Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
GIẢI CHI TIẾT HỌC SINH GIỎI LỚP 11- TỈNH BẮC
NINH NĂM HỌC 2018- 2019
MÔN TOÁN
TIME:150 PHÚT
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số
Tìm
để đường thẳng
giác
cân (với
có đồ thị là đường thẳng
cắt trục
tại hai điểm
và
.
sao cho tam
là gốc tọa độ).
Câu 2. (4,5 điểm)
1) Giải phương trình
.
2) Giải hệ phương trình
.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Tìm
để hàm số
2) Cho dãy số
liên tục tại điểm
.
xác định bởi
. Tính
.
Câu 4. (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
tâm
. Trung điểm cạnh
là
, trung điểm đoạn
đỉnh của hình vuông, biết đỉnh
, cho hình vuông
là
thuộc đường thẳng
có
. Tìm tọa độ các
.
Câu 5. (4,0 điểm)
1) Cho hình chóp
, có đáy
. Gọi
hình chiếu vuông góc của
a) Tính độ dài đoạn
là hình chữ nhật với
là hình chiếu vuông góc của
và
trên
và
trên SA.
theo
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 1 Mã đề X
là
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
b) Gọi
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
là giao điểm của hai đường thẳng
qua
và cắt các đoạn thẳng
nhất của
. Mặt phẳng
lần lượt tại
di động, luôn đi
. Tìm giá trị nhỏ
.
2) Cho tứ diện đều
có đường cao
lần lượt tại
; gọi
. Mặt phẳng
chứa
cắt ba cạnh
là góc hợp bởi
. Chứng minh rằng
với mặt phẳng
.
Câu 6. (3,0 điểm)
1) Cho tam thức
. Chứng minh rằng nếu phương trình
hai nghiệm phân biệt và
bốn nghiệm phân biệt.
2) Cho
là các số thực dương thay đổi thỏa mãn
nhất của biểu thức
3) Lớp
thì phương trình
Toán có
có
có
. Tìm giá trị nhỏ
.
học sinh tham gia kiểm tra môn Toán để chọn đội tuyển dự thi
học sinh giỏi cấp tỉnh. Đề kiểm tra gồm
bài toán. Biết rằng mỗi bài toán thì
có ít nhất
học sinh giải quyết được. Chứng minh rằng có
học sinh sao
cho mỗi bài toán đều được một trong hai học sinh này giải quyết được.
-----------------Hết-----------------
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 2 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1
Cho hàm số
thẳng
cắt trục
có đồ thị là đường thẳng
tại hai điểm
và
. Tìm
sao cho tam giác
để đường
cân.
Lời giải
Tác giả: Đoàn Thị Minh Hương; Fb: Hương Đoàn
Cách 1:
Để đường thẳng
cắt trục
tại hai điểm
và
phân biệt khác
và
Khi đó
Vì tam giác
vuông tại
nên tam giác
cân tại
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 3 Mã đề X
thì
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Vậy
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
thỏa yêu cầu bài toán.
Cách 2:
Để đường thẳng
Vì tam giác
cắt trục
vuông tại
tại hai điểm
nên tam giác
và
phân biệt thì
và
cân tại
Vậy
thỏa yêu cầu bài toán.
luuhanhlqd@gmail
Câu 2
;
1) Giải phương trình
.
Lời giải
Tác giả: Hà Quốc Vũ ; Fb: Hà Quốc Vũ
.
ĐKXĐ:
(*).
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 4 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
So điều kiện (*), ta loại nghiệm
). Nhận nghiệm
Vậy
(Do
(Do
).
.
;
Câu2b. Giải hệ phương trình
.
Lời giải
Tác giả:Trần Thị Thùy Dương; Fb:Thùy Dương
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 5 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
Điều kiện:
Ta có
Mà
Thay
nên phương trình
vào phương trình
vô nghiệm.
ta được:
(thỏa mãn điều kiện)
(không thỏa mãn).
Vậy
hệ
phương
trình
đã
cho
có
nghiệm
.Câu 3.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 6 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
1) Tìm
để hàm số
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
Lời giải
liên tục tại điểm
.
Tác giả: Đàm Thị Lan Anh ; Fb: Đàm Anh
Tập xác định
.
Ta có:
;
;
Hàm số liên tục tại
khi và chỉ khi
.
Vậy
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2) Cho dãy số
Tính
xác định bởi
.
.
Lời giải
Tác giả:Đinh Công Huấn ; Fb: Đinh Công Huấn
Ta có:
Đặt
khi đó
là cấp số nhân công bội
Ta có:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 7 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
cộng vế với vế ta được
Vậy
Câu 4.
tâm
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
. Trung điểm cạnh
là
, cho hình vuông
, trung điểm đoạn
tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh
là
có
. Tìm
thuộc đường thẳng
.
Lời giải
Tác giả: Lương Đức Tuấn ; Fb:Tuấn Luong Duc
+ Gọi cạnh hình vuông là
+ Qua
.
kẻ đường thẳng song song với cạnh
đường thẳng này cắt các cạnh
và
,
của hình vuông
của hình vuông
lần lượt tại
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 8 Mã đề X
,
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
+ Ta có,
nên
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
.
+
,
,
.
+ Có
nên tam giác
+ Đường thẳng
đi qua
nhận
có phương trình tổng quát:
+ Có
vuông tại
, hay
làm vectơ pháp tuyến nên
.
nên tọa độ điểm
là nghiệm của hệ phương trình
. Giải hệ phương trình ta được
+ Có
nên
+ Gọi
là trung điểm
+ Gọi
. Có
và
.
.
.
. Ta có
.
khác phía với
.
Ta có
Lấy
theo từng vế ta được
Thay
vào
.
phương
trình
(1)
ta
được
.
+ Với
, ta có
(thỏa mãn).
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 9 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
+ Với
, ta có
+ Có
(loại vì
là trung điểm của
+ Gọi
nên
Vậy
,
và
cùng phía với
nên tọa độ điểm
. Có
Có
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
,
là
).
.
.
.
,
,
.
Cách 2: Theo đáp án của tỉnh Bắc Ninh:
Gọi
là độ dài cạnh hình vuông
.
Ta có
.
vuông tại
Do đó
thuộc
vuông góc với
.
. (1)
nên
Theo (1)
.
Dễ thấy
.
Gọi
Vì
Với
(thỏa mãn)(vì khi đó
Với
(loại). (vì khi đó
cùng phía so với
cùng phía so với
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
).
).
Trang 10 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là
Câu 5.
1) Cho hình chóp
, có đáy
là hình chữ nhật với
và
góc của
trên
. Gọi
và
a) Tính độ dài đoạn
b) Gọi
động,
là hình chiếu vuông
là hình chiếu vuông góc của
theo
là giao điểm của hai đường thẳng
luôn đi qua
. Mặt phẳng
và cắt các đoạn thẳng
2) Cho tứ diện đều
,
,
,
.
có đường cao
lần lượt tại
với mặt phẳng
,
di
lần lượt tại
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
cạnh
trên SA.
,
. Mặt phẳng
; gọi
,
,
chứa
là góc hợp bởi
. Chứng minh rằng
cắt ba
,
.
Lời giải:
Tác giả: Nguyễn Thị Hà; Fb: Ha Nguyen
a) + Ta có
+ Gọi
là giao điểm của
+ Xét
góc của
.
và
có:
.
đều, mà
là hình chiếu vuông
lên
là trung điểm của
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
.
Trang 11 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
+ Xét
có:
+ Xét
có:
b) + Xét
+ Từ
.
kẻ đường song song với
, cắt
tại điểm
.
có:
+ Xét
điểm
.
có:
+ Xét
+ Từ
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
có:
và từ
và
kẻ các đường song song với
cắt đường
tại các
.
+ Xét 2 tam giác
và
có:
(so le trong)
(đối đỉnh)
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 12 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
(g.c.g)
+ Trong
có:
; trong
có:
+ Tương tự có:
+ Áp dụng BĐT Cô – si ta có:
.
+ Dấu “=” xảy ra
.
Cách 2: Sử dụng định lý Menelauyt:
+ Ta có:
+ Gọi giao điểm của
và
là
, đặt
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 13 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
+ Ta có:
+ Ta lại có:
+ Khi đó:
+ Các bước tiếp theo làm tương tự như cách 1.
2) Cho tứ diện đều
cạnh
,
,
,
có đường cao
lần lượt tại
với mặt phẳng
,
,
. Mặt phẳng
; gọi
,
,
chứa
là góc hợp bởi
. Chứng minh rằng
cắt ba
,
.
Lời giải
Tác giả: Vũ Ngọc Phát; Fb: Vũ Ngọc Phát
Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện có cạnh bằng
Khi đó
Gọi
diện
,
. Suy ra
.
.
,
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
là tứ diện đều nên tam giác
lên
,
,
. Vì tứ
là tam giác đều. Do đó
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 14 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
Không mất tính tổng quát giả sử
là ba góc hợp bởi
,
,
Vì
nằm giữa
với
,
nên tứ giác
Vì
,
và
, gọi
. Suy ra
Tam giác
có
,
lần lượt
.
nội tiếp. Suy ra
và
hay
,
.
nên
.
là góc ngoài tam giác nên
.
Suy ra:
.
Vậy
.
Câu 6.
1) Cho tam thức
có hai nghiệm phân biệt và
nghiệm phân biệt.
. Chứng minh rằng nếu phương trình
thì phương trình
có bốn
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Mạnh Hà ; Fb: Nguyễn Mạnh Hà
Xét phương trình:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 15 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
- Từ giả thiết phương trình
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
luôn có hai nghiệm phân biệt.
- Phương trình
có
( vì theo giả thiết
Do đó phương trình
- Giả sử
Khi đó
luôn có hai nghiệm phân biệt.
là một nghiệm của phương trình
Khi đó nếu
)
khi đó:
là một nghiệm của phương trình
thì :
trở thành:
(trái với giả thiết
của đề bài
Do đó
).
là một nghiệm của phương trình
phương trình
nhưng không là nghiệm của
.
Vậy phương trình
có bốn nghiệm phân biệt.
2) Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn
.Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
Tác giả:Lưu Thị Hạnh ; Fb:
Hạnh Lưu
Đặt
.thay vào biểu thức
ta có:
và
Ta có:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 16 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đặt
. Từ
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
ta có
.
Thay vào biểu thức P ta được
Vậy
.
3) Lớp
Toán có
học sinh tham gia kiểm tra môn Toán để chọn đội
tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Đề kiểm tra gồm
mỗi bài toán luôn có ít nhất
bài toán. Biết rằng
học sinh giải quyết được. Chứng minh rằng
có học sinh sao cho mỗi bài toán đều được một trong hai học sinh này giải
quyết được.
Lời giải
Tác giả: Vũ Ngọc Phát; Fb: Vũ Ngọc Phát
Giả sử ngược lại: với mỗi 2 học sinh bất kì, luôn tồn tại ít nhất một bài toán
mà cả hai học sinh đều không giải được. Gọi
,
và bài toán
bộ ba
mà cả hai học sinh
,
là bộ gồm hai học sinh
đều không giải được. Gọi
là số
.
Số cách chọn hai học sinh từ 34 học sinh là
.
Vì với mỗi 2 học sinh bất kì, luôn tồn tại ít nhất một bài toán mà cả hai học
sinh đều không giải được nên
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 17 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
Theo đề ta có mỗi bài toán luôn có ít nhất
học sinh giải quyết được nên
mỗi bài toán có nhiều nhất 15 học sinh không giải được. Như vậy với mỗi bài
toán
có nhiều nhất
cặp học sinh không giải được bài toán
. Mâu thuẫn với
. Do đó
.
Vậy có 2 học sinh sao cho mỗi bài toán đều được một trong hai học sinh này
giải quyết được.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 18 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
2019
Đề HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 BẮC NINH NĂM
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 19 Mã đề X