Bat dang thuc trong hinh hoc THCShot

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Các bài toán bất đắng thức trong hình học phẳng thường được giải theo các
phương pháp sau :

<b>1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI: </b>

Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất đẳng
thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

<b>2. BÀI TẬP ÁP DỤNG:</b>
 <b>Bài 1 (lớp 8)</b>

Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC.
Chứng minh rằng : MB + MC < AB + AC
Từ đó suy ra MA + MB +MC < AB + AC + BC.

<b>LỜI GIẢI: </b>
BM cắt cạnh AC tại D

BD < AB + AD

 MB + MD < AB + AD (1)
Xét MDC có :

MC < MD + DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD

 _{MB + MC < AB + AC}

Chứng minh tương tự ta có : MA + MC < AB + BC
và : MA + MB < AC + BC
Do đó : 2(MA + MB + MC) < 2(AB + AC + BC)

 MA + MB + MC < AB + AC + BC
<b>Chú ý</b>: Từ lời giải bài toán ta cũng có điều sau:

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

 <b>Bài 2 (lớp 8)</b>

Cho tam giác ABC có   B C; AM là trung tuyến. D là điểm trên đoạn

thẳng AM.

Chứng minh rằng DB < DC.

<b>LỜI GIẢI </b>
Xét ABC có   B C  _{AC > AB}

Xét ABMvà ACMcó :

BM = MC (gt) ;
AM ( cạnh chung) ;
AB < AC

Suy ra AMB AMC.

Xét DBM và DCMcó :

BM = MC (gt) ;
DM (cạnh chung) ;

DMB DMC

  

Suy ra DB < DC

 <b>Bài 3 (lớp 8)</b>

a) Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc AC.
Chứng minh rằng SABC 1AB.AC

2

 ; SABC 1BM.AC

2


b) Cho tứ giác ABCD.

Chứng minh rằng SABCD

AC.BD
2


<b>LỜI GIẢI</b>
a) Gọi BH là đường cao của ABC.

Ta có BH AB .

SABC

1 1

BH.AC AB.AC

2 2

  .

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

SABC 1BH.AC 1BM.AC

2 2

 

b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD; BH và DK là hai
đường cao của ABC và DAC.

BHAC BH BO và DK AC DK OD

Suy ra BH + DK  BO + OD = BD

Do đó : SABCD = SABC + SDAC =

BH.AC DK.AC

2  2

= AC(BH DK) AC.BD

2   2

 <b>Bài 4 (lớp 9)</b>

Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao.
Chứng minh rằng DE < BC.

<b>LỜI GIẢI</b>
o

BEC BDC 90 (gt)

  

 bốn điểm B, E , D , C cùng thuộc
đường trịn đường kính BC.

DE là dây cung khác đường kính của
đường trịn đường kính BC

(đường kính là đây cung lớn nhất của đường trịn)

 DE < BC

 <b>Bài 5 (lớp 9)</b>

Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD ( AB > CD). Hai đường

thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Gọi H và K lần lượt là hai hình chiếu
vng góc của O trên hai đường thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
MH > MK.

<b>LỜI GIẢI</b>
<b>Cách 1 : </b>

AB > CD  OH < OK

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

HOM

 có H 90 o theo định lí Pitago ta có

OH2_{+ MH}2_{= OM}2

KOM

 có K 90 o theo định lí Pitago ta có

OK2_{+ MK}2_{= OK}2

Do đó OH2_{+ MH}2 _{= OK}2_{+ MK}2

OH < OK nên OH2_{< OK}2

Suy ra MH2_{> MK}2

Suy ra MH > MK
<b>Cách 2 :</b>

Vẽ đường tròn (O;OM). Các tia MA; MC
lần lượt cắt (O;OM) tại E; F. (E,F M )
Xét (O;OA) có AB > CD

 OH < OK

( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có OH < OK

 ME > MF.

( định lí dây cung và khoảng cách đến tâm)
Xét (O;OM) có OHME và OKMF

Suy ra MH ME;MK MF

2 2

  (định lí đường kính và dây cung)

Từ đó suy ra MH > MK.
<b>Cách 3 :</b>

Vẽ đường trịn đường kính OM. Tâm I là trung điểm OM.
Vẽ IEMA, IF MD (E MA,F MD  )

IE MA, OHMA (gt)  IE // OH
Mà I là trung điểm OM.

Do đó IE là đường trung bình của HOM IE 1OH

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Tương tự IF 1OK
2


Xét (O;OA) có AB > CD  OH < OK (định lí dây cung và khoảng cách
đến tâm) do đó IE < IF.

Xét (I;IM) có IE < IF  MH > MK (định lí dây cung và khoảng cách
đến tâm).

<b>PHƯƠNG PHÁP GIẢI</b>

Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai, từ đó lập luận để dẫn đến
điều vơ lí ( vơ lí có thể là trái với giả thiết hoặc dẫn đến điều mâu thuẫn
hoặc trái với kiến thức đã học). Vậy điều giả sử sai.

Kết luận bất đẳng thức chứng minh là đúng.
<b>1. BÀI TẬP ÁP DỤNG</b>

 <b>Bài 1 (lớp 8)</b>

Cho tam giác ABC có BD và CE là hai đường cao. Chứng minh DE <
BC.

<b>LỜI GIẢI</b>

Giả sử DE BC . Gọi M là trung điểm BC; BDC vng tại D có DM là

trung tuyến.

 DM 1BC

2
 .

Chứng minh tương tự ta có:
1

ME BC

2


Ta có DM + ME = BC

Như vậy DE DM ME  . Vơ lí !

Do đó DE BC là sai  DE < BC.
 <b>Bài 2 (lớp 8)</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

AB + AC > 2.AM

<b>LỜI GIẢI</b>
Giả sử AB + AC  2.AM

Gọi D là điểm đối xứng của A qua M.

M là trung điểm chung của hai đoạn thẳng BC và AD

 _{ABCD là hình bình hành.}
 AB = DC

AD = 2.AM

Do đó ADC có DC + AC  AD

Điều này vơ lí !

Vậy AB + AC  2.AM là sai.
 AB + AC > 2.AM

 <b>Bài 3 (lớp 8)</b>

Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Chứng minh rằng :
a) Nếu AM BC

2

 thì BAC 90 o

b) Nếu _{BAC 90}o

  thì AM BC

2


<b>LỜI GIẢI</b>
a) Giả sử _{BAC 90}o

 

Gọi D là điểm đối xứng của A qua M,
ta có AD = 2AM. M là trung điểm chung
của hai đoạn thẳng BC và AD

 ABCD là hình bình hành

 AB = DC và AB // DC.

AB // DC  _BAC _{ACD 180}o

   

mà _{BAC 90}o

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Do đó _{ACD 90}o

  suy ra BAC ACD.

Xét ABC và CDB_{có AB = DC (cạnh chung),}BAC ACD.

Do đó BC < AD  AM BC
2

 . Trái với giả thiết BC
2


Vậy _{BAC 90}o

  là sai. Do vậy BAC 90 o (đpcm).

b) Giả sử AM BC
2

  _{BC < 2AM}

Gọi D là điểm đối xứng của A qua M, ta có AD = 2AM. Suy ra BC <
AD.

Chứng minh tương tự câu a) ta có
AB = DC, _BAC _{ACD 180}o

    .

Xét ABC và CDBcó AB = DC, BC (cạnh chung), BC < AD.

Do đó BAC ACD

 BAC BAC BAC ACD

 _{2. BAC 180}o

 

 BAC < 90o

Trái với giả thiết _{BAC 90}o

  . Vậy AM BC

2

 là sai.

Do vậy AM BC
2

 (đpcm).

 <b>Bài 4 (lớp 9)</b>

Cho đường tròn (O), M là điểm bên trong (O) ( M khác O). Qua M vẽ hai
dây AB, CD của (O), AB vng góc với OM và CD khơng vng góc với
OM. Chứng minh rằng AB < CD.

<b>LỜI GIẢI</b>
Giả sử AB  CD (1)

Vẽ OH CD (H CD ) rõ ràng M H

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

(1) và (2) mâu thuẫn !

Vậy AB  CD là sai. Do đó AB < CD.

 <b>Bài 5 (lớp 9)</b>

Cho tứ giác ABCD cóA và Ctù. Chứng minh rằng AC < BD.

<b>LỜI GIẢI</b>

Giả sử AB  CD

Vẽ đường trịn đường kính BD.
Vì _{A 90}o

  ,  C 90o

Do đó A và C ở bên trong đường
trịn đường kính BD.

Do vậy AB  CD là vơ lí vì đường kính

là dây cung lớn nhất của đường trịn.
Ta có : AB  CD là sai.

Vậy AC < BD.
<b>Chú ý : </b>

1. Phần lớn các bài toán về bất đẳng thức hình học đều có thể giải
bằng cả hai phương pháp nêu trên.

</div>

<!--links-->