Cuc tri

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>VẤN ĐỀ 2</i>

<b>CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ</b>

A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:

<i>Chủ đe</i>à <i>II</i>: <b>ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM</b>

11
I)<i>Dấu hiệu của cực trị</i>:

1) <i>Dấu hiệu I </i>:

<i>Quy tắc I để tìm các điểm cực trị</i>:

1)Tìm f’(x) 3)Xét dấu của đạo hàm

2)Tìm các điểm tới hạn 4)Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

II) <i>Điều kiện để hàm số có cực trị</i>:

Hàm số có cực trị  Hàm số có điểm tới hạn & y’đổi dấu qua điểm tới hạn

 <i>Đặc biệt</i>:
1)Hàm số y = ax3_+bx2 _{+cx+d (a0) có}





tiểu
cực

và
đại
cực

trị
cực
hai

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt.
2)Hàm số y ax2 bx c

dx e
 


 coù 


tiểu
cực
và
đại
cực

trị
cực
hai

 y’= 0 coù hai nghiệm phân biệt thuộc TXĐ.
x a x0 b

f’(x)

₊

-f(x) f(x)

Hàm số đạt cực đại tại x0

x a x0 b

f’(x)

_{- +}

f(x) f(x)

Hàm số đạt cực tiểu tại x0

2) <i>Dấu hiệu II </i>:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên (a;b) , x0  (a;b) & f’(x0) = 0.

a) f”(x0) 0  Hàm số đạt cực trị tại x0.

b) f”(x0) < 0  Hàm số đạt cực đại tại x0.

c) f”(x0) > 0  Hàm số đạt cực tiểu tại x0.

* <i>Chú ý</i>: Nếu f”(x0) = 0 hoặc f”(x0) khơng tồn tại thì khơng kết luận được điều gì về điểm x0.

<i>Quy tắc II để tìm các điểm cực trị</i>:

1)Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0. Gọi xi (i= 1, 2…) là các nghiệm.

2)Tính f”(x).

3)Từ dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi theo dấu hiệu II.

III) <i>Điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực tri tại</i> x0:

1) y = f(x) đạt cực tri tại x0 f’(x0) = 0 (Thử lại) 3) y = f(x) đạt cực đại tại x0 











0

)

x

(

"

f

0

)

x

(

'

f

0
0
IV) <i>Đường thẳng đi qua các điểm cực trị</i>:

1)<i>Hàm số bậc ba</i>: y = ax3_+bx2_{+cx + d (a0)}<i>_{có hai cực trị}</i>_:

+Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ta được: y(x) = (Ax + B)y’(x) + mx + n
+Gọi (x0;y0) là các điểm cực trị thì :

0

0 0 0 0

y '(x ) 0

y(x ) (Ax B)y '(x ) mx n



 




 

 y(x0) = mx0+n

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

B/ CÁC DẠNG TỐN CẦN LUYỆN TẬP:
1) Tìm cực trị của hàm số.

2) Tìm điều kiện để hàm số có cực trị, đạt cực trị tại một điểm.

<i>BÀI TẬP</i>

<i>Bài 1</i>: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau.

1) a) _y 1_x3 _2x2 _3x 1

3 3

    b) y x 3 3x23x c) y x 3 2x2x

2) a) _y 1_x4 _2x2 ₁

2

   b) y x 5x3 8x 1 c) y 



1 x2



3

3) a) y x 1

3x 4




 b)

2

x 4x 5
y

x 2

  



 c)

2

x 4x 3
y

x 2

 



 d)

2

x 3x 2
y

x

  



4) a) y x2 2x 3




 b) yxe4x2 c) y x lnx d) yx2 lnx e) y = cos2x
5) y cos3x15cosx8 trên đoạn _





 
2
3
;
3

<i>Baøi 2</i>: Cho hàm số 3 3 2 3 3 4






<i>x</i> <i>x</i> <i>mx</i> <i>m</i>

<i>y</i> , đồ thị là ( Cm ), m là tham số.

1) Xác định giá trị của m để hàm số có cực trị.

2) Xác định giá trị của m để ( Cm ) tiếp xúc với trục hồnh.

<i>Bài 3</i>: Cho hàm số y = (m2_{– 1)}

3

3

<i>x</i> _{+ (m + 1)x}2_{+3x +5, m: tham số.}

1) Tìm m để hàm số có một cực đại & một cực tiểu.
2) Tìm m để hàm số có cực trị.

<i>Bài 4</i>: Cho hàm số y = x3_–3mx2_{+ (m}2_{+2m –3) x +4}

<i>Chủ đe</i>à <i>II</i>: <b>ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HAØM</b>

12
2)<i>Hàm hữu tỉ</i>

2

ax bx c
y

dx e
 








ad0 <i>có hai cực trị</i>:

<i>C1</i>:
+Ta coù:





2
/

2

y adx 2aex be cd
dx e
  


e
x
d
 

 

 

+Gọi (x0;y0) là các điểm cực trị thì :





2
0 0
0
0
2

/ 0 0

0 2

0

ax bx c
y(x )

dx e

adx 2aex be cd
y (x ) 0

dx e
  






  
 _ _
 _


2
0 0
0
0
2
0 0

ax bx c
y(x )

dx e
adx 2aex be cd 0

  




 _ _ _ _


 0

0
2ax b
y(x )
d











/
2
0 0
/
0

ax bx c
dx e
 


 
 
 
 

Vậy phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: y 2ax b
d




<i>C</i>2:

+ Đặt y(x) ax2 bx c
dx e

 


 =

u(x)

v(x) (v(x) 0)  2

u '(x)v(x) u(x)v '(x)
y '(x)

v (x)





+ Gọi (x0;y0) là các điểm cực trị thì:

0

0 0

0 0

0 0

y '(x ) 0

u(x ) u '(x )

y(x ) (v '(x ) 0)
v(x ) v '(x )


  






 0 0

0
0

u '(x ) 2ax b
y(x )

v '(x ) d


 

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị là: y 2ax b
d

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1) Khảo sát hàm số khi m = 1. Gọi đồ thị là (C).

2) Trong trường hợp tổng quát, hãy xác định tất cả các tham số m để đồ thị của hàm số
đã cho có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về hai phía của trục tung.

<i>Bài 5</i>: Cho hàm số y = x3_+mx2_{+1, trong đó m là tham số. Chứng minh rằng hàm số luôn luôn}

có cực trị <i>m</i>0.

<i>Bài 6</i>: Tìm các giá trị của m để mỗi hàm số sau khơng có cực trị:
1) y = x3_{+mx +1, trong đó m là tham số .}

2)

<i>m</i>
<i>x</i>

<i>m</i>
<i>x</i>
<i>mx</i>
<i>y</i>






2

trong đó m là tham số.

<i>Bài 7</i>: Cho hàm số y x2 _xmx₁ 1





 ,m là tham số

1) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.
2) Xác định m để hàm số có hai cực trị.

<i>Bài 8</i>: Cho hàm số y x2 mx_mx 2₁m 1






 có đồ thị là (Cm ). Xác định m sao cho hàm số có cực

trị.

<i>Bài 9</i>: Cho hàm số

<i>k</i>
<i>x</i>

<i>k</i>
<i>kx</i>
<i>x</i>
<i>y</i>






 2 1

2
2

, với tham số k. Chứng minh rằng với k bất kỳ đồ thị
hàm số ln ln có điểm cực đại, điểm cực tiểu và tổng các tung độ của chúng bằng 0.
(Đề thi TN THPT 1993-1994)

<i>Bài 10</i> : Cho hàm số y = f(x) = x3_{– (m + 2)x + m, m là tham số. Tìm m để hàm số tương ứng}

có cực trị tại x = -1. (Đề thi TN THPT Kì I 1998-1999)

<i>Bài 11</i>: Tìm m để hàm số:

1) y = f(x) = (m m 2)x (3m 1)x 1

3

x3 2 2 2








 , đạt cực đại tại x = -2.

2) y f(x) x2_x mx_m 1






 , đạt cực đại tại x = 2.

<i>Bài 12</i>: Cho hàm số

4
x
bx
a

y  2 4 (a, b là tham số). Tìm a và b để hàm số đã cho đạt cực trị
bằng 4 khi x = 2.

<i>Baøi 13</i>: Cho hàm số: y =

4
3

2






<i>x</i>

<i>m</i>
<i>x</i>

<i>x</i> _{, m tham số}

1) Tìm m để hàm số đạt giá trị cực đại yCĐ, giá trị cực tiểu yCT & yCD  yCT 4
2) Tìm m để hai điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía trục Ox.

<i>Bài 14</i>: Cho hàm số

1
5
3

2






<i>mx</i>
<i>mx</i>
<i>x</i>

<i>y</i> , m: tham số

Chứng minh rằng <i>m</i>0 hàm số ln ln có một cực đại & một cực tiểu Xác định
m để hai giá trị cực trị của hàm số cùng dấu.

<i>Bài 15</i>: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu:
1)

4
2

2






<i>x</i>
<i>x</i>
<i>x</i>

<i>y</i> .

2) y = x3_{– x}2_{– 94x + 95.}

<i>Bài 16</i>: Tìm m để hàm số có cực trị. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị:

1)

<i>m</i>
<i>x</i>

<i>m</i>
<i>mx</i>
<i>x</i>

<i>y</i>





 2

2

.

2) y = 2x3_{– 3(m + 1)x}2_{+ 6mx – 2m.}

<i>Chủ đe</i>à <i>II</i>: <b>ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i>Bài 17</i>: Tìm m > 0 để

<i>x</i>

<i>m</i>
<i>m</i>
<i>x</i>
<i>m</i>
<i>x</i>

<i>y</i> 2 2 2 2  5 3, có cực tiểu trong khoảng 0 < x < 2m.

<i>Bài 18</i>: Tìm m để hàm số mx (m 1)x 3(m 2)x ₃1
3

1

y 3 2








 có cực đại và cực tiểu tại các

điểm x1, x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 1.

<i>Bài 19</i>: Với giá trị nào của m thì hàm số y x4 4mx3 3(m 1)x2 1





 chỉ có cực tiểu mà

khơng có cực đại.

<i>Chủ đe</i>à <i>II</i>: <b>ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HAØM</b>

</div>

<!--links-->