Vấn đề 2. Ba điểm thẳng hàng

VÁN ĐỀ 2. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
Câu 1.

Email:
Cho hình bình hành ABCD có các điểm M , I , N lần lượt thuộc các cạnh AB, BC , CD sao cho
1
1
AB, BI = kBC , CN = CD . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN . Xác định k để AI đi
3
2
qua G .
1
9
6
12
A. .
B.
.
C. .
D.
.
3
13
11
13
AM =

Lời giải
Họ và tên tác giả : Phùng Hằng Tên FB: Phùng Hằng
Chọn C

Gọi E là trung điểm của MB . Khi đó:
AM = ME = EB
uuur 1 uuur
Ta có: EG = EN
3
uuu
r uuur 1 uuu
r uuur
⇔ EA + AG = EA + AN
3
uuur 2 uuur 1 uuur
uuur 2 2 uuur 1 uuur uuur
r 1 uuur
4 uuur 1  uuur 1 uuur  5 uuu
⇔ AG = AE + AN ⇔ AG = . AB + AC + CN = AB +  AC − AB ÷ = AB + AC
3
3
3 3
3
9
3
2
3
 18
uur
uuur
Do BI = kBC và điểm I nằm trên đoạn BC nên BI = k BC
uuu
r uur
uuu

r uuur
uur
uuu
r
uuur
⇔ BA + AI = k BA + AC ⇔ AI = ( 1 − k ) AB + k AC

(

)

(

(

)

1− k k
18
6
= ⇔ ( 1 − k ) = 3k ⇔ k =
5
1
5
11 .
18
3
Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho

Do AI đi qua G nên A, I , G thẳng hàng

Câu 2.

)

⇔

1
3
AM = AB, AN = AC . Gọi O là giao điểm của CM và BN. Trên đường thẳng BC lấy
3
4
uuur
uuur
E . Đặt BE = xBC .
Tìm x để A, O, E thẳng hàng.
Chọn C
2
A.
3

B.

8
9

C.
Lời giải

uuur
1 uuur 1 uuur

Ta có: AO = AB + AC
9
4

9
13

D.

8
11


uuur
uuur
uuur
AE = (1 - x)AB + xAC
uuur
uuur
A, E, O thẳng hàng Û AE = kAO
uuur
uuur
k uuur k uuur
36
9
Û (1 - x)AB + xAC = AB + AC Û k = ; x =
9
4
13
13

Vậy x =

9
là giá trị cần tìm.
13

Họ và tên tác giả : Nguyễn Thanh Dũng Tên FB: Nguyễn Thanh Dũng
Email:
P , Q, R
ABC I
BC
Ý tưởng: Cho tam giác
, là trung điểm của
. Gọi
là các điểm xác
định bởi:
uuur
uuur uuur
uur uuu
r
uuur
AP = p AB, AQ = q AI , AR = r AC với pqr ≠ 0 .
Chứng minh rằng: P, Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi

2 1 1
= + .
q p r

Chứng minh

Ta có
uur
uuur
uuur q − 2 p uuur q uuur
1 uuur uuur
 uuur uuur uuur
PQ
=
AQ
−
AP
=
q
AI
−
p
AB
=
q
AB
+
AC
−
p
AB =
AB + AC

2
2
2

 uuu
r uuu
r uuur
uuur
uuur
 PR = AR − AP = r AC − p AB

uuur
uuu
r
Do đó, P, Q, R thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực m sao cho PQ = mPR

(

⇔

)

uuur
uuur
r q − 2mr uuur r
q − 2 p uuur q uuur
q − 2 p + 2mp uuu
AB + AC = m r AC − p AB ⇔
AB +
AC = 0
2
2
2
2

(

)

 q − 2 p + 2mp
=0

uuur uuur
2
⇔
(vì AB, AC khơng cùng phương)
 q − 2mr = 0
 2

Câu 3.

q

m
=
1
−

q
q
2 1 1
2p
⇔
⇔ 1−

=
⇔ = +
2 p 2r
q p r
m = q

2r
Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm BC ; P là điểm đối xứng với A qua B ; R là điểm
trên cạnh AC sao cho AR =

2
AC . Khi đó đường thẳng AR đi qua điểm nào trong các điểm
5

sau đây?
A. Trọng tâm tam giác ABC .
C. Trung điểm AI .

B. Trọng tâm tam giác ABI .
D. Trung điểm BI .
Lời giải

Đáp án: B


uuur
uuur
 AP = 2 AB ( p = 2 )

Theo đề bài,  uuur 2 uuur 

2
 AR = AC  r = ÷
5
5


uuur 2 uuur 
2
Gọi G là trọng tâm tam giác ABI , ta được AG = AH  q = ÷
3
3

1 1 1 1
2
+ = + =3=
5
Ta có p r 2
q suy ra P, G, R thẳng hàng.
2

Câu 4.

(có thể phát triển P, J, G, M, R thẳng hàng với J – có lẽ là trung điểm BH, cịn M chia AI
theo tỷ số tính được)
Cho ∆ABC có H là trung điểm của AB và G ∈ AC : GC = 2 AG . Gọi F là giao điểm của CH
và BG . Tìm điểm I trên BC sao cho I , F , A thẳng hàng
uur
uu
r
uu

r
uur
uur
uu
r
A. IC = −2 IB.
B. IB = −2 IC.
C. IB = IC.
D. IC = −3IB.
Lời giải


Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCD và E là trung điểm của AD. Khi đó, ta có:
uuur
r
1 uuu
FH = − FC
4
Vận dụng định lý Menelauyt trong ∆HBC có A, F , I thẳng hàng

AH IB FC
1 IB
. .
= 1 ⇔ . . ( −4 ) = 1
2 IC
AB IC FH
IB
1
⇔
=−

2
IC
uur
uu
r
Vậy IC = −2 IB.
⇔

Câu 5.

Họ và tên tác giả: Hoàng Thị Trà FB: Hoàng Trà
Cho tam giác ABC. I là trung điểm của BC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm xác định bởi
uuuu
r
uuur uuur
uur uuu
r
uuur
AM = m AB; AN = n AI ; AP = p AC , với mnp ≠ 0 . Tìm điều kiện của m, n, p để M, N, P thẳng
hàng.
A. mp = mn + np

B. 2mp = mn + np

C. 2np = mn + mp

D. 2mn = mp + np

Lời giải
uuur uuu

r uuuu
r
uuur
uuu
r
uur 1 uuu
r uuur
MP = AP − AM = p AC − m AB
AI
=
(
AB
+ AC )
Ta có uuuu
.
Mà
r uuur uuuu
r
uur
uuu
r
2
MN = AN − AM = n AI − m AB
uuuu
r n uuu
r uuur
uuu
r n
uuur n uuur
MN = ( AB + AC ) − m AB = ( − m) AB + AC

2
2
2
n
n
−m
mnp
≠
0
Do
nên M, N, Q thẳng hàng khi và chỉ khi 2
= 2 ⇔ 2mp = mn + np
−m
p
Chọn đáp án B.

Câu 6.

Nhận xét: Với bài tốn trên thì việc cụ thể hóa bộ ba số m,n,p sao cho thỏa mãn điều kiện trên
ta đều ra được bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Kết quả trên chúng ta có thể vận dụng
vào để giải nhanh bài toán sau:
Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là trung điểm của BC, M và N là các
 uuur 1 uuur
CN = BC
điểm được xác định bởi  uuur 2 uuur r . Gọi P là giao điểm của AC và MN. Tính tỉ số diện
3MA + 4 MB = 0

tích tam giác ANP và tam giác CNP.
A.

3

B.

7
2

Lời giải.
Ta có

S ANP PA
PA
=
. u cầu bài tốn dẫn đến tìm tỉ số
.
SCNP PC
PC

Ta dễ dàng chứng minh được M, N, G thẳng hàng.
uuur 1 uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuu
r
CN = BC ⇒ 2CN = GC − GB ⇔ 2(GN − GN ) = GC − GB
2
uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
⇔

2
GN
=
3
GC
−
GB
=
−
3
GA
− 4GB
Ta có
uuur
uuu
r uuu
r uuur uuur
uuur uuur r
⇔ 2GN = −3GA − 4GB + 3MA + 4 MB(vi3MA + 4 MB = 0)
uuur
uuuu
r
⇔ 2GN = 7GM

C. 4

D. 2


Câu 7.

Vậy G, M, N thẳng hàng. Mặt khác MN cắt AC tại P, nên M, G, P thẳng hàng.
uuuu
r
uuur
4
Áp dụng kết quả G, M, P thẳng hàng theo câu 1 vào ta có AM = m AB ⇒ m =
7
uuur
uur
uuur
2 uuur
4
4 2 2
4
AG = n AI ⇒ n = , AP = p AC. Khi đó 2mp = mn + np ⇔ 2. . p = . + . p ⇔ p = , khi
3
7
7 3 3
5
S
PA
ANP
=4
= 4 . Vậy
đó
SCNP
PB
uuur 2 uuur uuur 1 uuur
Cho tam giác ABC . Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: BD = BC ; AE = AC . Điểm

3
4
uuur a uuur
a là phân số tối giản) sao cho 3 điểm
B, K , E thẳng
K trên AD thỏa mãn AK = AD (với
b
b
hàng. Tính P = a 2 + b 2 .
A. P = 10 .
B. P = 13 .
C. P = 29 .
D. P = 5 .
Lời giải
Chọn A

uuur 1 uuur uuu
r 1 uuur 3 uuu
r
Vì AE = AC ⇒ BE = BC + BA(1)
4
4
4
uuur
uuur uuur
uuur
uuu
r
Giả sử AK = x. AD ⇒ BK = x.BD + (1 − x ) BA
uuur 2 uuur

uuur
uuur uuur 2 x uuur
uuu
r
BD + (1 − x ) BA
Mà BD = BC nên AK = x. AD ⇒ BK =
3
3
uuur
uuu
r
Vì B, K , E thẳng hàng ( B ≠ E )nên có m sao cho BK = mBE
r 2 x uuur
uuu
r
m uuur 3m uuu
BA =
BC + (1 − x ) BA
Do đó có: BC +
4
4
3
r r
3m  uuu
 m 2 x  uuur 
Hay  − ÷BC +  1 − x −
÷BA = 0
4 
4 3 


uuur uuu
r
Do BC ; BA không cùng phương nên
m 2x
3m
1
8
−
= 0;1 − x −
= 0 Từ đó suy ra x = ; m =
4 3
4
3
9
uuur 1 uuur
Vậy AK = AD
3
Câu 8.

Email: uu
r uur
uur r
Cho tam giác ABC, I là điểm thỏa mãn: 2 IA − IB + 4 IC = 0


uuu
r
uuu
r uuur r
K là điểm thỏa mãn: KA + 2 KB + 3KC = 0

uuu
r
uuu
r
uuur r
P là điểm thỏa mãn: PA + mPB + nPC = 0

Có bao nhiêu cặp ( m, n ) , m, n ∈ Z , m, n ∈ [ −10;10] sao cho I , K , P thẳng hàng.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Lời giải
Ta có PA = − m PB − n PC
uu
r uur
uur r
Có: 2 IA − IB + 4 IC = 0 ⇔ 2 PA − PI − PB − PI + 4 PC − PI = 0

(

) (

) (

)

⇔ 5 PI = 2 PA − PB + 4 PC

⇔ 5PI = ( − 2m − 1) PB + ( − 2n + 4) PC

Có:
uuu
r
uuur uuur r
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
r
uuur uuu
r
uuu
r uuur
KA + 2 KB + 3KC = 0 ⇔ PA − PK + 2 PB − PK + 3 PC − PK = 0 ⇔ 6 PK = PA + 2PB + 3PC
uuur
uuu
r
uuur
⇔ 6 PK = ( −m + 2 ) PB + ( − n + 3) PC

(

) (

) (

)

I,K,P thẳng hàng khi và chỉ khi 5 PI ,6 PK cùng phương

⇔ ( 2m + 1)( n − 3) = ( m + 2 )( 2n − 4) ⇔ 2m − 5n = 11
Do ( m, n ) , m, n ∈ Z , m, n ∈ [ −10;10] nên ( m, n ) ∈ { ( −8; −1) , ( −3, −1) , ( 2,3) , ( 5, 7 ) }
(Fb: Lưu Thêm)
Email :
Câu 9.

Bài em sưu tầm ạ !
uuuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
Cho tam giác ABC , M và N là hai điểm thỏa mãn: BM = BC − 2 AB , CN = x AC − BC . Xác
định x để A , M , N thẳng hàng.

1
B. − .
3

A. 3.

C. 2.

1
D. − .
2

Lời giải
Chọn D
Ta có

uuuu
r uuur uuu
r
uuuu
r uuur uuu
r
uuuu
r
uuur uuur
BM = BC − 2 AB ⇔ AM = BC − AB ⇔ AM = − AC + 2BC
uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur
uuur uuur
CN = x AC − BC. ⇔ CA + AN = x AC − BC ⇔ AN = ( x + 1) AC − BC
uuuu
r
uuur
Để A, M , N thẳng hàng thì ∃k ≠ 0 sao cho AM = k AN
−1

k=
uuur uuur
uuur uuur

 x + 1 = −k


2
⇔
Hay ( x + 1) AC − BC = k − AC + 2 BC ⇔ 
−1 = 2k
 x = −1


2

(

)


Câu 10. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm AG , lấy K thuộc cạnh AC sao cho
uuur
uuur
AK = kAC . Nếu B, I,K thẳng hàng thì giá trị của k nằm trong khoảng?
 1
A. 0; 
 6

 1
B.  0; ÷
 2

1 1
C.  ; ÷
5 3
Lời giải

1 
D.  ;1÷
5 


(Họ tên: Nguyễn Thu Hương. Tên FB: Thu Hương)
C

N
G
K

O

B

Chọn B
Không giảm tính tổng qt: giả sử tam giác ABC có: A(0;0);B ( 6;0) ;C ( 0;6) thì

G ( 2;2) ;I ( 1;1)
uur
uuur
6
Gọi K ( 0;m) Khi đó: IB ( 5;- 1) ;K B ( 6;- m) . Để B, I,K thẳng hàng : 5m = 6 Û m =
5
suy ra k =

1
5

Họ và tên: Trần Văn Luật
Email:
FB: Trần Luật

uuur
uuuur
Câu 11. Cho tam giác ABC , M là điểm thuộc cạnh AC sao cho MA = −2.MC , N thuộc BM sao cho
uuur
uuuur
uuu
r
uuur
NB = −3 NM , P là điểm thuộc BC . Biết rằng ba điểm A, N , P thẳng hàng khi PB = k PC .
Khẳng định nào sau đây là đúng?
5
1

 5


 1 
A. k ∈  −3; − ÷.
B. k ∈  − ; −1÷ .
C.  −1; − ÷ .
D.  − ;0 ÷.
2
2

 2



 2 
Lời giải
Chọn B


Ta có
uuur
uuuur
uuur uuur
uuuu
r uuur
uuur uuuur
uuur
uuur 1 uuur 1 uuur
NB = −3NM ⇔ AB − AN = −3 AM − AN ⇔ AB + 3 AM = 4 AN ⇔ AN = AB + AC .
4
2
uuu
r
uuur
uuur uuu
r
uuur uuur
PB = k PC ⇔ AB − AP = k AC − AP
BC
Do
là
điểm

thuộc
nên
P
uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
1 uuur
k uuur .
⇔ AB − k AC = ( 1 − k ) AP ⇔ AP =
AB −
AC
k −1
1− k

(

)

(

)

h
 1
=
k = −2
uuur

uuur
1 − k 4

⇔
Ba điểm A, N , P thẳng hàng khi và chỉ khi AP = h AN ⇔ 
4 .
1
h
−
h = 3
=
 1 − k 2
Vậy k = −2 .
Họ và tên: Hoàng Thị Kim Liên
Email:
Facebook: Kim Liên
Câu 12. Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB sao cho
r
uur uur
uuur
uuur uuu
uur
MB = mMC , NC = nNA, PA = k PB . Tính tích mnk để M, N, P thẳng hàng?
A.1.
B. −1.
C. 2.
D. −2.
Lời giải
Chọn A
Ta có :

uuur
uuu
r uur
uuu
r uuu
r
uuur uuu
r
uuu
r
MB = m BC ; BP = 1 AB; BC = ( 1− m ) MC ; CN = n AC
1− m
k −1
1− n
uuur
uuu
r
uuu
r
MN = −1 AB +  1 + n ÷AC
1− m
 1− m 1− n 
uuur
uuu
r
uuu
r
MP =  −m − 1 ÷ AB + m AC
1− m
 1− m 1− k 

Để M, N, P thẳng hàng thì ta có :
−m
1
m
−
1− m
⇔ mnk = 1
Câu 13. 1− m 1− k =
−1
1
n
+
1− m
1− m 1− n
(Email):
Câu 14. Cho hình bình hành ABCD gọi M là trung điểm của cạnh CD, N là điểm thuộc cạnh AD sao cho
AN =

1
AD . Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC tại K. Khi đó
3

uuur m uuur m
BK = BC ( là tối giản) . Tính S = m + n
n
n
A. S = 16 .

B. S = 17 .

C. S = 18 .

D. S = 19 .

Lời giải
( Tên FB: Phùng Hằng )
Chọn B


Ta có
uuur uuur uuur 1 uuur uuuu
r 1 uuur uuu
r
2 AG = AE + AF = AN + AM + AG + AB
2
2
uuur uuur uuuu
r uuu
r 1 uuur 1 uuur uuur uuu
r 5 uuur 1 ur
uuu
r
⇔ 3 AG = AN + AM + AB = AD + AD + AC + AB = AD + AC + AB
3
2
6
2
r
5 uuur 1 uuur uuur uuur 4 uuur 3 uuu
= AD + AB + AD + AB = AD + AB

6
2
3
2
uuur 1 uuur 4 uuur
⇒ AG = AB + AD .
2
9

(

)

(

)

(

(

uuur

)

)

uuur

uuur

uuu
r uuur

uuu
r

uuur

uuu
r

uuur

Đặt BK = x.BC ⇒ AK = AB + BK = AB + xBC = AB + x AD .

k = 2
uuur
uuur
uuu
r
uuur k uuu
r 4k uuur

AD ⇔ 
Do A,G,K thẳng hàng thì AK = k AG ⇔ AB + x AD = AB +
8
2
9
 x = 9

Suy ra

m 8
=
n 9

Vậy S = 17
Email:
Câu 15. Cho hình thang ABCD có đáy AB , CD , CD = 2 AB . M , N lần lượt là các điểm thuộc cạnh
AD và BC sao cho AM = 5MD , 3BN = 2 NC . Gọi P là giao điểm của AC và MN ; Q là
giao điểm của BD và MN ; Khi đó
bằng
A. 386 .

B. 385 .

PM QN a
a
+
= , với
là phân số tối giản. Khi đó a + b
PN QM b
b
C. 287 .

D. 288 .

Lời giải
Họ tên: Bùi Thị Lợi Facebook: LoiBui
Chọn A

Gọi E là giao điểm của AD và BC . Ta có A, lần lượt là trung điểm của EC , ED .
uuuu
r
uuuu
r
uuur uuur
Giả sử PM = xPN ; QN = yQM .
uuu
r
uuur
uuuu
r uuur
r
11 uuu
7 x uuur
uuu
r EM − xEN 11 EA − 7 x EC
=
EA
−
EC
Ta có EP =
10
= 6
6( 1− x)
10 ( 1 − x )
1− x
1− x

Do P, A, C thẳng hàng nên
Vậy

11
7x
−
= 1 ⇔ 55 − 21x = 30 − 30 x ⇔ x = − 25 .
6 ( 1 − x ) 10 ( 1 − x )
9

PM 25
=
.
PN
9

uuu
r
uuur
uuur
uuuu
r
uuu
r
uuur EN − yEM 7 EB − 11 y ED
7
11 y uuur
=
EB −
ED

Ta có EQ =
5
12
=
5( 1− y )
12 ( 1 − y )
1− y
1− y
Do Q, B, D thẳng hàng nên
Vậy

7
11y
−
= 1 ⇔ 84 − 55 y = 60 − 60 y ⇔ y = − 24 .
5 ( 1 − y ) 12 ( 1 − y )
5

QN 24
=
.
QM
5

Suy ra

PM QN 341
+
=
⇒ a = 341; b = 45 ⇒ a + b = 386 .

PN QM
45

Cách 2:
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMN với ba điểm thẳng hàng là A, P, C , ta có
PM CN AE
PM 3 6
PM 25
.
.
=1 ⇔
. . =1 ⇔
=
.
PN CE AM
PN 10 5
PN
9

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác EMN với ba điểm thẳng hàng là B, Q, D , ta có

QN DM BE
QN 1 5
QN 24
.
.
=1 ⇔
. . =1⇔
=
.

QM DE BN
QM 12 2
QM
5
Vậy

PM QN 341
+
=
⇒ a = 341; b = 45 ⇒ a + b = 386 .
PN QM
45

Email:
Câu 16. Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho AM = 3MC,
NC = 2BN. Gọi I là giao điểm của AN và BN. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam
giác ABN bằng 4.
A. S ABC = 110 .
B. S ABC = 115 .
C. S ABC = 125 .
D. S ABC = 120 .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Vũ Thị Hằng Tên FB: Đạt Lâm Huy
Chọn D
uur
uuur
Giả sử AI = k AN ta có
uur uuu
r
uuur uuu

r
BI − BA = k BN − k BA
uur
uuu
r k uuur
⇒ BI = ( 1 − k ) BA + BC (1)
3
uuuu
r
uuur uuuu
r uuu
r uuur
Tương tự 4 AM = 3 AC ⇒ BM = BA + 3BC (2)


k
9
Vì B,I,M thẳng hàng nên từ(1) và(2) ta có 1 − k 3
= ⇔k=
1
3
10
Suy ra S ABN = 10 S BNI = 40
S ABC = 3S ABN = 120
(Có thể dùng định lý Menelauyt để tính tỷ số)
Email: samnk.thptnhư
Câu 17. Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho MA = −2.MC , N thuộc BM sao cho
NB = −3.NM , P thuộc BC sao cho PB = k .PC . Tìm giá trị k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.
A. k = 1 .
B. k = −2 .

C. k = − 1 .
D. k = 2.
2
2
Lời giải
Họ và tên: Nguyễn Khắc Sâm

Facebook: Nguyễn Khắc Sâm

Chọn B
A

M

N
B

C

P

Ta có:

(

)

NB = −3.NM ⇔ AB − AN = −3. AM − AN ⇔ AB + 3. AM = 4. AN
⇔ AN =

1
1
AB + . AC
4
2

(1)

(

)

PB = k .PC ⇔ AB − AP = k AC − AP ⇔ AB − k . AC = (1 − k ) AP (k ≠ 1)
⇔ AP =

1
k
AB −
AC
1− k
1− k

( 2)

Ba điểm A, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi:
h
 1
=

1 − k 4

AP = h. AN ⇔ 
⇒ k = −2 .
− k = h

 1− k 2