TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CASIO - VINACAL

Luyện Đề Thi THPTQG 2020

TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CASIO - VINACAL
Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của hai phép tính Đạo Hàm và Tích Phân ở THPT. Kiến
thức về giới hạn khơng những khó đối với người học mà cịn khó đối với người dạy. Trong tình hình hiện nay
thi trắc nghiệm nên để giải quyết khó khăn trong việc giải tốn trong kì thi THPTQG nên tơi chia sẻ với mọi
người cùng tham khảo.
Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy Số:
Quy ước: Trong máy tính khơng có biến n nên ta ghi x thay cho n.
• Gặp hàng số: C  1010 , C 10 20 … đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C là hằng số (chú ý có thể lớn hơn
10).
Ví dụ −5  1010 (đọc là âm vơ cực ghi − )
• Gặp hằng số C  10 −12 đọc là 0 (chú ý số mũ có thể nhỏ hơn −10 ).
A. Dãy có giới hạn là 0
Ví dụ 1: lim

( −1)

n

n+5

máy ghi:

( −1)

x

x+5

calc x ? Nhập 1010  = 

Kq: 9.99999995  10 −11 ta đọc là 0
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dịng hiển thị, khơng ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 1/11


Luyện Đề Thi THPTQG 2020

Kq: 9.99999995  10 −11 ta đọc là 0
Vậy lim

( −1)

n

n+5

Ví dụ 2: lim

=0

( −1)

n

cos n

nếu nhập

n +1
2

( −1)

x

cos x

x +1
2

calc như trên máy sẽ Math ERROR .

–

Vận dụng Định Lý 1 Nếu un  vn với mọi n và lim vn = 0 thì lim un = 0 .

–

Ta chỉ cần ghi

Vậy lim

( −1)

n

cos n

n2 + 1

( −1)

1
calc x? nhập 1010  =  kết quả 1  10 −20 đọc là 0
x +1
2

=0

n

( −1)

x

calc x? 100 kq: 3.84430..26  10 −31 đọc là 0

máy ghi x
2n + 1
2 +1
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy)

Ví dụ 3: lim

Màn hình sẽ xuất hiện:

Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dịng hiển thị, khơng ảnh hưởng
đến q trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 2/11


Luyện Đề Thi THPTQG 2020

( −1)

x

=0

2x + 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Tìm các giới hạn sau:

Vậy lim

1. lim

− ( n + 1)
2

n
B. Giới hạn hữu hạn:

2. lim

( −1)

n

2n − 1

3. lim

sin n
n+5

4. lim

cos 2 n
n3 + 1

n
n

( −1)
( −1) 
calc x? nhập 1010  =  kq là 2
Ví dụ 1: lim  2 +
 máy ghi: 2 +
n+2
n + 2 

Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính:
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dịng hiển thị, khơng ảnh hưởng
đến q trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 3/11

Luyện Đề Thi THPTQG 2020
n

−1) 
(
Vậy lim  2 +
=2
n + 2 

sin 3n 1
1
 sin 3n 
 sin 3n 
− 1  = −1 vì
 mà lim = 0 khi đó lim ( −1) = −1 nên lim 
− 1  = −1
Ví dụ 2: lim 
4n
n
n
 4n

 4n


n 2 − 3n + 5
2n 2 − 1
Cách bấm máy:
 Nhập và máy tính:

Ví dụ 3: lim

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng
đến q trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy lim

n 2 − 3n + 5
= 0.5
2n 2 − 1

Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau:
−2n − 4n + 3n + 3
−2n3 − 4n 2 + 3n + 3
calc x? nhập 1015  =  kq là −2
Ví dụ 4: lim
máy ghi
3
3
n − 5n + 7
n − 5n + 7
3

Vậy lim

2

−2n3 − 4n 2 + 3n + 3
= −2
n 3 − 5n + 7

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 4/11


Luyện Đề Thi THPTQG 2020
Ví dụ 5: Máy ghi lim
Vậy: lim

2 X +1 − 3 X + 11
−1
calc x = 100 kq
X +2
X +3
9
3 +2 −4

2 n +1 − 3n + 11 −1
=
3n + 2 + 2 n +3 − 4 9

13.3n − 15

13  3 X − 15
Ví dụ 6: lim n
máy ghi
calc X? nhập 100  0  3.19755... 10 −17 đọc là 0.
n
X
X
3.2 + 4.5
3  2 + 4.5
13.3n − 15
= 0 (chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm)
3.2 n + 4.5n
C. Giới hạn vô cực:

Vậy lim

Ví dụ 1: lim

− n 3 − 3n + 5
− n 3 − 3n + 5
máy
ghi
calc x? nhập 1015  =  kq −5  1014 đọc là âm vô cực
2n 2 + 11
2n 2 + 11

− n 3 − 3n + 5
= −
2n 2 + 11
Cách bấm máy:

 Nhập vào máy tính:

Vậy lim

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dịng hiển thị, khơng ảnh hưởng
đến quá trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 5/11


Luyện Đề Thi THPTQG 2020
Vậy lim

− n 3 − 3n + 5
= −
2n 2 + 11

Ví dụ 2: lim ( 5n 2 − 3n + 1) máy ghi ( 5n 2 − 3n + 1) calc x? nhập 1015  =  kq là 5  1030 (đọc là dương vơ cực)
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dịng hiển thị, khơng ảnh hưởng
đến q trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy lim

− n 3 − 3n + 5
= +
2n 2 + 11

Ví dụ 3: lim 3n 4 + 5n 2 + n − 1 máy ghi:

3n 4 + 5n 2 + n − 1 calc x? nhập 1015  =  kq: 1.73205...08 10 30 (đọc là

dương vô cực)
Vậy: lim 3n 4 + 5n 2 + n − 1 = +
(Nhập tương tự ví dụ 2)
f (n)
* Nếu
với f ( n ) , g ( n ) là các đa thức theo n. Ta chú ý đến số hạng chứa mũ cao nhất của n trong
g (n)
từng biểu thức f ( n ) , g ( n )
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 6/11

Luyện Đề Thi THPTQG 2020
−2n 3 + 3n − 2
2n3
máy
ghi
calc x? nhập 1015  =  kq: −6.66666667 1014 (đọc là âm vô cực)
3n 2 − 5
3n 2
Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:

Ví dụ 1: lim

Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dòng hiển thị, khơng ảnh hưởng
đến q trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

−2n3 + 3n − 2
= −
3n 2 − 5
Tương tự cho các ví dụ bên dưới

Vậy lim

Ví dụ 2: lim
Vậy lim

n 6 − 7 n 3 − 5n + 8
máy ghi
n + 12

n6
calc x? nhập 1015  =  kq 1  1030 (đọc là dương vô cực)
n

n 6 − 7 n 3 − 5n + 8
= +
n + 12

3n + 1
3x + 1
calc x? 100  =  4065611... 1017 đọc là +
máy
n
x
2 −1
2 −1
n
* CHÚ Ý: Gặp a nhập n = 100

Ví dụ 3: lim

Vậy lim

3n + 1
= +
2n − 1

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 7/11


Luyện Đề Thi THPTQG 2020
Ví dụ 4: lim
Vậy: lim

n 2 + 4n − 5
n2
máy
ghi
calc x ? Nhập 1015  =  kq: 0
3n3 + n 2 + 7
3n 3

n 2 + 4n − 5
=0
3n 3 + n 2 + 7

2
2n 4 + 3n − 2
2n 4

máy
ghi
calc x? nhập 1015  =  kq:
2
2
2
2n − n + 3
2n
Nếu gặp dạng tổng – hiệu hai căn cần chú ý lượng liên hợp rút gọn trước khi áp dụng dạng trên.
n
n +1
Ví dụ 1: lim n 2 + n + 1 − n ta có
máy ghi
calc x? nhập
n2 + n + 1 − n =
n2 + n
n2 + n + 1 + n

Ví dụ 5: lim

)

(

1015  =  kq:

Vậy lim

(

)

(

1
2

)

n2 + n + 1 − n =

Ví dụ 2: lim

)

(

1
2

1
n + 2 − n +1

ta có

1
n + 2 − n +1

= n + 2 + n +1  2 n

Mà lim n = +
1
= +
Vậy: lim
n + 2 − n +1
1
1
calc x? nhập 1015  =  kq: 0
Ví dụ 3: lim
máy ghi
3n + 2 − 2n + 1
3n − 2n
1
= 0 (các hệ số trước n lệch nhau không cần nhân lượng liên hợp)
Vậy: lim
3n + 2 − 2n + 1
Ví dụ 4: lim

n2 + 1 − n + 1
máy ghi:
3n + 2

1
n2 − n
calc x? nhập 1015  =  kq:
3
3n
Bài tập rèn luyện:

Tìm các giới hạn sau:

4n 2 − n − 1
(KQ: 2)
3 + 2n 2
2 

3. lim  n 2 −
 (KQ: + )
n +1


1. lim

2n − 3n 3 + 1
5. lim
(KQ: −3 )
n3 + n 2

3n 2 + 5 + n
(KQ: 0)
1 − 2n 2

2. lim
4. lim

(

)

n 2 + n − n 2 − 1 (KQ:

( 2 − 3n ) ( n + 1)
3

6. lim

1 − 4n

5

2

(KQ:

1
)
2

27
)
4

3n − 4 n + 1
n 2 + n − 1 − 4n 2 − 2
(KQ: −1 )
8. lim
(KQ: −1 )
2.4 n + 2 n
n+3
B. GIỚI HẠN HÀM SỐ
1. GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

lim f ( x ) Nếu f ( x ) xác định tại x0 viết f ( x ) calc? x0  =  f ( x0 )

7. lim

x → x0

Ví dụ 1: lim ( x3 + 5 x 2 + 10 x ) máy viết: ( x 3 + 5 x 2 + 10 x ) calc X? 2  =  48
x →2

Cách bấm máy:
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 8/11


Luyện Đề Thi THPTQG 2020
 Nhập vào máy tính:
Màn hình sẽ xuất hiện:

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dịng hiển thị, khơng ảnh hưởng
đến q trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

Vậy lim x →2 ( x 3 + 5 x 2 + 10 x ) = 48
Tương tự cho ví dụ 2
x2 − 5x + 6

Ví dụ 2: lim x →1
= − 2 = f (1)
x−2
2. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH:
f ( x)
0
2.1 Dạng Khi tìm lim x → x0
mà f ( x0 ) = 0 và g ( x0 ) = 0
0
g ( x)

x2 − 4
x2 − 4
calc X? nhập 2, 000001 (lớn hơn 2 một tí ti) máy hiện
máy
ghi
x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
3, 999997 làm tròn đọc là 4 hay nhập x = 1,999999999 (nhỏ hơn 2 một tí ti)  =  4

Ví dụ 3: lim x → 2

Cách bấm máy:
 Nhập vào máy tính:
Màn hình sẽ xuất hiện:
GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 9/11

Luyện Đề Thi THPTQG 2020

 Sau đó nhập:
, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở dịng hiển thị, khơng ảnh hưởng
đến q trình bấm máy)

 Ta nhập tiếp:
Màn hình sẽ xuất hiện:

x2 − 4
=4
x 2 − 3x + 2
Tương tự cho các ví dụ tiếp theo

Vậy lim x → 2

Ví dụ 4: lim x →1
Vậy lim x →1

x3 − 3x + 2
x3 − 3x + 2
1
máy
ghi
calc X? Nhập 0, 9999999  = 
4
4
2
x − 4x + 3

x − 4x + 3

x3 − 3x + 2 1
=
x4 − 4x + 3 2

x 4 − x 2 − 72
x 4 − x 2 − 72
calc X? nhập 3, 0000001 kq: 25, 50000069 đọc là 25, 5
máy
ghi
x2 − 2x − 3
x2 − 2x − 3
hoặc nhập 2, 9999999 kq: 25, 49999993 đọc là 25, 5

Ví dụ 5: lim x →3

x 4 − x 2 − 72 51
=
Vậy lim x →3 2
x − 2x − 3
2
1 
1 
−1
 2
 2
−
−
Ví dụ 6: lim x →1  2

 máy ghi  2
 calc X? nhập 1, 000000001 =  KQ:
2
 x −1 x −1 
 x −1 x −1 
3 
 1
−
Ví dụ 7: lim x →1 
máy ghi
3 
1− x 1− x 

Ví dụ 8: lim x → a

3 
 1
−
calc X? nhập 1, 000000001 =  − 1 KQ: −1

3 
1− x 1− x 

x4 − a4
x4 − a4
calc
máy ghi
x−a
x−a

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 10/11


Luyện Đề Thi THPTQG 2020
Chọn
Chọn
Chọn
Chọn

a = 0 khi đó x → 0 kq: 0
a = 1 khi đó x → 1 kq: 4 = 4 13
a = 2 khi đó x → 2 kq: 32 = 4  23
a = 3 khi đó x → 3 kq: 108 = 4  33

x4 − a4
Vậy lim x → a
= 4a 3
x−a
Nhận xét bài này thực hiện phép chia giải tự luận nhẹ hơn!
Bảng chia Hoocner
Hệ số của x
1
0
0

a

lim x → a

a

1

( x − a ) ( x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 )
x−a

2.2 DẠNG:

−a 4
0

0

a2

a3

= lim x → a ( x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 ) = 4a 3

f ( x)

thường gặp khi x →  nếu dạng
không chứa căn bậc chẵn thì tính như giới hạn dãy

g ( x)

Chỉ khác n thay bằng x, khi x → − nhập −1010

Ví dụ 1: lim x →+

3x3 − 2 x + 2
3x3 − 2 x + 2
−3
máy ghi
calc X? 10 20 KQ:
3
2
3
2
2
−2 x + 2 x − 1
−2 x + 2 x − 1

Ví dụ 2: lim x →−

x 4 − 3x 2 + 1
x 4 − 3x 2 + 1
máy
ghi
calc X? -1010 KQ: +
3
3
−x + 2x − 2
−x + 2x − 2

Ví dụ 3: lim x →+

x 4 − 3x 2 + 1

x 4 − 3x 2 + 1
máy
ghi
calc X? 1010 KQ: −1 10 20 → − (đọc là trừ vô cực)
− x3 + 2 x − 2
− x3 + 2 x − 2
x 2 − 3x + 2 x
máy ghi
3x − 1

Ví dụ 4: lim x →−

4x2 − 2x + 1 + 2 − x
9 x − 3x + 2 x
2

4x − 2x +1 + 2 − x

(

(

(

1
5

CALC X? − 10 20 KQ: 3

)

CALC X? 10 20 KQ

x2 + x + 1 + x

Ví dụ 7: lim X →−

CALC X? 10 20 (trong căn) KQ:

x 2 + x + 1 − x dạng (  −  )

x +1

Máy ghi

Máy ghi:

9 x − 3x + 2 x
2

Ví dụ 6: lim X →+

1
3

9 x 2 − 3x + 2 x

2

TH2: lim X →−

calc X? − 1020 KQ:

4x2 − 2x + 1 + 2 − x

Ví dụ 5: lim X →
TH1: lim X →+

x 2 − 3x + 2 x
3x − 1

1
2

)

x 2 + x + 1 − x Khi đó khơng phải dạng (  −  ) nên không cần nhân lượng liên hợp

x2 + x + 1 − x

)

CALC − 1020 KQ 2  10 20 đọc là + .

GV: Võ Huỳnh Hiếu – SĐT:0907102655
Fanpage: Học Toán Cùng Thầy Huỳnh Hiếu

Trang 11/11