Tổ-11-Đ2-Đề-Thi-HSG-Toán-12-Tỉnh-Vĩnh-Phúc-Năm-2018-2019

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TỈNH VĨNH PHÚC
NĂM HỌC 2018 – 2019
Mơn: Tốn Lớp: 12

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN LỚP 12
TỈNH VĨNH PHÚC- NĂM 2018-2019
Câu 1:

Cho hàm số

( C)

y = x 4 − 14 x 2 + 20 x + 4

có đồ thị
. Viết phương trình tiếp tuyến của
∆ : y = −4 x + 15
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
.

( C)

Lời giải
Tác giả: Hoa Mùi ; Fb: Hoa Mùi
Ta có:
Gọi

y = x 4 − 14 x 2 + 20 x + 4 ⇒ y′ = 4 x 3 − 28 x + 20

M ( x0 ; y0 )

là tiếp điểm.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng

⇒

.

hệ số góc của tiếp tuyến là:

∆ : y = −4 x + 15

ktt = −4 ⇔ y′ ( x0 ) = −4

 x0 = 1 ⇒ y0 = 11

y′ ( x0 ) = −4 ⇔ 4 x − 28 x0 + 20 = −4 ⇔ 4 x − 28 x0 + 24 = 0 ⇔  x0 = 2 ⇒ y0 = 4
 x0 = −3 ⇒ y0 = −101
3
0

Phương trình tiếp tuyến tại
Phương trình tiếp tuyến tại
Phương trình tiếp tuyến tại

3
0

M 1 ( 1;11)
M 2 ( 2; 4 )

Giải phương trình

là:

M 3 ( −3; −101)

Vậy các tiếp tuyến thỏa yêu cầu là:
Câu 2:

là:

y = −4 ( x − 1) + 11 = −4 x + 15
y = −4 ( x − 2 ) + 4 = −4 x + 12

là:

.

(loại)
(nhận)

y = −4 ( x + 3) − 101 = −4 x − 113

(nhận)

y = −4 x + 12 y = −4 x − 113
,
.

( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) + sin x = sin 2 x

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tường Lĩnh; Fb: Khoisx Bvkk
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

Ta có:

( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) + sin x = sin 2 x
⇔ ( 2cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x
⇔ ( 2 cos x − 1) ( 2sin x + cos x ) = sin x ( 2 cos x − 1)
⇔ ( 2 cos x − 1) ( sin x + cos x ) = 0
π

 x = 3 + k 2π


π
⇔  x = − + k 2π

1

3
cos x =
 2 cos x − 1 = 0


⇔
⇔
2
 x = − π + kπ
cos x + sin x = 0  tan x = −1

4


Vậy tập nghiệm của phương trình là:

Câu 3.

π

 x = 3 + k 2π

 x = − π + k 2π

3


 x = − π + kπ

4

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
( −1; +∞ )
biến trên khoảng
.

m

( k ∈¢)
.
y=

để hàm số

4 3 3
x + ( m + 1) x 2 + 3mx − m 2
3
2

đồng

Lời giải
Tác giả: Hoàng Văn Lâm; Fb: LamHoang
Tập xác định:

D=¡

y′ = 4 x 2 + 3 ( m + 1) x + 3m

.

y′ ≥ 0 ∀x ∈ ( −1; +∞ ) ⇔ 4 x 2 + 3 ( m + 1) x + 3m ≥ 0 ∀x ∈ ( −1; +∞ )

Với

x + 1 > 0, ∀ x ∈ ( −1; +∞ ) ⇒ −3m ≤

4 x 2 + 3x
∀x ∈ ( −1; +∞ )
x +1

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Xét hàm

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

4 x2 + 8x + 3
4 x 2 + 3x
′( x) =
⇒

f
2
f ( x) =
∀x ∈ ( −1; +∞ )
( x + 1)
x +1

1

x = − (tm)

2
⇔ f ′ ( x ) = 0 ⇔ 4 x 2 + 8x + 3 = 0 ⇔ 
 x = − 3 (l )

2

Bảng biến thiên

−3m ≤ −1 ⇔ m ≥
Vậy
Câu 4.

1
3

.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
cực trị

m

y = x3 − 3 x 2 + m − 2

để hàm số

có đúng năm điểm

Lời giải
Tác giả: Huỳnh Anh Kiệt ; Fb: Huỳnh Kiệt
y = x3 − 3 x 2 + m − 2

Hàm số
y = x3 − 3x 2 + m − 2

có đúng năm điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số

3
cắt trục hoành tại điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
x3 − 3 x 2 + m − 2 = 0 ( 1)
3
có nghiệm phân biệt.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Ta có

( 1) ⇔ x3 − 3x 2 = 2 − m

f ( x) = x − 3x
3

Xét hàm số

2

ta có

x = 0
f ′ ( x) = 3x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
x = 2

Từ bảng biến thiên ta có phương trình
−4 < 2 − m < 0 ⇔ 2 < m < 6
.

Câu 5.

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

( un )

Cho dãy số

có số hạng tổng quát

H = 2019.e .e ...e
u1

u2

( 1)

có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi


1 
un = ln 1 −
2
 ( n + 1) 

,

( n∈¥ )

. Tìm giá trị của biểu thức

u2018

Lời giải
Tác giả: Lê Ngọc Hùng ; Fb: Hung Le

Ta có:


n ( n + 2)
1 
un = ln 1 −
= ln
2
2
( n + 1)
 ( n + 1) 

.

Do đó
n

n

∑ uk = ln ∏
i =1

k =1

k ( k + 2)

( k + 1)

2

= ln

1.2.3...n. ( 1 + 2 ) . ( 2 + 2 ) ... ( n + 2 )
2 .3 ... ( n + 1)
2

2

2

2018

H = 2019.e .e ...e
u1

u2

u2018

= 2019.e

∑ uk
k =1

= 2019.e

ln

2018 + 2
2( 2018+1)

= ln

n!( n + 2 ) !
( n + 1) ! .2!

= 2019.

Suy ra
Câu 6.

2

= ln

n+2
2 ( n + 1)

2020
= 1010
2.2019

.

.

10
12
11
Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp
, ba học sinh lớp
và ba học sinh lớp

ngồi
10
10
1
vào một hàng ngang gồm
ghế được đánh số từ đến . Tính xác suất để khơng có hai học
12
sinh lớp
ngồi cạnh nhau.

Lời giải
Tác giả: Hoàng Minh Thành ; Fb: Hoàng Minh Thành

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Số cách xếp bất kỳ
Gọi

A

10

học sinh là:

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

n(Ω) = 10!

là biến cố "Khơng có hai học sinh lớp

12

ngồi cạnh nhau"

10
6!
6
7
11
học sinh gồm lớp
và lớp
là : . Vì học sinh được xếp ở trên tạo ra
5
7
2
2
4
khoảng trống ( khoảng giữa học sinh và khoảng ở vị trí hai đầu) nên chọn trong vị
A74
4
12
trí đó để xếp học sinh lớp
có
cách

Số cách xếp

Suy ra :

6

n( A) = 6!. A74

Xác suất của biến cố

A

P( A) =
là :

n( A) 1
=
n (Ω ) 6

Vậy xác suất để khơng có hai học sinh lớp
Câu 7.

12

ngồi cạnh nhau là:

1
6

.

Ax, By

AB
Cho hai đường thẳng
chéo nhau, vng góc và nhận đoạn
làm đoạn vng góc
M,N
Ax, By
AM + BN = MN
O
chung. Hai điểm
lần lượt di động trên
sao cho
. Gọi
là trung
OMN
O
AB
điểm của đoạn
. Chứng minh tam giác
là tam giác tù và khoảng cách từ
đến
M,N
Ax, By
MN
đường thẳng
không đổi khi
di động trên
.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Vũ; Fb: Nguyễn Trần Vũ

Dựng hình chữ nhật

ABPM

.

Ta có:

MP / / AB

mà

 AB ⊥ BN
⇒ MP ⊥ NP

AB
⊥
BP


Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

 BN ⊥ AB
⇒ BN ⊥ ( ABPM ) ⇒ BN ⊥ BP

BN
⊥
AM

Do đó:

MN 2 = MP 2 + NP 2 = MP 2 + BP 2 + BN 2 = AB 2 + AM 2 + BN 2

Theo đề bài ta có

MN = AM + BN ⇒ MN 2 = AM 2 + BN 2 + 2 AM .BM

AM .BN =
Suy ra:

AB
2

Áp dụng hệ quả định lí cơsin cho tam giác

OM + ON − MN
·
cos MON
=
2OM .ON

2

2

2

OMN

uuu
r uuuu
r

, ta có:
uuur uuur

( OA + AM ) + ( OB + BN )
=
2

2

− ( AM + BN )

2

2OM .ON

uuu
r uuuur
uuur uuur

OA2 + 2OA. AM + AM 2 + OB 2 + 2OB.BN + BN 2 − AM 2 − 2 AM .BN − BN 2
=
2OM .ON
AB 2
AB 2
− 2.
2
OA + OB − 2 AM .BN
2 = − AB
=
= 2
<0
2OM .ON
2OM .ON
4OM .ON
2

·
⇒ MON

2

là góc tù

⇒

OH ⊥ MN , ( H ∈ MN )

Kẻ

Trên tia đối của tia

Ax

Q

sao cho

AQ = BN

MN = AM + BN = AM + AQ = MQ ⇒ ∆OMQ = ∆OMN ( c − c − c ) ⇒ OA = OH
d ( O, MN ) = OH =

Vậy
Câu 8.

lấy điểm

∆OAQ = ∆OBN ( c − g − c ) ⇒ OQ = ON

Do
Vì

(đpcm).

Cho tứ diện
cho

ABCD

AB
2

khơng đổi.

và các điểm

M , N, P

BD = 2 BM , BC = 4 BN , AC = 3 AP

tích của hai phần của khối tứ diện

lần lượt là các điểm thuộc các cạnh

. mặt phẳng

ABCD

( MNP )

cắt bởi mặt phẳng

cắt

AD

( MNP )

tại điểm

BD, BC , AC

Q

. Tính tỉ số thể

.

Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

sao

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

Tác giả: Hồ Thanh Nhân; Fb:NhanHoThanh

Trong mặt phẳng
⇒ AD

( BCD )

cắt mặt phẳng

I

gọi

( MNP )

là giao điểm của

tại

Q

CD Q
IP
AD
và
,
là giao điểm của
và
.

.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác
NB IC MD
IC
. .
=1⇒
=3
NC ID MB

ID

MN

BCD

N, M , I

có ba điểm

thẳng hàng.

.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác

ACD

có ba điểm

P, I , Q

thẳng hàng.

PA IC QD
QD 2
. .
= 1⇒
=
PC ID QA

QA 3
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác

ICN

có ba điểm

D, M ,P

thẳng hàng.

DC MI BN
MI
.
.
=1⇒
=2
DI MN BC
MN

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác

DC QI AP
IQ 3
.
.
= 1⇒
=
DI QP AC
QP 2

IPC

có ba điểm

D, Q , A

thẳng hàng.

.

Áp dụng cơng thức tính tỉ số thể tích ta có:

VIMQD
VINPC

=

IQ IM ID 3 2 1 2
.
.
= . . =
IP IN IC 5 3 3 15

VINPC CN CP 3 2 1
=
.
= . =
VABCI CP CA 4 3 2

( 1)

( 2)
;

VABCI
CI 3
=
=
VABCD CD 2

( 3)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

⇒
Từ (1),(2) và (3)

⇒

Câu 9.

VCDMNPQ
VABCD

=

VIMQD

VINPC 3
= ,
VABCD 4

VABCD

3 2 1
= . =
4 15 10

V
7
3 1 13 VABMNPQ
13 7
⇒ ABMNPQ =
− =
⇒
= 1−
=
VCDMNPQ 13
4 10 20
VABCD
20 20

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
tam giác

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

ABD

Oxy

ABCD

, cho hình vng
BG

A

.

, điểm

G ( 3;3)

BD

. Đường thẳng đi qua
vng góc với
và cắt
tại điểm
ABCD
A
tọa độ các đỉnh của hình vng
biết rằng đỉnh

có tung độ lớn hơn 1.

là trọng tâm
E ( 1;3)

. Tìm

Lời giải
Tác giả: Thành Lê; Fb: Thành Lê

Gọi
GE

M

là trung điểm của cạnh
AB
và
.

AD H
AE
BM K
,
là giao điểm của
và
,
là giao điểm của

AG ⊥ BE

AC ⊥ BD
BG ⊥ AE
G
ABE ⇒ GE ⊥ AB
Vì
(do
) và
(gt) nên
là trực tâm tam giác
,
GE // AD
.

KG BG
=
AM BM

Ta có

Suy ra

⇒G

AB

Vì

KG GE
=
AM MD

do

KG // AM

, mà

là trung điểm của

đi qua

K (5;3)

và

GE BG
=
MD BM

GE // MD

AM = MD ⇒ KG = GE

 x = 2 xG − xE
KE ⇒  K
⇒ K (5;3)
 yK = 2 yG − yE

và có một véctơ pháp tuyến

A ∈ AB ⇒ A(5; y A )

do

với

yA > 1

. Mặt khác

.

uuur
EG = ( 2;0 ) ⇒ AB : x − 5 = 0

·
KAG
= 45° ⇒ ∆AKG

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

.

vng cân nên

KA = KG

Trang 8 Mã đề X

.

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

y = 5
2
⇒ ( y A − 3) = 4 ⇒  A
 yA = 1

Ta có

, mà

yA > 1

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

nên

A ( 5;5)

uuur
uuur  x − 5 = −6
AC = 3 AG ⇒  C
⇒ C ( −1; −1)
 yC − 5 = −6

uuur
uuur  x − 5 = −6
AD = 3GE ⇒  D

⇒ D ( −1;5 )
 yD − 5 = 0
uuu
r uuur  x − 5 = 0
AB = DC ⇒  B
⇒ B ( 5; −1)
 yB − 5 = −6

Câu 10. Cho ba số thực

x, y , z

P=
nhỏ nhất của biểu thức

2

.

.

.

thuộc khoảng
2

.

( 0;3)

thỏa mãn

 2  3  4 
 − 1÷ − 1÷ − 1÷ = 1.
 x  y  z 

Tìm giá trị

2

x
y
z
+ + .
4 9 16
Lời giải
Tác giả: Dương Quang Hưng ; Fb: Dương Quang Hưng

Đặt:

x
y
z
a= ,b= , c= .
2
3
4

 3
 3

a ∈  0; ÷, b ∈ ( 0;1) , c ∈  0; ÷
 2
 4

Khi đó ta có
P = a 2 + b2 + c2 .

Từ:

, thỏa mãn

 1  1  1 
 − 1÷ − 1÷ − 1÷ = 1
 a  b  c 

 1  1  1 
 − 1÷ − 1 ÷ − 1÷ = 1 ⇒ ab + bc + ca = 2abc + a + b + c − 1
 a  b  c 

và

.

3

Ta có:

 a +b+c 

÷ ≥ abc

3



.

P = ( a + b + c ) − 2 ( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) − 2 ( a + b + c ) − 4abc + 2
2

Do đó:
≥−

Đặt

2

4
3
2
( a + b + c) + ( a + b + c) − 2( a + b + c) + 2
27
 13 
t = a + b + c, t ∈  0; ÷
 4

P≥−
. Khi đó:

4 3 2
t + t − 2t + 2

27

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 9 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

f ( t) = −
Xét hàm số

Ta có:

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

4 3 2
 13 
t + t − 2t + 2, t ∈  0; ÷
27
 4

4
f ′ ( t ) = − t 2 + 2t − 2
9

f ′( t ) = 0 ⇔ t =
;

3
2

hoặc

t =3

.

Bảng biến thiên:

t

3
2

0

f ′( t )

+

13
4

3
−

0

0

+

2
1

3
4

Từ bảng biến thiên suy ra
t=
Khi

3
2

a=b=c=
ta được:

min P =
Do đó:

3
f ( t ) ≥ , ∀t ∈ ( 0;3)
4
1
2

suy ra

211
216
t=

. Dấu bằng xảy ra khi

3
2

.

3
x = 1, y = , z = 2.
2

3
3
⇔ x = 1, y = , z = 2.
4
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10 Mã đề X