Cực trị của các đa thức đối xứng ba biến

Cực trị của các đa thức đối xứng ba biến
Mọi đa thức đối xứng ba biến F(x, y, z) đều biểu thị đợc qua các đa thức
đối xứng cơ bản s
1
=x+y+z, s
2
=xy+yz+zx, s
3
=xyz. Vấn đề đặt ra: Tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của các đa thức đối xứng p
1
=F(x, y, z) khi biết giá trị của hai
trong ba đa thức đối xứng cơ bản: s
1
, s
2
, s
3
. Vậy có ba bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của đa thức đối xứng p =F(x,y,z) khi
biết:
(I)
x y z a
xy yz zx b
+ + =


+ + =


với a, b cho trớc thỏa mãn

2
3 0a b
Vì s
1
=a, s
2
=b đã biết nên p
1
=F(x, y, z)=f(s
3
)
Phơng pháp giải: Từ hệ (I) ta tìm tập giá trị của s
3
. Giả sử tập giá trị là D. Ta
khảo sát hàm số p
1
= f(s
3
), s
3

D để tìm tập giá trị của p rồi suy ra kết quả.
Cách tìm tập giá trị của s
3
theo các bớc sau:
B ớc 1 : Hệ (I) viết
2
( )
y z a x
yz b x a x x ax b

+ =


= = +

Ta phải có điều kiện
2
4s p
( )
2
2
4( )a x x ax b +
2 2
3 2 4 0x ax b a +
2 2
2 3 2 3
;
3 3
a a b a a b
x

+





2 3 2
3 3
( ) ( )s xyz x x ax b s g x x ax bx= = + = = +

B ớc 2 :Khảo sát hàm số
3
( )s g x=
với
2 2
2 3 2 3
;
3 3
a a b a a b
x

+




sẽ tìm đợc tập giá trị của D của s
3
.
Cuối cùng khảo sát hàm số p
1
= f(s
3
) với s
3

D.
Với các biến x, y, z không âm thì bài toán sẽ còn phong phú hơn
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn

3
(I)
1
x y z
xy yz zx
+ + =


+ + =

.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P
1
= x
4
+y
4
+z
4
Ta có
4 2 2
1 1 1 2 2 1 3
4 2 4P s s s s s s= + +
. Vì
1 2
3, 1,s s= =
nên
1 3 3
( ) 47 12P f s s= = +
,

3 2
3
[1 ( )] 3s xyz x x y z x x x= = + = +
Vì
2
3
(I)
3 1
y z x
yz x x
+ =



= +

, điều kiện
( )
2
2
3 4( 3 1)x x x +
2
3 6 5 0x x
kết
hợp
0x
ta đợc
[
3 24
0;

3
x

+




1
Khảo sát hàm số
3 2
3
( ) 3s g x x x x= = +
với
[
3 24
0;
3
x

+



Thật vậy
2
3 6
'( ) 3 6 1 0
3
g x x x x

= + = =
x 0
3 6
3
3 6
3
+ 3 24
3
+
'( )g x
+ 0 _ 0 +
3
( )s g x=
4 6 9
9

4 6 9
9

0
4 6 9
9

Từ bảng biến thiên kết hợp
3
0s
ta có
3
4 6 9

0
9
s


Chú ý: Có thể rút ra kết quả về tập giá trị của s
3
nh sau:
s
3
là giá trị của biểu thức xyz khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm thực
3
3
1
0 , , 3
x y z
xy yz zx
xyz s
x y z
+ + =


+ + =


=

phơng trình
3 2
3
3 0t t t s + =
có ba nghiệm thực (có thể trùng nhau)

Đồ thị (C):
3 2
3y t t t= +
,
]
0;3t



và đờng thẳng
3
y s=
cắt nhau tại ba điểm
(không yêu cầu phân biệt)
Ta có
2
' 3 6 1y t t= +
t 0
3 6
3
3 6
3
+

3
'( )g t
+ 0 _ 0 +
y
4 6 9
9

3
0
4 6 9
9

2
Kết quả
3
4 6 9
0
9
s


1 3 3
( ) 47 12P f s s= = +
,
3
4 6 9
0;
9
s

1
4 6 9 105 16 6
47 47 12.
9 3
P
+
+ =
Kết quả Min P
1
= 47 chẳng hạn tại x=0,
3 5 3 5
,
2 2
y z
+
= =
Max P
1
=
105 16 6
3
+

chẳng hạn tại
3 24 6 24
,
3 6
x y z
+
= = =
Ví dụ 2: Cho x,y,z là các số thực không âm
0x y z+ + >
thỏa mãn
2 2 2
7( )x y z xy yz zx+ + = + +
. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
4 4 4
4
( )
x y z
Q
x y z
+ +
=
+ +
Ta có
1 1
( , , ) ( , , ), 0Q F x y z F ax ay az a= =
. Tính thuần nhất của
1
F
cho phép ta thêm
giả thiết

3x y z+ + =
. Khi đó
2 2 2
7( )x y z xy yz zx+ + = + +
1xy yz zx + + =
Bài toán trở thành: tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
4 4 4
4
3
x y z
Q
+ +
=
biết
3
1
0, 0, 0
x y z
xy yz zx
x y z
+ + =


+ + =




Theo kết quả của ví dụ 1 ta có Min
4

1 47
.47
3 81
Q = =
4 5
1 105 16 6 105 16 6
( )
3 3 3
MaQ
+ +
= =
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ( nếu có) của đa thức đối xứng
1
( , , )P F x y z=
biết
x y z a
xyz b
+ + =


=

với a, b cho trớc,
0b

Ta có s
1
=a, s
2
=b nên P

1
= F(x,y,z) = f(s
2
)
B ớc 1 : Tìm tập giá trị D của s
2
Từ (II) ta có
y z a x
b
yz
x
+ =



=


phải có
2
( ) 4
b
a x
x

. Giải bất phơng trình này để tìm
tập nghiệm , giả sử tập nghiệm là A.
3
y =s
3

3+ 6
3
3- 6
3
-4 6 -9
9
4 6 -9
9
0
3
3
2
2
( ) ( )
b b
s xy yz zx x y z yz x a x x ax
x x
= + + = + + = + = + +
B ớc 2 : Khảo sát hàm số
2
2
( )
b
s g x x ax
x
= = + +
với
x A

để tìm tập giá trị của nó

là D. Cuối cùng khảo sát hàm số P
1
=f(s
2
) với
2
s D
để suy ra kết quả
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
4 4 4
1
P x y z= + +

biết (II)
4
2
0, 0, 0
x y z
xyz
x y z
+ + =


=


> > >

Ta có:

4 2 2
1 1 1 2 2 1 3
4 2 4P s s s s s s= + +
,
1 3
4, 2s s= =
nên
2
1 2 2 2
( ) 2( 32 144)P f s s s= = +
Ta có:
2
2
2
( ) 4s xy yz zx x y z yz x x
x
= + + = + + = + +

4
2
( )
0 4
y z x
II yz
x
x
+ =

=


< <


Phải có điều kiện
2 3 2
8
(4 ) 8 16 8 0x x x x
x
+
do x > 0
2
( 2)( 6 4) 0x x x +
. Kết hợp 0 < x < 4 ta đợc
3 5 2x
Khảo sát hàm số
2
2
2
( ) 4s g x x x
x
= = + +
với
]
3 5 ; 2x

ta đợc
[
2
5 5 1
5;
2
s





Khảo sát hàm số
2
1 2 2 2
( ) 2( 32 144)P f s s s= = +
với
[
2
5 5 1
5;
2
s





Ta có:
2 2 2

'( ) 2(2 32) 4( 16)f s s s= =
. Trên đoạn
[
2
5 5 1
5;
2
s





thì
2 2
'( ) 0 ( )f s f s<
nghịch biến trên đoạn này. Suy ra
1 1
5 5 1
(5) 18, ( ) 383 165 5
2
Max P f Min P f

= = = =
Ví dụ 4: (Bài 5 thi HSG QG 2004)
Cho x, y, z là các số thực không âm, x+y+z > 0 thỏa mãn
3
( ) 32x y z xyz+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

4 4 4
4
( )
x y z
Q
x y z
+ +
=
+ +
ta có:
( , , ) ( , , ), 0Q h x y z h ax ay az a= =
nên ta có thể chỉ xét
4x y z+ + =
. Bài toán
quy về: Tìm Min, Max của
4 4 4
4
4
x y z
Q
+ +
=
biết
4
2
0, 0, 0
x y z
xyz
x y z
+ + =

=


> > >

Theo ví dụ 3 ta có
4 4
383 165 5 18 9
,
4 4 128
Min Q Max Q

= = =
4
Bài toán 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức đối xứng
1
( , , )P F x y z=

biết
(III)
xy yz zx a
xyz b
+ + =


=

với a, b cho trớc,

0b

Vì s
1
=a, s
3
=b nên P
1
= F(x,y,z)=f(s
1
)
Từ (III) ta có
1
( )
b
y z a
x x
b
yz
x

+ =




=


phải có điều kiện

2
2
1
( ) 4
b b
a
x x x

. Giải bất phơng
trình này, giả sử tập nghiệm là A.
Ta có
1
2
1
( )
b a b
s x y z x a x
x x x x
= + + = + = +
Khảo sát hàm số
1
2
( )
a b
s g x x
x x
= = +
với
x A
. Gọi D là tập giá trị của s

1
. Cuối
cùng khảo sát hàm số P
1
=f(s
1
) với
1
s D
để suy ra kết quả
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
4 4 4
1
P x y z= + +
biết
8
4
0, 0, 0
xy yz zx
xyz
x y z
+ + =


=


> > >

Từ giả thiết ta có
1 4
(8 )
4
, 0
y z
x x
yz x
x

+ =




= >


.
Ta phải có
2 2
2
1 4 16 1 1
(8 ) (2 ) 1
x x x x x

(do
0x >
)
3 2 2

4 4 1 0 ( 1)( 3 1) 0x x x x x x + +
. Kết hợp với
0x >
ta đợc
3 5
0
2
x

<
hoặc
3 5
1
2
x
+

1
2
8 4
s x y z x
x x
= + + = +
với
[ [
3 5 3 5
0; 1;
2 2
x

+



U
2
1
2 3 3 3
8 8 ( 2)( 2 4) ( 1 5)( 1 5)( 2)
' 1
x x x x x x
s
x x x x
+ + + +
= + = =
1
' 0 ( 1 5)( 2) 0s x x +
do
0x >
x 0
3 5
2

1
5 1
2
3 5
2
+
1

's
+ + 0 - 0 + +
1
s
1 5 5
2

5 5 1
2
5 5 1
2


5 5
5