Vấn đề 5 min max phần 1

Câu 1.

VẤN ĐỀ 5. MIN ,MAX
Cho parabol ( P ) y = ax + bx + c có đỉnh là tâm của một hình vng ABCD , trong đó C , D
2

nằm trên trục hoành và A, B nằm trên ( P ) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = ac + 2b bằng
bao nhiêu ?
A. 2 .
B. −3.
C. 4 .
D. −2 .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Đăng Ái Tên FB: Nguyễn Đăng Ái
Chọn C
Lời giải
Phác họa đồ thị như hình vẽ:

Nhận thấy: HI = HB = −

∆
4a

b
∆
b −∆ −∆
; − ) . Suy ra tọa độ điểm B = (−
+
; )
2a 4a
2a 4a 2a

2
b 
∆

Thay tọa độ điểm B vào parabol ( P ) : y = a  x + ÷ −
; ta được:
2a  4 a

Tọa độ đỉnh của parabol I = ( −

2

Câu 2.

∆
∆
b2
b
 ∆ 
−
= a− ÷ −
⇔ ∆ = −4 = b 2 − 4ac → T = ac + 2b = + 2b + 1 = ( + 2) 2 − 3 ≥ −3
2a
4
2
 4a  4a
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là Tmin = −3 . Vậy chọn đáp án B.
Một gia đình sản xuất cà phê nguyên chất. Do điều kiện nhà xưởng nên mỗi đợt gia đình đó sản
xuất được t kg cà phê (t ≤ 30) . Nếu gia đình đó bán sỉ x kg thì giá của mỗi kí được xác định
bởi cơng thức G = 350 − 5 x (nghìn đồng) và chi phí để sản xuất x kg cà phê được xác định bởi

công thức C = x 2 + 50 x + 1000 (nghìn đồng).
1) (Mức độ vận dụng) Tính chi phí để gia đình đó sản xuất kg cà phê thứ 10
A. 1600 nghìn.
B. 69 nghìn.
C. 1100 nghìn.
D. 1000 nghìn.
2) (Mức độ Vận dụng cao) Để đạt được lợi nhuận tối đa, mỗi đợt gia đình đó nên sản xuất bao
nhiêu kg cà phê.
A. P = 20kg .
B. 25kg .
C. 15kg .
D. 30kg .
Lời giải
Họ và tên tác giả : Lê Thị Nguyệt Tên FB: NguyệtLê
1) Chọn B
Chi phí để sản xuất kg cà phê thứ 10 là C (10) − C (9) = (102 + 50.10) − (92 + 50.9) = 69 (nghìn
đồng)
(Học sinh thường nhầm lẫn chi phí sản xuất kg thứ 10 với chi phí sản xuất 10kg)
2) Chọn B
Trang 1/11 - Mã đề thi 483


Doanh thu khi gia đình bán x kg cà phê là D = x (350 − 5 x) = −5 x 2 + 350 x (nghìn)
Lợi nhuận thu được khi bán được x là
L = D( x) − C ( x) = −5 x 2 + 350 x − ( x 2 + 50 x + 1000) = −6 x 2 + 300 x − 1000
Suy ra lợi nhuận đạt tối đa khi x =

300
= 25(kg )
2.6

HS thường sai lầm khi nhầm hàm D( x) với hàm G( x)
Câu 3.


Cho hàm số y = f ( x ) = 4 x 2 − 4ax + (a 2 − 2a + 2)
Có bao nhiêu giá trị của a sao cho giá trị nhỏ nhất củatrên đoạn [0; 2] là bằng 5 ?
A. 0 .
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Lời giải
Chọn C
Parabol có hệ số của x 2 là 4 > 0 nên bề lõm hướng lên. Hồnh độ đỉnh xI =
•

Nếu

a
.
2

a
< 0 ⇔ a < 0 thì xI < 0 < 2. Ta có bảng biến thiên
2

f ( x) = f (0) = a 2 − 2a + 2 . Theo u cầu bài tốn :
Từ bảng biến thiên ta có min
[0;2]
 a = −1(t / m)

a 2 − 2 a + 2 = 5 ⇔ a 2 − 2a − 3 = 0 ⇔ 
 a = 3( L)
a
•
Nếu 0 ≤ ≤ 2 ⇔ 0 ≤ a ≤ 4 thì xI ∈ [0; 2] . Suy ra f ( x) đạt GTNN tại đỉnh.
2
a
3
f ( x) = f ( ) = −2 a + 2 Theo yêu cầu bài toán : −2a + 2 = 5 ⇔ a = − < 0( L)
Do đó min
[0;2]
2
2
a
•
Nếu > 2 ⇔ a > 4 thì xI > 2 > 0. Ta có bảng biến thiên
2

f ( x) = f (2) = a 2 − 10a + 18 . Theo yêu cầu bài toán :
Từ bảng biến thiên ta có min
[0;2]
 a = 5 + 2 3(t / m)
a 2 − 10a + 18 = 5 ⇔ a 2 − 10a + 13 = 0 ⇔ 
 a = 5 − 2 3( L )
Vậy a = −1 hoặc a = 5 + 2 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Họ và tên tác giả: Nguyễn Văn Phu, Tên FB Nguyễn Văn Phu
Câu 4.

Gmail:

Cho hàm số bậc hai (P): y = x 2 − 2mx + 3m − 2 , trong đó x là ẩn, m là tham số. Tìm tất cả các
2
2
giá trị của m để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 và x1 + x2 đạt giá

trị nhỏ nhất.
Trang 2/11 - Mã đề thi 483


A. m = − 3 .
4

B. m = 3 .
4

C. m = ± 3 .
4

D m = 3.
2

Lời giải
Đáp án B
Phương trình hồnh độ giao điểm của (P) với trục hoành: x 2 − 2mx + 3m − 2 = 0

( *)

Để (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 ⇔ Phương trình (*) có hai
nghiệm
m > 2

2
.
phân biệt x1 , x2 ⇔ ∆ ' = m − 3m + 2 > 0 ⇔ 
m < 1

( **)

Với điều kiện (**), theo định lí Viét ta có: x1 + x2 = 2m, x1 x2 = 3m − 2.
Do đó x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 4m 2 − 2 ( 3m − 2 ) = 4m 2 − 6m + 4
2

2

3 7 7

x + x = 4m − 6m + 4 =  2m − ÷ + ≥ , ∀m ∈ D = ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .
2 4 4

2
1

2
2

2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2m −

3

3
= 0 ⇔ m = ∈ D.
2
4

2
2
Vậy biểu thức x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 5.

7
3
khi và chỉ khi m = .
4
4

Email:
Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số y  = 5 + 4 x − x 2 + ( x − 2) 2 + 99 .
Tính 4M + m.
A. 535 .

B. 541 .

C. 516 .

D. 534 .

Họ và tên tác giả : Phạm Văn Huấn Tên FB: Pham Van Huan
Lời giải

Chọn A
Đặt t = 5 + 4 x - x 2 = 9 - ( x - 2 ) (1)
2

Khi đó ta có 0 ≤ t ≤ 3 hay t ∈ [ 0;3]
t
f(t)

2
Xét y = f ( t ) = − t + t + 108 với t ∈ [ 0;3]
1
0
3
2
433
4
108
102

Do vậy 4 M + m = 4.

433
+ 102 = 535 .
4

Email:
Họ và tên tác giả : Quách Phương Thúy Tên FB: Phương Thúy
Trang 3/11 - Mã đề thi 483

Câu 6.

2
Tìm tham số m để biểu thức P = 16 x +

A. m = −1 .

B. m = 0 .

1
1

− 2  4 x + ÷+ 7m + 11 có giá trị nhỏ nhất bằng 18.
2
x
x

C. Đáp án khác.
D. m = 1.

Lời giải
Chọn D
Đặt t = 4 x +

1
⇒ 4 x 2 − tx + 1 = 0 . Điều kiện để phương trình có nghiệm là
x

t ≤ −4
∆ = t 2 − 16 ≥ 0 ⇔ 

t ≥ 4
P = t 2 − 2t + 7m + 3 . Ta có bảng biến thiên của P

Câu 7.

Từ BBT ta có min P = 18 ⇔ 7 m + 11 = 18 ⇔ m = 1 . Chọn D
Cho y = x 2 + mx + n ( m, n là tham số), f ( x0 ) là giá trị của hàm số tại x0 . Biết

(

)

(

f −2 + 3 + m + n = f 8 − 3 − m − n

)

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là −8. Khi đó

T = m + n có giá trị bằng:
A. −5 .
B. −4 .

C. −6 .

D. 3.

Lời giải
Chọn A

Theo giả thiết và tính chất đối xứng của đồ thị hàm số bậc 2 ta có
 −m
=3
 m = −6
 m = −6

⇔
⇔
 2
n = 1
 f (3) = −8 9 + 3m + n = −8
Vậy T = −5 . Chọn A

Câu 8.

Cho hàm số:
khi

y=

+

+

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi

và nhận giá trị bằng 3

. Tính

A.-6

B. 6

C. -2

D. 1

Lời giải
Theo giả thiết, ta có:
a > 0
 −b
a > 0
a = 1
 = 1


⇒ b = −2a ⇒ b = −2
 2a
a + b + c = 2
3a + b = 1 c = 3



4a + 2b + c = 3

Câu 9.

Vậy abc =-6 ⇒ Chọn A
Cho hàm số f ( x ) = ax 2 + bx + c có f ( x) ≤ 1∀x ∈ [ 0;1] . Khi đó giá trị của b là:

Trang 4/11 - Mã đề thi 483


A. b ≤ 8

B. b > 8

C. 0 ≤ b ≤ 8
Lời giải

D. −8 < b < 0

Từ giả thiết ta có:

−1 ≤ f (0) = c ≤ 1
−3 ≤ −3c ≤ 3


−1 ≤ f (1) = a + b + c ≤ 1 ⇒  −1 ≤ − a − b − c ≤ 1

 −4 ≤ a + 2b + 4c ≤ 4
1
a b
−1 ≤ f ( ) = + + c ≤ 1 

2
4 2
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có: −8 ≤ b ≤ 8
Vậy chọn A
Phản biện: Lời giải OK.

Về đề bài: Nếu để đáp án như trên học sinh có thể sử dụng máy tính là dễ dàng. Theo mình nên
đổi lại câu hỏi như sau cho phù hợp hơn:
Cho hàm số y =

2 x − x 2 − 3m + 4 . Gọi A là giá trị lớn nhất của hàm số. Khi A đạt giá trị nhỏ

nhất thì m thuộc khoảng nào dưới đây?
A. m ∈ (−2;0)
B. m ∈ (0;1)

C. m ∈ (1; 2)

D. m ∈ (2;3)

Email:
Câu 10. Cho hàm số y =

2 x − x 2 − 3m + 4 . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất.

3
A. m = .
4

3
B. m= .
2

3
C. m = .
8

D. m =

3
.
16

Lời giải
Họ và tên tác giả: Trần Thế Độ
Chọn B

Tên FB: Trần Độ

Tập xác định: D = [ 0; 2] .
y . Ta đặt t = 2 x − x 2 ⇒ t = 1 − ( x − 1) 2 do đó 0 ≤ t ≤ 1
Gọi A = max
[ 0;2]
Khi đó hàm số được viết lại là y = t − 3m + 4 với t ∈ [ 0;1] suy ra
A = max t − 3m + 4 = max { −3m + 4 , 5 − 3m + } ≥
[0,1]

−3m + 4 + 5 − 3m
2

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có
−3m + 4 + 5 − 3m = 3m − 4 + 5 − 3m ≥ 1
Do đó A ≥

1
3

. Đẳng thức xảy ra m = .
2
2

Vậy giá trị cần tìm là m =

3
.
2

Email:
Câu 11. Cho hàm số y =
3
A. m = .
4

2 x − x 2 − 3m + 4 . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất.
3
B. m= .
2

3
C. m = .
8

D. m =

3
.
16

Lời giải
Trang 5/11 - Mã đề thi 483


Họ và tên tác giả: Trần Thế Độ

Tên FB: Trần Độ

Chọn B
Tập xác định: D = [ 0; 2] .
y . Ta đặt t = 2 x − x 2 ⇒ t = 1 − ( x − 1) 2 do đó 0 ≤ t ≤ 1
Gọi A = max
[ 0;2]
Khi đó hàm số được viết lại là y = t − 3m + 4 với t ∈ [ 0;1] suy ra
A = max t − 3m + 4 = max { −3m + 4 , 5 − 3m + } ≥
[0,1]

−3m + 4 + 5 − 3m
2

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có
−3m + 4 + 5 − 3m = 3m − 4 + 5 − 3m ≥ 1
Do đó A ≥

1
3
. Đẳng thức xảy ra m = .
2
2

Vậy giá trị cần tìm là m =

3
.
2

Email:
Câu 12. Gọi A, B là hai giao điểm

(P ) :y = - x

2

( d) : y = - 3x + 9 và parabol
+ 2x + 3 . Gọi điểm K ( a,b) thuộc trục đối xứng của ( P ) sao cho K A + K B

nhỏ nhất. Tính a + b .
A. 1.

B. 2.

của

đường

thẳng

C. 3.

D. 4.

Lời giải
Họ và tên tác giả: Trần Đức Phương Tên FB: Phuong Tran Duc
Chọn C

Tọa độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của hệ phương trình:
 x = 2

 y = −3x + 9
 y = −3x + 9
 y = 3
⇔
⇔


2
2
 x = 3
 y = − x + 2 x + 3 − x + 5 x − 6 = 0

  y = 0

Suy ra: A ( 2;3) , B ( 3;0 )
Hoành độ hai điểm A, B cùng lớn hơn 1 nên chúng nằm cùng phía so với trục đối xứng x = 1 .
Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua trục đối xứng x = 1 . Khi đó: A ' ( 0;3) .
Ta có: KA + KB = KA '+ KB ≥ A ' B . Suy ra KA + KB nhỏ nhất khi dấu bằng xảy ra. Lúc đó
K , A ', B thẳng hàng, tức là K là giao điểm của A ' B với trục đối xứng x = 1 .
Phương trình đường thẳng A ' B : y = − x + 3
Trang 6/11 - Mã đề thi 483

Điểm K ( 1; 2 )
Vậy: a + b = 3
Email:

(

)

2
2
2
Câu 13. Cho 2 số x,y thỏa mãn ( x + 2 y ) ( sin x + cos x ) + sin 2 x = 5 5 x + y . Khi đó giá trị của
4

biểu thức P = sin 2 x + cos y có giá trị bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 1
C. 2

D. 3

Lời giải
Họ và tên tác giả : Nguyễn Minh Tuấn Tên FB: Minh Tuấn
Chọn B
Theo bất đẳng Cauchy – Schwarz ta có x + 2 y ≤ 5 ( x 2 + y 2 )
x y
 y = 2x
 =

⇔
Dấu “=” xảy ra khi  1 2
x ≥ 0
 x + 2 y ≥ 0
4


π 
4

( sin x + cos x ) =  2 sin  x + ÷÷ ≤ 4
4
⇒ ( sin x + cos x ) + sin 2 2 x ≤ 5
4 
Mặt khác ta lại có 


 2
sin 2 x ≤ 1

(

Vì x + 2 y ≤ 5 x 2 + y 2

(

)

)

⇒ ( x + 2 y ) ( sin x + cos x ) + sin 2 2 x ≤ 5 ( x 2 + y 2 )
4

( ( sin x + cos x )

4

+ sin 2 2 x

)

≤ 5 5 ( x 2 + y 2 ) . Nên VT ≤ VP , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

π

 y = 2 x, x ≥ 0
x = + kπ ( k ∈ Z , k ≥ 0 )



4
⇒ sin 2 x + cos y = 1 ⇒ chọn B
 sin x + cos x = 2 ⇔ 
cos 2 x = 0
 y = π + k 2π ( k ∈ Z , k ≥ 0 )


2
Email:
Câu 14. Biết rằng hàm số y = ax 2 + bx + c (a,b,c là các số thực) đạt giá trị lớn nhất bằng

1
3
tại x = và
4
2

tổng lập phương các nghiệm của phương trình y = 0 bằng 9. Tính P = abc.
A. P = 0.
B. P = 6.
C. P = 7.
D. P = −6.
Họ và tên tác giả :Nguyễn Quang Huy(Sưu tầm ) Tên FB: Nguyễn Quang Huy
Lời giải
Hàm số y = ax 2 + bx + c đạt giá trị lớn nhất bằng

1
3
tại x =
4
2

 b 3
=
9
3
1
−
3 1
nên ta có  2a 2 và điểm  ; ÷ thuộc đồ thị ⇒ a + b + c = .

4
2
4
2 4
 a < 0
Để phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thì b 2 − 4ac ≥ 0
3
3
Khi đó giả sử x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình y = 0 . Theo giả thiết: x1 + x2 = 9

Trang 7/11 - Mã đề thi 483


3

3
 b
 b  c 
Viet
⇔ ( x1 + x2 ) − 3 x1 x2 ( x1 + x2 ) = 9 

→  − ÷ − 3  − ÷ ÷ = 9 .
 a
 a  a 

 b 3

=
−
b = −3a

 2a 2
 a = −1

9
3
1
3
1
9

⇔  a + b + c = ⇔ b = 3 
→ P = abc = 6.
Từ đó ta có hệ  a + b + c =
2
4
2
4
4
4
 c = −2

 b 3  b  c 
c
=
2
−
−
3
−
=

9

 a
÷

÷ ÷
 a  a 
 a 
Chọn B
Email:
Câu 15. Có hai giá trị của tham số m để cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = f ( x ) = x 2 + ( 2m + 1) x + m 2 − 1

[ ]

Trên đoạn 0;1 bằng 1. Tổng của hai giá trị của m đó là :
A. 2 .

B.

2.

C.

2 −2.

D. 2 − 2 .

Lời giải

Họ và tên tác giả : Huỳnh Kim Linh Tên FB: Huỳnh Kim Linh
Chọn C
Xét 3 trường hợp
TH1: 0 ≤ −

5
9
2m + 1
 2m + 1 
≤ 1 , suy ra GTNN = f  −
÷ = −m − = 1 ⇔ m = − (loại)
2 
4
4
2


2m + 1
< 0 ⇒ GTNN = f ( 0 ) = m 2 − 1 = 1 ⇒ m = 2
2
2m + 1
2
TH3: −
> 1 ⇒ GTNN = f ( 1) = ( m + 1) = 1 ⇒ m = −2
2
TH2: −

Tóm lại m = −2; m =
Chọn C :

2.

2 −2

Email:
Email:
Câu 16. Tìm các giá trị của tham số m để cho giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = f ( x ) = x 2 + ( 2m + 1) x + m 2 − 1
Trên đoạn

[ 0;1]

bằng 1.

A. m = 2 .

B. m = 2 .

m = 2
C. 
.
 m = −2

m = − 2
D. 
.
m = 2

Lời giải

Họ và tên tác giả : Huỳnh Kim Linh Tên FB: Huỳnh Kim Linh
Chọn C
Xét 3 trường hợp
Trang 8/11 - Mã đề thi 483


TH1: 0 ≤ −
(loại)

5
9
2m + 1
1
 2m + 1 
≤ 1 ⇔ −1 ≤ m ≤ − , suy ra GTNN f  −
÷ = −m − = 1 ⇔ m = −
2 
4
4
2

2

TH2: −

2m + 1
1
< 0 ⇔ m > − suy ra GTNN f ( 0 ) = m 2 − 1 = 1 ⇒ m =
2
2

TH3: −

2m + 1
> 1 ⇔ m < −1 , suy ra GTNN f ( 1) = ( m + 1) 2 = 1 ⇒ m = −2
2

Vậy

2.

m = −2; m = 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Gmail:
1

2
y = y1 ; min y = y2 . Có bao nhiêu giá trị
Câu 17. Cho hàm số y = x − 2  m + ÷+ m , m ≠ 0 . Đặt min
[ −1;1]
[ −1;1]
m


cuả m thỏa mãn y2 − y1 = 10 .
A. 0 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4
Lời giải

Có đỉnh I : xI = m +

1
1
1
1
1
≥ 2 nên m + ≥ 2 hoặc m + ≤ −2 .
, mà xI = m + = m +
m
m
m
m
m


1
1



Do đó y1 , y2 ∈  y ( 1) = 1 − 2  m + ÷+ m; y ( −1) = 1 + 2  m + ÷+ m  . Yêu cầu bài toán tương
m
m




đương với
1 5


m+ =

1
1 1


m 2
y2 − y1 = 10 ⇔ 4  m + ÷ = 10 ⇔ 
⇔ m ∈ 2; −2; ; −  . Chọn D
2 2
m


m + 1 = − 5

m
2
Người soạn: Lưu Thị Liên
Câu 18. Cho x, y là các số thực

thỏa

mãn

2 ( x 2 + y 2 ) = xy + 1 .

Giá

trị

lớn

nhất

của

P = 3 ( x 4 + y 4 ) + 5 x 2 y 2 là

A. 3 .

B. 2 .

C.

11
.
9

D.

11
.
10

Lời giải
Chọn C .

4
4

2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
Ta có P = 3 ( x + y ) + 5 x y = 3 ( x + y ) − 2 x y  + 5 x y = 3 ( x + y ) − x y


2
xy + 1
1
3
3
 xy + 1 
2
2
x
+
y
=
Vì
nên P = 3 
− x 2 y 2 = − x 2 y 2 + xy +
÷
2
4
2

4
 2 

2 ( x 2 + y 2 ) = xy + 1
1
⇒ xy + 1 ≥ 4 xy ⇒ xy ≤
 2
2
3
 x + y ≥ 2 xy
Mặt khác

2
1
2 ( x 2 + y 2 ) = xy + 1 ⇔ 2 ( x + y ) − 2 xy  = xy + 1 ⇔ 2( x + y ) 2 = 5 xy + 1 ⇒ 5 xy + 1 ≥ 0 ⇒ xy ≥ −


5

1 2 3 3
1
1
Đặt t = xy ta có P = − t + t + với − ≤ t ≤
4
2 4
5
3

Trang 9/11 - Mã đề thi 483

11
1
max
P
=
t
=
Kết luận:  1 1 
Khi
9
3
− ; 
 5 3

Email:
FB: Lưu Liên
Email:
2
Câu 19. Tham số a thỏa mãn giá trị lớn nhất của hàm số y = 3 x − 6 x + 2a − 1 với −2 ≤ x ≤ 3 đạt giá trị
nhỏ nhất. Giá trị tham số a thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?
B. ( −5;0) .

A. ( −10; −5 ) .

C. ( 0;5 ) .

D. ( 5;10 ) .

Họ và tên tác giả :Tăng Duy Hùng Tên FB:Hùng Tăng

Lời giải
Chọn B
2
Đặt f ( x ) = 3x − 6 x + 2a − 1 . Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) với −2 ≤ x ≤ 3

Ta có: 2 M ≥ f ( −2 ) + f ( 1) ≥ f ( −2 ) − f ( 1) = 27 ⇒ M ≥

27
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
2

27

27

f
−
2
=
−
f
1
=
(
)
(
)

f
−

2
=
f
1
=
M
=
( )
 ( )
2 ⇔ a = −19
2 ⇔

4
 f ( −2 ) = − f ( 1) = −27
 f ( −2 ) . ( − f ( 1) ) ≥ 0


2
Vậy a =

−19
thỏa mãn bài toán . Chọn B
4

Email:
2
Câu 20. Cho hàm số: f ( x ) = ax + bx + 2 ( a > 0 ) . Biết rằng hàm số đồng biến trên ( −1; +∞ ) . Khi đó giá
trị lớn nhất của biểu thức P =
A. 4.

B.

8a 2
là:
3a 2 + 2ab + b 2

8
.
11

C.

8
.
3

D.

4
.
3

Lời giải
Họ và tên tác giả : Hoàng Gia Hứng Tên FB: Hoàng Gia Hứng
Chọn B
Do a > 0 nên hàm số đồng biến trên ( −1; +∞ ) thì:

Khi đó :

P=

−b
b
≤ −1 ⇔ ≥ 2
2a
a

8a 2
8
8
=
= 2
b
2
2
2
3a + 2ab + b
t + 2t + 3 với t = ≥ 2
b
b
a
 ÷ +2 +3
a
a

Ta có t 2 + 2t + 3 = ( t + 1) + 2 ≥ 11, ∀t ≥ 2 . Dấu ‘=” xảy ra khi t = 2
2

Do đó : P ≤

8
8
b
. Suy ra maxP=
khi = 2 . Chọn B
11
11
a

Email:

Trang 10/11 - Mã đề thi 483


f ( x ) = ax 2 + bx + c

Câu 21. Đặt

và

g ( x) = cx 2 + bx + a ,

giả

sử

| f ( x) |≤ 1, ∀x ∈ [ −1;1] .

Tính

M = max g ( x) .
[ −1;1]

A. M = −2 .

B. M = 2 .

C. M = 1 .

D. M = −1 .

Lời giải
Họ và tên tác giả: Lê Anh Dũng Tên FB: facebook.com/leanhdung82
Chọn B
Chọn x = −1, 0,1 và đặt:
A+ B

a = 2 − C
 A = f (1) = a + b + c

A− B


và | A |≤ 1,| B |≤ 1,| C |≤ 1 .
 B = f (−1) = a − b + c ⇒ b =
2
C = f (0) = c


c = C



2
Nên g ( x) = Cx +

A− B
A+ B
1
1
x+
− C = C ( x 2 − 1) + A( x + 1) + B (1 − x ) .
2
2
2
2

Suy ra
1
1
| g ( x ) | ≤| C ( x 2 − 1) | + | A( x + 1) | + | B(1 − x) |
2
2
1
1
≤| x 2 − 1| + | x + 1| + |1 − x |
2
2
1
1
= 1 − x 2 + (1 + x) + (1 − x) = 2 − x 2 ≤ 2, ∀x ∈ [−1;1].

2
2
Ta thấy hàm số f ( x ) = 2 x 2 − 1 ⇒ g ( x ) = − x 2 + 2 là một hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán.
g ( x) = 2 .
Vậy max
[ −1;1]

Trang 11/11 - Mã đề thi 483