Tổ 11 đ2 đề thi HSG toán 12 tỉnh vĩnh phúc năm 2018 2019

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TỈNH VĨNH PHÚC
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn: Toán Lớp: 12

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12
TỈNH VĨNH PHÚC- NĂM 2018-2019
Câu 1:

4
2
 C  . Viết phương trình tiếp tuyến của  C 
Cho hàm số y  x  14 x  20 x  4 có đồ thị
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  : y  4 x  15 .

Lời giải
Tác giả: Hoa Mùi ; Fb: Hoa Mùi
4
2
 4 x 3  28 x  20 .
Ta có: y  x  14 x  20 x  4 � y�

Gọi

M  x0 ; y0 

là tiếp điểm.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : y  4 x  15

 x0   4
� hệ số góc của tiếp tuyến là: ktt  4 � y�
x0  1 � y0  11
�
�
y�
 x0   4 � 4 x03  28 x0  20  4 � 4 x03  28 x0  24  0 � �x0  2 � y0  4
�
x0  3 � y0  101
�
Phương trình tiếp tuyến tại

M 1  1;11

là:

y  4  x  1  11  4 x  15

(loại)

Phương trình tiếp tuyến tại

M 2  2; 4 

là:

y  4  x  2   4  4 x  12

(nhận)

Phương trình tiếp tuyến tại

M 3  3; 101

là:

y  4  x  3  101  4 x  113

.

(nhận)

Vậy các tiếp tuyến thỏa yêu cầu là: y  4 x  12 , y  4 x  113 .
Câu 2:

Giải phương trình

 2 cos x  1  2sin x  cos x   sin x  sin 2 x .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Tường Lĩnh; Fb: Khoisx Bvkk

Ta có:

 2 cos x  1  2sin x  cos x   sin x  sin 2 x
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

�  2cos x  1  2sin x  cos x   sin 2 x  sin x
�  2 cos x  1  2sin x  cos x   sin x  2 cos x  1
�  2 cos x  1  sin x  cos x   0
� 
x   k 2
�
3
�

��
x    k 2
�
1
�
3
2 cos x  1  0
cos x 
�
�
��
��
2

�

x    k
cos x  sin x  0 �
�
tan
x


1
4
�
�
� 
x   k 2
�
3
�

�
x    k 2
�
3
�

�
x    k
4
Vậy tập nghiệm của phương trình là: �

Câu 3.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
1; �
biến trên khoảng 
.

 k ��
.
y

4 3 3
x   m  1 x 2  3mx  m 2
3
2
đồng

Lời giải
Tác giả: Hoàng Văn Lâm; Fb: LamHoang
Tập xác định: D  �
y�
 4 x 2  3  m  1 x  3m

.

y�
�0 x � 1; � � 4 x 2  3  m  1 x  3m �0 x � 1; �

4 x 2  3x
x  1  0,  x � 1; � � 3m � x  1 x � 1; �
Với
4 x2  8x  3

4 x 2  3x
�
f  x 
x � 1; � � f  x    x  1 2
x 1
Xét hàm
1
�
x   (tm)
�
� f�
 x   0 � 4 x 2  8x  3  0 � � 2
3
�
x   (l )
�
2
Bảng biến thiên

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Vậy
Câu 4.

3�

m۳ 1

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

1
3.

m

y  x3  3 x 2  m  2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
có đúng năm điểm
cực trị

Lời giải
Tác giả: Huỳnh Anh Kiệt ; Fb: Huỳnh Kiệt
y  x3  3 x 2  m  2
Hàm số
có đúng năm điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
3
2
y  x  3 x  m  2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
x3  3 x 2  m  2  0  1

Ta có

có 3 nghiệm phân biệt.

 1 � x3  3x 2  2  m

x0
�
f �( x)  3x 2  6 x  0 � �
x2
�
Xét hàm số f ( x)  x  3x ta có
3

2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Từ bảng biến thiên ta có phương trình
4  2  m  0 � 2  m  6 .

Câu 5.

 1

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

�
1 �

un  ln �
1
2�
un 
n  1 �


�
�
�,  n �� . Tìm giá trị của biểu thức
Cho dãy số
có số hạng tổng quát
H  2019.eu1 .eu2 ...eu2018
Lời giải
Tác giả: Lê Ngọc Hùng ; Fb: Hung Le
�
1 � n  n  2
un  ln �
1
 ln
2�
2
n

1
n  1



�

�
�
�
Ta có:
.
Do đó
n
k  k  2
1.2.3...n.  1  2  .  2  2  ...  n  2 
n! n  2  !
n2
u

ln
 ln

ln

ln
�
�
k
2
2
2
2  n  1
22.32...  n  1
i 1
k 1  k  1
�

 n  1 !�
�
�.2!
n

2018

H  2019.e .e ...e
u1

Suy ra
Câu 6.

u2

u2018

 2019.e

�uk
k 1

 2019.e

ln

2018  2
2 20181

 2019.

.

2020
 1010
2.2019
.

Xếp mười học sinh gồm bốn học sinh lớp 12 , ba học sinh lớp 11 và ba học sinh lớp 10 ngồi
vào một hàng ngang gồm 10 ghế được đánh số từ 1 đến 10 . Tính xác suất để không có hai học
sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau.
Lời giải
Tác giả: Hoàng Minh Thành ; Fb: Hoàng Minh Thành
Số cách xếp bất kỳ 10 học sinh là: n()  10!
Gọi A là biến cố "Không có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau"
Số cách xếp 6 học sinh gồm lớp 11 và lớp 10 là : 6! . Vì 6 học sinh được xếp ở trên tạo ra 7
khoảng trống ( 5 khoảng giữa 2 học sinh và 2 khoảng ở vị trí hai đầu) nên chọn 4 trong 7 vị
4
trí đó để xếp 4 học sinh lớp 12 có A7 cách
4
Suy ra : n( A)  6!. A7

Xác suất của biến cố A là :

P( A) 

n( A) 1

n ( ) 6

1
Vậy xác suất để không có hai học sinh lớp 12 ngồi cạnh nhau là: 6 .
Câu 7.

Cho hai đường thẳng Ax, By chéo nhau, vuông góc và nhận đoạn AB làm đoạn vuông góc
chung. Hai điểm M , N lần lượt di động trên Ax, By sao cho AM  BN  MN . Gọi O là trung

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

điểm của đoạn AB . Chứng minh tam giác OMN là tam giác tù và khoảng cách từ O đến
đường thẳng MN không đổi khi M , N di động trên Ax, By .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Vũ; Fb: Nguyễn Trần Vũ

Dựng hình chữ nhật ABPM .
Ta có:

�AB  BN
� MP  NP
�
MP / / AB mà �AB  BP
�BN  AB
� BN  ( ABPM ) � BN  BP

�
�BN  AM
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Do đó: MN  MP  NP  MP  BP  BN  AB  AM  BN
2
2
2
Theo đề bài ta có MN  AM  BN � MN  AM  BN  2 AM .BM

Suy ra:

AM .BN 

AB
2

Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác OMN , ta có:
uuu
r uuuu
r

uuu

r uuur

 OA  AM    OB  BN 

2

2

  AM  BN 
OM  ON  MN
�
cos MON

2OM .ON
2OM .ON
uuu
r uuuur
uuur uuur
OA2  2OA. AM  AM 2  OB 2  2OB.BN  BN 2  AM 2  2 AM .BN  BN 2

2OM .ON
2

2

2

2

AB 2

AB 2
 2.
2
OA  OB  2 AM .BN
2   AB

 2
0
2OM .ON
2OM .ON
4OM .ON
2

2

�
� MON
là góc tù � (đpcm).
Kẻ

OH  MN ,  H �MN 

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

Trên tia đối của tia Ax lấy điểm Q sao cho AQ  BN
Do

OAQ  OBN  c  g  c  � OQ  ON

� OMQ  OMN  c  c  c  � OA  OH
Vì MN  AM  BN  AM  AQ  MQ
Vậy
Câu 8.

d  O, MN   OH 

AB
2 không đổi.

Cho tứ diện ABCD và các điểm M , N , P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh BD, BC , AC sao
MNP 
cho BD  2 BM , BC  4 BN , AC  3 AP . mặt phẳng 
cắt AD tại điểm Q . Tính tỉ số thể
MNP 
tích của hai phần của khối tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng 
.

Lời giải
Tác giả: Hồ Thanh Nhân; Fb:NhanHoThanh

Trong mặt phẳng

 BCD 

gọi I là giao điểm của MN và CD , Q là giao điểm của IP và AD .

� AD cắt mặt phẳng  MNP  tại Q .

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD có ba điểm N , M , I thẳng hàng.
NB IC MD
IC
. .
1�
3
NC ID MB
ID
.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD có ba điểm P, I , Q thẳng hàng.

PA IC QD
QD 2
. .
 1�

PC ID QA
QA 3
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ICN có ba điểm D, M ,P thẳng hàng.
DC MI BN
MI
.
.
1�
2

DI MN BC
MN
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IPC có ba điểm D, Q, A thẳng hàng.

DC QI AP
IQ 3
.
.
1�

DI QP AC
QP 2 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích ta có:

VIMQD
VINPC



IQ IM ID 3 2 1 2
.

.
 . . 
IP IN IC 5 3 3 15

VINPC CN CP 3 2 1

.
 . 
VABCI CP CA 4 3 2

�
Từ (1),(2) và (3)

�

Câu 9.

VCDMNPQ
VABCD



 2

VINPC 3
 ,
VABCD 4

 1
VABCI

CI 3


V
CD
2
ABCD
;

VIMQD
VABCD

 3

3 2 1
 . 
4 15 10

V
7
3 1 13 VABMNPQ
13 7
� ABMNPQ 
 
�
 1

VCDMNPQ 13
4 10 20
VABCD

20 20
.

G  3;3
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm
là trọng tâm
E  1;3
tam giác ABD . Đường thẳng đi qua A vuông góc với BG và cắt BD tại điểm
. Tìm
tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A có tung độ lớn hơn 1.
Lời giải
Tác giả: Thành Lê; Fb: Thành Lê

Gọi M là trung điểm của cạnh AD , H là giao điểm của AE và BM , K là giao điểm của
GE và AB .
Vì AG  BE (do AC  BD ) và BG  AE (gt) nên G là trực tâm tam giác ABE � GE  AB ,
GE // AD .
KG BG
GE BG


Ta có AM BM do KG // AM và MD BM do GE // MD
KG GE

Suy ra AM MD , mà AM  MD � KG  GE

� G là trung điểm của

�x  2 xG  xE
KE � �K

� K (5;3)
�yK  2 yG  yE

.

uuur
EG   2;0  � AB : x  5  0
K
(5;3)
AB đi qua
và có một véctơ pháp tuyến
.
�
Vì A �AB � A(5; y A ) với y A  1 . Mặt khác KAG  45�� AKG vuông cân nên KA  KG .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

y 5
�
2
�  y A  3  4 � �A
A  5;5
yA  1

�
, mà y A  1 nên
.
uuur
uuur �x  5  6
AC  3 AG � �C
� C  1; 1
yC  5  6
�
Ta có
.
uuur
uuur �x  5  6
AD  3GE � �D
� D  1;5 
y

5

0
�D
.
uuu
r uuur �x  5  0
AB  DC � �B
� B  5; 1
�yB  5  6
.

�3 �

�2 �
�4 �
 1�
 1�
�
�
�  1� 1.
0;3

x
y
x
,
y
,
z
�
�
�z � Tìm giá trị
�
�
Câu 10. Cho ba số thực
thuộc khoảng
thỏa mãn

x2 y 2 z 2
P   .
4 9 16
nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải

Tác giả: Dương Quang Hưng ; Fb: Dương Quang Hưng
x
y
z
a ,b ,c .
2
3
4
Đặt:

� 3�
� 3�
�1 �
�1 �
�1 �
a ��
0; �
, b � 0;1 , c ��
0; �
 1�
 1�
�
�
�  1� 1
2
4
a
b
�
�

�
�
�
�
�
�
�c � và
Khi đó ta có
, thỏa mãn
P  a 2  b2  c2 .

�1 �
�1 �
�1 �
�  1�
�  1�
�  1� 1 � ab  bc  ca  2abc  a  b  c  1
�b �
�c �
Từ: �a �
.
3

�a  b  c �
�
��abc
3
�
�
Ta có:

.

P   a  b  c   2  ab  bc  ca    a  b  c   2  a  b  c   4abc  2
2

Do đó:
�

2

4
3
2
 a  b  c   a  b  c  2 a  b  c  2
27

� 13 �
4
t  a  b  c, t ��
0; �
P � t 3  t 2  2t  2
� 4 �. Khi đó:
27
Đặt
.

Xét hàm số

f  t  

4 3 2
� 13 �
t  t  2t  2, t ��
0; �
27
� 4�

4
3
f�
 t    t 2  2t  2 f �
 t  0 � t 
9
2 hoặc t  3 .
Ta có:
;

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TỔ 11 - LẦN 2 - HSG TỈNH VĨNH PHÚC - 2019

Bảng biến thiên:

t
f�

 t

3
2

0



13
4

3


0

0



2
3
4

1

211
216

3
3
f  t  � , t � 0;3
t
4
2.
Từ bảng biến thiên suy ra
. Dấu bằng xảy ra khi
Khi

t

Do đó:

3
1
3
abc
x  1, y  , z  2.
2 ta được:
2 suy ra
2
min P 

3
3
� x  1, y  , z  2.
4
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề X