Phương pháp giải bài toán giới hạn lớp 11 bằng máy tính casio 750ES

S dng mỏy tớnh Casio fx 570ES v Casio fx 570MS
gii cỏc bi toỏn thng kờ lp 10
Chuyờn in t trng dnh cho lp 11
Chuyờn tớnh cỏc dng bi tp gii hn bng mỏy Casio
fx 570ES
Dựng phng phỏp Gin vect gii cỏc dng bi tp
in xoay chiu
ng dng s phc gii nhanh cỏc dng bi tp in
xoay chiu
Chuyờn thi gian, quóng ng trong dao ng iu
hũa
Túm tt chng trỡnh thi i hc mụn Toỏn
Túm tt chng trỡnh thi i hc mụn Lớ
B a DVD ụn thi i hc.
Cỏch lu vn bn vo mỏy Casio Fx 570ES
V cũn nhiu chuyờn khỏc ti:

Mong cỏc bn ún xem.
Nhửừng taứi lieọu khaực


Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 16/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 1/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải
tích. Chun đề này sẽ giúp các bạn sử dụng MTBT để
tìm giới hạn một cách nhanh chóng và ứng dụng vào
kiểm tra kết quả tự luận về giới hạn.
1/ Tính giới hạn của hàm số tại một điểm
Bài tốn: Tính giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  x
0
.
Cách giải: B1: Nhập biểu thức tốn học.
B2: Nhập giá trị cho biến.
B3: Nhấn .
- Nếu ta nhập ngun giá trị x
0
thì máy sẽ báo lỗi “Math
Error”, vì biểu thức sẽ rơi vào các dạng vơ định. Nên khi
nhập giá trị cho biến X, ta phải cộng thêm 1 sai số đủ nhỏ
để kết quả gần đúng với giới hạn cần tính (X+∆x hoặc X-
∆x).
-∆x thường lấy là 0.000000001 (khoảng 8-9 số 0).
- Nếu kết quả ra là 0 thì cần thử lại với ∆x lớn hơn (ít số 0
hơn). Vì có thể máy tính đã làm tròn kết quả ở một bước

nào đó mà ta khơng biết, các bạn có thể xem thêm Ví dụ 7
ở trang 6 để thấy rõ hơn.
Ví dụ 1:
2x3x
8x
2
3
2x
lim



là: (dạng
0
0
)
A/ 10 B/ -10 C/12 D/ 8
=

Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 2/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

Nhập ngun biểu thức:
3
2

8
3 2
x
x x

 
vào máy tính
Nhấn nhập vào: 2.000000001 hoặc 1.999999999
(∆x=0.000000001) . Tiếp tục nhấn
Kết quả: 12  Chọn C
Ví dụ 2:
2
2
1
2 3
3 2
lim
x
x
x x

 
 
là:
A/
3
4
B/
3
4


C/
1
4
D/
1
2

Nhập biểu thức
2
2
2 3
3 2
x
x x
 
 
vào máy tính
Nhấn nhập vào: 1.000000001 hoặc 0.999999999 . Tiếp
tục nhấn
Kết quả:
1
2
 chọn D

Bài tập đề nghị:
1/
3
1 3 5
lim

2 3 6
x
x x
x x

  
  
bằng:
A/ -3 B/ 1 C/ 3 D/ 6
2/
3
2
0
1 2 1 3
lim
x
x x
x

  
bằng:
A/
1
3
B/
1
2
C/
3
2

D/ 4
=

CALC
=

CALC
Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 15/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn


Đáp án của bài tập đề nghị

Nội dung 1: Nội dung 2:
1 2 3 4 1 2 3 4
A

B

C

A


B

C

D

D


Nội dung 3: Nội dung 4:
1 2 3 1 2 3 4
C

B

B



A

B

A

D


Nội dung 5:
1 2 3 4
B C A D

Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 14/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

4/ Tìm a để hàm số
2
2
3 2
, khi x<2
2
f(x)
5 3, khi x 2
x x
a
x
x

 






 


liên tục
tại điểm x = 2:
A/ 25 B/
1
2
C/3 D/23



Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 3/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

3/
2
3
1
1
lim
1
x
x x x
x

  


bằng:
A/
1
3
B/
1
3

C/
2
3

D/
2
3

4/
0
9 16 7
lim
x
x x
x

   
bằng:
A/
7
24

B/
7
12
C/ 0 D/
5
24


2/ Tính giới hạn của hàm số ở vơ cực
Bài tốn: Tính giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  ∞ .
Cách giải: B1: Nhập biểu thức tốn học.
B2: Nhập giá trị cho biến.
B3: Nhấn .
- Nhập cho biến một giá trị đủ lớn để tượng trưng cho giá
trị vơ cực
- Thơng thường ta lấy là 999999999 cho +∞ và -999999999
cho -∞ (khoảng 8-9 số 9).
Ví dụ 3:
1x2
7
lim
x


là: (Bậc tử < bậc mẫu giới hạn ra 0)
A/ 0 B/ -∞ C/ +∞ D/
7
2

Nhập ngun biểu thức:

7
2 1
x

vào máy tính
=

Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 4/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

Nhấn nhập vào: 9999999999 . Tiếp tục nhấn
Kết quả: 3.5 x 10
-10
hay 0.00000000035. Lấy kết quả là 0.
 Chọn A
Ví dụ 4:
1
x
3
5x3
x2
lim
2
2
x





là: (Bậc tử = bậc mẫu, lấy hệ số X
mũ cao nhất tử và mẫu chia nhau được 2/3)
A/ 0 B/ -∞ C/ +∞ D/
2
3

Nhập ngun biểu thức:
2
2
2 3 5
3
1
x x
x



vào máy tính
Nhấn nhập vào: -9999999999 . Tiếp tục nhấn
Kết quả: 0.66666666 = 2/3  Chọn D
Ví dụ 5:
x
2
3
1x7x5
lim

2
x




là: (Bậc tử > bậc mẫu kết quả ra
vơ cực)
A/ 0 B/ -∞ C/ +∞ D/
5
2

Nhập ngun biểu thức:
2
5 7 1
3 2
x x
x



vào máy tính
Nhấn nhập vào: -9999999999 . Tiếp tục nhấn
Kết quả: -2.5 x 10
11
. Lấy kết quả là –∞  Chọn B
Ví dụ 6:


5x2x3xlim

23
x


là:
A/ 0 B/ -∞ C/ +∞ D/
5
2

Nhập ngun biểu thức: -x
3
+ 3x
2
- 2x + 5 vào máy tính
Nhấn nhập vào: -9999999999 . Tiếp tục nhấn
CALC
=

CALC
=

CALC
=

CALC
=

Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân

Trang 13/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

Kết quả chọn phương án D.


Bài tập đề nghị:

1/ Tìm a để hàm số
2
2
6 5
, khi x 1
f(x)
5 , khi x=1
x x
x x
a x

 









liên tục tại
điểm x = 1:
A/ 1 B/ -9 C/ -1 D/ 3
2/ Tìm a để hàm số
1 1
, khi x>0
f(x)
4
, khi x 0
1
x x
x
x
a
x

  





 


liên
tục tại điểm x = 0:
A/-2 B/ 5 C/

5 D/ 2

3/ Tìm a để hàm số
2
3 2
, khi x>-1
1
f(x)
5 , khi x 1
x x
x
a x

 





  

liên tục tại
điểm x = -1:
A/ -4 B/ -6 C/3 D/-5
Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 12/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

- Nếu máy cho giá trị biểu thức gần bằng hoặc bằng 0.5 thì
phương án đó được chọn.
Kết quả chọn phương án B.

Ví dụ 12: Cho hàm số
1 1
, khi x>0
f(x)
3
2 , khi x 0
2
x
a
x
x

 





 


Hàm số liên tục tại x
0
= 0 khi và chỉ khi a có giá trị là:
A/
7

6
B/
2
3
C/
1
3
D/
1
6

Cách giải:
0
3
lim 2
2
x
x



=
3
2
(xem cách tính ở phần “Tính
giới hạn một bên của hàm số” )
Hàm số liên tục tại x = 0 
1 1
x
a

x
 

=
3
2

- Nhập biểu thức
1 1
X
A
X
 

vào máy tính.
- Nhấn máy hỏi A? nhập lần lượt các giá trị của
phương án.
- Nhấn =, máy hỏi tiếp giá trị của X, nhấn 0.00000001 =
- Nếu máy cho giá trị biểu thức gần bằng hoặc bằng
3
2
thì
phương án đó được chọn.
CALC
Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 5/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

Kết quả: 1 x 10
30
. Lấy kết quả là +
∞
 Chọn C




Bài tập đề nghị:

1/


2 2
lim 1 1
x
x x x x

    
bằng:
A/ 0 B/ 1 C/
1
2
D/ 2
2/
 
3

3 1
lim 1 2
1
x
x
x
x




bằng:
A/
2 3
B/
3
2
C/ -
2 3
D/ 6
3/
3 3 2
2
2 1
lim
2 1
x
x x
x


 

bằng:
A/
2
2
B/ 1 C/ 0 D/ -
2
2

4/
2
2 3
lim
1
x
x
x x


 
bằng:
A/ 2 B/-2 C/ 0 D/ -1



Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân

Trang 6/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

3/ Tính giới hạn của hàm số lượng giác
Bài tốn: Tính giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  x
0
.
Với x
0
là một giá trị lượng giác bất kì.
Cách giải: B1: Nhập biểu thức tốn học.
B2: Nhập giá trị cho biến.
B3: Nhấn .
- Màn hình phải được đưa vào chế độ radian bằng cách:
4 (Rad)
- Cách nhập giá trị giống như phần “Tính giới hạn của hàm
số tại một điểm” nhưng nếu x
0
có chứa

thì khơng được
cộng (trừ) sai số trực tiếp vào giá trị biến, mà phải nhập
dưới dạng x
0
± ∆x
- ∆x thường lấy là 0.00001 (khoảng 4-5 số 0).
- Nếu kết quả ra là 0 thì cần thử lại với ∆x lớn hơn (ít số 0
hơn). Vì máy tính làm tròn kết quả lượng giác, căn thức…
với số chữ số thập phân ít hơn so với các phép tính đa thức

thơng thường khác.
Ví dụ 7:
2
2
2
sin
lim tan
cos
x
x
x
x


 

 
 
là:
A/ 0 B/
1
2
C/ +∞ D/
5
2

Nhập ngun biểu thức:
2
2
sin

tan
cos
x
x
x
 

 
 
vào máy tính
SETUP
SHIFT
=

Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 11/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

tính giới hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn từng bên
khi đó sẽ mất rất nhiều thời gian, nên chúng ta sẽ ứng dụng
cách tính giới hạn bằng MTBT để giúp tiết kiệm thời gian
và giải quyết tốt bài tốn này.
Ví dụ 11: Cho hàm số
2
2
3 2

,khi x<2
f(x)
2
1, khi x 2
x x
x x
mx m

 





  


Hàm số liên tục tại x
0
= 2 khi và chỉ khi m có giá trị là:
A/
1
6
B/
1
6

C/

1 D/ 1

Cách giải:
2
2
2
3 2
lim
2
x
x x
x x


 

= 0.5 (xem cách tính ở phần
“Tính giới hạn một bên của hàm số” )
Hàm số liên tục tại x = 2  mx+m+1 = 0.5
- Nhập biểu thức AX+A+1 vào máy tính (biến A thay cho
m).
- Nhấn máy hỏi A? nhập lần lượt các giá trị của
phương án.
- Nhấn =, máy hỏi tiếp giá trị của X, nhấn 2 =
- Lưu ý: khi thay lần lượt giá trị của A, ta khơng cần nhập
giá trị của X nữa (nếu đã nhập giá trị của X trước đó rồi)
mà nhấn = để bỏ qua.
CALC
Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân

Trang 10/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

A/
1
2
B/
1
2
C/
2
D/
3
2

2/
2
2
0
lim
x
x x x
x


 
bằng:
A/ 3 B/ +∞ C/ -∞ D/ 4
3/

3
3
3
lim
27
x
x
x




bằng:
A/ 0 B/ 3 C/+
∞
D/-
1
9

4/
1
1
lim
2 1 1
x
x
x
x x




  
bằng:
A/ 0 B/ -
1
2
C/+∞ D/
1
2







5/ Xác định giá trị của tham số để hàm số liên tục tại x
0

Bài tốn: Cho hàm số y = f(x) có chứa một hay nhiều tham
số xác định tại điểm x
0
. Hãy xác định giá trị của các tham
số để hàm số y = f(x) liên tục tại x
0
.
-Đây là một dạng tốn phức tạp, nếu ta giải bằng phương
pháp truyền thống thì phải sử dụng định nghĩa giới hạn để
Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân

Trang 7/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

Nhấn nếu ta nhập vào:
0.000000001
2


hoặc
0.000000001
2


nhấn , kết quả ra là 0. Ta nghi ngờ có
thể máy đã làm tròn nên thử lại với giá trị X là:
0.00001
2


hoặc
0.00001
2


. Tiếp tục nhấn
Kết quả sẽ ra là 0.50001. Lấy kết quả là 0.5 hay
1

2

 Chọn B
Ví dụ 8:
0
1 sin cos
lim
1 sin cos
x
x x
x x

 
 
 
 
 
là:
A/ 0 B/
1
2
C/ +∞ D/
1


Nhập ngun biểu thức:
1 sin cos
1 sin cos
x x
x x

 
 
vào máy tính
Nhấn nhập vào: 0.00001. Tiếp tục nhấn
Kết quả: -1.00001. Lấy kết quả là -1  Chọn D

Bài tập đề nghị:
1/
6
1 2sin
lim
6
x
x
x



 
 

 
 

 
bằng:
A/ 0 B/ -
3
C/
3

D/ -1
CALC
=

C
ALC
=

=

Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 8/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

2/


2
1
sin 1
lim
4 3
x
x
x x



 
bằng:
A/
2 3
B/
1
2

C/ -1 D/ 0
3/
2
lim tan
2
x
x x



 

 
 
bằng:
A/
2
2
B/ 1 C/ 0 D/ -
2
2

4/ Tính giới hạn một bên của hàm số
Bài tốn: Tính giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  x
0
+
hoặc x x
0
-
.
Cách giải: B1: Nhập biểu thức tốn học.
B2: Nhập giá trị cho biến.
B3: Nhấn .
- Cách nhập giá trị giống như phần “Tính giới hạn của hàm
số tại một điểm” nhưng nếu x tiến về bên phải x
0
thì cộng
∆x còn nếu x tiến về bên trái x
0
thì trừ ∆x
-∆x thường lấy là 0.000000001 (khoảng 8-9 số 0).
- Tính giới hạn một bên của hàm số lượng giác cũng tương
tự như cách tính ở trên.
Ví dụ 9:
x2
x3x2
lim
2
2
x





là:
=

Tuyển tập những phương pháp giải nhanh Nguyễn Trọng Nhân



Trang 9/15 phuongphaphoctap.net

Giới hạn

A/ 0 B/ -∞ C/ +∞ D/ 3
Nhập ngun biểu thức:
2
2 3
2
x x
x


vào máy tính
Nhấn nhập vào: 2 + 0.000000001 (vì x tiến về bên
phải giá trị 2).
Tiếp tục nhấn
Kết quả: 80000000010 . Lấy kết quả là +∞ .  Chọn C

Ví dụ 10:
25
x
10x5
x
lim
2
2
5x




là:
A/ 0 B/ -∞ C/ +∞ D/ 3
Nhập ngun biểu thức:
2
2
5 10
25
x
x
x
 

vào máy tính
Nhấn nhập vào: 5 - 0.000000001 (vì x tiến về bên trái
giá trị 5).

Tiếp tục nhấn
Kết quả: -999999999.5 . Lấy kết quả là -∞ .  Chọn B

Bài tập đề nghị:
1/
2
1
1 1
lim
1
x
x x
x


  

bằng:
=

CALC
=

CALC