Tổ-19-Đ2-ĐỀ-HỌC-SINH-GIỎI-TOÁN-11-BẮC-NINH-NĂM-2018-2019

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM

GIẢI CHI TIẾT HỌC SINH GIỎI LỚP 11- TỈNH BẮC
NINH NĂM HỌC 2018- 2019
MƠN TỐN
TIME:150 PHÚT

Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số
Tìm

để đường thẳng

giác

cân (với

có đồ thị là đường thẳng

cắt trục

tại hai điểm

và

.

sao cho tam

là gốc tọa độ).

Câu 2. (4,5 điểm)

1) Giải phương trình

.

2) Giải hệ phương trình

.

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Tìm

để hàm số

2) Cho dãy số

liên tục tại điểm

.

xác định bởi

. Tính

.
Câu 4. (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

tâm

. Trung điểm cạnh

là

, trung điểm đoạn

đỉnh của hình vng, biết đỉnh

, cho hình vng
là

thuộc đường thẳng

có

. Tìm tọa độ các
.

Câu 5. (4,0 điểm)
1) Cho hình chóp

, có đáy
. Gọi

hình chiếu vng góc của
a) Tính độ dài đoạn

là hình chữ nhật với

là hình chiếu vng góc của

và
trên

và

trên SA.

theo

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 1 Mã đề X

là


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

b) Gọi

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM

là giao điểm của hai đường thẳng

qua

và cắt các đoạn thẳng

nhất của

. Mặt phẳng
lần lượt tại

di động, ln đi
. Tìm giá trị nhỏ

.

2) Cho tứ diện đều

có đường cao

lần lượt tại

; gọi

. Mặt phẳng

chứa

cắt ba cạnh

là góc hợp bởi

. Chứng minh rằng

với mặt phẳng

.

Câu 6. (3,0 điểm)
1) Cho tam thức

. Chứng minh rằng nếu phương trình

hai nghiệm phân biệt và
bốn nghiệm phân biệt.
2) Cho

là các số thực dương thay đổi thỏa mãn

nhất của biểu thức
3) Lớp

thì phương trình

Tốn có

có
có

. Tìm giá trị nhỏ

.

học sinh tham gia kiểm tra mơn Tốn để chọn đội tuyển dự thi

học sinh giỏi cấp tỉnh. Đề kiểm tra gồm

bài tốn. Biết rằng mỗi bài tốn thì

có ít nhất
học sinh giải quyết được. Chứng minh rằng có
học sinh sao
cho mỗi bài toán đều được một trong hai học sinh này giải quyết được.
-----------------Hết-----------------

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
Cho hàm số
thẳng

cắt trục

có đồ thị là đường thẳng
tại hai điểm

và

. Tìm

sao cho tam giác

để đường
cân.

Lời giải
Tác giả: Đoàn Thị Minh Hương; Fb: Hương Đoàn

Cách 1:
Để đường thẳng

cắt trục

tại hai điểm

và

phân biệt khác

và

Khi đó
Vì tam giác

vng tại

nên tam giác

cân tại

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 3 Mã đề X

thì


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Vậy

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM

thỏa yêu cầu bài tốn.

Cách 2:
Để đường thẳng

Vì tam giác

cắt trục

vng tại

tại hai điểm

nên tam giác

và

phân biệt thì

và

cân tại

Vậy
thỏa u cầu bài tốn.
luuhanhlqd@gmail
Câu 2

;

1) Giải phương trình

.
Lời giải
Tác giả: Hà Quốc Vũ ; Fb: Hà Quốc Vũ

.
ĐKXĐ:

(*).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM

So điều kiện (*), ta loại nghiệm

). Nhận nghiệm
Vậy

(Do

(Do

).

.

;

Câu2b. Giải hệ phương trình

.
Lời giải
Tác giả:Trần Thị Thùy Dương; Fb:Thùy Dương

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

Điều kiện:
Ta có

Mà
Thay

nên phương trình
vào phương trình

vơ nghiệm.

ta được:

(thỏa mãn điều kiện)

(khơng thỏa mãn).
Vậy

hệ

phương

trình

đã

cho

có

nghiệm

.Câu 3.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

1) Tìm

để hàm số

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

Lời giải

liên tục tại điểm

.

Tác giả: Đàm Thị Lan Anh ; Fb: Đàm Anh
Tập xác định

.

Ta có:

;

;

Hàm số liên tục tại

khi và chỉ khi
.

Vậy

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2) Cho dãy số
Tính

xác định bởi

.

.
Lời giải
Tác giả:Đinh Cơng Huấn ; Fb: Đinh Cơng Huấn

Ta có:
Đặt

khi đó

là cấp số nhân cơng bội
Ta có:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM

cộng vế với vế ta được

Vậy
Câu 4.
tâm

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ

. Trung điểm cạnh

là

, cho hình vng

, trung điểm đoạn

tọa độ các đỉnh của hình vng, biết đỉnh

là

có
. Tìm

thuộc đường thẳng

.
Lời giải
Tác giả: Lương Đức Tuấn ; Fb:Tuấn Luong Duc

+ Gọi cạnh hình vng là
+ Qua

.

kẻ đường thẳng song song với cạnh

đường thẳng này cắt các cạnh
và

,

của hình vng

của hình vng

lần lượt tại

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề X

,


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

+ Ta có,

nên

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

.

+

,

,

.
+ Có

nên tam giác

+ Đường thẳng

đi qua

nhận

có phương trình tổng qt:
+ Có

vng tại

, hay

làm vectơ pháp tuyến nên

.

nên tọa độ điểm

là nghiệm của hệ phương trình

. Giải hệ phương trình ta được

+ Có

nên

+ Gọi

là trung điểm

+ Gọi

. Có

và

.

.

.
. Ta có

.

khác phía với

.

Ta có
Lấy

theo từng vế ta được

Thay

vào

.
phương

trình

(1)

ta

được

.
+ Với

, ta có

(thỏa mãn).

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

+ Với

, ta có

+ Có

(loại vì

là trung điểm của

+ Gọi

nên

Vậy

,

và

cùng phía với

nên tọa độ điểm

. Có

Có

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

,

là

).

.

.

.
,

,

.

Cách 2: Theo đáp án của tỉnh Bắc Ninh:
Gọi

là độ dài cạnh hình vng

.

Ta có

.

vng tại
Do đó
thuộc

vng góc với

.

. (1)

nên

Theo (1)
.

Dễ thấy

.

Gọi

Vì

Với

(thỏa mãn)(vì khi đó

Với

(loại). (vì khi đó

cùng phía so với

cùng phía so với

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

).

).
Trang 10 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM

Vậy tọa độ các đỉnh hình vng là
Câu 5.
1) Cho hình chóp

, có đáy

là hình chữ nhật với

và
góc của

trên

. Gọi

và

a) Tính độ dài đoạn
b) Gọi
động,

là hình chiếu vng

là hình chiếu vng góc của
theo

là giao điểm của hai đường thẳng

luôn đi qua

. Mặt phẳng

và cắt các đoạn thẳng

2) Cho tứ diện đều

,

,

,

.

có đường cao
lần lượt tại

với mặt phẳng

,

di

lần lượt tại

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

cạnh

trên SA.

,

. Mặt phẳng
; gọi

,

,

chứa

là góc hợp bởi

. Chứng minh rằng

cắt ba
,
.

Lời giải:
Tác giả: Nguyễn Thị Hà; Fb: Ha Nguyen

a) + Ta có
+ Gọi

là giao điểm của

+ Xét
góc của

.
và

có:

.

đều, mà

là hình chiếu vng

lên

là trung điểm của
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

.
Trang 11 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

+ Xét

có:

+ Xét

có:

b) + Xét

+ Từ

.

kẻ đường song song với

, cắt

tại điểm

.

có:

+ Xét

điểm

.

có:

+ Xét

+ Từ

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

có:

và từ
và

kẻ các đường song song với

cắt đường

tại các

.

+ Xét 2 tam giác

và

có:

(so le trong)

(đối đỉnh)
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 12 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

(g.c.g)

+ Trong

có:

; trong

có:

+ Tương tự có:

+ Áp dụng BĐT Cơ – si ta có:

.

+ Dấu “=” xảy ra

.

Cách 2: Sử dụng định lý Menelauyt:

+ Ta có:
+ Gọi giao điểm của

và

là

, đặt

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 13 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

+ Ta có:

+ Ta lại có:

+ Khi đó:
+ Các bước tiếp theo làm tương tự như cách 1.

2) Cho tứ diện đều
cạnh

,

,

,

có đường cao
lần lượt tại

với mặt phẳng

,

,

. Mặt phẳng
; gọi

,

,

chứa

là góc hợp bởi

. Chứng minh rằng

cắt ba
,
.

Lời giải
Tác giả: Vũ Ngọc Phát; Fb: Vũ Ngọc Phát

Khơng mất tính tổng qt, giả sử tứ diện có cạnh bằng

Khi đó
Gọi
diện

,

. Suy ra

.

.
,

lần lượt là hình chiếu vng góc của
là tứ diện đều nên tam giác

lên

,

,

. Vì tứ

là tam giác đều. Do đó

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 14 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

Khơng mất tính tổng qt giả sử
là ba góc hợp bởi

,

,

Vì

nằm giữa
với

,

nên tứ giác

Vì

,

và

, gọi

. Suy ra

Tam giác

có

,

lần lượt

.
nội tiếp. Suy ra

và

hay

,

.

nên
.

là góc ngồi tam giác nên

.
Suy ra:

.
Vậy

.

Câu 6.
1) Cho tam thức
có hai nghiệm phân biệt và
nghiệm phân biệt.

. Chứng minh rằng nếu phương trình
thì phương trình

có bốn

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Mạnh Hà ; Fb: Nguyễn Mạnh Hà
Xét phương trình:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 15 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

- Từ giả thiết phương trình

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

ln có hai nghiệm phân biệt.

- Phương trình
có

( vì theo giả thiết

Do đó phương trình
- Giả sử

Khi đó

ln có hai nghiệm phân biệt.

là một nghiệm của phương trình

Khi đó nếu

)

khi đó:

là một nghiệm của phương trình

thì :

trở thành:

(trái với giả thiết
của đề bài
Do đó

).

là một nghiệm của phương trình

phương trình

nhưng khơng là nghiệm của

.

Vậy phương trình

có bốn nghiệm phân biệt.

2) Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn

.Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Tác giả:Lưu Thị Hạnh ; Fb:
Hạnh Lưu
Đặt

.thay vào biểu thức

ta có:

và
Ta có:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đặt

. Từ

Đề HỌC SINH GIỎI TỐN 11 BẮC NINH NĂM

ta có

.

Thay vào biểu thức P ta được

Vậy

.

3) Lớp

Tốn có

học sinh tham gia kiểm tra mơn Tốn để chọn đội

tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Đề kiểm tra gồm

mỗi bài tốn ln có ít nhất

bài tốn. Biết rằng

học sinh giải quyết được. Chứng minh rằng

có học sinh sao cho mỗi bài toán đều được một trong hai học sinh này giải
quyết được.
Lời giải
Tác giả: Vũ Ngọc Phát; Fb: Vũ Ngọc Phát
Giả sử ngược lại: với mỗi 2 học sinh bất kì, ln tồn tại ít nhất một bài tốn
mà cả hai học sinh đều khơng giải được. Gọi
,

và bài tốn

bộ ba

mà cả hai học sinh

,

là bộ gồm hai học sinh

đều không giải được. Gọi

là số

.

Số cách chọn hai học sinh từ 34 học sinh là

.

Vì với mỗi 2 học sinh bất kì, ln tồn tại ít nhất một bài tốn mà cả hai học
sinh đều không giải được nên

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM

Theo đề ta có mỗi bài tốn ln có ít nhất
học sinh giải quyết được nên
mỗi bài tốn có nhiều nhất 15 học sinh khơng giải được. Như vậy với mỗi bài
tốn

có nhiều nhất

cặp học sinh khơng giải được bài tốn

. Mâu thuẫn với

. Do đó

.

Vậy có 2 học sinh sao cho mỗi bài toán đều được một trong hai học sinh này
giải quyết được.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 18 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019

Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 19 Mã đề X