBD  bằng

A.

2
.
5

B.

3
.
3

C.

5
.
5

D.

3.

Lời giải

Facebook Nguyễn Vương 7


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Gọi I hình chiếu của M lên  ABCD  , suy ra I là trung điểm của AO .
Khi đó CI 

3
3a 2
.
AC 
4
4

Xét CNI có: CN 

a 
, NCI  45o .
2

Áp dụng định lý cosin ta có:
NI  CN 2  CI 2  2CN .CI .cos 45o 

a 2 9a 2
a 3a 2 2 a 10
.

 2. .
.

4
8
2 4
2
4

Xét MIN vuông tại I nên MI  MN 2  NI 2 

Mà MI / / SO, MI 

3a 2 5a 2 a 14


.
2
8
4

1
a 14
.
SO  SO 
2
2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:


 2

 2 2 
2 
2 
Ta có: O  0;0;0  , B  0;
; 0  , D  0; 
; 0  , C 
; 0; 0  , N 

;
; 0  ,

2
2




 2

 4 4





2
14 
2
14 
A  
; 0; 0  , S  0; 0;
; 0;
 , M  
.
4 
4 
 2



 4
  2 2
14   
2
14
Khi đó MN  
, SB   0;
;
;

;


 2 4

4 
2
2


  
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  SBD  : n  SB  SD  



  
2
14 
;

 , SD   0; 
.
2
2 





7 ; 0; 0 .

2
 
 7.
MN .n
2
3
Suy ra sin  MN ,  SBD      
.

3
6
MN . n
7.
2
Câu 6.

(THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng -2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh a. Góc giữa hai mặt
phẳng  A ' B ' CD  và  ACC ' A ' bằng

A. 60.

B. 30.

C. 45.

D. 75.

Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O  A ', Ox  A ' D ', Oy  A ' B ', Oz  A ' A.
Khi đó: A '(0; 0; 0) , D '( a; 0; 0) , B '(0; a; 0) , C '( a; a; 0) ,
A(0; 0; a ) , D ( a ; 0; a ) , B (0; a ; a ) , C ( a ; a ; a ) .




 A ' B '  (0; a; 0), A ' D  ( a; 0; a ), A ' A  (0; 0; a ), A ' C '  ( a; a; 0).

 
 A ' B ', A ' D   (a 2 ; 0;  a 2 ).



Chọn n1  (1;0; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  A ' B ' CD  .
 

 A ' A, A ' C   ( a 2 ; a 2 ;0).



Chọn n2  (1;1;0) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  ACC ' A ' .
Góc giữa hai mặt phẳng  A ' B ' CD  và  ACC ' A ' là:

 
cos = cos n1 , n2 



Câu 7.

1



2. 2



1
   60.
2

(Sở Bắc Ninh -2019) Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đơi một vng góc và




OA  OB  OC  a . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng
A. 135 .
B. 150 .
C. 120 .
D. 60 .
Lời giải
A

M
C

O

B

Cách 1:
  1  
 
1
a2
OM  OA  OB
2
Ta có 
 OM .BC   OB 2   .
  
2
2
 BC  OC  OB






1
1
a 2
.
AB 
OA2  OB 2 
2
2
2
a2
 

  OM .BC
 
1
2
Do đó: cos OM , BC 

   OM .BC  120 .
OM .BC a 2
2
.a 2
2
Cách 2:

BC  OB 2  OC 2  a 2 và OM 









Facebook Nguyễn Vương 9


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
a a 
Ta có: O  0;0;0  , A  0; a ;0  , B  a ;0;0  , C  0;0; a  , M  ; ;0  .
2 2 

  a a 
Khi đó ta có: BC    a ;0; a  , OM   ; ;0 
2 2 
 
 

BC .OM

 cos BC ; OM 
BC .OM



Câu 8.



a2
 

1
2
   BC ; OM  120 .
2
a 2
a. 2.
2






(THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng có độ dài
đường chéo bằng a 2 và SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng

 SBD  và  ABCD  . Nếu tan  
A. 30 .

B. 60 .

2 thì góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  bằng

C. 45 .
Lời giải

D. 90 .

Gọi I  AC  BD .
Hình vng ABCD có độ dài đường chéo bằng a 2 suy ra hình vng đó có cạnh bằng a .
 SBD    ABCD   BD

.
 
SI ; AI   SIA
Ta có  SI  BD
 SBD  ;  ABCD    
 AI  BD


  SA  SA  a .
Ta có tan   tan SIA
AI
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Ta có A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , S  0;0; a  .



Khi đó SA   0;0;  a  ; SC   a; a;  a  ; SB   a;0;  a  .
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021


Mặt phẳng  SAC  có vectơ pháp tuyến n1   1;1;0  .

Mặt phẳng  SBC  có vectơ pháp tuyến n2  1;0;1 .
 
n1.n2
1
1

SAC  ;  SBC   60 .
Suy ra cos  SAC  ;  SBC     
  
n1 . n2
2. 2 2





Câu 9.





(THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB  a , SA  a 2 . Gọi
G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A. arccos

3
.
5

B. arccos

5
.
5

C. arccos

5
.
3

D. arccos

15
.
5

Lời giải
Gọi O  AC  BD .
Tam giác SAO vuông : SO  SA2  AO 2 

a 6
2

Gắn tọa độ như hình vẽ

a a  a a a 6
A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , D  0; a;0  , O  ; ;0  , S  ; ;
.
 2 2   2 2 2 
 a 5a a 6 
Vì G là trọng tâm tam giác SCD nên G  ; ;
.
2
6
6


  a a a 6  a
  a 5a a 6  a
Ta có : AS   ; ;
  1;1; 6 , BG   ; ;
  3;5; 6 .
2 2 2  2
 2 6 6  6
Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
 
BG. AS
3  5  6
5


cos  BG; SA  
.
BG. AS

5
40. 8



Câu 10.







(Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có A. ABC là tứ diện đều cạnh a . Gọi M , N
lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  CMN  .

A.

2
.
5

B.

3 2
.
4

C.

2 2
.
5

D.

4 2
.
13

Lời giải

Facebook Nguyễn Vương 11


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Gọi O là trung điểm của AB . Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho O  0;0;0  ,




3 
3 
3 6
a 6
1

 1


; 0  , H  0;
;0  , AH 
 A  0;
;
A  ;0; 0  , B   ;0;0  , C  0;

3
2

 2

 2 
 6 
 6 3 

 

3 6
;
Ta có AB  AB  B  1;
 . Dễ thấy  ABC  có vtpt n1   0;0;1 .
6 3 

1 3 6 
 3 3 6 
M là trung điểm AA  M  ;
;
;
 , N là trung điểm BB  N  ;


 4 12 6 
 4 12 6 

  1 5 3 6 
MN   1;0;0  , CM   ;
;

6 
 4 12
 
6 5 3
3
;
  CMN  có vtpt n2   0;
0; 2 2;5
 
 6 12  12



cos  
Câu 11.



1
5
2 2
 tan  
1 

2
cos 
5
33

(Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018 ) Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi một vng góc. Gọi

 ,  ,  lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng  ABC  (hình vẽ).
A

C

O

B









Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  3  cot 2  . 3  cot 2  . 3  cot 2  là
Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

A. 48 .

B. 125 .

D. 48 3 .

C. Số khác.
Lời giải

Chọn B

Gọi H là trực tâm tam giác ABC , vì tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi một vng góc nên ta
1
1
1
1
có OH   ABC  và
.



2
2
2
OH
OA OB
OC 2
 ,   
 ,   
.
Ta có   

OA;  ABC    OAH
OB;  ABC    OBH
OC ;  ABC    OCH
OH
OH
OH
, sin  
, sin  
.
OA
OB
OC
1
1
1 1
Đặt a  OA , b  OB , c  OC , h  OH thì 2  2  2  2 và
h
a
b
c

Nên sin  

1

M   3  cot 2   .  3  cot 2   .  3  cot 2     2 
sin 2 


1


 . 2  2
sin 



1 
 . 2  2 
sin  



a2  
b2  
c2 
1
1
1
  2  2  .  2  2  .  2  2   8  4  a 2  b 2  c 2  . 2  2  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  . 4  a 2b 2 c 2 . 6 .
h 
h 
h 
h
h
h

Ta có:  a 2  b 2  c 2  .

 a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  .

1 1 1
1 1
1
 1
  a 2  b 2  c 2  .  2  2  2   3 3 a 2 .b 2 .c 2 .3 3 2 . 2 . 2  9 .
2
a b c
h
a b c 

1
 1 1 1
  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  .  2  2  2 
4
h
a b c 

2

2

  1 1 1 
1
 3 a b .b c .c a .  3 3  2 . 2 . 2    3 3 a 4b 4c 4 .9 3 4 4 4  27 .
 a b c 
abc


3

2 2

2 2

2

2

3

3
  1 1 1 
1
 1 1 1
a b c . 6  a 2b 2c 2 .  2  2  2   a 2b2 c 2 .  3 3  2 . 2 . 2    27 .
 a b c 
h
a b c 


2 2 2

Do đó:
1
1
1
 2  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2  . 4  a 2b 2 c 2 . 6
2
h
h

h
 8  4.9  2.27  27  125 .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c , hay OA  OB  OC .
Vậy min M  125 .
M  8  4  a 2  b2  c 2  .

Facebook Nguyễn Vương 13


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A

α

a
H
h

c

O

C

b

B
Câu 12.

(Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , cạnh
bên SA  a và vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD . Tan của góc tạo bởi hai
mặt phẳng  AMC  và  SBC  bằng

A.

5
.
5

B.

2 5
.
5

3
.
2
Lời giải
C.

D.

2 3
.
3

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ sao cho A  O , như hình vẽ:
Khi đó ta có:

a

A  0;0; 0  , B  2a ; 0;0  , D  0; 2a ;0  , C  2a ; 2a ;0  , S  0;0; a  , M  0; a ;  .
2


Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 


a   
a
SB   2a ;0;  a  , SC   2a ; 2a ;  a  , MA   0;  a ;   , MC   2a ; a ;   .
2
2



 

 
n1   SB , SC   2a 2 ;0; 4a 2 và n2   MA , MC   a 2 ;  a 2 ;2a 2 .









Gọi  ( 0    90 ) là góc tạo bởi hai mặt phẳng  AMC  và  SBC  .

 
n1 .n2
 
ta có cos   cos n1 , n2    
n1 . n2





10a 4
20.6.  a

4 2







2a 2 .a 2  4a 2 .2a 2
2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

 2 a    4a  .  a     a    2 a 

5
.
30
2

 30 
5
1
5
 1  
Mà tan  
. Suy ra tan  
.
  1 
2
5
cos 

25
 5 
2

Câu 13.

Cho hình chóp S. ABCD đáy là hình thang vng tại A và B , AB  BC  a, AD  2a . Biết

SA  ( ABCD), SA  a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và CD . Tính sin góc giữa đường
thẳng MN và mặt phẳng ( SAC ) .
A.

3 5
.
10

B.

2 5
.
5

5
.
5
Lời giải
C.

D.

55
.
10

Chọn A

Đặt không gian Oxyz với A  O(0;0;0), AB  Ox, AD  Oy, AS  Oz .
Ta có: S (0;0; a), B(a;0;0), D(0;2a;0), C(a; a;0) .

a a
a 3a
M ( ;0; ), N ( ; ;0)
2 2
2 2

3a a
MN  (0; ; )
2 2


AS  (0;0; a), AC  (a; a;0)
 
  AS , AC   (a 2 ; a 2 ;0) là vtpt của mặt phẳng (SAC ) .
3a 3
 
MN .n( SAC )
3 5
2
sin( MN ;( SAC ))   



.
10
MN n( SAC )
9a 2 a 2
 . a4  a4
4
4
Facebook Nguyễn Vương 15


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 14.
(Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh

cạnh bên SA  2a và vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi
tạo bởi hai mặt phẳng

a,

M là trung điểm cạnh SD. Tính tang của góc

 AMC và  SBC  bằng

S

M

A

D

C

B

3
.
A.
2

5
.
C. 5

2 3
.
B.
3

2 5
.
D. 5

Lời giải
Chọn D
z
S

2

M

D
1

A

y

B
x

C

1

Sử dụng phương pháp tọa độ trong khơng gian
Gắn hình chóp vào hệ trục tọa độ Oxyz. O  A(0; 0; 0) ; B (1; 0; 0); D(0;1; 0); C (1;1; 0); S (0; 0; 2)

 1 
 2 

Do M là trung điểm của SD nên M  0; ;1


 
BC  (0;1; 0); SB  (1; 0;  2)   BC ; SB    2; 0;1

  1  

  

1
MA   0; ;1 ; AC  (1;1;0)   MA; AC    1;1;   . VTPT của (AMC) là: n   2; 2;1
2
 2 

cos   SBC  ;  AMC   

Câu 15.

5
 tan   SBC  ;  AMC   
3

1
 5


 3 

2

1 

2 5
5

  900 . Góc giữa đường thẳng
Cho khối tứ diện ABCD có BC  3 , CD  4 , 

ABC  
ADC  BCD

AD và BC bằng 600 . Cơsin góc giữa hai phẳng  ABC  và  ACD bằng
A.

43
.
86

B.

4 43
.
43

2 43
.
43
Lời giải
C.

D.

Chọn C
Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
43
.
43

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Dựng AO   BCD khi đó O là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật BCDO .
Góc giữa đường thẳng AD và BC là góc giữa đường thẳng AD và OD và bằng 
ADO  600
Xét tam giác ADO vuông tại O : tan 600 

OA
 OA  3 3.
OD

Gắn hệ tọa độ Oxyz vào hình chóp như hình vẽ.
Ta có:

O 0;0;0 ; B 4;0;0 ; D 0;3;0 ; C 4;3;0 ; A 0; 0;3 3  .





AB  4; 0; 3 3 ; BC  0;3;0 ; AD  0;3; 3 3 ; CD  4;0;0 .











 





Mặt phẳng  ABC  nhận véctơ n1   AB , BC   9 3; 0;12 làm véctơ pháp tuyến.







 





Mặt phẳng  ADC  nhận véctơ n2   AD , CD   0;12 3;12 làm véctơ pháp tuyến.



 
n1.n2
4

2 43


Nên cos  ABC ; ADC     
43
43.2
n1 . n2
Câu 16.

Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh a , SA   ABCD  và SA  a . Gọi E và F
lần lượt là trung điểm của SB , SD . Côsin của góc hợp bới hai mặt phẳng  AEF  và  ABCD  là.

Facebook Nguyễn Vương 17


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

A.

1
.
2

B.

3
.
3

C.

3.

D.

3
.
2

Lời giải
Chọn B
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A  O , B  Ox , D  Oy , S  Oz .

a
a
 a a
 B  a ;0;0 , D  0; a ;0 , S  0;0;a  . Khi đó E  ;0;  , F  0; ;  .
2
2
 2 2
  a
a    a a 
 AE   ; 0;  , AF   0; ;  .
2
2
 2 2


 


 a a a 

n
;
;
1  1;1;  1 . .

  4 4 4

Vectơ pháp tuyến của mp  AEF  là n1   AB, AF   









Vectơ pháp tuyến của mp  ABCD  là n2  AS  (0;0; a)  n2   0;0;1 . .
Vậy côsin góc giữa 2 mặt phẳng  AEF  và  ABCD  là.

 
n1.n2
1
3
cos   AEF  ,  ABCD      

.

3
3
n1 . n 2
Câu 17.

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a, gọi  là góc giữa đường thẳng A ' B và mặt
phẳng  BB ' D ' D  . Tính sin  .

A.

3
.
5

B.

3
.
2

1
.
2
Lời giải

C.

D.

3

.
4

Chọn C

Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

+Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A  O  0;0;0  , B  a;0; 0  , C  a; a;0  , D  0; a;0  , A '  0;0; a  ,
B '  a;0; a  , C '  a; a; a  , D '  0; a; a  .

+Ta thấy OC   BB ' D ' D  và OC   a; a;0  nên suy ra mặt phẳng  BB ' D ' D  có một vec tơ

pháp tuyến là n  1;1;0. .


+Đường thẳng A ' B có vectơ chỉ phương là A ' B   a;0; a  ta chọn u  1;0; 1 .
 
n.u
1.1  1.0  0.(1)
1
+Ta có sin     
 .
n.u
12  12  0 2 . 12  02  (1) 2 2
Câu 18.

Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vng tại A , AB  a , AC  a 3 . Hình chiếu
vng góc của A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H của BC , AH  a 5 . Gọi

 là góc giữa hai

đường thẳng AB và BC . Tính cos  .

A. cos  

7 3
.
48

B. cos  

1
C. cos   .
2

3
.
2

D. cos  

7 3
.
24

z

D

A

C

B
O
A

C y

H
B
x
Lời giải
Chọn D
Facebook Nguyễn Vương 19


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz với O  A như hình vẽ, chọn a  1 đơn vị, khi đó ta có tọa độ điểm B 1;0;0 ,

1 3 
;0  , vì H là hình chiếu của A nên suy ra
C 0; 3;0 suy ra trung điểm của BC là H  ;
2
2


 

1 3

; 5  . Ta tìm tọa độ B , gọi tọa độ B  x; y; z  khi đó ta có AB  OB nên
tọa độ của A  ;
2 2






  3 3
  1
3 3



3
; 5  . Ta cũng có BC    ;
;  5  và AB   ; 
;  5  . Từ đó ta
tọa độ B  ;
2
2 2

 2 2

2

 

AB.BC
7
7 3
có cos     

.
24
2. 6. 8
AB . BC
Câu 19.

Cho hình hộp đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy là hình thoi, tam giác ABD đều. Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của BC và C ' D ' , biết rằng MN  B ' D . Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt
đáy  ABCD  , khi đó cos  bằng:

A. cos  

1
.
3

B. cos  

3
.
2

C. cos  

1

.
10

D. cos  

1
.
2

Lời giải
Chọn A

* Chọn AB  2  BD  2; AC  2 3 , đặt





AA '  h , chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ ta có: D 1;0;0  , B  1;0;0  , C 0; 3;0 ,





D ' 1;0; h  , C ' 0; 3; h , B '  1;0; h  .

 1 3   1 3  
 M   ;
;0  , N  ;
; h  , MN  1;0; h  , B ' D   2;0;  h  .

 2 2  2 2 
 







* Do MN  B ' D  MN .B ' D  0  2  h 2  0  h  2  MN  1; 0; 2 . Ta có:

 
 
MN //u  MN  1;0; 2 ,  ABCD   n  j   0;0;1 .





* Do  là góc tạo bởi đường thẳng MN và mặt đáy  ABCD  nên ta có:
Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />


u.n
 
2
1
sin   cos u; n    
 cos   1  sin 2  
.

3
3
u.n

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021

 

Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài tốn tìm KHOẢNG CÁCH
Câu 20.

(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có các kích thước
AB  4, AD  3, AA  5 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ' và B ' C bằng

A.

3
.
2

5 2
.
3
Lời giải

B. 2 .

C.

D.

30
.
19

Chọn D

z
B'

A'
D'

C'
5
4

3

A

B

x

D
y

C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Có A  0 0;0  , C '  4;3;5  , C  4;3; 0  , B '  4; 0;5  ,



 

 AC '   4; 3; 5  , B ' C   0; 3;  5  ,  AC ', B ' C     30; 20;12  , CC    0; 0; 5  ,
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng cần tìm là:

  
 AC ', B ' C  .CC 
60
30


d  AC ', B ' C  

 .
 
1444 19
 AC ', B ' C 


Câu 21.

(Việt Đức Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là
hình chữ nhật. Biết A  0;0;0  , D  2;0;0  , B  0; 4;0  , S  0; 0; 4  . Gọi M là trung điểm của SB . Tính
khoảng cách từ B đến mặt phẳng  CDM  .

A. d  B,  CDM    2 .
C. d  B,  CDM   

B. d  B ,  CDM    2 2 .

1
. D. d  B ,  CDM    2 .
2
Lời giải

Facebook Nguyễn Vương 21


NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

 xA  xC  xB  xD
 xC  2


Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên  y A  yC  yB  yD   yC  4  C  2; 4;0  .
z  z  z  z
z  0
 A C
 C
B
D
M là trung điểm của SB  M  0; 2; 2  .

Viết phương trình mặt phẳng  CDM  :



 
CD   0; 4; 0  , CM   2; 2; 2   CD  CM   8; 0; 8  .

 CDM  có một véc tơ pháp tuyến n  1; 0;1 .
Suy ra  CDM  có phương trình: x  z  2  0 .
Vậy d  B;  CDM   
Câu 22.

002
12  02  12

 2.

(HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân,

AB  AC  a , AA  h  a, h  0  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và BC
theo a , h .

A.

ah
2

a  5h

2

.

B.

ah
2

5a  h

2

.

C.

ah
2

2a  h

2

.

D.

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
A  0;0;0  ; A  0;0; h  ; C  0; a;0  ; B  a;0;0  ; B  a;0; h  ; C   0; a; h  .




 
AB   a;0; h  ; BC   a; a; h  ;  AB; BC      ah; 2ah; a 2  ; AB   a;0;0  .

Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />
ah
2

a  h2

.


TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

  
 AB; BC   . AB
ah


d  AB; BC   

.
 
2
2
 AB; BC  
a

5

h


Câu 23.

(Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là
trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của CI , góc giữa SA và
mặt đáy bằng 450 (hình vẽ bên). Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA và CG bằng

A.

a 21
14

B.

a 14
8

a 77
22
Lời giải

C.

D.

a 21
7

Chọn B
a

 a
  a 3 
Đặt hệ trục tọa độ Oxyz sao cho I  0; 0;0  , A  ; 0;0  , B   ; 0; 0  , C  0;
;0  .
2
2

 2
 


Ta có CI 

a 3
a 3
a 7
, IH 
, AH 
2
4
4

 a 3 
H là trung điểm CI suy ra H  0;
;0  .
4




  SH  a 7  S  0; a 3 ; a 7  .
450   SA,  ABC     SA, AH   SAH


4
4
4 

  a a 3 a 7    a a 3 a 7    a a 3 
Ta có: SA   ; 
;
;
;0 
 , CG    ; 
 , CA   ; 
4
4 
4
12 
2
2
 6
2

   a 21 a 3 
 
a 6

 SA, CG   
 SA, CG  
.

;0;




  12

6
12


  
 SA, CG  .CA a 14


Khoảng cách giữa SA và CG :
.

 
8
 SA, CG 


Câu 24.

(Chun Lê Q Đơn - Đà Nẵng 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D cạnh bằng a . Gọi K là

trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và AD .

2a
.
3
Lời giải
Gọi M là trung điểm BB . Ta có: CK // AM  CK //  AMD  .
A.

4a
.
3

B.

a
.
3

C.

D.

3a
.
4

Facebook Nguyễn Vương 23

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Khi đó: d  CK , AD   d  CK ,  AMD    d  C ,  AMD   .
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

a

Ta có: A  0; 0;0  , B  a; 0;0  , D  0; a; 0  , A  0;0; a  , B  a;0; a  , C  a; a;0  , M  a; 0;  .
2

 
   a 2

a  
AM   a;0;   , AD   0; a; a  ,  AM , AD    ; a 2 ; a 2  .
2

 2


Vậy mặt phẳng  AMD  nhận n  1; 2; 2  làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mp  AMD  : x  2 y  2 z  2a  0 .
Do đó: d  C ,  ADM   
Câu 25.

a  2 a  2a a
 .
3
3

(THPT Hồng Hoa Thám - Hưng n 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh

2a 3 , mặt bên SAB là tam giác cân với 
ASB  1200 và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi
M là trung điểm của SC và N là trung điểm của MC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM ,
BN .

A.

2 327a
.
79

B.

237a
.
79

2 237a
.
79
Lời giải
C.

D.

5 237a
316

Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  />

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chọn C

Gọi O là trung điểm AB , SAB cân tại S  SO  AB .
Ta có:
 SAB    ABC  gt 

 SAB    ABC   AB  SO   ABC  .

 SO  AB  cmt 

  600  SO  OB  a
Xét SOB vng tại O có OSB
tan 600
Ta có: OC là đường cao của tam giác đều cạnh 2a 3 nên: OC  3a
Gắn hình chóp S.ABC lên hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Khi đó ta có:

O  0; 0; 0  ,B a 3 ; 0; 0 , A a 3 ; 0; 0 ;C  0; 3a; 0  ;S  0; 0;a   AB  2a 3; 0; 0



 





 3a a 
M là trung điểm SC nên M có tọa độ:  0; ;  .
 2 2
 9a a 
N là trung điểm MC nên N có tọa độ:  0; ;  .
 4 4

 
3a a 
AM có véc tơ chỉ phương AM  a 3 ; ;  hoặc a 2 3; 3;1
2 2


 
9a a 
BN có véc tơ chỉ phương BN  a 3 ; ;  hoặc b 4 3 ; 9;1
4 4

  
 a,b  .AB 2 237
 

a
Ta có: d  AM ; BN  
 
79
 a,b 
 





Câu 26.






(Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S. ABC có đáy

ABC là tam giác vuông

tại A , AB  1cm , AC  3cm . Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp
hình chóp S. ABC có thể tích bằng

A.

3
cm .
2

B.

5 5
cm 3 . Tính khoảng cách từ C tới  SAB 
.
6

5
cm .
4

3
cm .
4
Lời giải
C.

D.

5
cm .
2

Facebook Nguyễn Vương 25