HH_C3_Elip

Chương 33
CHUYÊN ĐỀ 5
ELIP
Câu 1. Khái niệm nào sau đây định nghĩa về elip?
A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng ∆ cố định không đi qua F . Elip
( E ) là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng
cách từ M đến ∆ .
B. Cho F1 , F2 cố định với F1 F2 = 2c, ( c > 0 ) . Elip ( E ) là tập hợp điểm M sao
cho MF1 − MF2 = 2a với a là một số không đổi và a < c .
C.Cho F1 , F2 cố định với F1 F2 = 2c, ( c > 0 ) và một độ dài 2a không đổi ( a > c ) .
Elip ( E ) là tập hợp các điểm M sao cho M ∈ ( P ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a .
D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Elip.
Lời giải
Chọn C
Định nghĩa về Elip là: Cho F1 , F2 cố định với F1 F2 = 2c, ( c > 0 ) và một độ dài 2a
không

đổi

( a > c) .

Elip

( E)

M ∈ ( P ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a .
Câu 2. Dạng chính tắc của Elip là
x2 y2
x2 y 2
A. 2 + 2 = 1 .
B. 2 − 2 = 1 .

a
b
a
b

là

tập

hợp

C. y 2 = 2 px .

các

điểm

M

sao

cho

D. y = px 2 .

Lời giải

Chọn A
x2 y2
+

= 1 . (Các bạn xem lại trong SGK).
a 2 b2
x2 y 2
E
Câu 3. Cho Elip ( ) có phương trình chính tắc là 2 + 2 = 1 , với a > b > 0 . Khi đó
a
b
khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu c 2 = a 2 + b 2 thì ( E ) có các tiêu điểm là F1 ( c; 0 ) , F2 ( −c;0 ) .

Dạng chính tắc của Elip là

B. Nếu c 2 = a 2 + b 2 thì ( E ) có các tiêu điểm là F1 ( 0; c ) , F2 ( 0; −c ) .
C. Nếu c 2 = a 2 − b2 thì ( E ) có các tiêu điểm là F1 ( c; 0 ) , F2 ( −c;0 ) .

D. Nếu c 2 = a 2 − b 2 thì ( E ) có các tiêu điểm là F1 ( 0; c ) , F2 ( 0; −c ) .
Lời giải
Chọn C.
Xem lại sách giáo khoA.
Câu 4. Cho Elip ( E ) có phương trình chính tắc là

x2 y 2
+
= 1 , với a > b > 0 . Khi đó
a2 b2

khẳng định nào sau đây đúng?
c
.
a

a
B. Với c 2 = a 2 − b 2 ( c > 0 ) , tâm sai của elip là e = .
c
c
C. Với c 2 = a 2 − b 2 ( c > 0 ) , tâm sai của elip là e = − .
a
A. Với c 2 = a 2 − b 2 ( c > 0 ) , tâm sai của elip là e =

Trang
1/16


a
D. Với c 2 = a 2 − b 2 ( c > 0 ) , tâm sai của elip là e = − .
c
Lời giải
Chọn A
Xem kiến thức sách giáo khoA.
x2 y 2
Câu 5. Cho Elip ( E ) có phương trình chính tắc là 2 + 2 = 1 , với a > b > 0 . Khi đó
a
b
khẳng định nào sau đây sai?
A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là A1 ( a;0 ) , A1 ( −a;0 ) .
B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là B1 ( 0; b ) , A1 ( 0; −b ) .
C. Với c 2 = a 2 − b 2 ( c > 0 ) , độ dài tiêu cự là 2c .

D. Với c 2 = a 2 − b 2 ( c > 0 ) , tâm sai của elip là e =

a

.
c

Lời giải
Chọn D.
Với c 2 = a 2 − b 2 ( c > 0 ) , tâm sai của elip là e =

a
.
c

x2 y2
+
= 1 , với a > b > 0 và
a 2 b2
c 2 = a 2 − b 2 ( c > 0 ) . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?
c.x
A. Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) và các tiêu điểm là F1 ( −c; 0 ) , F2 ( c; 0 ) thì MF1 = a + M ,
a
c.xM
MF2 = a +
.
a
c.x
B. Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) và các tiêu điểm là F1 ( −c; 0 ) , F2 ( c; 0 ) thì MF1 = a − M ,
a
c.x
MF2 = a + M .
a
c.x

C. Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) và các tiêu điểm là F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) thì MF1 = a − M ,
a
c.xM
MF2 = a −
.
a
c.x
D. Với M ( xM ; yM ) ∈ ( E ) và các tiêu điểm là F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) thì MF1 = a + M ,
a
c.x
MF2 = a − M .
a
Lời giải
Chọn B
Xem lại kiến thức sách giáo khoA.
x2 y2
Câu 7. Cho Elip ( E ) có phương trình chính tắc là
+
= 1 , với a > b > 0 và
a 2 b2
c 2 = a 2 − b 2 ( c > 0 ) . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 6. Cho Elip

( E)

có phương trình chính tắc là

A. Các đường chuẩn của ( E ) là ∆1 : x +
của ( E ) ).

a
a
= 0 và ∆ 2 : x − = 0 , với ( e là tâm sai
e
e

Trang
2/16


B. Elip

( E)

có các đường chuẩn là ∆1 : x +

a
a
= 0 , ∆ 2 : x − = 0 và có các tiêu
e
e

MF1
MF2
=
> 1.
điểm là F1 ( −c;0 ) , F2 ( c; 0 ) thì d
d ( M ;∆ 2 )
( M ; ∆1 )

C. Elip

( E)

có các đường chuẩn là ∆1 : x +

a
a
= 0 , ∆ 2 : x − = 0 và có các tiêu
e
e

MF1
MF2
a
=
= .
điểm là F1 ( −c;0 ) , F2 ( c; 0 ) thì d
d ( M ;∆ 2 ) c
( M ;∆1 )
D. Elip ( E ) có các đường chuẩn là ∆1 : x +

a
a
= 0 , ∆ 2 : x − = 0 , các tiêu điểm là
e
e

MF1

MF2
=
= 1.
F1 ( −c;0 ) , F2 ( c;0 ) và
d( M ;∆1 ) d ( M ;∆2 )

Lời giải
Chọn A.
Xem lại sách giáo khoA.
x2 y 2
Câu 8. Cho elíp ( E ) : 2 + 2 = 1 và đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 .Điều kiện cần và đủ
a
b
để đường thẳng ∆ tiếp xúc với elíp ( E ) là
A. a 2 A2 + b 2 B 2 = C 2 .
C. −a 2 A2 + b 2 B 2 = C 2

B. a 2 A2 − b 2 B 2 = C 2 .
2 2
2 2
2
D. b B = a A + C
Lời giải

Chọn A.
Lý thuyết.
x2 y2
Câu 9. Elip (E):
+
= 1 có tâm sai bằng bao nhiêu?

25 9
4
5
5
A. .
B. .
C. .
5
4
3
Lời giải
Chọn A.
x2 y 2
Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) : 2 + 2 = 1
a
b
2
a = 25
a = 5
 2

⇒ b = 9
⇔ b = 3
c 2 = a 2 − b 2
c = 4


Vậy tâm sai của Elip e =
Câu 10. Đường Elip
A. 3 .

3
D. .
5

( a, b > 0 ) .

c 4
=
a 5

x2 y 2
+
= 1 có tiêu cự bằng :
16 7

B. 6 .

C.

9
.
16

6
D. .
7

Lời giải
Chọn B.

Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) :

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

( a, b > 0 ) .

Trang
3/16


a 2 = 16
a = 4
 2

⇒ b = 7
⇔ b = 7 .
c 2 = a 2 − b 2
c = 3


Vậy: Tiêu cự của Elip F1 F2 = 2c = 2.3 = 6 .

Câu 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho elip ( E ) có độ dài trục lớn
bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình
của elip ( E )
A.

x2 y 2
+
=1.
144 36

B.

x2 y2
+
= 1.
9 36

x2 y 2
+
=1.
36 9
Lời giải

C.

D.

x2 y 2
+
=0.
144 36

Chọn C.
x2 y 2
Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) : 2 + 2 = 1 ( a, b > 0 ) .

a
b
2
x
y2
Ta có a = 6 , b = 3 , vậy phương trình của Elip là:
+
=1.
36 9
1
Câu 12. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tâm sai bằng
và trục lớn bằng 6 .
3
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
A. +
B. +
C. +
D. +
= 1.
= 1.
= 1.
= 1.
9
3
9
8
9

5
6
5
Lời giải
Chọn B.
x2 y 2
Phương trình chính tắc của Elip có dạng 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 ) .
a
b
1
c 1
Theo giả thiết: e = ⇒ = ⇒ a = 3c và 2a = 6 ⇔ a = 3 ⇒ c = 1
3 a 3
2
2
2
Khi đó: a = b + c ⇔ 32 = b 2 + 1 ⇔ b 2 = 8 ⇔ b = 2 2
x2 y 2
Vậy phương trình chính tắc của Elip là:
+
= 1.
9
8
Câu 13. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x + 4 = 0 và một

tiêu điểm là ( −1; 0 ) .
A.

x2 y 2
+

= 1.
4
3

B.

x2 y 2
+
= 1.
16 15

x2 y2
+
= 0.
16 9
Lời giải

C.

D.

x2 y 2
+
= 1.
9
8

Chọn B.
x2 y 2
+

= 1 ( a > b > 0) .
a 2 b2
Theo giả thiết: Elip có một đường chuẩn là x + 4 = 0 nên a = 4 và một tiêu
điểm là điểm ( −1;0 ) nên c = 1 . Do đó: b = a 2 − c 2 = 15 .

Phương trình chính tắc của Elip có dạng

x2 y 2
Vậy phương trình chính tắc của Elip là:
+
= 1.
16 15
Câu 14. Tìm phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm A ( 0;5 ) .

A.

x2 y 2
+
=1.
100 81

B.

x2 y 2
+
=1.
34 25

x2 y 2
+

=1.
25 9
Lời giải

C.

D.

x2 y2
−
=1.
25 16

Chọn B.
Trang
4/16


x2 y2
+
= 1 ( a, b > 0 ) .
a 2 b2
A ( 0;5 ) ∈ ( E ) nên ta có

Phương trình chính tắc của elip có dạng
Theo
2

giả

thiết: 2c = 6 ⇔ c = 3 .

Vì

phương

trình:

2

0 5
+ = 1⇔ b = 5 .
a2 b2
Khi đó: a 2 = b 2 + c 2 ⇔ a 2 = 52 + 32 ⇔ a 2 = 34 ⇔ a = 34 .
x2 y 2
Vậy phương trình chính tắc của Elip là:
+
=1.
34 25
Câu 15. Cho Elip có phương trình : 9 x 2 + 25 y 2 = 225 . Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có

diện tích bằng
A. 15.

B. 40.

C. 60.

D. 30.

Lời giải
Chọn C.
x2 y 2
+
=1.
25 9
Từ đây, ta được a = 5, b = 3 . Diện tích hình chữ nhật cơ sở là S = 2a.2b = 60.
x2 y 2
Câu 16. Cho Elip ( E ) :
+
= 1 . Với M là điểm bất kì nằm trên ( E ) , khẳng định nào
16 9
sau đây là khẳng định đúng ?
A. 4 ≤ OM ≤ 5.
B. OM ≥ 5.
C. OM ≤ 3.
D. 3 ≤ OM ≤ 4.
Lời giải
Chọn D.
x2 y 2
Từ ( E ) :
+
= 1 , suy ra a = 4, b = 3 .
16 9
Với một điểm bất kì trên ( E ) , ta ln có b ≤ OM ≤ a ⇒ 3 ≤ OM ≤ 4.
Câu 17. Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đơi trục bé và có tiêu cự
9 x 2 + 25 y 2 = 225 ⇔

bằng 4 3
x2 y2

A. +
=1.
36 9

B.

x2 y 2
+
=1.
36 24

x2 y 2
+
=1.
24 6
Lời giải

C.

D.

x2 y 2
+
= 1.
16 4

Chọn D.
x2 y 2
+
= 1 ( a > b > 0) .

a 2 b2
Theo giả thiết: 2a = 2.2b ⇔ a = 2b và 2c = 4 3 ⇔ c = 2 3

Phương trình chính tắc của Elip có dạng

Khi đó: a 2 = b 2 + c 2 ⇔ ( 2b ) = b 2 + 12 ⇔ 3b 2 − 12 = 0 ⇔ b = 2 ⇒ a = 4 .
2

x2 y 2
Vậy phương trình chính tắc của Elip là:
+
= 1.
16 4
2
2
Câu 18. Cho elip ( E ) : x + 4 y = 1 và cho các mệnh đề:

( I ) ( E)

có trục lớn bằng 4

( II ) ( E )

có trục nhỏ bằng 1


3
( IV ) ( E ) có tiêu cự bằng 3
có tiêu điểm F1  0;
÷

÷
2


Trong các mệnh đề trên, tìm mệnh đề đúng?
A. ( I ) .
B. ( II ) và ( IV ) .
C. ( I ) và ( III ) .
D. ( IV ) .
Lời giải
Chọn B.

( III ) ( E )

Trang
5/16


a 2 = 1
a = 1
x2 y2

3.
( E ) : x + 4 y = 1 ⇔ + 1 = 1 ⇒ 
1 ⇒ c = a 2 − b2 =
1 ⇒
1
2
2
b =

b = 2
4
4

Vậy, ( E ) có trục lớn bằng 2a = 2 , có trục nhỏ bằng 2b = 1 , có tiêu điểm
2

2


3 
F1  −
;0 ÷
÷, có tiêu cự bằng 2c = 3 .
2


Câu 19. Phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm

A ( 2; −2 ) là
A.

x2 y 2
+
= 1.
24 6

B.

x2 y 2

x2 y2
C. +
+
= 1.
= 1.
36 9
16 4
Lời giải

D.

x2 y 2
+
= 1.
20 5

Chọn D.
Phương trình chính tắc của elip có dạng

x2 y2
+
=1
a 2 b2

( a, b > 0 ) .

Theo đề bài, ta được hệ
 a 2 = 4b 2
a 2 = 4b 2
a = 2b

 a 2 = 20



x2 y 2
.
Suy
ra:
⇔
⇔
⇔
4 4
4 4
5
 2
( E ) : + = 1.
20 5
b = 5
 a 2 + b2 = 1
 2 + 2 =1
 2 =1
a b
b
Câu 20. Đường thẳng nào dưới đây là 1 đường chuẩn của Elip
A. x + 4 5 = 0 .

B. x − 4 = 0 .
C. x + 2 = 0 .
Lời giải

x2 y 2
+
=1
20 15
D. x + 4 = 0 .

Chọn A.
x2 y 2
Ta có:
+
=1.
20 15
a = 2 5
a 2 = 20


⇒ b 2 = 15
⇔ b = 15
c 2 = a 2 − b 2


c = 5
Vậy đường chuẩn của Elip

x2 y 2
+
= 1 là
20 15

a

a
a2
20
=± =± =±
= ±4 5 ⇒ x ± 4 5 = 0
c
e
c
5
a
x2 y 2
Câu 21. Cho Elip ( E ) : +
= 1 và điểm M nằm trên ( E ) Nếu điểm M có hồnh độ
16 12
x=±

bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của ( E ) bằng :
A. 4 ± 2 .

B. 3 và 5 .

C. 3,5 và 4,5 .

D. 4 ±

2
.
2

Lời giải

Chọn C.
Ta có: a = 4; b = 12 ⇒ c = 2 .
Sử dụng cơng thức bán kính qua tiêu MF1 = 4 −

1.2
1.2
= 3.5 , MF2 = 4 +
= 4,5.
4
4

Trang
6/16


x2 y2
Câu 22. Cho elip ( E ) :
+
= 1 và cho các mệnh đề :
25 9
(I) ( E ) có tiêu điểm F1 ( – 3; 0 ) và F2 ( 3; 0 ) .
c 4
(II) ( E ) có tỉ số = .
a 5
(III) ( E ) có đỉnh A1 ( –5; 0 ) .

(IV) ( E ) có độ dài trục nhỏ bằng 3 .
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai ?
A. I và II .
B. II và III .

C. I và III.
D. IV và I.
Lời giải
Chọn C.
Từ phương trình của elip, ta có a = 5 , b = 3 , c = 4 suy ra các mệnh đề sai là
(I) và (IV).
2
2
Câu 23. Đường thẳng qua M ( 1 ;1) và cắt elíp ( E ) : 4x + 9y = 36 tại hai điểm M1, M2
sao cho MM1 = MM2 có phương trình là:
A. 2x + 4y – 5 = 0 .
B. 4x + 9y – 13 = 0 .
C. x + y + 5 = 0 .
D. 16x – 15y + 100 = 0.
Lời giải
Chọn B.
 x1 + x2 = 2
Gọi M1 ( x1; y1 ) ; M2 ( x2; y2 ) . Ta có M là trung điểm của M2M1 ⇒ 
.
 y1 + y2 = 2
4x12 + 9y12 = 36
⇒ 4( x2 − x1 ) + 9( y2 − y1 ) = 0
Ta có  2
2
4x1 + 9y1 = 36
r
Vậy n( 4;9) là vectơ pháp tuyên của M1M2 .
Vậy phương trình M1M2 là : 4x + 9y – 13 = 0 .
12
Câu 24. Một elip có trục lớn bằng 26 , tâm sai e = . Trục nhỏ của elip có độ dài

13
bằng bao nhiêu?
A. 10.
B. 12.
C. 24.
D. 5.
Lời giải
Chọn A.
x2 y 2
Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) : 2 + 2 = 1 ( a, b > 0 ) .
a
b
12
Độ dài trục lớn 2a = 26 ⇒ a = 13, tâm sai e = ⇒ c = 12 . Trục nhỏ
13
2
2
2b = 2 a − c = 10 .
Câu 25. Đường Elip
A. 2.

x2 y 2
+
= 1 có tiêu cự bằng :
5
4
B. 4.
C. 9.
Lời giải

D. 1.

Chọn B.
Ta có c = 2 ⇒ 2c = 4 .
x2
y2
Câu 26. Cho Elip ( E ) :
+
= 1 và điểm M nằm trên ( E ) . Nếu điểm M có hồnh độ
169 144
bằng −13 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của ( E ) bằng :
Trang
7/16


A. 8; 18 .

B. 13± 5 .

C. 10;16.
Lời giải

D. 13 ± 10 .

Chọn A.
Ta có a = 13, b = 12 ⇒ c = 5
c
c
Vậy MF1 = a + xM = 18 ; MF2 = a − xM = 8.
a

a
2
Câu 27. Cho elíp có phương trình 16x + 25y 2 = 100 . Tính tổng khoảng cách từ điểm
thuộc elíp có hồnh độ x = 2 đến hai tiêu điểm.
A. 10
B. 2 2
C. 5
Lời giải
Chọn C.
Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) :
Ta có : a =

D. 4 3

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

( a, b > 0 ) .

5
, b=2, c= 6.
2

sử dụng công thức bán kính qua tiêu MF1 =

5
6
5

6
−
.2 , MF2 = +
.2
2 2
2 2

MF1 + MF2 = 5 .
Câu 28. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là
M ( 4;3) .
A.

x2 y2
+
= 1.
16 9

B.

x2 y2
x2 y2
C.
−
= 1.
+
= 1.
16 9
16 4
Lời giải

D.

x2 y2
+
= 1.
4
3

Chọn B.
x2 y 2
+
= 1 ( a, b > 0 ) .
a 2 b2
Một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M ( 4;3) , suy ra a = 4, b = 3 .

Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) :

Phương trình ( E ) :

x2 y2
+
= 1.
16 9

x2 y2
Câu 29. Đường thẳng y = kx cắt Elip 2 + 2 = 1 tại hai điểm
a
b
A.Đối xứng nhau qua trục Oy .
B.Đối xứng nhau qua trục Ox .

C.Đối xứng nhau qua gốc toạ độ O .
D.Đối xứng nhau qua đường thẳng
y = 1.
Lời giải
Chọn C.
Đường thẳng y = kx là đường thẳng đi qua gốc toạ độ nên giao điểm của
đường y = kx với Elip đối xứng nhau qua gốc toạ độ.
x2 y 2
Câu 30. Cho Elip ( E ) : +
= 1 . Đường thẳng ( d ) : x = −4 cắt ( E ) tại hai điểm M , N .
25 9
Khi đó:
9
18
18
9
A. MN =
.
B. MN =
.
C. MN = .
D. MN = .
25
25
5
5
Lời giải
Chọn C.
Theo giả thiết: x = −4 nên ta có phương trình:

Trang
8/16



9
9

y
=
⇒
M
−
4;

÷

2
5

( −4 ) + y 2 = 1 ⇔ y 2 = 9 ⇔ y 2 = 81 ⇔  5

25
9
9

25
9
9 25
 y = − ⇒ N  −4; − ÷

5
5


2

9 9
18
2
( −4 + 4 ) +  + ÷ = .
5
5 5
Câu 31. Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn một Elip có khoảng
Khi đó: MN =

50
và tiêu cự bằng 6 ?
3
x2 y 2
x2 y 2
B. +
C. +
= 1.
=1.
89 64
25 16
Lời giải

cách giữa các đường chuẩn là
A.

x2 y2
+
=1.
64 25

D.

x2 y 2
+
= 1.
16 7

Chọn C.
x2 y 2
+
=1
a 2 b2
Tiêu cự bằng 6 ⇒ 2c = 6 ⇒ c = 3 ⇒ Loại A và B.
a
c
Đường chuẩn của Elip có dạng x ± = 0 , mà e =
e
a

Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) :

( a, b > 0 ) .

nên đường chuẩn của Elip còn được viết dưới dạng x ±

a2
=0
c

Từ đáp án C suy ra: a = 5 ⇒ các đường chuẩn là: x ±

25
= 0 . Dễ thấy khoảng
3

50
.
3
Câu 32. Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đường chuẩn là x + 5 = 0 và đi
qua điểm ( 0; −2 )
cách giữa 2 đường chuẩn này là

A.

x2 y 2
+
= 1.
16 12

B.

x2 y 2
x2 y 2
C. +

+
=1.
= 1.
20 4
16 10
Lời giải

D.

x2 y 2
+
=1.
20 16

Chọn B.
x2 y 2
+
= 1 ( a, b > 0 ) .
a 2 b2
a
a2
Elip có một đường chuẩn là x + 5 = 0 nên = 5 ⇔
= 5 ⇔ a 2 = 5c
e
c
4
2
Mặt khác Elip đi qua điểm ( 0; −2 ) nên 2 = 1 ⇔ b = 4
b
c = 1 ⇒ a 2 = 5

2
2
2
2
2
Ta có: c = a − b ⇔ c = 5c − 4 ⇔ c − 5c + 4 = 0 ⇔ 
.
2
c = 4 ⇒ a = 20

Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) :

x2 y 2
+
=1.
20 4
Câu 33. Đường tròn và elip có phương trình sau đây có bao nhiêu giao điểm:

Phương trình chính tắc của Elip

( C ) : x2 + y 2 – 9 = 0 , ( E )
A. 4.

x2 y 2
:
+
= 1.
9
4
B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Chọn D.
Trang
9/16


 x2 + y 2 = 9
2
 x = ±3
 2
 x = 9
2
⇔ 2
⇔
Xét hệ  x
.
y
= 1  y = 0
y = 0
 +
4
9
Câu 34. Viết phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm là A ( 0; −2 ) và một
đường chuẩn x + 5 = 0 ?
A.

x2 y2
+
= 1.
29 4

B.

x2 y 2
+
= 1.
16 12

C.

x2 y2
+
= 1.
20 16

D.

x2 y2
+
= 1.
16 10

Lời giải
Chọn A.
x2 y 2

+
= 1 ( a, b > 0 ) .
a 2 b2
Do ( E ) đi qua điểm là A(0; −2) và có một đường chuẩn x + 5 = 0 nên ta có

Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) :
4
 b 2 = 1
b 2 = 4
⇔
.
 2
 2
a = 5c
a = 5
 c

x2 y 2
+
= 1 . M là điểm thuộc
16 4
MF1 = MF2 . Khi đó tọa độ điểm M là:
A. M 1 ( 0;1) , M 2 ( 0; −1) .
B. M 1 (0; 2) , M 2 (0; −2) .

Câu 35. Cho elip có phương trình:

C. M 1 ( −4;0) , M 2 (4;0) .

( E)

sao cho

D. M 1 (0; 4) , M 2 (0; −4) .
Lời giải

Chọn B.
Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) :

x2 y 2
+
=1
a 2 b2

( a, b > 0 ) .

Nên a = 4; b = 2
Vì MF1 = MF2 nên M thuộc đường trung trực của F1 F2 chính là trục Oy
M là điểm thuộc ( E ) nên M là giao điểm của elip và trục Oy

Vậy M 1 (0; 2) , M 2 (0; −2) .
x2 y 2
Câu 36. Dây cung của elip ( E ) : 2 + 2 = 1( 0 < b < a ) . vuông góc với trục lớn tại
a
b
tiêu điểm có độ dài là
2c 2
2b 2
2a 2
a2

A.
.
B.
.
C.
.
D. .
a
a
c
c
Lời giải
Chọn B.
Gọi dây cung đó là M 1M 2 như hình vẽ.

Giả sử M 1 ( c; y ) ( y > 0 ) , M 1 ∈ ( E ) ⇒

c2 y 2
+
=1
a2 b2

a2 − c2 b4
b2
⇒ y 2 = b2 × 2 = 2 ⇒ y =
a
a
a

M1

M2

 b2 

b2 
2b 2
Khi đó, M 1  c; ÷ , M 2  c; − ÷ ⇒ M 1M 2 =
.
a
a

 a

Trang
10/16


x2 y2
Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( E ) : +
= 1 và hai điểm A ( −5; −1) , B ( −1;1) .
16 5

Điểm M bất kì thuộc ( E ) , diện tích lớn nhất của tam giác MAB là:
A.12.

9 2
.
2
Lời giải

B.9.

C.

D. 4 2 .

Chọn B
uuu
r
Ta có: AB = ( 4; 2 ) , AB = 2 5 .
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A , B : x − 2 y + 3 = 0 .

(

)

M 4 cos ϕ ; 5 sin ϕ ∈ ( E ) ( 0 ≤ ϕ ≤ 2π ) .

1
AB.d ( M , ∆ ) . Diện tích lớn nhất khi và chỉ khi d ( M , ∆ ) lớn nhất.
2
4 cos ϕ − 2 5 sin ϕ + 3 4 cos ϕ − 2 5 sin ϕ + 3
Ta có: d( M ,∆ ) =
≤
5
5
S ∆MAB =

⇔ d ( M , ∆) ≤

(

42 + −2 5
5

)

2

+3

1
9 . Vậy S ∆MAB = AB.d ( M , ∆ ) = 9 .
=
2
5

 3 4 
;
Câu 38. Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) , biếtđi qua điểm M 
÷ và ∆MF1 F2
 5 5
vng tại M .
x2 y2
x2 y2
x2 y 2
x2 y2
A. +
B. +

C. +
D. +
= 1.
= 1.
= 1.
=1.
9
4
9 36
4
9
36 9
Lời giải
Chọn A.
x2 y 2
Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) : 2 + 2 = 1 ( a, b > 0 ) .
a
b
9
16
· MF = 90o ⇔ OM = 1 F F = c
+ 2 = 1 . Lại có F
Do Elip đi qua M nên
1
2
1 2
2
5a 5b
2
⇔c= 5

16
 9
 2 + 2 =1
Như vậy ta có hệ điều kiện  5a 5b
. Giải hệ ta được a 2 = 9; b 2 = 4
a 2 − b 2 = 5

⇒ ( E) :

x2 y 2
+
= 1.
9
4

Câu 39. Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) , Hình chữ nhật cơ sở của ( E ) có một
cạnh nằm trên đường thẳng x − 2 = 0 và có độ dài đường chéo bằng 6.
x2 y2
x2 y2
x2 y 2
x2 y 2
A. +
.
B.
.
C.
.
D.
=1
+

=1
+
=1
+
= 1.
4 16
4 32
32 4
9 36
Lời giải
Chọn B.
x2 y 2
Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) : 2 + 2 = 1 ( a, b > 0 ) .
a
b
Do một cạnh của hình chữ nhật cơ sở thuộc đường thẳng x − 2 = 0 nên có
a = 2 . Mặt khác a 2 + b 2 = 6 2 ⇔ b 2 = 36 − 4 = 32 ⇔ b = 4 2
Trang
11/16


Vậy phương trình Elip là

x2 y2
+
= 1.
4 32
2

x

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elíp ( E ) : + y 2 = 1 và điểm C ( 2; 0 )
4

.Tìm tọa độ các điểm A, B trên ( E ) , biết rằng hai điểm đối xứng nhau qua trục
hoành và  ∆ABC là tam giác đều và điểm A có tung độ dương .
2 4 3
2
4 3
B
;
−
A. A  ;
và
÷

÷.
7
7 ÷
7 ÷
7




(

)

(

2 4 3
2 4 3
B
B. A  ; và
÷
 ;
÷.
÷
7
7
7 ÷


7

 2 4 3
 2
4 3
B
−
;
−
D. A  − ;
và
÷

÷.
 7
7 ÷
7 ÷

 7



Lời giải

)

C. A 2; 4 3 và A 2; − 4 3 .

Chọn A.
Giả sử A ( x0 ; y0 ) . , Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên B ( x0 ; − y0 ) .
Ta có: AB 2 = 4 y02 và AC 2 = ( x0 − 2 ) + y02 .
2

x02
x2
+ y02 = 1 ⇒ y02 = 1 − 0 ( 1) .
4
4
2
2
2
Vì AB = AC nên ( x0 − 2 ) + y0 = 4 y0 ( 2 ) .

Vì A ∈ ( E ) nên

 x0 = 2 ⇒ y0 = 0
Thay ( 1) vào ( 2 ) ta được 7 x − 16 x0 + 4 = 0 ⇔ 
2

4 3.
x0 = ⇒ y0 = ±

7
7
2 4 3
2
4 3
B
;
−
Vì điểm A khác C và A có tung độ dương nên A  ;
và
÷

÷.
7
7 ÷
7 ÷
7



2
2
x
y
Câu 41. Cho elíp ( E ) : +
= 1 và đường thẳng d : 3 x + 4 y − 12 = 0 . Biết rằng d luôn cắt
16 9

2
0

( E)

tại hai điểm phân biệt A , B . Tính độ dài đoạn AB .

A. AB = 5 .

B. AB = 3 .

C. AB = 4 .
Lời giải

D. AB = 10 .

Chọn A.
Ta có d : 3 x + 4 y − 12 = 0 ⇔ y = 3 −
được

3x
x2 y 2
, thay vào phương trình ( E ) : +
= 1 ta
4
16 9

2

 3x 

x = 0 ⇒ y = 3
3− ÷
2
2
⇔ 2 x2 − 8x = 0 ⇔ 
x 
x2 ( x − 4)
4 
+
=1⇔
+
=1
x = 4 ⇒ y = 0
16
9
16
16
Vậy d luôn cắt ( E ) tại hai điểm phân biệt A ( 0;3) , B ( 4;0 ) và độ dài AB = 5 .
9
9


Câu 42. N đối xứng với M  − 7; ÷ qua gốc toạ độ nên N  7; − ÷ .Cho Elip ( E ) có
4
4


các tiêu điểm F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 ) và một điểm M nằm trên ( E ) biết rằng chu vi

của tam giác MF1F2 bằng 18 . Lúc đó tâm sai của ( E ) là:

4
4
4
A. e = − .
B. e = .
C. e = .
5
9
18
Lời giải
Chọn D.

D. e =

4
.
5

Trang
12/16


x2 y 2
+
= 1 ( a, b > 0 ) .
a 2 b2
Theo giải thiết ta có c = 4 , chu vi của tam giác MF1 F2 bằng 18 nên
c 4
MF1 + MF2 + F1 F2 = 2a + 2c ⇔ 2a + 2c = 18 ⇒ a = 5 ⇒ e = = .
a 5

2
2
x
y
Câu 43. Cho elíp ( E ) : +
= 1 và đường thẳng d : x − 2 y + 12 = 0 . Tìm trên ( E ) điểm M
25 9
sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.

Phương trình chính tắc của elip có dạng ( E ) :

12 + 61
12 − 61
, d2 =
.
5
5
16
6
C. d1 =
, d2 =
.
5
5

B. d1 = 12 + 61 , d 2 = 12 − 61 .

A. d1 =

D. d1 = 16 , d 2 = 6 .

Lời giải

Chọn A.

x2 y 2
+
= 1 có độ dài nửa trục lớn a = 5 và độ dài nửa trục bé b = 3
25 9
Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( E ) mà ∆ song song với d ⇒ x − 2 y + C = 0, ( C ≠ 12 ) .

( E) :

Vì d : x − 2 y + 12 = 0 tiếp xúc với ( E ) nên ta có: 1.52 + ( −2 ) .32 = C 2 ⇔ C = ± 61 .
2

Nên ta có hai tiếp tuyến của ( E ) song song với d là: ∆1 : x − 2 y + 61 = 0 và

∆1 : x − 2 y − 61 = 0 .
Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d là lớn nhất là: d1 =
khoảng cách từ M đến đường thẳng d là bé nhất là: d 2 =

12 + 61
,
5

12 − 61
5

x2 y 2
x2 y 2

+
= 1 và ( E2 ) : +
= 1 . Gọi ( E1 ) I ( E2 ) = { A, B, C , D} Lập
9
4
16 1
phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD .

Câu 44. Cho hai elíp ( E1 ) :

A. 11x 2 + 11y 2 − 92 = 0. B. 11x 2 + 11y 2 = 1.

C.11x 2 + 11y 2 + 92 = 0. D. x 2 + y 2 − 92 = 0.

Lời giải
Chọn A.

Trang
13/16


 x2 y 2
 2 432
 9 + 4 = 1  x = 55
⇔
Xét hệ  2
.
2
28
x

y
2
 +

y =
=1
55

16 1
Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O và bán kính
432 28
92
R = x2 + y2 =
+
=
.
55 55
11
92
⇔ 11x 2 + 11y 2 − 92 = 0.
Vậy phương trình đường trịn cần tìm là: x 2 + y 2 =
11
Câu 45. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho elip ( E ) : x 2 + 4 y 2 − 4 = 0 .Tìm tất cả
· NF = 600 ( F1 , F 2 là hai tiêu điểm của
những điểm N trên elip ( E ) sao cho : F
1
2

elip ( E ) )

 4 2 1
 4 2 1
 4 2 1
 4 2 1
;− ÷
N
−
;
N
;
−
N
; ÷
A. N  −
hoặc
hoặc
hoặc

÷

÷


 3
÷.
3
3÷
3 3÷
3÷







 3 3
 4 2 1
 4 2 1
 4 2 1
;− ÷
N
−
;
N
; ÷
B. N  −
hoặc
hoặc

÷


÷.
3
3÷
3 3÷





 3 3
 4 2 1
 4 2 1
 4 2 1
; ÷
N
;
−
N
; ÷
C. N  −
hoặc
hoặc

÷

÷
 3
÷
÷.
3
3
3
3
3







 4 2 1
 4 2 1
;− ÷
N
; ÷
D. N  −
hoặc

÷
÷.
3
3
3
3




Lời giải
Chọn A.
x2
- ( E ) : + y 2 = 1 ⇒ a 2 = 4, b 2 = 1 ⇔ c 2 = 3 ⇒ c = 3 .
4
 x02 + 4 y02 = 4

3

x0 ; MF2 = 2 − 3 x0 . Xét tam giác F1MF2 theo
- Gọi N ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒  MF1 = 2 +

2
2

 F1 F2 = 2 3

hệ thức lượng trong tam giác ta có: ( F1F2 ) = MF12 + MF22 − 2MF1MF2 cos600 ⇔
2

2

2


3  
3  
3 
3 
⇔ 2 3 =  2 +
x0 ÷
+
2
−
x
−
2
+
x
2
−
x0 ÷


÷

÷
0÷
0 ÷
÷ 

÷
2
2
2
2

 
 



4 2
1

x0 = −
y0 = −


3
3 
9
32

1

3
3.
⇔ 12 = 8 + x02 −  4 − x02 ÷ ⇔ x02 = 8 ⇔ x02 =
⇔
⇒ y02 = ⇔ 
2
4 

4
9
9

4 2
y = 1
 x0 =
 0 3
3

Vậy có tất cả 4 điểm thỏa
 4 2 1
 4 2 1
 4 2 1
 4 2 1
N  −
;− ÷
N
−
;

N
;
−
N
; ÷
hoặc
hoặc
hoặc

÷

÷


 3
÷.
3
3÷
3 3÷
3÷






 3 3
x2 y 2
Câu 46. Viết phương trình tất cả các tiếp tuyến của elíp ( E ) :
+

= 1 , biết tiếp
16 9
tuyến đi qua điểm A ( 4;3) .

(

)

2

Trang
14/16


A. d : y − 3 = 0 và d : x − 4 = 0 .
C. d : y + 3 = 0 và d : x − 4 = 0 .

B. d : y − 3 = 0 và d : x + 4 = 0 .
D. d : y + 3 = 0 và d : x + 4 = 0 .
Lời giải

Chọn A
r
- Giả sử đường thẳng d có véc tơ pháp tuyến n = ( a; b ) qua A ( 4;3) thì d có
phương trình là: a ( x − 4 ) + b ( y − 3) = 0 ( *) , hay: ax + by − 4a − 3b ( 1) .
- Để d là tiếp tuyến của ( E ) thì điều kiện cần và đủ là : a 2 .16 + b 2 .9 = ( 4a + 3b )

2

a = 0 ⇔ d : y − 3 = 0 .

⇔ 16a 2 + 9b 2 = 16a 2 + 24ab + 9b 2 ⇔ 24ab = 0 ⇒ 
b = 0 ⇔ d : x − 4 = 0
x2 y2
Câu 47. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp ( E ) : +
= 1 và hai điểm
9
4
A ( 3; −2 ) , B ( −3; −2 ) Tìm trên ( E ) điểm C sao cho tam giác ABC có diện tích lớn
nhất.
A. C ( 0;3) .

B. C ( 0; 2 ) .

C. C ( 3; 0 ) .
Lời giải

D. C ( 2;0 ) .

Chọn A.
- A , B có hồnh độ là hồnh độ của 2 đỉnh của 2 bán trục lớn của ( E ) ,
chúng nằm trên đường thẳng y + 2 = 0 . C có hồnh độ và tung độ dương thì
C nằm trên cung phần tư thứ nhất
- Tam giác ABC có AB = 6 cố định. Vì thế tam giác có diện tích lớn nhất khi
khoảng cách từ C đến AB lớn nhất.
- Dễ nhận thấy C trùng với đỉnh của bán trục lớn ( 0;3) .

Câu 48. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm F1 ( −4;0 ) , F2 ( 4;0 ) và điểm A ( 0;3) . Điểm

M thuộc ( E ) nào sau đây thỏa MF1 = 3MF2 .
 25 551 

A. M  − ;
÷.
8 ÷
 8


 25 551 
 25
 25 551 
551 
B. M  ;
.
C. M  − ; −
. D. M  ;
÷
÷
÷.
÷
÷
8 
8 
4 ÷
 8
 8
 4

Lời giải

Chọn B
x2 y2

2
2
2
- Giả sử ( E ) : 2 + 2 = 1 ( 1) . Theo giả thiết thì : c = 4 ⇔ c = 16 = a − b ( 2 )
a
b
9
= 1 ⇔ b 2 = 9 , thay vào ( 2 ) ta
- ( E ) qua A ( 0;3) suy ra :
b2
a 2 = 25 ⇒ ( E ) :

- M thuộc

có

x2 y 2
+
=1
25 9

( E ) ⇒ M ( x0 ; y0 )

⇔

x02 y02
+
= 1 ( 3) . Theo tính chất của
25 9

( E)

ta có bán

kính qua tiêu
4
MF1 = 5 + x0 ,
5

4
4 
4
25

MF2 = 5 − x0 ⇒ MF1 = 3MF2 ⇔ 5 + x0 = 3  5 − x0 ÷ ⇒ x0 =
. Thay
5
5 
5
8

551
551
2
vào ( 3) ta có y0 = 2 ⇒ y0 = ±
.
8
8
x2 y 2
Câu 49. Trong mặt phẳng Oxy cho ( E ) có phương trình :

+
= 1 . Khẳng định nào
9
4
sau đây đúng?

Trang
15/16


2
A. OM + MF1.MF2 là một số không đổi với F1 , F2 là hai tiêu điểm của

M ∈( E) .

(

) (

( E)

và

)

B. F1 0; − 5 , F2 0; 5 là các tiêu điểm của ( E ) .
C. Độ dài trục lớn là 18 .
D. Các đỉnh nằm trên trục lớn là A1 ( 0;3) và A2 ( 0; −3) .
Lời giải
Chọn A

Dễ dàng thấy được B, C, D là các đáp án sai.
x2 y 2
Phương án A: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ⇒ 0 + 0 = 1(*)
9
4
- Theo công thức bán kính qua tiêu :
5
5 ⇒ MF .MF =  3 + 5 x  3 − 5 x  = 9 − 5 x 2

⇒ MF1 = 3 +
x0 MF2 = 3 −
x0
1
2
0 ÷
0÷
0
÷
÷
3
3
9
3
3



 x02 y02 
4 x02
5 2

2
2
2
2
+ y0 = 9 + 4  + ÷ = 9 + 4 = 13 .
- Vậy : OM + MF1MF2 = x0 + y0 + 9 − x0 = 9 +
9
9
4 
 9
x2 y 2
+
= 1 .Có bao nhiêu
9
4
điểm M thuộc ( E ) nhìn đoạn F1 F2 dưới một góc 60o ? (Biết rằng F1 , F2 là các tiêu
điểm của elip).
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn D

5
5
5 
5 
5 2
x0 , MF2 = 3 −

x0 ⇒ MF1.MF2 =  3 +
x0 ÷
3
−
x
=
9
−
x0
Ta có : ⇒ MF1 = 3 +
÷
0
÷
÷
3
3
3
3
9



- Theo hệ thức hàm số cos ta có :
2
2
⇔ ( F1 F2 ) = MF12 + MF12 − 2MF1MF2 cos600 = ( MF1 + MF2 ) − 3MF1MF2

Câu 50. Trong mặt phẳng Oxy cho

( E)

có phương trinh:


5 
5 
5 2
5 2

= 62 − 3  3 +
x0 ÷
3
−
x
=
36
−
3
9
−
x
=
9
+
x0
÷
0
0

÷

÷
÷
3
3
9
3





5
33
4
4
33  423
165
⇔ 20 = 9 + x02 ⇔ x02 =
⇒ y02 = ( 9 − x02 ) =  9 − ÷ =
⇒ x0 = ±
3
5
9
9
5  9
5

(

⇔ 2 5

)

2

4 3
.
3
- Như vậy có 4 điểm thỏa mãn.
⇒ y0 = ±

Trang
16/16