HH_C3_Hypebol

Chương 33
CHUYÊN ĐỀ 6
HYPEBOL
Câu 1. Khái niệm nào sau đây định nghĩa về hypebol?
A. Cho điểm F cố định và một đường thẳng  cố định không đi qua F .
Hypebol  H  là tập hợp các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến F
bằng khoảng cách từ M đến  .
B. Cho F1 , F2 cố định với F1 F2  2c,  c  0  . Hypebol  H  là tập hợp điểm M
sao cho MF1  MF2  2a với a là một số không đổi và a  c .
C. Cho F1 , F2 cố định với F1 F2  2c,  c  0  và một độ dài 2a không đổi  a  c  .
Hypebol  H  là tập hợp các điểm M sao cho M � P  � MF1  MF2  2a .
D. Cả ba định nghĩa trên đều không đúng định nghĩa của Hypebol .
Lời giải
Chọn B
Cho F1 , F2 cố định với F1 F2  2c,  c  0  . Hypebol  H  là tập hợp điểm M sao
cho MF1  MF2  2a với a là một số không đổi và a  c .
Câu 2. Dạng chính tắc của hypebol là
x2 y 2
x2 y 2
A. 2  2  1 .
B. 2  2  1 .
a
b
a
b

C. y 2  2 px .

D. y  px 2 .

Lời giải

Chọn B
x2 y 2

 1 . (Các bạn xem lại trong SGK).
a 2 b2
x2 y 2
H


Câu 3. Cho Hypebol
có phương trình chính tắc là 2  2  1 , với a, b  0 . Khi đó
a
b
khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu c 2  a 2  b 2 thì  H  có các tiêu điểm là F1  c;0  , F2  c;0  .

Dạng chính tắc của hypebol là

B. Nếu c 2  a 2  b 2 thì  H  có các tiêu điểm là F1  0; c  , F2  0; c  .
C. Nếu c 2  a 2  b 2 thì  H  có các tiêu điểm là F1  c;0  , F2  c;0  .

D. Nếu c 2  a 2  b 2 thì  H  có các tiêu điểm là F1  0; c  , F2  0; c  .
Lời giải
Chọn A.
Xem lại sách giáo khoA.
x2 y 2
Câu 4. Cho Hypebol  H  có phương trình chính tắc là 2  2  1 , với a, b  0 . Khi đó
a
b

khẳng định nào sau đây đúng?
c
A. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của hypebol là e  .
a
a
B. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của hypebol là e  .
c
c
C. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của hypebol là e   .
a
a
D. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của hypebol là e   .
c
Lời giải
Trang
1/14


Chọn A
Xem kiến thức sách giáo khoA.
x2 y 2
Câu 5. Cho Hypebol  H  có phương trình chính tắc là 2  2  1 , với a, b  0 . Khi đó
a
b
khẳng định nào sau đây sai?
A. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục thực là A1  a; 0  , A1  a;0  .

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục ảo là B1  0; b  , A1  0; b  .
C. Với c 2  a 2  b 2  c  0  , độ dài tiêu cự là 2c .
D. Với c 2  a 2  b 2

 c  0  , tâm sai của hypebol là

e

a
.
c

Lời giải
Chọn D
Với c 2  a 2  b 2  c  0  , tâm sai của hypebol là e 

a
.
c

Câu 6. Cho Hypebol  H  có phương trình chính tắc là
c 2  a 2  b2

x2 y2

 1 , với a, b  0 và
a 2 b2

 c  0  . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. Với M  xM ; yM  � H  và các tiêu điểm là F1  c;0  , F2  c;0  thì MF1  a 
MF2  a 

c.xM
.
a

B. Với M  xM ; yM  � H  và các tiêu điểm là F1  c;0  , F2  c;0  thì MF1  a 
MF2  a 

c.xM
,
a

c.xM
.
a

D. Với M  xM ; yM  � H  và các tiêu điểm là F1  c;0  , F2  c;0  thì MF1  a 
MF2  a 

c.xM
,
a

c.xM
.
a

C. Với M  xM ; yM  � H  và các tiêu điểm là F1  c;0  , F2  c;0  thì MF1  a 
MF2  a 

c.xM

,
a

c.xM
,
a

c.xM
.
a

Lời giải
Chọn D.
Xem lại kiến thức sách giáo khoA.
x2 y 2
Câu 7. Hypebol

 1 có hai tiêu điểm là :
16 9
A. F1 ( - 5;0) , F2 ( 5;0) .

B. F1 ( - 2;0) ,

F2 ( 2;0) .
C. F1 ( - 3;0) , F2 ( 3;0) .

D. F1 ( - 4;0) ,

F2 ( 4;0) .
Lời giải

Chọn A.

Trang
2/14


�
�
a2 = 16
a= 5
�
�
�
�
2
�
�
b =9
��
b = 3. Các tiêu điểm là F1 ( - 5;0) , F2 ( 5;0) .
Ta có : �
�
�
�
�
2
2
2
c= 5
�

�
c = a +b
�
�
x2 y 2
Câu 8. Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hyperbol

 1?
16 12
3
8 7
A. x   0.
B. x+ 2 = 0.
C. x+ 8= 0.
D. x 
 0.
4
7
Lời giải
Chọn B.
�
�
a= 4
a2 = 16
�
�
�
�
b2 = 12
��

b= 2 3 .
Ta có : �
�
�
�
�
�
�
2
2
2
c= 2
�
�
c = a +b
�
�
�
c
Tâm sai e= = 2 . Đường chuẩn : x+ 2 = 0 và x- 2 = 0.
a
Câu 9. Hypebol có nửa trục thực là 4, tiêu cự bằng 10 có phương trình chính tắc là:
x2 y 2
y 2 x2
y 2 x2
x2 y 2
A.
B.
C.
D.


 1.
  1.
  1.

 1.
16 9
16 9
16 9
16 25
Lời giải
Chọn A.
�
�
a= 4
a= 4
�
�
�
�
�
�
2c = 10
��
c = 5.
Ta có : �
�
�
�
b= 3

�
�
b2 = c2 - a2 �
�
�
x2 y 2

 1.
16 9
Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol ( H ) mà hình

Phương trình chính tắc của Hyperbol là
Câu 10.

chữ nhật cơ sở có một đỉnh là ( 2;- 3) .
x2 y 2
A.

 1.
2 3

x2 y 2
B.

 1.
4 9

x2 y2
C.


 1.
9
3
Lời giải

x2 y 2
D.

 1.
2 3

Chọn B.
x2 y2
= 1. Tọa độ đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là A1 ( - a;- b) ,
a2 b2
A2 ( a;- b) , A3 ( a; b) , A4 ( - a; b) .

Gọi ( H ) :

�
a= 2
Hình chữ nhật cơ sở của ( H ) có một đỉnh là ( 2;- 3) , suy ra �
. Phương
�
�
b= 3
�
x2 y 2
trình chính tắc của ( H ) là


 1.
4 9
Câu 11.

Đường Hyperbol

dưới đây ?
7;0 .
A.









B. 0; 7 .

x2 y 2

 1 có một tiêu điểm là điểm nào
16 9
C. ( 0;5) .

D. ( - 5;0) .

Lời giải
Chọn D.

Trang
3/14


Câu

Câu

Câu

Câu

Câu

�
a2 = 16
�
�2
b =9
� c = 5 . Các tiêu điểm của ( H ) là ( - 5;0) và ( 5;0) .
Ta có : �
�
�
�
2
2
2
�
c = a +b
�

x2 y 2
12.
Tâm sai của Hyperbol

 1 bằng :
5
4
3
3
4
5
.
A.
B. .
C.
D. .
.
5
5
5
5
Lời giải
Chọn A.
�
�
a2 = 5
a= 5
�
�
�

�
c
3
�
2
�
b =4
��
b = 2 � e= =
.
Ta có : �
�
�
a
5
�
�
2
2
2
c=3
�
�
c = a +b
�
�
�
13.
Hypebol 3x2 – y2 = 12 có tâm sai là:
1

1
.
A. e 
B. e  .
C. e  2.
D. e  3.
3
2
Lời giải
Chọn C.
x2 y2
Ta có : 3x2 – y2 = 12 � = 1.
4 12
�
�
a= 2
a2 = 4
�
�
�
�
c
�
2
�
b = 12
��
b = 2 3 � e= = 2 .
�
�

�
a
�
�
2
2
2
c
=
4
�
�
c
=
a
+
b
�
�
�
x2 y2
14.
Đường Hyperbol

 1 có tiêu cự bằng :
20 16
A. 12.
B. 2.
C. 4.
D. 6.

Lời giải
Chọn D.
�
�
a2 = 20
a= 2 5
�
�
�
�
�
2
b = 16
��
b = 4 . Tiêu cự 2c= 12.
Ta có : �
�
�
�
�
�
2
2
2
c= 6
�
�
c = a +b
�
�

�
15.
Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó có tiêu
cự bằng 12 và độ dài trục thực bằng 10 .
x2 y 2
x2 y 2
x2
y2
x2 y 2
A.
B.
C.
D.

 1.

 1.

 1.

 1.
25 11
25 9
100 125
25 16
Lời giải
Chọn A.
�
�
2c = 12

c= 6
�
�
�
�
�
�
2a = 10
��
a= 5 .
Ta có : �
�
�
�
�
2
2
2
�
�
b =c - a
b2 = 11
�
�
x2 y2
Phương trình chính tắc ( H ) : = 1.
25 11
x2
16.
Tìm góc giữa 2 đường tiệm cận của hyperbol

 y2  1.
3
.
.
.
.
A. 45�
B. 30�
C. 90�
D. 60�
Trang
4/14


Lời giải
Chọn D.
�
a2 = 3 �
1
1
a= 3
�
��
. Đường tiện cận của ( H ) là y =
x và y =x
Ta có : �2
�
�
b =1 �
b=1

3
3
�
�
hay x- 3y = 0 và x + 3y = 0 . Gọi a là góc giữa hai đường tiệm cận, ta có :
1.1-

cosa =

(

12 + Câu 17.

3. 3

)

2

2

=

3 . 12 + 3

Hypebol

1
� a = 60�
.

2
x2 y 2

 1 có
4 9

A. Hai đỉnh A1 ( - 2;0) , A2 ( 2;0) và tâm sai e 

2
.
13

2
13
B. Hai đường tiệm cận y  � x và tâm sai e 
.
3
2
3
13
C. Hai đường tiệm cận y  � x và tâm sai e 
.
2
2
2
D. Hai tiêu điểm F1 ( - 2;0) , F2 ( 2;0) và tâm sai e 
.
13
Lời giải
Chọn C.

�
�
a2 = 4
a= 2
�
�
�
�
2
�
�
b =9
��
b= 3 .
Ta có : �
�
�
�
�
�
c2 = a2 + b2 �
c = 13
�
�

(

)

c

13
Tọa độ đỉnh A1 ( - 2;0) , A2 ( 2;0) , tâm sai e= =
, hai tiêu điểm F1 - 13;0
a
2
3
và F2 13;0 , hai đường tiệm cận y = � x .
2
2
Câu 18.
Phương trình hai tiệm cận y  � x là của hypebol có
3
phương trình chính tắc nào sau đây?
x2 y 2
x2 y 2
x2 y2
x2 y 2
A.
B.
C.
D.

 1.

 1.

 1.

 1.
4 9

3 2
2 3
9
4
Lời giải
Chọn D.
a= 3
b
2 �
x2 y2
Ta có : � = � � �
. Phương trình ( H ) : �
= 1.
b= 2
a
3 �
9 4
�
Câu 19.
Viết phương trình của Hypebol có tiêu cự bằng 10 , trục
thực bằng 8 và tiêu điểm nằm trên trục Oy .
x2 y 2
x2 y 2
x2 y2
x2 y2
A.  
B.
C.
D.  
 1.


 1.

 1.
 1.
9 16
4 3
16 9
16 25
Lời giải
Chọn A.

(

)

Trang
5/14


�
�
2b = 8
b= 4
�
�
�
�
x2 y2
�

�
2c = 10
��
c = 5. Phương trình ( H ) : Ta có : �
+ = 1.
�
�
9 16
�
�
2
2
2
a= 3
�
�
a =c - b
�
�
x2 y 2
Câu 20.
Đường Hyperbol

 1 có tiêu cự bằng :
5
4
A. 2.
B. 6.
C. 3.
D. 1.

Lời giải
Chọn B.
�
�
a2 = 5
a= 5
�
�
�
�
�
2
�
b =4
��
b = 2 . Tiêu cự 2c= 6.
Ta có : �
�
�
�
�
2
2
2
c=3
�
�
c = a +b
�
�

�
Câu 21.
Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol ( H ) biết nó đi
qua điểm là
A. x 2 

y2
 1.
2

( 5;4)

và một đường tiệm cận có phương trình là x  y  0 .
B. x 2  y 2  9.

C. x 2  y 2  1.

D.

Lời giải
Chọn C.
�
a= b
�
�2
� { a = b = 1. Phương trình ( H ) : x2 - y2 = 1.
Ta có : �5 42
�
- 2 =1
�

2
�
�a b

x2 y 2

 1.
5
4

Hypebol có hai tiêu điểm là F1 ( - 2;0) và F2 ( 2;0) và một

Câu 22.

đỉnh A( 1;0) có phương trình là chính tắc là
A.

y 2 x2
  1.
1
3

B.

y 2 x2
  1.
1
3

x2 y2


 1.
3 1
Lời giải
C.

D.

x2 y 2

 1.
1
3

Chọn D.
�
c= 2
�
�
a2 = 1
�
x2 y2
a =1
��
. Phương trình ( H ) : Ta có : �
�
�2
= 1.
�
�

b =3
1 3
�
�
2
2
2
�
b =c - a
�
Câu 23.

x2 y 2

 1 có tiêu cự bằng :
16 7
C. 3.
D. 6.
Lời giải

Đường Hyperbol

A. 2 23.

B. 9.

Chọn A.
�
a2 = 16
�

�2
b =7
Ta có : �
�
� c = 23 . Tiêu cự 2c= 2 23.
�
�
�
c2 = a2 + b2
�
Câu 24.
Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol
tiêu điểm là ( 3;0) và một đường tiệm cận có phương trình là :
A.

x2 y 2

 1.
6
3

B.

x2 y 2

 1.
3 6

x2 y2


 1.
1
2
Lời giải
C.

D.

( H)

biết nó

2x  y  0

x2 y 2

 1.
1 8
Trang
6/14


Chọn A.
�
c= 3
�
�
�
�
a2 = 2b2 �

a2 = 6
1
�b
x2 y2
�
�
- =�� 2
� �2
. Phương trình ( H ) : Ta có : �
= 1.
�
�
�
a
3b = 9
b =3
6 3
2
�
�
�
�
�
�
c2 = a2 + b2
�
Câu 25.
Đường thẳng nào dưới đây là đường chuẩn của Hyperbol
x2 y2


1?
20 15
4 35
A. x 
 0.
7

B. x+ 2 = 0.

C. x  4 5  0.

D. x+ 4 = 0.

Lời giải
Chọn A.
�
a2 = 20
�
�
�
a= 2 5
2
�
b = 15
��
. Tâm sai e= c = 7 . Các đường chuẩn là
Ta có : �
�
�
�

a
2
c = 35
�
�
2
2
2
�
�
c
=
a
+
b
�
2 5
x�
=0
4 35
hay x�
.
7
7
2
Câu 26.
Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu một đỉnh
của hình chữ nhật cơ sở của hyperbol đó là M ( 4;3) .
A.

x2 y 2

 1.
16 9

B.

x2 y 2

 1.
16 9

x2 y2

 1.
16 4
Lời giải
C.

D.

x2 y 2

 1.
4 3

Chọn A.
�
a= 4
x2 y2

�
.
Ta có : �
Phương trình ( H ) : = 1.
�
b= 3
16 9
�

Hypebol có tâm sai e  5 và đi qua điểm ( 1;0) có
phương trình chính tắc là:
y 2 x2
x2 y 2
x2 y2
y 2 x2
A.
B.
C.
D.
  1.

 1.

 1.
  1.
1
4
1
4
4 1

1
4
Lời giải
Chọn A.
�c
�
= 5
�
�
a
�
�
a =1
�
�
2
2
�
�
1 0
x2 y2
�
=1 � �
c = 5. Phương trình ( H ) : Ta có : � �
= 1.
�
�
a b
1 4
�

�
b= 2
�
�
�
b2 = c2 - a2 �
�
�
�
�
�
y2
Câu 28.
Hypebol x 2 
 1 có hai đường chuẩn là:
4
1
1
A. x  �2.
B. x  �1.
C. x  � .
D. x  � .
5
2
Lời giải
Chọn C.
Câu 27.

Trang
7/14

�
�
a2 = 1
a =1
�
�
�
�
1
c
2
�
�
b =4
��
b = 2 . Tâm sai e= = 5. Đường chuẩn x� = 0 hay
Ta có : �
�
�
a
5
�
�
�
c2 = a2 + b2 �
c= 5
�
�

1
x= � .
5
Câu 29.
Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol ( H ) biết nó có
một đường chuẩn là 2 x  2  0
x2 x2
A. x 2  y 2  1.
B.
  1.
1 4

C. x 2 
Lời giải

y2
 1.
2

D.

x2 y 2

 1.
2 2

Chọn A.
Ta có : 2x + 2 = 0 � x +

1

2

= 0.

�
c= 2
2
2
�
. Phương trình ( H ) : x - y = 1.
�
�
b=1
�
x2 y 2
Câu 30.
Cho điểm M nằm trên Hyperbol ( H ) :

 1 . Nếu
16 9
hồnh độ điểm M bằng 8 thì khoảng cách từ M đến các tiêu điểm của ( H )
a
1
a2
1
� =
Suy ra =
. Chọn a= 1 thì
e
c

2
2

là bao nhiêu ?
A. 8 �4 2.

B. 8 � 5.

C. 5 và 13.
Lời giải

D. 6 và 14.

Chọn D.
Với x= 8 ta có :

(

)

(

)

82 y2
= 1 � y = �3 3 . Có hai điểm M thỏa mãn là M1 8;3 3
16 9

và M2 8;- 3 3 . Tiêu điểm của ( H ) là F1 ( - 5;0) và F2 ( 5;0) .
M1F1 = M2F1 = 14 , M1F2 = M2F2 = 6.

Câu 31.
Viết phương trình chính tắc của Hypebol, biết giá trị
tuyệt đối hiệu các bán kính qua tiêu điểm của điểm M bất kỳ trên hypebol
là 8, tiêu cự bằng 10.
x2 y 2
x2 y 2
x2 y2
A.
B.

 1 hoặc  
 1.

 1.
16 9
9 16
16 9
x2 y 2
x2 y2
C.
D.

 1.

 1.
4
3
4 3
Lời giải
Chọn A.

�
�
2a = 8
a= 4
�
�
�
�
x2 y2
�
�
2c = 10
��
c = 5. Phương trình ( H ) : Ta có : �
= 1.
�
�
16 9
�
�
2
2
2
b= 3
�
�
b =c - a
�
�
Câu 32.

Hyperbol ( H ) có 2 đường tiệm cận vng góc nhau thì

có tâm sai bằng bao nhiêu ?
2
A. 3.
B.
.
2

C.

2.

D. 2.

Lời giải
Trang
8/14


Chọn C.
x2 y2
b
b
- 2 = 1. Tiệm cận của ( H ) là D1 : y =- x và D 2 : y = x .
2
a b
a
a

b b
D1 ^ D 2 � - . =- 1 � a = b .
a a
c
Ta có : c2 = a2 + b2 = 2a2 � c = a 2 . Tâm sai e= = 2.
a
Gọi ( H ) :

Câu 33.

Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol

( H)

biết nó

tiêu điểm là (- 1 ;0) và một đường tiệm cận có phương trình là : 3 x  y  0
x2 y 2
y2
x2 y2
x2 y 2 1
A.
B.  x 2 
C.
D.

 1.
 1.

 1.


 .
1
3
9
1
6
1 9 10
Lời giải
Chọn D.
�
c =1
�2 1
�
�
c =1
�
�
a =
�
�
�
�
b
�
x2 y2
1
10
�
�

�
- =- 3 � �
b = 3a � �
Ta có : �
. Phương trình ( H ) : = .
�
�
�
a
9
1 9 10
2
�
�
�
2
b
=
�
�
�
10
a
=
1
2
2
2
�
�

�
c = a +b
10
�
�
�
Câu 34.
Hypebol có hai đường tiệm cận vng góc với nhau, độ
dài trục thực bằng 6, có phương trình chính tắc là:
x2 y 2
x2 y 2
x2 y2
x2 y 2
A.
B.
C.
D.

 1.

 1.

 1.

 1.
6 6
9 9
1
6
6 1

Lời giải
Chọn B.
x2 y2
b
b
Gọi ( H ) : 2 - 2 = 1. Tiệm cận của ( H ) là D1 : y =- x và D 2 : y = x .
a b
a
a
b b
D1 ^ D 2 � - . =- 1 � a = b .
a a
�
a= b
� a = b = 3.
Ta có : �
�
�
2a = 6
�
Phương trình chính tắc ( H ) :

x2 y2
= 1.
9 9

(

)

(

)

Điểm nào trong 4 điểm M ( 5;0) , N 10;3 3 , P 5 2;3 2 ,

Câu 35.

Q( 5;4) nằm trên một đường tiệm cận của hyperbol
A. N.

B. M.

C. Q.
Lời giải

x2 y 2

 1?
25 9
D. P.

Chọn D.
�
a2 = 25 �
a= 5
3
��
Ta có : �
. Đường tiệm cận của ( H ) là : y = � x.

�2
�
�
�
b= 3
b =9
5
�
�

(

)

Vậy điểm P 5 2;3 2 thuộc đường tiệm cận của ( H ) .
Câu 36.

Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol ( H ) biết nó có

trục thực dài gấp đơi trục ảo và có tiêu cự bằng 10.
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
A.
B.
C.

 1.

 1.


 1.
16 4
16 9
20 5

D.

x2 y 2

 1.
20 10
Trang
9/14


Lời giải
Chọn C.
�
�
a = 2b
a = 2b
�
�
�
a2 = 20
�
�
x2 y2
�

�
2c = 10
��
c=5
��
. Phương trình ( H ) : Ta có : �
�2
= 1.
�
�
�
b =5
20 5
�
�
�
2
2
2
2
�
�
c = a +b
5b = 25
�
�
Câu 37.
Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol (H) biết nó đi
2
0.

qua điểm ( 2;1) và có một đường chuẩn là x 
3
x2
x2 y 2
y2
x2
A.
B.
C. x 2 
D.
 y 2  1.

 1.
 1.
 y 2  1.
2
3 3
2
2
Lời giải
Chọn D.
x2 y2
Gọi ( H ) : 2 - 2 = 1.
a b
�22 12
�2
a2
�
�
=

1
b
=
�
�
�
�
a2 b2
4- a2
�
�
�
�
�
a2 = 2, b2 = 1
�a2
�
�
2
3
��
c2 = a4
��
.
Ta có : �
� =
�
�2 10 2
�
�

�
c
4
a = , b =5
3
�
�
�
�
�
�
3
�
�
�
2
2
2
a2
3 4
2
�
�
b
=
c
a
=
a
a

�
�
2
�
�
4
�
�
�4- a
�
Câu 38.

Tìm phương trình chính tắc của hyperbol nếu nó đi qua

điểm ( 4;1) và có tiêu cự bằng 2 15 .
x2 y 2
A.

 1.
14 7

x2 y 2
B.

 1.
12 3

x2 y2
C.


 1.
11 4
Lời giải

x2 y 2
D.

 1.
9
4

Chọn B.
x2 y2
= 1.
a2 b2
�42 12
�
=1
�
�
a2 b2
�
�
�
16b2 - a2 = a2b2 �
a2 = 12
x2 y2
�
�
�

2c = 2 15 � �2
�
.
Ta có: �
Phương
trình
�
H
:
= 1.
(
)
�
�
�
a + b2 = 15
b2 = 3
12 3
�
�
�
2
2
2
�
c = a +b
�
�
�
�

�
Câu 39.
Đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của hypebol
Gọi ( H ) :

x2
 y 2  1 có có phương trình là:
4
A. x 2  y 2  1.
B. x 2  y 2  5.

C. x 2  y 2  4.
Lời giải

D. x 2  y 2  3.

Chọn B.
�
a2 = 4 �
a= 2
��
Ta có: �
. Tọa độ các đỉnh hình chữ nhật cở sở là ( 2;1) , ( 2;- 1) ,
�2
�
�
�
b=1
b =1 �
�

( - 2;1) , ( - 2;- 1) . Dường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở có tâm O( 0;0)
bán kính R = 5 .
Phương trình đường trịn là x 2  y 2  5.
Trang
10/14


Câu 40.

Tìm phương trình chính tắc của Hyperbol ( H ) biết nó có

một đường tiệm cận là x  2 y  0 và hình chữ nhật cơ sở của nó có diện tích
bằng 24.
x2 y 2
x2 y 2
x2 y2
x2 y 2
A.
B.
C.
D.

 1.

 1.

 1.

 1.
12 48

3 12
12 3
48 12
Lời giải
Chọn C.
�b 1
�
�
�
a = 2b
a2 = 12
x2 y2
�=
��
Ta có : �a 2 � �
. Phương trình ( H ) : � 2
�2
= 1.
�
�
2a = 24 �
b =3
12 3
�
�
�
a.b = 24
�
�
x2

 y 2  1 . Tìm điểm M trên  H  sao
4
cho M thuộc nhánh phải và MF1 nhỏ nhất (ngắn nhất).

Câu 41.

A. M ( - 2;0) .

Cho Hyperbol  H  :
B. M ( 2;0) .

C. M ( 1;0) .
Lời giải

D. M ( - 1;0) .

Chọn B.
�
�
a2 = 4
a= 2
�
�
�
�
2
�
�
b =1
��

b=1 .
Ta có: �
�
�
�
�
�
c2 = a2 + b2 �
c= 5
�
�
Gọi M ( x0; y0 ) �( H ) .
x2
2
2
 y 2  1 � x  4  y  1 . M thuộc nhánh phải của  H  nên x0 �2 .
4
2
4
4
MF1 = 2+
x0 �2+
. MF1 nhỏ nhất bằng
khi M �A( 2;0) .
5
5
5
x2
Câu 42.
Cho Hyperbol  H  :  y 2  1 . Tìm điểm M trên  H  sao

4
cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  : y  x  1 đạt giá trị nhỏ nhất.
�4 1 �
� 4
�
1�
�
�
�
�
;
.
M
;
. C. M ( - 2;0) .
�
�
A. M �
B.
D. M ( 2;0) .
�
�
�
�
�
� 3 3�
� 3
�
�
�

3�
Lời giải
Chọn B.
x.x
Gọi M ( x0; y0 ) �( H ) . Phương trình tiếp tuyến của ( H ) tại M là d : 0 - y.y0 = 1.
4
x0
x
D //d khi 4 - y0 � y0 = 0 thay vào ( H ) ta có:
=
4
1
- 1
�
4
1
�
x0 =
� y0 =
2
�
x02 �
x0 �
3
3
�
.
�
�
�

- �
=
1
�
�
�
�
�
4
1
�
4 �4 �
�
x0 =� y0 =�
3
3
�
�4 1 �
�
1+ 3
�
;
�
.
Với M �
ta có : d( M ,V) =
�
�
� 3 3�
�

�
2
Ta có:

Trang
11/14


� 4
1�
3- 1
�
�
;
�
.
Với M �
ta có : d( M ,V) =
�
�
�
�
� 3
3�
2
2
2
Câu 43.
Cho hyperbol  H  : 3 x  4 y  12 có hai tiêu điểm là F1 , F2 .
Tìm trên một nhánh của  H  hai điểm P, Q sao cho D OPQ là tam giác đều.

�
� � 6 5 2 15�
�
� 6 5 2 15�
�
�
6 5 2 15�
6 5 2 15�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
;
Q
;
.
P
;
Q
;
.
A. P �

,
B.
,
�
�
�
�
�5
�
� 5
�
�
�
�
5 �
5 �
5 �
5 �
�
�
� �
�
�5
� �
�
�
� 5
�
�
�

� �
� 6 5 2 15�
� �
�
6 5 2 15�
6 5 2 15�
6 5 2 15�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
P
;
Q
;
.
P
;
Q
;
.

C. �
, �
D. �
, �
�
�
�
�
�
�
�
5 �
5
5
5
5
5
5
�
�
�
�
�5
�
�
�
�
�
�
�

Lời giải
Chọn C.
x2 y2
Ta có :  H  : 3x 2  4 y 2  12 �

 1.
4 3
Gọi P ( x0; y0) �( H ) � Q( x0;- y0) (Do ( H ) đối xứng với nhau qua Ox )
D OPQ đều � OP = PQ
� 4y02 = x02 + y02 � x02 = 3y02 . Thay vào ( H ) ta có:
� 2 15
�
y0 =
�
5
6 5
2
2
�
9x0 - 4y0 = 12 � �
� x0 = �
.
5
2 15
�
y0 =�
5
�
�
� �

6 5 2 15�
6 5 2 15�
�
�
�
�
�
�
;
Q
;Vậy P �
,
.
�
�
�
�
� �5
�
�
5
5
5
�
�
�
� �
�
x2
 y 2  1 . Lấy tùy ý M  xo ; yo  � H  .

4
Tính tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  H  .

Câu 44.

Cho hyperbol

A.

2
5

.

B.

5
.
4

 H :

4
.
5
Lời giải
C.

D.

5
.
2

Chọn C.
�
a2 = 4 �
a= 2
�
��
Ta có: �2
. Các đường tiệm cận của ( H ) là D 1 : x + 2y = 0 và
�
�
�
b- 1
b =1 �
�
V2: x- 2y = 0.
Gọi M ( x0; y0 ) �( H ) . Lúc đó:
d( M ,D1) .d( M ,D 2 ) =

x0 + 2y0 . x0 - 2y0
5

=

x02 - 4y02

4

= .
5

5
x2 y 2
Câu 45.
Cho hyperbol  H  : 2  2  1 . Biết tích khoảng cách từ
a b
M đến hai đường tiệm cận bằng một số không đổi và bằng?
ab
a2 + b2
a 2b 2
2
2
.
.
A.
B. 2
.
C.
D.
a
+
b
.
a+ b
a  b2
a2b2
Lời giải
Chọn B.

Trang
12/14


Hai đường tiệm cận của ( H ) là D 1 : bx + ay = 0 và D 2 : bx- ay = 0. Gọi
M ( x0; y0 ) �( H ) . Lúc đó:
d( M ,D 1) .d( M ,D 2) =

bx0 + ay0 . bx0 - ay0
2

a2 + b2 . ( - a) + b2

b2x02 - a2y02

Cho hyperbol  H  :

Câu 46.

a2 + b2

=

a2b2
.
a2 + b2

x2 y 2


 1 có hai tiêu điểm F1 , F2 . Với
25 16

M là một điểm tùy ý thuộc ( H ) . Hãy tính S   MF1  MF2   4OM 2
2

A. 8.

B. 1.

1
.
64
Lời giải
C.

D. 64.

Chọn D.
�
�
a2 = 25
a= 5
�
�
�
�
2
�
�

b = 16
��
b= 4 .
Ta có: �
�
�
�
�
�
c2 = a2 + b2 �
c = 41
�
�

Gọi M ( x0; y0 ) �( H ) . Khơng mất tính tổng qt, giả sử x0 > 0. Lúc đó :
MF1 = 5+

41
41
x , MF2 =- 5+
x , OM = x02 + y02 .
5
5
2

S   MF1  MF2 

2

41

41
64
 4OM 2 = 5+
x0 - 5+
x0 - 4( x02 + y02 ) = x02 - 4y02
4
5
25

�x2 y2 �
�
0
�
= 64�
- 0�
= 64
�
�
�
�
25 16�
Câu 47.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông

x2 y 2

 1 và điểm M  2;1 . Viết
2 3
phương trình đường thẳng d đi qua M , biết rằng đường thẳng đó cắt  H 

tại hai điểm A , B mà M là trung điểm của AB.
A. d : x- 2y = 0.
B. d : 3 x  y  5  0. C. d : x  y  5  0.
D. d : 3 x  y  5  0.
Lời giải
Chọn D.
Gọi A( x0; y0 ) = d I ( H ) . Vì M ( 2;1) là trung điểm của AB nên B( 4- x0;2- y0 ) �( H )
.
góc Oxy , cho hypebol  H  có phương trình:

( 4-

x0 )

2

( 2-

y0 )

2

4
20
= 1 � - 4x0 + y0 + = 0 � 3x0 - y0 - 5= 0 .
3
3
2
3
Vậy phương trình đường thẳng d :3x- y- 5= 0.

2
2
Câu 48.
Cho hyperbol  H  : x  y  8 . Viết phương trình chính tắc
Suy ra

-

của Elip  E  đi qua điểm A  4;6  và có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của
hyperbol đã cho.
x2 y 2
x2 y 2
A.  E  : 
B.  E  : 
 1.
 1.
16 36
48 64
x2
y2
x2 y2
E
:

 1.
C.  E  : 
D.
 
 1.
22  3 35 21  3 35

64 48
Trang
13/14


Lời giải
Chọn C.
�
a= 2 2
�
a2 = 8
�
�
�
�
�
��
b = 2 2 . Tiêu điểm của ( H ) là F1 ( - 4;0) , F2 ( 4;0) .
b2 = 8
( H ) có �
�
�
�
�
�
c= 4
�
�
c2 = a2 + b2 �
�

�
�
( E) có tiêu điểm là F1 ( - 4;0) , F2 ( 4;0) và đi qua A( 4;6) .
�
�
�
c= 4
�
�
�
�
a2 = b2 +16
a2 = 64
�2
�
2
2
�
a = b +c � � 2
�
Ta có: �
.
�
2
�
�
16b + 36( b2 +16) = ( b2 +16) b2 �
b
=
48

�
�
�
2
2
�
�
4 6
�
+
=
1
�
2
�
b2
�a
x2 y2
Vậy ( E) : + = 1.
64 48
Câu 49.
Lập phương trình chính tắc của hyperbol  H  với Ox là
3
trục thực, tổng hai bán trục a  b  7, phương trình hai tiệm cận: y  � x .
4
2
2
2
2
2

2
x
y
x
y
x
y
A.  H  : 2  2  1. B.  H  : 2  2  1. C.  H  : 2  2  1.
D.
3
4
4
3
28 21
x2
y2
 H  : 2  2  1.
21 28
Lời giải
Chọn B.
�
a+ b = 7 �
�
a= 4
x2 y2
�
�
. Phương trình ( H ) : 2 - 2 = 1.
Ta có: �b 3 � �
�

�
b= 3
=
4 3
�
�
�
�a 4

x2 y 2

 1 . Lập phương trình tiếp
42 32
tuyến của  H  song song với đường thẳng d : 5 x  4 y  10  0 .
A. 5 x  4 y  4  0, 5 x  5 y  4  0 .
B. 5 x  4 y  16  0 và 5 x  4 y  16  0 .
C. 5 x  4 y  16  0 .
D. 5 x  4 y  16  0 .
Lời giải
Chọn B.
x .x y .y
Gọi M ( x0; y0 ) �( H ) . Phương trình tiếp tuyến của ( H ) tại M là D : 0 - 0 = 1.
16
9
x0
y
x
y
- 0
- 1 � 0 = 0 . Ta có hệ phương trình

16
9
D //d �
=
�
20 9
5
- 4
10
�x
�
y
9
0
�
�
= 0
x0 = 5; y0 =
�
�
�
20 9
4
�
.
��
�2
2
�
�

9
x
y
�
0
x =- 5; y0 =�
- 0 =1 �
�
�0
4
16 9
�
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là 5 x  4 y  16  0 và 5 x  4 y  16  0 .

Câu 50.

Cho hyperbol

 H :

Trang
14/14