VDC-Đ4-Tính-đơn-điệu-của-hàm-số-P1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (671.38 KB, 32 trang )
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Câu 1:
Cho hàm số
y = ax 3 + 3bx 2 − 2cx + d ( a , b , c , d
là các hằng số,
a ≠ 0 ) có đồ thị như hình
a
y = x 4 + (a + b) x 3 + (3b − c ) x 2 + ( d − 2c ) x + d − 2019
vẽ. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
4
nào sau đây?
A.
Câu 2:
( −∞ ;0) .
Cho hàm số
B.
y=
( 0;2) .
C.
Câu 3:
Câu 4:
B.
Biết đạo hàm của hàm số
điểm cực trị?
A.
2.
D.
(4 − m) 6 − x + 3
6 − x + m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
sao cho hàm số đồng biến trên khoảng
A. 14 .
( 1;2) .
13 .
y = f ( x)
( − 10;10)
D. 15 .
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
C. 0 .
đồng biến trên khoảng
Địa chỉ truy cập />
y = f ( x ) − 2x có bao nhiêu
D. 3 .
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
y = ( m 2 − 1) x 3 + 3x 2 − (m + 1) x + 2019
trong khoảng
( − 8;5) ?
C. 12 .
B. 1 .
m
( 2;+∞ ) .
m ∈ [ − 10;10]
để hàm số
( 0;+ ∞ ) ?
Trang 1
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
A.
Câu 5:
8.
B.
Cho hàm số
Câu 6:
y = f ( x)
10 .
C.
¡
có đạo hàm liên tục trên
y = f ( x2 − 2 x )
Hàm số
A.
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
( − ∞ ;0) .
B.
9.
D. 11 .
và có bảng biến thiên như sau:
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( 0;1) .
C.
( 2;+ ∞ ) .
D.
( 1;2) .
Cho hàm số
y = f ( x)
có đạo hàm trên khoảng
( a ; b) . Phát biểu nào sau đây là sai?
A. Hàm số
y = f ( x)
nghịch biến trên khoảng
( a ; b)
f ′ ( x) = 0
tại hữu hạn giá trị
B. Hàm số
y = f ( x)
x ∈ ( a ; b)
khi và chỉ khi
f ′ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ ( a ; b )
và
.
nghịch biến trên khoảng
( a ; b)
khi và chỉ khi
∀ x1 , x2 ∈ ( a ; b ) : x1 > x2
⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .
C. Nếu
f ′ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ ( a ; b )
nghịch biến trên khoảng
D. Nếu
Câu 7:
Hàm số
A.
thì hàm số
y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x )
y = f ( 2 + ex )
( − 1;3) .
f '( x) = 0
tại hữu hạn giá trị
x ∈ ( a ; b)
thì hàm số
y = f ( x)
( a ; b) .
f ′ ( x ) < 0, ∀ x ∈ ( a ; b )
Cho hàm số
và
y = f ( x)
nghịch biến trên khoảng
( a ; b) .
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
nghịch biến trên khoảng
B.
( − 2;1) .
C.
( − ∞ ;0) .
Địa chỉ truy cập />
D.
( 0;+ ∞ ) .
Trang 2
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
Câu 8:
Cho hàm số
y = f ( x)
nguyên âm của
A.
Câu 9:
m
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
có đạo hàm
để hàm số
3.
B.
Cho hàm số
f ( x)
f ′ ( x ) = x 2 ( x + 2 ) ( x 2 + mx + 5)
g ( x ) = f ( x2 + x − 2)
đồng biến trên
( 1;+ ∞ )
là
D.
7.
C. 5 .
4.
∀ x∈ R.
với
Số giá trị
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
2
y = f ( 2 x + 1) + x 3 − 8 x + 2019
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
3
A.
( 1;+ ∞ ) .
Câu 10: Cho hàm số
B.
y = f ( x)
( −∞ ; − 2 ) .
liên tục trên
y = ( f ( x) ) − 3( f ( x) )
3
Hàm số
A.
( 1; 2) .
Câu 11: Có
bao
B.
nhiêu
giá
1
− 1; ÷ .
C.
2
¡
( − 1;7) .
và có bảng biến thiên như sau:
2
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( 3; 4 ) .
trị
D.
C.
nguyên
của
( −∞ ; 1) .
tham
D.
số
m
( 2; 3) .
để
phương
trình
3x 2 + 3x + m + 1 2
log2
= x − 5x + 2 − m
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 .
2 x2 − x + 1
A. Vô số.
Câu 12: Cho hàm số
Hàm số
B.
2.
y = f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x )
y = f ( x2 )
C.
4.
D. 3 .
có đồ thị như hình bên.
đồng biến trên khoảng
Địa chỉ truy cập />
Trang 3
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
A.
( 1;2) .
Câu 13: Gọi
S
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
( −∞ ; − 2 ) .
B.
C.
( − 2; − 1) .
D.
( − 1;1) .
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên
¡
.
1
1
f ( x ) = m 2 x5 − mx 3 + 10 x 2 − ( m2 − m − 20 ) x
. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S
5
3
bằng
5
A. 2 .
−2.
B.
Câu 14: Cho hàm số
y = f ( x)
1
C. 2 .
có hàm số
y = f ′ ( x)
3
D. 2 .
có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
x3 x2
g ( x ) = f ( x − 1) − +
3 2 đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( − ∞ ; − 1) .
Câu 15: Cho hàm số
B.
f ( x)
có đồ thị
( − 1;0) .
y = f ′ ( x)
C.
( 0;1) .
D.
( 2;+ ∞ ) .
như hình vẽ
x3 2
y = f ( 2 x − 1) + + x − 2 x
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
3
A.
( − 6; − 3) .
Câu 16: Cho hàm số
B.
( 3;6) .
y = x 3 − mx + 1 ( m
C.
( 6;+ ∞ ) .
là thám số thực). Gọi
[
cho hàm số đồng biến trên 1; +∞) . Tìm số phần tử của
A. 3.
B. 10.
C. 1.
Câu 17: Cho hàm số
có hồnh độ
S
S
D.
( − 1;0) .
là tập tất cả các số tự nhiên
m
sao
.
D. 9.
y = f ( x ) = 22018 x 3 + 3.22018 x 2 − 2018 có đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
x1 , x2 , x3. Tính giá trị biểu thức
P=
1
1
1
+
+
.
f '( x1 ) f '( x2 ) f '( x3 )
Địa chỉ truy cập />
Trang 4
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
A.
P= 0
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
B.
P = 22018.
C.
Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
đồng biến trên
A.
m ∈ [ −2018;2018]
D.
để hàm số
P = 3.22018 − 1.
y = x 2 + 1 − mx − 1
( −∞ ;+∞ ) .
2018 .
Câu 19: Cho hàm số
P = − 2018.
B.
y = f ( x)
2019 .
C.
liên tục trên
¡
2020 .
D.
2017 .
và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Cho các mệnh đề sau:
I. Phương trình
f ( x) = m
có hai nghiệm phân biệt khi
II. Hàm số đồng biến trên khoảng
( − ∞ ; − 2) .
III. Hàm số nghịch biến trên khoảng
IV. Hàm số đồng biến trên khoảng
m < 0.
( − 2; +∞ ) .
( −∞ ;5) .
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
Câu 20: Cho hàm số
y = f ( x)
y = − 2 f ( 2 − x) + x2
A.
( − 3; − 2 ) .
có đồ thị hàm số
y = f ′( x)
D. 1.
được cho như hình bên. Hàm số
nghịch biến trên khoảng
B.
( − 2; − 1) .
C.
( − 1;0) .
Địa chỉ truy cập />
D.
( 0;2 ) .
Trang 5
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
1
y = x 3 + ( 2 − m ) x 2 + ( 4 − 2m ) x − m 2 − 3m − 8
Câu 21: Cho hàm số
. Tìm các giá trị của tham số
3
m
để
1
− ;+ ∞ ÷
hàm số đồng biến trên khoảng 2
.
A.
m≥ 2.
B.
y = f ( x)
Câu 22: Cho hàm số
Hỏi hàm số
A.
hợp
K
9
4.
C.
liên tục trên đoạn
g ( x ) = f ( x 2 + 1)
( − 1;1) .
Câu 23: Gọi
2≤ m<
B.
[ − 1;4]
cả
các
( 0;1) .
A.
giá
m≤ 2.
y = f ′ ( x ) như hình bên.
trị
của
72 x +
( 1;4) .
x+ 1
− 72+
tham
D.
(
3;4
).
+ 2018 x ≤ 2018 ( 1) . Biết rằng tập
x+ 1
m
số
K
đồng biến trên
là
sao
cho
a − b ; +∞
hàm
số
) , với a, b là số
S = a+ b
S = 14
B.
S=8
Câu 24: Cho hàm số có đạo hàm trên
y = f ( 3 − x)
A.
và có đồ thị hàm số
C.
y = 2 x 3 − 3 ( m + 2 ) x 2 + 6 ( 2m + 3) x − 3m + 5
thực. Tính
D.
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
là tập nghiệm của bất phương trình
tất
m< 2.
( − 2; − 1 ) .
¡
C.
S = 10
và có đồ thị hàm số
D.
y = f ′ ( x)
S = 11
như hình bên. Hàm số
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
B.
( − 1;2 ) .
C.
(
2;+ ∞ ) .
Địa chỉ truy cập />
D.
( −∞ ;−1 ) .
Trang 6
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
Câu 25: Cho
hàm
số
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
y = f ( x)
xác
f ′ ( x ) = (1 − x ) ( x + 2 ) g ( x ) + 2019
y = f ( 1 − x ) + 2019 x + 2018
A.
( 3;+ ∞ ) .
Câu 26: Cho hàm số
f ′ ( x)
B.
y = f ( x)
trong
x = 1.
( 1;+ ∞ ) .
C.
xác định và liên tục trên
Hàm số
D.
f ( x)
và
có
đạo
g( x) > 0 ∀ x ∈ ¡
đó
( −∞ ;3) .
¡
B.
D.
, có đạo hàm
như hình vẽ. Xác định điểm cực tiểu của hàm số
Câu 27: Cho hàm số
A.
¡
trên
hàm
.
thỏa
mãn
Hàm
số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. Khơng có điểm cực trị.
C.
định
( 0;3) .
f ′ ( x ) . Biết đồ thị hàm số
g ( x) = f ( x) + x .
x = 0.
x = 2.
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
y = 3 f ( x + 2) − x 3 + 3x
( 1;+ ∞ ) .
B.
đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
( − ∞ ; − 1) .
C.
( − 1;0) .
D.
( 0;2 ) .
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
[2D1-1.3-3] Cho hàm số
y = ax 3 + 3bx 2 − 2cx + d ( a , b , c , d
là các hằng số ,
a ≠ 0 ) có đồ
a
y = x 4 + (a + b) x 3 + (3b − c ) x 2 + ( d − 2c ) x + d − 2019
thị như hình vẽ. Hàm số
nghịch biến
4
trên khoảng nào sau đây?
Địa chỉ truy cập />
Trang 7
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
A.
( −∞ ;0)
.
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
B.
( 0;2)
.
C.
( 1;2)
.
D.
( 2;+∞ )
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1
y = f ( x ) = ax 3 + 3bx 2 − 2cx + d ( a ≠ 0 )
f ′ ( x ) = 3ax 2 + 6bx − 2c
.
.
a
y = g ( x ) = x 4 + ( a + b ) x 3 + ( 3b − c ) x 2 + ( d − 2c ) x + d − 2019
.
4
g ′ ( x ) = ax 3 + 3 ( b + a ) x 2 + 2 ( 3b − c ) x + d − 2c = f ( x ) + f ′ ( x )
Từ đồ thị
y = f ( x)
Bảng xét dấu
.
ta có bảng biến thiên:
g′ ( x )
Từ bảng xét dấu
g′ ( x ) ⇒
hàm số
y = g ( x)
nghịch biến trên
( 1;2 )
.
Cách 2
Đồ thị hàm số y =
ax 3 + 3bx 2 − 2cx + d ( a ≠ 0 )
đạt cực trị tại
Địa chỉ truy cập />
( 0;1)
và
( 2; − 3)
Trang 8
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
y ′ = 3ax 2 + 6bx − 2c
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
.
y′ ( 0) = 0
c = 0
a = 1
′
y
2
=
0
(
)
b = −1
12a + 12b = 0
⇒
⇔
⇔
y
0
=
1
(
)
d = 1
c = 0
y ( 2 ) = −3
8a + 12b + 1 = −3
d = 1 .
x4
⇒ y = − 3x 2 + x − 2018
Thay vào
.
4
y′ = x 3 − 6x + 1 .
x ≈ − 2,529
y ′ = 0 ⇔ x ≈ 0,1674
x ≈ 2,3614 .
Bảng biến thiên
⇒
đáp án C.
Cách 3
Từ đồ thị tìm được hàm bậc 3:
y = x 3 − 3x 2 + 1 = f ( x )
.
a
y = x 4 + ( a + b ) x 3 + ( 3b − c ) x 2 + ( d − 2c ) x + d − 2019
.
4
y ′ ( x ) = ax 3 + 3 ( b + a ) x 2 + 2 ( 3b − c ) x + d − 2c = f ( x ) + f ′ ( x ) = x 3 − 6 x + 1
x ≈ − 2,529
y ′ = 0 ⇔ x ≈ 0,1674
x ≈ 2,3614
Bảng biến thiên
Câu 2:
⇒
đáp án C.
[2D1-1.4-3] Cho hàm số
khoảng
( − 10;10)
y=
(4 − m) 6 − x + 3
6 − x + m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của
sao cho hàm số đồng biến trên khoảng
A. 14 .
B.
13 .
m
trong
( − 8;5) ?
C. 12 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn A
Đặt
t = 6 − x ⇒ f ( t) =
( 4 − m) t + 3 ⇒ f ′
t+m
( x ) = f ′ ( t ) .t′ ( x ) .
Địa chỉ truy cập />
Trang 9
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
Với
x ∈ ( − 8;5) , ta có
đó ta suy ra hàm số
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
t′ ( x ) =
y=
−1
< 0, ∀x ∈ ( −8;5)
. Cho nên x ∈ ( − 8;5) ⇒ t ∈ (1; 14) . Từ
2 6− x
(4 − m) 6 − x + 3
6 − x + m đồng biến trên khoảng
( 4 − m) t + 3
f ( t) =
t+m
nghịch biến trên khoảng
f ( t ) nghịch biến trên khoảng (1; 14) ⇔
Do
( − 8;5)
khi hàm số
(1; 14) .
− m 2 + 4m − 3 < 0
m ∈ [− 1;1) ∪ (3; +∞ )
−m ≤ 1
⇔
− m 2 + 4m − 3 < 0 m ≤ − 14
− m ≥ 14
m ∈ (− 10;10) nên m ∈ { − 9; − 8; − 7; − 6; − 5; − 4; − 1;0;4;5;6;7;8;9} .
Như vậy có
14
số
m nguyên trong khoảng ( − 10;10)
sao cho hàm số đồng biến trên khoảng
( − 8;5) .
Câu 3:
[2D1-1.3-3] Biết đạo hàm của hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.
2.
y = f ( x)
có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
C. 0 .
B. 1 .
y = f ( x ) − 2x
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số
y = f ( x) − 2x
xác định và liên tục trên
¡
.
x = −1
y′ = f ′ ( x ) − 2 = 0 ⇔ f ′ ( x ) = 2 ⇔
x = x0 .
Ta có:
x = − 1 là nghiệm kép , x0 > 1 .
Địa chỉ truy cập />
Trang 10
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
Bảng biến thiên của hàm số: y =
x
f ( x) − 2x :
−∞
-
y,
0
-
+∞
0
+
y ( − 1)
+∞
y
x0
-1
+∞
y ( x0 )
Vậy hàm số có 1 cực trị .
Câu 4:
[2D1-1.4-3] Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
y = ( m 2 − 1) x 3 + 3x 2 − (m + 1) x + 2019
A. 8 .
B.
m ∈ [ − 10;10]
đồng biến trên khoảng
10 .
C.
9.
để hàm số
( 0;+ ∞ ) ?
D. 11 .
Lời giải
Chọn B
TXĐ:
D= ¡
.
y ′ = 3 ( m 2 − 1) x 2 + 6 x − ( m + 1) .
Hàm số đồng biến trên khoảng
( 0;+ ∞ )
khi và chỉ khi
y′ ≥ 0 với ∀ x ∈ ( 0; +∞ ) .
1
⇔ x>
TH1: m = 1 ⇒ y ′ = 6 x − 2 > 0
3
(không thỏa mãn điều kiện đồng biến trên khoảng
( 0;+ ∞ ) .
TH2:
m = − 1 ⇒ y′ = 6 x > 0 ⇔ x > 0 .
Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
Suy ra
( 0;+ ∞ ) .
m = − 1 thỏa mãn.
m > 1
2
m − 1 > 0 ⇔ m < − 1
⇔
2
TH3: ∆ ′y′ ≤ 0
3(m + 2) ( m − m + 1) ≤ 0
Mà
m > 1
m < − 1 ⇔ m ≤ −2
m ≤ −2
.
m∈ [ − 10;10] ⇒ m ∈ [ − 10; − 2]
m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { − 10,.., − 2}
.
Địa chỉ truy cập />
Trang 11
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
m > 1
m − 1 > 0 m < −1
∆ y′ > 0 ⇔ m > −2
f (0) ≥ 0
− (m + 1) ≥ 0
−1
S < 0
2
<0
TH4: 2
⇔
m −1
2
Mà
m∈ ¢ ⇒ m∈ ∅
−2 < m < −1.
.
Kết hợp các trường hợp trên suy ra có
10
giá trị
m
thỏa mãn.
Vậy đáp án là B.
Câu 5:
[2D1-1.3-3] Cho hàm số
Hàm số
A.
y = f ( x2 − 2 x )
( − ∞ ;0) .
y = f ( x)
có đạo hàm liên tục trên
¡
và có bảng biến thiên như sau:
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
B.
( 0;1) .
C.
( 2;+ ∞ ) .
D.
( 1;2) .
Lời giải
Chọn B
Ta có
y′ = ( 2 x − 2 ) f ′ ( x 2 − 2 x ) .
x = 1
x = 0
x = 1
⇔
2
2x − 2 = 0
⇔ x − 2x = 0 x = 2
y′ = 0 ⇔
2
2
f ′ x − 2 x = 0 x − 2 x = 2 x = 1 ± 3 .
(
Bảng xét dấu của
x
y′
−∞
Vậy hàm số
Câu 6:
)
y′
−
1− 3
0
y = f ( x2 − 2 x )
[2D1-1.1-2] Cho hàm số
sai?
0
+
0
−
1
0
2
+
0
nghịch biến trên các khoảng
y = f ( x)
−
0
( 0;1)
có đạo hàm trên khoảng
Địa chỉ truy cập />
1+ 3
và
+
+∞
( −∞ ;1 − 3 ) và ( 2;1 + 3 )
( a ; b) . Phát biểu nào sau đây là
Trang 12
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
A. Hàm số
f ′ ( x) = 0
y = f ( x)
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
nghịch biến trên khoảng
tại hữu hạn giá trị
B. Hàm số
y = f ( x)
x ∈ ( a ; b)
( a ; b)
khi và chỉ khi
f ′ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ ( a ; b )
và
.
nghịch biến trên khoảng
( a ; b)
khi và chỉ khi
∀ x1 , x2 ∈ ( a ; b ) : x1 > x2
⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .
C. Nếu
f ′ ( x ) ≤ 0, ∀ x ∈ ( a ; b )
nghịch biến trên khoảng
D. Nếu
và
f '( x) = 0
tại hữu hạn giá trị
x ∈ ( a ; b)
thì hàm số
y = f ( x)
( a ; b) .
f ′ ( x ) < 0, ∀ x ∈ ( a ; b )
thì hàm số
y = f ( x)
nghịch biến trên khoảng
( a ; b) .
Lời giải
Chọn A
Theo định nghĩa, tính chất của hàm đơn điệu, ta có các phát biểu ở đáp án B, C, D là đúng.
1 1
f ( x ) = sin +
Phát biểu ở đáp án A sai. Thật vậy, xét hàm
x x trên khoảng ( 0;2π ) .
Ta có
f ′ ( x) = −
1
1 1
cos − 2 ≤ 0, ∀ x ∈ ( 0;2π )
2
,
x
x x
1
1
f ′ ( x ) = 0 ⇔ cos = − 1 ⇔ x =
∈ ( 0;2π )
x
( 2k + 1) π
nhưng
, suy ra có vô số giá trị
mãn; tức là số nghiệm của phương trình
Câu 7:
[2D1-1.3-3] Cho hàm số
Hàm số
A.
y = f ( 2 + ex )
( − 1;3) .
f ′ ( x) = 0
k∈ Ν
thỏa
không phải là hữu hạn.
y = f ( x ) . Hàm số y = f ′ ( x )
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
nghịch biến trên khoảng
B.
( − 2;1) .
C.
( − ∞ ;0) .
D.
( 0;+ ∞ ) .
Lời giải
Địa chỉ truy cập />
Trang 13
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
Chọn C
g ( x ) = f ( 2 + ex ) ⇒ g′ ( x ) = ex. f ′ ( 2 + ex ) .
Đặt
Ta có
ex > 0 ∀ x ∈ R
Do đó, hàm số
Câu 8:
nên
g′ ( x ) < 0 ⇔ f ′ ( 2 + ex ) < 0 ⇔ 2 + ex < 3 ⇔ e x < 1 ⇔ x < 0 .
y = f ( 2 + ex )
nghịch biến trên khoảng
[2D1-1.4-3]Cho hàm số
y = f ( x)
Số giá trị nguyên âm của
m
A.
3.
B.
có đạo hàm
để hàm số
( − ∞ ;0) .
f ′ ( x ) = x 2 ( x + 2 ) ( x 2 + mx + 5)
g ( x ) = f ( x2 + x − 2)
đồng biến trên
C. 5 .
4.
D.
với
( 1;+ ∞ )
∀ x∈ R.
là
7.
Lời giải
Chọn B
Ta có
g ′ ( x ) = ( 2 x + 1) f ′ ( x 2 + x − 2 ) .
( 1;+ ∞ )
Hàm số đồng biến trên
khi
f ′ ( x 2 + x − 2 ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( 1; + ∞ )
( 2 x + 1)
⇔ f ′ ( x 2 + x − 2 ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ( 1; + ∞ )
2
2
⇔ ( x 2 + x − 2 ) ( x 2 + x ) ( x 2 + x − 2 ) + m ( x 2 + x − 2 ) + 5 ≥ 0 ∀ x ∈ ( 1; + ∞ ) ( 1)
.
,
Đặt
t = x2 + x − 2
với
t > 0 , do x ∈ ( 1; + ∞ ) .
5
⇔
m
≥
−
t + ÷,
( 1) ⇒ t ( t + 2) t + mt + 5 ≥ 0 , ∀ t > 0 ⇔ t + mt + 5 ≥ 0 , ∀ t > 0
t ∀t > 0
2
(
)
2
2
⇔ m ≥ −2 5 ≈ −4,47 .
Do
m
nguyên âm nên
m ∈ { − 4; − 3; − 2; − 1} .
Câu 10: [2D1-1.4-4] Cho hàm số
f ( x)
có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
2
y = f ( 2 x + 1) + x 3 − 8 x + 2019
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
3
A.
( 1;+ ∞ ) .
B.
( −∞ ; − 2 ) .
1
− 1; ÷ .
C.
2
Địa chỉ truy cập />
D.
( − 1;7) .
Trang 14
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
Lời giải
Chọn C
Ta có
Nếu
y ′ = 2. f ′ ( 2 x + 1) + 2 x 2 − 8 .
− 1 < 2 x + 1 < 2 , từ bảng xét dấu suy ra f ′ ( 2 x + 1) < 0 ⇒ 2 f ′ ( 2 x + 1) < 0 ( 1) .
1
⇒ x ∈ − 1; ÷ ⇒ 2 x 2 − 8 = 2 x 2 − 4 < 0
( 2) .
Mà − 1 < 2 x + 1 < 2
2
(
1
∀ x ∈ − 1; ÷
Từ ( 1) và ( 2 ) ⇒ y ′ < 0 ,
2
⇒
)
2
y = f ( 2 x + 1) + x 3 − 8 x + 2019
hàm số
nghịch
3
1
− 1; ÷ .
biến trên khoảng
2
Cách 2:
Ta có:
2
y ′ = 2 f ′ ( 2 x + 1) + 2 x 2 − 8 = 2 f ′ ( 2 x + 1) + x − 4 .
t 2 − 2t + 1
t 2 − 2t − 15
t−1
′
′
′
y = 2 f ( t) +
− 4 = 2 f ( t ) +
t = 2x + 1 ⇒ x =
4
4
Đặt
.
2 . Khi đó:
Ta có bảng xét dấu:
Vậy
y
nghịch biến trên các khoảng
( − 3; − 1)
và
( − 1;2 ) , do đó y
1
− 1; ÷ .
nghịch biến trên
2
Cách 3:
Ta có:
2
y ′ = 2 f ′ ( 2 x + 1) + 2 x 2 − 8 = 2 f ′ ( 2 x + 1) + x − 4 .
Thử
x = 2 ⇒ y′ = 2 f ′ ( 5) > 0 nên loại đáp án A và D.
Thử
x = 0 ⇒ y′ = 2 f ′ ( 1) − 4 < 0
Câu 11: [2D1-1.2-4] Cho hàm số
y = f ( x)
nên ta chọn đáp án C.
liên tục trên
¡
và có bảng biến thiên như sau:
Địa chỉ truy cập />
Trang 15
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
y = ( f ( x) ) − 3( f ( x) )
3
Hàm số
A.
( 1; 2) .
B.
2
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
( 3; 4 ) .
C.
( −∞ ; 1) .
D.
( 2; 3) .
Lời giải
Chọn D
Ta có
y ′ = 3 f 2 ( x ) f ′ ( x ) − 6 f ( x ) f ′ ( x ) = 3 f ( x ) f ′ ( x ) f ( x ) − 2 .
f ( x) = 0
y′ = 0 ⇔ f ( x ) = 2
f ′ ( x ) = 0.
Suy ra
Từ bảng biến thiên của hàm số
f ( x ) , ta có:
x = x1 < 1
f ( x) = 0 ⇔
p) .
x = 4 ( nghiệm ké
x = x2 > x1
x = x3 ( 1 < x3 < 2 )
f ( x) = 2 ⇔
x = 3 ( nghiệ
m ké
p)
x = x4 > 4.
x = 1
x = 2
f ′ ( x) = 0 ⇔
x = 3
x = 4.
Do đó, ta có bảng biến thiên:
Địa chỉ truy cập />
Trang 16
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng
( x1; x2 ) , ( 1; x3 ) , ( 2;3)
và
( 4; x4 ) .
m
Câu 12: [2D1-1.4-4] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
3x 2 + 3x + m + 1 2
log2
= x − 5x + 2 − m
2 x2 − x + 1
A. Vơ số.
B.
để phương trình
1
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn .
2.
C.
4.
D. 3 .
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2 x 2 − x + 1 > 0, ∀ x
Điều kiện
3x 2 + 3x + m + 1 > 0, ∀ x
3x 2 + 3x + m + 1 2
log2
= x − 5x + 2 − m
2 x2 − x + 1
3x 2 + 3x + m + 1
⇔ log2
− 1 = x 2 − 5x + 1 − m
2
2x − x + 1
⇔ log2
3x 2 + 3x + m + 1
− log 2 2 = x 2 − 5 x + 1 − m
2
2x − x +1
3x 2 + 3x + m + 1 2
⇔ log2
= x − 5x + 1 − m
4x2 − 2 x + 2
⇔ log2 ( 3x 2 + 3x + m + 1) − log2 ( 4 x 2 − 2 x + 2 ) = ( 4 x 2 − 2 x + 2 ) − ( 3x 2 + 3x + m + 1)
⇔ log 2 ( 3x 2 + 3x + m + 1) + ( 3x 2 + 3x + m + 1) = log 2 ( 4 x 2 − 2 x + 2 ) + ( 4 x 2 − 2 x + 2 )
Xét hàm số
f ( t ) = log 2 t + t , t ∈ ( 0; + ∞ )
Dễ thấy hàm số trên đồng biến trên
(*).
.
( 0;+∞ ) .
Địa chỉ truy cập />
Trang 17
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
Mặt khác phương trình (*) có dạng
Do đó
f ( 3x 2 + 3x + m + 1) = f ( 4 x 2 − 2 x + 2 ) .
( *) ⇔ 3x 2 + 3x + m + 1 = 4 x 2 − 2 x + 2 (thỏa điều kiện)
⇔ m = x 2 − 5x + 1 (**).
u cầu bài tốn trở thành: Tìm số giá trị ngun của tham số
m
để phương trình (**) có hai
nghiệm phân biệt lớn hơn 1 .
Ta có bảng biến thiên của hàm số
f ( x ) = x 2 − 5x + 1 :
21
< m < −3
Từ bảng biến thiên suy ra 4
. Mà m ∈ ¢ nên m ∈ { − 5; − 4} .
−
Câu 13:
[2D1-1.2-4] Cho hàm số
Hàm số
A.
y = f ( x2 )
( 1;2) .
y = f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x )
có đồ thị như hình bên.
đồng biến trên khoảng
B.
( −∞ ; − 2 ) .
C.
( − 2; − 1) .
D.
( − 1;1) .
Lời giải
Chọn C
Ta có:
Và
Với
y = f ( x 2 ) ⇒ y ′ = 2 xf ′ ( x 2 ) .
y′ > 0 ⇔ 2 xf ′ ( x 2 ) > 0 .
x> 0
− 1 < x 2 < 1
2
′
f (x ) >0⇔ 2
⇔
x
>
4
khi đó
−1 < x < 1
x > 2 ∨ x < −2
. So với
x> 0
ta nhận
0 < x < 1
x > 2 .
Địa chỉ truy cập />
Trang 18
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
x2 < − 1
f ′( x ) < 0 ⇔
⇔
2
1
<
x
<
4
khi đó
2
Với x < 0
Ngày 18 / 1 / 2019
Câu 14: [2D1-1.3-4] Gọi
S
−2 < x < −1
1 < x < 2
. So với
là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
x< 0
ta nhận
− 2 < x < − 1.
m để hàm số sau đồng biến trên ¡
.
1
1
f ( x ) = m 2 x5 − mx 3 + 10 x 2 − ( m2 − m − 20 ) x
. Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
5
3
5
1
3
A. 2 .
B. − 2 .
C. 2 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn C
Cách 1.
f ′ ( x ) = m 2 x 4 − mx 2 + 20 x − ( m2 − m − 20 ) .
Hàm số đồng biến trên
Để ý
2 4
2
2
¡ ⇒ f ′ ( x ) = m x − mx + 20 x − ( m − m − 20 ) ≥ 0, ∀ x ∈ ¡
f ′ ( − 1) = 0, (*) ⇔ f ′ ( x ) ≥ f ′ ( − 1) ∀ x ∈ ¡ ⇒ x = − 1 là cực trị địa phương của f ′ ( x ) .
⇒ f ′′ ( − 1) = 0 ⇔ − 4m 2 + 2m + 20 =
m = −2
⇔
5 .
m =
0 2
4
2
Với m = − 2 ⇒ f ′ ( x ) = ( 4 x − 8 x + 4 ) + 10 ( x + 1)
2
= 4 ( x 2 − 1) + 10 ( x + 1) ≥ 0 ∀ x ∈ ¡
2
Với
(*).
m=
2
( thỏa mãn).
5
25
5
65
⇒ f ′ ( x ) = x 4 − x 2 + 20 x +
2
4
2
4
25 x 4 − 10 x 2 + 80 x + 65
=
4
=
( x + 1)
2
( 25x
2
− 50 x + 65 )
4
≥ 0 ∀x ∈ ¡
( thỏa mãn).
5 1
−2 + = .
Vậy tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
2 2
Cách 2.
f ′ ( x ) = m 2 x 4 − mx 2 + 20 x − ( m2 − m − 20 ) .
Địa chỉ truy cập />
Trang 19
STRONG TEAM TỐN VD-VDC
Hàm số đồng biến trên
Ta có
Nếu
f ′ ( − 1) = 0
nên
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
2 4
2
2
′
f
x
=
m
x
−
mx
+
20
x
−
m
− m − 20 ) ≥ 0, ∀ x ∈ ¡
(
)
(
¡ ⇒
f ′ ( x ) = ( x + 1) m 2 x3 − m2 x 2 + ( m 2 − m ) x − m2 + m + 20 = ( x + 1) g ( x) .
x = − 1 không phải là nghiệm của g ( x) thì f ′ ( x )
Do đó điều kiện cần để
(*).
f ′ ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ ¡
là
đổi dấu khi
x
đi qua
−1.
g ( − 1) = 0 .
5
g ( − 1) = 0 ⇔ − 4m 2 + 2m + 20 = 0 ⇔ m = − 2 ∨ m = .
2
Với
m = − 2 ⇒ f ′ ( x ) = ( x + 1) ( 4 x 3 − 4 x 2 + 6 x + 14 ) = ( x + 1) ( 4 x 2 − 8 x + 14 ) ≥ 0, ∀ x ∈ ¡
Và
f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1 , do đó f ( x )
2
đồng biến trên
¡
. Vậy
m = −2
.
thoả mãn.
25 x 3 25x 2 15x 65
5
m = ⇒ f ′ ( x ) = ( x + 1)
−
+
+ ÷
2
4
4
4
Với
4
=
( x + 1)
Và
2
( 25x
2
− 50 x + 65 )
4
≥ 0 ∀x ∈ ¡ .
f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = − 1 , do đó f ( x )
đồng biến trên
¡
. Vậy
m=
5
2 thoả mãn.
5 1
−2 + = .
Vậy tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
2 2
Ngày 17 / 1 / 2019
Câu 15: [2D1-1.2-4] Cho hàm số
y = f ( x)
x3 x2
g ( x ) = f ( x − 1) − +
3 2
A.
( − ∞ ; − 1) .
B.
có hàm số
y = f ′( x)
có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
( − 1;0) .
C.
( 0;1) .
D.
( 2;+ ∞ ) .
Lời giải
Chọn C
Địa chỉ truy cập />
Trang 20
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
g ′ ( x ) = f ′ ( x − 1) − x 2 + x = f ′ ( x − 1) + ( − x 2 + x )
x − 1 = −1
x −1= 0
f ′ ( x − 1) = 0 ⇔
⇔
x −1= 1
x −1= 2
⇒
Hàm số đồng biến trên
x = 0
x = 1
x = 2
x = 3
( 0;1) .
Ngày 16/01/2019
Câu 16: [2D1-1.2-4] Cho hàm số
f ( x)
có đồ thị
y = f ′ ( x)
như hình vẽ
x3 2
y = f ( 2 x − 1) + + x − 2 x
Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
3
A.
( − 6; − 3) .
B.
( 3;6) .
C.
( 6;+ ∞ ) .
D.
( − 1;0) .
Lời giải
Chọn D
y ′ = 2 f ′ ( 2 x − 1) + x 2 + 2 x − 2 .
y′ = 0 ⇔
Đặt
f ′ ( 2 x − 1) = −
t = 2 x − 1 suy ra
x2
− x +1
(1 )
2
f ′( t) = −
1 2
( t + 6t − 3) ( 2 )
8
Gọi hoành độ 2 giao điểm của hàm số
y = f ′ ( t)
và
y=−
Địa chỉ truy cập />
1 2
( t + 6t − 3) là t1 và t2 với t1 < t2 .
8
Trang 21
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
Dựa vào đồ thị, phương trình ( 2 ) có hai nghiệm
Do đó phương trình ( 1 ) có hai nghiệm
t1 , t2
thỏa mãn:
− 4 < t1 < − 3 < − 1 < t2 < 0 .
1 + t1
1 + t2
x2 =
2 ,
2 thỏa mãn:
x1 =
3
1
− < x1 < − 1 < 0 < x2 <
2
2.
Bảng biến thiên:
x3 2
y = f ( 2 x − 1) + + x − 2 x
Hàm số
nghịch biến trên khoảng ( x1 ; x2 ) nên nghịch biến trên
3
khoảng
( − 1;0) .
y = x 3 − mx + 1 ( m là tham số thực). Gọi S
sao cho hàm số đồng biến trên [ 1; +∞ ) . Tìm số phần tử của S .
Câu 17: [2D1-1.2-4] Cho hàm số
A. 3.
B. 10.
C. 1.
là tập tất cả các số tự nhiên
m
D. 9.
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số
TH1:
y = x 3 − mx + 1, y ′ = 3x 2 − m
.
∆ ′ = 3m ≤ 0 ⇒ y′ ≥ 0 ∀ x ≥ 1 .
m ≤ 0
⇔
⇔ m≤ 0⇔ m= 0
y
1
≥
0
(
)
Vậy trong trường hợp này để thỏa u cầu bài tốn
( vì
tự nhiên).
Địa chỉ truy cập />
m là số
Trang 22
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
TH2:
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
∆ = 3m > 0 ⇒ y ' = 0
có hai nghiệm
x1 < x2 ≤ 1
⇔
⇔
y
1
≥
0
(
)
Khi đó yêu cầu bài toán
Vậy
x1, x2 ( x1 < x2 ) .
m > 0
⇔ 0 < m ≤ 2 ⇔ m = { 1, 2}
2
−
m
≥
0
m = { 0,1,2} thỏa yêu cầu của bài toán.
Cách 2:
y = x 3 − mx + 1
đồng biến trên
không âm và đồng biến trên
[ 1; +∞)
khi và chỉ khi hàm
f ( x ) = x 3 − mx + 1
nhận giá trị
[ 1; +∞) .
f ′( x ) = 3x 2 − m ≥ 0, ∀ x ∈ [1; +∞ )
⇔
f (1) = 2 − m ≥ 0
3 − m ≥ 0
⇔
⇔ m≤2
2 − m ≥ 0
{
}
Vậy m = 0,1,2 thỏa yêu cầu của bài toán.
Ngày 15/1/2019
Câu 18: [2D1-1.4-3] Cho hàm số
y = f ( x ) = 22018 x 3 + 3.2 2018 x 2 − 2018 có đồ thị cắt trục hồnh tại 3 điểm
phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3. Tính giá trị biểu thức
A.
P= 0
B.
P = 22018.
P=
C.
1
1
1
+
+
.
f '( x1 ) f '( x2 ) f '( x3 )
P = − 2018.
D.
P = 3.22018 − 1.
Lời giải
Chọn A
Vì
x1 , x2 , x3
Ta có
là ba nghiệm của phương trình
f ( x ) = 0 ⇒ f ( x ) = 22018 ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) .
f '( x ) = 22018 [ ( x − x1 )( x − x3 ) + ( x − x2 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x2 )] .
Khi đó:
f '( x1 ) = 22018 ( x1 − x2 )( x1 − x3 )
2018
f '( x2 ) = 2 ( x2 − x1 )( x2 − x3 )
f '( x ) = 22018 ( x − x )( x − x )
3
3
1
3
2
⇒ P=
1
1
1
1
1
1
1
+
+
= 2018
+
+
f '( x1 ) f '( x2 ) f '( x3 ) 2 ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x2 )
Địa chỉ truy cập />
Trang 23
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
=
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
1
2
2018
.
x2 − x3 − ( x1 − x3 ) + x1 − x2
1
0
= 2018 .
= 0.
( x1 − x2 )( x1 − x3 )( x2 − x3 ) 2
( x1 − x2 )( x1 − x3 )( x2 − x3 )
Vậy P = 0 .
Ngày 10 / 01 / 2019
m ∈ [ −2018;2018]
Câu 19: [2D1-1.4-3] Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
y = x 2 + 1 − mx − 1 đồng biến trên ( − ∞ ; + ∞ ) .
A.
2018 .
B.
2019 .
2020 .
C.
D.
2017 .
Lời giải
Chọn A
y = x 2 + 1 − mx − 1 ⇒ y ′ =
Ta có:
nghiệm, nên ta có:
Hàm số đã cho đồng biến trên
y ′ ≥ 0, ∀ x ∈ ¡ ⇔
Đặt
f ( x) =
x
x2 + 1
x
x
−m
x2 + 1
( −∞ ;+∞ )
. Dễ thấy phương trình
khi và chỉ khi
− m ≥ 0, ∀ x ∈ ¡ ⇔ m ≤
f ′( x ) =
x + 1 ta có:
2
y′ = 0 có nhiều nhất hai
1
( x + 1)
2
x2 + 1
x
x2 + 1
,∀x ∈ ¡
.
> 0, ∀ x ∈ ¡
.
lim f ( x ) = − 1, lim f ( x ) = 1 .
x → −∞
x → +∞
BBT:
Từ BBT ta có
Suy ra có
m ≤ −1
kết hợp với điều kiện
m ∈ [ −2018;2018]
ta được
m ∈ [ −2018; −1]
2018 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện.
Câu 20: [2D1-1.4-3] Cho hàm số
y = f ( x)
liên tục trên
¡
và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Địa chỉ truy cập />
Trang 24
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC
SỰ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ – 2019
Cho các mệnh đề sau:
I. Phương trình
f ( x) = m
có hai nghiệm phân biệt khi
m < 0.
( − ∞ ; − 2) .
II. Hàm số đồng biến trên khoảng
III. Hàm số nghịch biến trên khoảng
IV. Hàm số đồng biến trên khoảng
( − 2; +∞ ) .
( −∞ ;5) .
Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
D. 1.
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên dễ dàng thấy các mệnh đề I; II và III đúng.
Câu 21: [2D1-1.4-3] Cho hàm số
y = f ( x)
có đồ thị hàm số
y = f ′ ( x)
được cho như hình bên. Hàm số
y = − 2 f ( 2 − x ) + x 2 nghịch biến trên khoảng
A.
( − 3; − 2 ) .
B.
( − 2; − 1) .
C.
( − 1;0) .
D.
( 0;2 ) .
Lời giải
Chọn C
Đặt
Vì
g ( x ) = − 2 f ( 2 − x ) + x 2 . Ta có g ′ ( x ) = 2 f ′ ( 2 − x ) + x .
x ∈ ( − 3;2 )
nên
2 − x ∈ ( 0;5) . Vậy ta chỉ cần xét đồ thị trên khoảng ( 0;5) .
Địa chỉ truy cập />
Trang 25
