VDC-DU-AN-5-HÌNH-KHÔNG-GIAN-p1-SP

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

HÌNH KHƠNG GIAN

ĐỀ BÀI
B C D . Gọi M là trung điểm của AD ,  là góc giữa hai mặt
Cho khối lập phương ABCD. A����
BMC �
A�
 và  ABB�
 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
phẳng 

Câu 1:

A.

cos  

Câu 2:

3
4.

B.

cos  

4

5.

C.

cos  

1
3.

D.

cos  

2
3.

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi P là điểm trên cạnh

SC sao cho SC  5SP . Một mặt phẳng    qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi

V1
V1 là thể tích của khối chóp S . AMPN . Tìm giá trị lớn nhất của V
1
A. 15 .

1
B. 25 .

3
C. 25 .

2
D. 15 .

Câu 3: Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi
một mặt phẳng vng góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường trịn có bán kính bằng ba lần bán
3
kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng 2 chiều cao của thùng
54 3  dm3 
nước và đo được thể tích của nước tràn ra ngồi là
. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt
trong của thùng và đúng một nửa khối cầu đã chìm trong nước ( hình vẽ ). Thể tích nước cịn lại trong
thùng có giá trị nào sau đây?
46
3  dm3 
5
A.
.

B.

18 3  dm3 

.

46
3  dm3 
3
C.
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D.

18  dm3 

.

Trang 1 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 4:

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

A�B�C �. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
Cho hình lăng trụ đều ABC �



a, góc giữa hai mặt phẳng ABC



�

 BCCB 

và

�

bằng  với

cos  

 ABC 

�

bằng

1

.
2 3 Tính thể tích khối lăng trụ

ABC �
A�B �C �.
3a 3 2
V
4 .
A.

Câu 5:

3a 3 2
V

8 .
B.

a3 2
V
2 .
C.

3a 3 2
V
2 .
D.

   thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứ
Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  1 . Mặt phẳng

1
1
1


diện và cắt SA, SB, SC lần lượt tại A1 , B1 , C1 . Tìm giá trị lớn nhất của SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1 .

16
A. 3 .

Câu 6:

4
B. 9 .

16
C. 9 .

4
D. 3 .

Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy và khoảng cách

 SBD 
từ C đến mặt phẳng

a 3
bằng 3 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

a3
V
2 .
A.

3
B. V  a .

a3
V
3 .
C.

3a 3
V

9 .
D.

Cho hình chóp S . ABCD , ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB , AB  4CD . Chiều cao của
hình thang ABCD bằng a . Bốn đường cao kẻ từ S của bốn mặt bên có độ dài bằng b . Biết thể tích khối
Câu 7:

5a 3
S . ABCD bằng 12 . Khi đó:
A. b  2a .
Câu 8:

B.

b

a 3
4 .

C.

b

a 3
2 .

D.

b

a 5
2 .

Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  BC  3a 2 ,

�  SCB
�  90�
 SBC  bằng 2a 3 . Tính thể tích mặt cầu
SAB
. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng
ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
3
A. 72 18 a .

3
B. 18 18 a .

3
C. 6 18 a .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

3
D. 24 18 a .

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

B C D có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a và
Cho hình hộp ABCD. A����

Câu 9:

A�
A  A�
B  A�
C  2a 2 . Thể tích khối tứ diện AB��
D C bằng
4a 3 . 2
3 .
A.

4a 3 . 6
3 .
B.

4a 3
C. 3 .

4a 3 . 3
3 .
D.

Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a , AD  2a , SA vng góc
với đáy, khoảng cách từ A

SCD 
đến 

4 15 3
a
A. 45
.

a
bằng 2 . Tính thể tích khối chóp theo a .

4 15 3
a
B. 15
.

2 5 3
a
C. 15
.

2 5 3
a
D. 45
.

B C có đáy là tam giác ABC vng cân tại A , góc giữa hai
Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���

mặt phẳng

C
 AB�

và

B�
 BCC �
 bằng 60�và khoảng cách từ điểm

C
B đến mặt phẳng  AB�
bằng

a 6
CA��
C là?
2 . Thể tích của khối đa diện AB�
a3 3
A. 2 .

3a 3 3
2 .
B.

Câu 12: Trong mặt phẳng
mặt phẳng
Gọi

 S

 P

 P

3
C. a 3 .

a3 3
D. 3 .

cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8cm và một điểm S di động ngoài

2
sao cho tam giác MAB ln có diện tích bằng 16 3cm , với M là trung điểm của SC .

là mặt cầu đi qua bốn đỉnh M , A , B , C . Khi thể tích khối chóp S . ABC lớn nhất, tính bán kính

nhỏ nhất của

 S .

16 6
cm
A. 9
.

4 3
cm
B. 3

.

4 15
cm
C. 3
.

4 39
cm
D. 3
.

SA   ABCD 
Câu 13: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng và
. Trên đường thẳng

vng góc với
phẳng



ABCD 

 ABCD  . Gọi V1

tại D lấy điểm S �thỏa mãn

S�
D

1
SA
2
và S , S �ở cùng phía đối với mặt

. ABCD . Gọi V2 là thể
là thể tích phần chung của hai khối chóp S . ABCD và S �

V1
tích khối chóp S . ABCD . Tỉ số V2 bằng
V1 5

V
18 .
2
A.

V1 1

V
3.
2
B.

V1 2

V
3.
2
C.

V1 7

V
18 .
2
D.

B C D cạnh a . Các điểm M , N lần lượt di động trên các tia
Câu 14: Cho khối lập phương ABCD. A����

N  a 2 . Khi đó, thể tích khối tứ diện AMNB�có giá trị lớn nhất là
AC , B��
D sao cho AM  B�
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 3 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

a3 2
A. 12 .

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

a3
C. 6 .

a3 3

B. 6 .

a3
D. 12 .

�
Câu 15: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC  60�. Hình chiếu vng
ABC 
góc cuả điểm S lên mặt phẳng 
trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Gọi  là góc giữa đường
SCD 
thẳng SB và mặt phẳng 
, biết SB  a , tính sin  .

A.

3
2 .

sin  

B.

sin  

1
4.

C.

sin  

1
2.

D.

sin  

2
2 .

ABCD 
Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng 
; tứ giác ABCD là hình
uuur
uur
SA

a
3
AD

3
AI ; M là
AD

3
BC


3
a
AB

a
A
B
I
thang vng tại
và ;
;
,
. Điểm
thỏa mãn
trung điểm SD , H là giao điểm của AM và SI . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC .

Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng

 ABCD  .
 a3
V
5 5.
A.

 a3
V
2 5.
B.

 a3

V
5.
C.

 a3
V
10 5 .
D.

B C có đáy là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu vng góc của A�
Câu 17: Cho hình lăng trụ ABC. A���

trên mặt phẳng

 ABC 

trùng với trung điểm H của đoạn AM ( M là trung điểm cạnh BC ). Biết khoảng

2 3
a
. ABC là
cách giữa BC và AA�bằng 3 . Thể tích khối chóp C �
3 5a 3
A. 5 .

3a 3
B. 36 .

3a 3
C. 18 .

D.

5a 3
5 .

0
�
Câu 18: Cho hình chóp S . ABC có SA vng góc với mặt phẳng đáy. Biết BAC  30 , SA  a,

BA  BC  a . Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC . Khoảng cách từ B đến mặt  SCD  bằng

A.

21
a
7
.

2 21
a
B. 7
.

2
a
C 2 .

2
a

D. 2 .

�
�
Câu 19: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SAB  SCB  90�và

SB  2a . Tính tan của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) .
2
A. 4 .

B.

2.

C. 2 2 .

D.

6.

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. M là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng

   chứa

AM , cắt SD, SB lần lượt tại E và F .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

SD SB

Tính tỉ số SE SF
8
A. 3 .

7
B. 3 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 21: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm

 SBC  tạo với mặt
trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Biết AB  a, SA  2SD , mặt phẳng
0
phẳng đáy một góc 60 . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng:
15a 3
A. 2 .

5a 3
B. 18 .

5a 3
C. 6 .

5a 3
D. 2 .

Câu 22: Cho hình vng ABCD và ABEF cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vng góc
với nhau. Gọi H là điểm trên đoạn ED sao cho

EH 

1
ED
3
và S là điểm trên tia đối của HB sao cho

1
SH  BH
3
. Tính thể tích khối đa diện ABCDSEF .
5
A. 6 .

7
B. 6 .

11
C. 12 .

11

D. 18 .

 AB // CD  . Biết AD  2 5 ,
Câu 23: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân
AC  4 5 , AC  AD , SA  SB  SC  SD  7 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA , CD .
4 15
A. 5 .

B.

2.

10 38
C. 19 .

2 102102
187
D.
.

B C D có đáy là hình thang cân với đáy nhỏ AB  15, đáy lớn
Câu 24: Cho lăng trụ đứng ABCD. A����

CD  28 và chiều cao của lăng trụ h  12 . Biết rằng có một hình cầu  S  tiếp xúc với tất cả các cạnh
đáy của hình lăng trụ đã cho. Hãy tính diện tích của mặt cầu
A. 608 .

B. 560 .

 S .

C. 1824 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D. 564 .

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

Câu 25: Cho hình chóp S . ABCD . Đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SB , N thuộc cạnh

SN 2
SP 3


SC sao cho SC 3 , P thuộc cạnh SD sao cho SD 4 . Mặt phẳng  MNP  cắt
tại Q, E , F . Biết thể tích khối S .MNPQ bằng 1. Tính thể tích khối ABFEQM .
73
A. 15 .

154
B. 66 .

207
C. 41 .

SA, AD , BC lần lượt

29
D. 5 .

Câu 26: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a .

 MNP  và hình
Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi
chóp S . ABCD.
5a 2
A. 4 .

a 2 13
4 .
B.

a 2 11
C. 4 .

3a 2
D. 4 .

Câu 27: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Gọi M là trung điểm của SA ,
6a
�  SCB
�  900
SAB
, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) bằng 21 . Thể tích của khối chóp

S . ABC bằng

10 3 3
a
A. 9
.

8 39 3
a
B. 3
.

4 13 3
a
C. 3
.

3
D. 2 3a .

B C D có đáy ABCD là hình thoi với AC  2a , BD  2a 3 . Gọi
Câu 28: Cho lăng trụ đứng ABCD. A����
 2 EC . Biết rằng khoảng cách giữa B��
C và DE bằng a 3 .
E là điểm nằm trên cạnh CC �sao cho EC �
B C D theo a .
Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD. A����
3
A. a 3 .

3
B. 2a 3 .

3
C. 6a 3 .

3

D. 12a

3.

 SAB  là tam giác đều và nằm
Câu 29: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình vng, mặt bên
trong mặt phẳng vng góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm
Tính thể tích V của khối chóp S . ABCD .

A.

V

2a 3
3 .

B. V  a .
3

A đến mặt phẳng  SCD 

1

V  a3
3 .
C.

D.

3a 7
bằng 7 .

V

3 3
a
2 .

B C D có thể tích bằng 96 . Gọi M , N , P lần lượt là trung
Câu 30: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A����
D . Tính thể tích khối chóp B.MNP .
điểm của các cạnh AA�
, CD và A��
A. 24 .

B. 16 .

C. 32 .

D. 10 .

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

B C D . Gọi M là trung điểm của AD ,  là góc
[1H3-4.4-3] Cho khối lập phương ABCD. A����
BMC �
A�
 và  ABB�
 . Khẳng định nào dưới đây đúng?
giữa hai mặt phẳng 

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.

cos  

3
4.

B.

cos  

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

4

5.

C.

cos  

1
3.

D.

cos  

2
3.

Lời giải
Chọn D
Cách 1:

uuur
uuuu
r
B N  ABM và A��
BN
�
�
�
E
EB


2
B
A
Đặt
.Lấy điểm sao cho
, suy ra A��
C � EC �
//MB .
đồng dạng EB��
AB  a  a  0 

A�
M   BE
 ABB�
 � BC �
.
C   ABB��
C
F là hình chiếu vng góc của B�lên BE , ta có: B��



 



�
��
�

� �
ABB�
A�
M  B
F; C�
F B
FC �

 ;  BC �
BE �
 2a, BB�
 a � B�
F

Ta có:
C�
F  B��
C 2  B�
F2 

BB��
.B E
BB� B�
E
2

2

.



2a 5
5 .

B�
F 2
3a 5
cos  

C�
F 3.
5 .Vậy

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 7 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

Cách 2:

A�
 //  MNPQ  .
C , A��
D �  ABB�
Gọi N , P, Q lần lượt là trung điểm BC , B��

Vậy

Đặt

 



� �
ABB�
A�
M   �
MNPQ  ;  BC �
M
 ;  BC �

AB  2a,  a  0 

. Khi đó:

.

BM  a 5, BN  a, ME  a 5 � S BME 

3a 2
2 .

M   ME
 MNPQ  � BC �
.

H là hình chiếu vng góc của B lên ME , ta có: BN   MNPQ 

 





�; NH  BHN
� 
� �
MNPQ  ;  BC �
M   BH
BH 

Vậy

.

2S 3a 5
2a 5

BN  a � NH  BH 2  NH 2 
ME
5 ;
5 .

cos  

NH 2


BH 3 .

Cách 3:
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 8 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

A 0; 0; 0  B  2a; 0; 0  D  0; 2a; 0  C �
2a; 2a; 2a 
Đặt AB  2a . Khi đó: 
,
,
, 
.

M là trung điểm AD � M  0; a;0  .
uuuu
r uuuu
r
uuuu
r
uuuu

r
�  2a 2 ; 4a 2 ; 4a 2   2a 2  1; 2; 2 
�
BM
,
BC
BM   2a; a;0  , BC �
  0; 2a; 2a  � �
�
�
Mặt phẳng

 BMC �
 có vectơ pháp tuyến là

r
n   1; 2; 2 

.

r
j   0;1; 0 

.

ABB�
A�
 có vectơ pháp tuyến là
Mặt phẳng 

Khi đó:
Câu 2:

rr
n. j 2
cos   r r 
n j 3

.

.

[2H1-2.5-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V . Gọi P là

   qua AP cắt hai cạnh SB và SD
điểm trên cạnh SC sao cho SC  5SP . Một mặt phẳng
V1
lần lượt tại M và N . Gọi V1 là thể tích của khối chóp S . AMPN . Tìm giá trị lớn nhất của V
1
1
3
2
A. 15 .
B. 25 .
C. 25 .
D. 15 .
Lời giải
Chọn C
Cách 2

Đặt

x

SM
SN
y
SB ,
SD ,  0  x, y �1 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

V1 VS . AMP  VS . ANP  VS . AMP  VS . ANP  1 �SM . SP  SN . SP � 1

�  x  y 
2VS . ABC 2VS . ADC 2 �
�SB SC SD SC � 10
V
Ta có V
(1)
V1 VS . AMN  VS .PMN  VS . AMN  VS . PMN  1 �SM . SN  SM . SN . SP � 3

� xy

2VS . ABD 2VS .CBD 2 �
�SB SD SB SD SC � 5
V
Lại có V
(2).

1
3
x
 x  y   xy � x  y  6 xy � y 
5
6 x  1 . Từ điều kiện 0  y �1 , ta có
Suy ra 10
0

x
1
�1
x�
6 x  1 , hay
5.

V1 3 x 2
 .
Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích V 5 6 x  1 .
x  0 ( L)
�
�
3 6x  2x f �
 x  0 � � 1

3 x
1 �
�
f�
 x  .
f  x  .
, x �� ;1�
2
x
(N )
5  6 x  1
5 6x 1
5 �, ta có
� 3
�
Đặt
,
.
2

2

V
3
3
�1 �
�1 � 1
�1 �
min 1  min f  x 
f � � f  1 

f � �
 f � � f  1 
1 �
V x��
;1
�
25 , �3 � 15 , do đó
25 .
5 �
�5 �
�5 �
�
�

Câu 3:

[2H1-2.6-4] Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một
hình nón bởi một mặt phẳng vng góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường trịn có
bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường
3
kính bằng 2 chiều cao của thùng nước và đo được thể tích của nước tràn ra ngồi là
54 3  dm3 

. Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa khối cầu
đã chìm trong nước ( hình vẽ ). Thể tích nước cịn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?
46
46
3
3  dm3 
3  dm3 

18
3

dm
18  dm3 


5
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Lời giải
Chọn C

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

 r  3r1  , h là chiều cao của thùng
Gọi r1 là bán kính đáy thùng, r2 là bán kính miệng thùng 2
nước.
Bán kính khối cầu:

R

3
h
4 ; thể tích phần nước tràn ra ngồi:
3

14
1 4 �3 �
9
V1 
 R3 
 � h �  h 3  54 3
23
2 3 �4 �
32
3
�h4 3�R h3 3
4
CF AC
AC
1
h



 � AC   2 3
AI
AC  h 3
2
*) ACF  AIB : BI
.
IH  AB �

*)
1

 3 3

2



1
1
1
1
1
1
 2 2 � 2  2
2
IH
IB
AI
R
IB  AC  h  2

1
1
1
1
1

�
 2
� BI  6  dm 
2
2
BI
�3h � 27 BI 108
� �
�2 �

� r1  CF 

BI
 2  dm 
3

Thùng nước là khối nón cụt có thể tích:

1
1
1
52 2 208
VT    r12  r2 2  r1r2  h    13r12  h    13r12  4 3 

 r1 

3
3
3
3
3

Thể tích phần nước cịn lại trong thùng là:

V  VT  54 3 

46

3 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 11 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 4:

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

A�B �C �. Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng
[2H1-2.6-4] Cho hình lăng trụ đều ABC �

 ABC 

 ABC
bằng a, góc giữa hai mặt phẳng

�



�

 BCCB 
và

�

bằng  với

cos  

1
2 3

.

� � �

ABC .
Tính thể tích khối lăng trụ ABC �
3a 3 2

V
4 .
A.

3a 3 2
V
8 .
B.

a3 2
V
2 .
C.

3a 3 2
V
2 .
D.

Lời giải
Chọn D

E
+) Kẻ CE  AB, CH  C �
� CH   C �
AB  � CH  a.
� 
� �
AB  ,  BCC �
B�

HK , CK   HKC
 C�
   �
�
�
HK

BC
�
CK

BC
+) Kẻ
.

+) Gọi độ dài đoạn BC , CC �lần lượt là x, h.

+) Ta có:
cos  

CE 

1
2 3

x 3
.
2

� sin  

11
CH
12
� CK 
a
.
12
sin 
11

+) Mặt khác:
1
1
�1


2
2
2
�
�CH
CE
CC �
�
�1  1  1 �
2
�CK 2 CB 2 CC �

1

4
1
�1
�1
 2
 2 2
2
2
�
�
�x 2  4a 2
�a
�x
3x
h
4a
�
��
�
� � 2 3a 2
11
1
1
1
2
�
� 


h 

�
�
�h 2 3a 2
12a 2 x 2 h 2
�
2

x 2 3 3a 3 2
�V  h �

4
2 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 12 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 5:

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

   thay đổi ln đi qua
[2H1-2.5-4] Cho tứ diện SABC có SA  SB  SC  1 . Mặt phẳng
trọng tâm của tứ diện và cắt SA, SB, SC lần lượt tại A1 , B1 , C1 . Tìm giá trị lớn nhất của
1
1
1



SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1 .
16
4
A. 3 .
B. 9 .

16
C. 9 .

4
D. 3 .

Lời giải
Chọn A

uuu
r uuur uuur uuu
r r

Vì G là trọng tâm tứ diện nên ta có GA  GB  GC  GS  0 từ đó dẫn đến
uuu
r uur uur uuu
r SA uuur SB uuur SC uuur
4 SG  SA  SB  SC 
.SA1 
.SB1 
.SC1
SA1
SB1

SC1
uuu
r
uuu
r
1 uuur
1 uuur
1 uuur
1 uuur
1 uuur
1 uuur
� 4 SG 
.SA1 
.SB1 
.SC1 � SG 
.SA1 
.SB1 
.SC1
SA1
SB1
SC1
4SA1
4SB1
4SC1
1
1
1
1
1
1



1


4
A
,
B
,
C
,
G
4
SA
4
SB
4
SC
SA
SB
SC
1
1
1
1
1
1
1
1

1
Do 4 điểm
đồng phẳng nên
hay

Sử dụng bất đẳng thức

 ab  bc  ca 

 a  b  c
�
3

2

ta thu được:
2

�1
1
1 �

� 
�
� 1
1
1 � �SA1 SB1 SC1 � 16




�
��
3
3
�SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1 �

Dấu “=” xảy ra

� SA1  SB1  SC1 

3
4 �  A1 B1C1  / /  ABC 

1
1
1
16


Vậy giá trị lớn nhất của SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1 là 3 .

Câu 6:

[2H1-2.1-3] Cho khối chóp S . ABCD có đáy là hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy và

 SBD 
khoảng cách từ C đến mặt phẳng

a 3
bằng 3 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.

V

a3
2 .

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

V

3
B. V  a .

C.
Lời giải

a3
3 .

D.

V

3a 3
9 .

Chọn C

Do ABCD là hình vng cạnh a nên

AO 

a 2
2 ( O là tâm của hình vuông ABCD ).

d C ,  SBD    d  A,  SBD  
Vì O là trung điểm của AC nên 
.
BD   SAC 
� AH   SBD  � d  A,  SBD    AH
Kẻ AH  SO , do
nên BD  AH
hay
AH 

a 3
3 .

�
1
1

1
 2
2
SA
AO 2
Xét tam giác SAO có AH

1
1
1
1


 2
2
2
2
SA
�a 3 � �a 2 � a
� � �
�
�3 � �2 �
� SA  a .

1
1
a3
V  SA.S ABCD  a.a 2 
3
3

3 .
Vậy

Câu 7:

[2H1-2.4-4] Cho hình chóp S . ABCD , ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB , AB  4CD .
Chiều cao của hình thang ABCD bằng a . Bốn đường cao kẻ từ S của bốn mặt bên có độ dài
5a 3
bằng b . Biết thể tích khối S . ABCD bằng 12 . Khi đó:
A. b  2a .

B.

b

a 3
4 .

C.

b

a 3
2 .

D.

b

a 5

2 .

Lời giải
Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

+)

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

SH   ABCD 

+) M , N , P , Q lần lượt là hình chiếu của S lên AB , BC , CD , DA .
+)

SM  SN  SP  SQ   b  � HM  HN  HP  HQ  r
.

� H là tâm đường trịn nội tiếp hình thang cân ABCD .
� H là trung điểm MP �

r

MP a


2
2.

1
1
5a 3
a2
a2
V  .SH . .a  AB  CD  
SH .CD 
SH 
3
2
12 �
2 �
2CD .
+)

+)

b 2  SH 2  HM 2 

a4
 r2
4CD 2
.

1
CD.2CD  r 2

� CD  r .
Ta lại có hệ thức: CP.BM  r � 2
2

b2 
�
Câu 8:

a4
a4
a 2 5a 2
2

r



a2 4
a 5
4r 2
4
b
4.
�
2 .
4

[2H1-2.4-4] Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,
�  SCB
�  90�

 SBC  bằng
AB  BC  3a 2 , SAB
. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng
2a 3 . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
3
A. 72 18 a .

3
B. 18 18 a .

3
C. 6 18 a .

3
D. 24 18 a .

Lời giải
Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

�
�

Do SAB  SCB  90�nên điểm A , C cùng thuộc mặt cầu đường kính SB .
Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là trung điểm I của đoạn SB .
Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B nên nhận trung điểm M của AC là tâm đường tròn
ngoại tiếp. Do tâm mặt cầu ln thuộc trục đường trịn ngoại tiếp đáy nên ta có
Suy ra

d  A ;  SBC    2d  M ;  SBC    2d  M ;  IBC    2h � h  a 3

IM   ABC 

.

Xét hình chóp M .IBC có MI , MB , MC đơi một vng góc nên ta có

1
1
1
1



2
2
2
h
MI
MB MC 2 .
Theo đề bài, ta có

MB  MC 

1
AC  3a
2
. Do đó

1
1
1
1

 2  2 � MI  3a
2
2
3a
MI
9 a 9a
.
2
2
Xét tam giác vng IMB có IB  MI  MB  3 2a .

Suy ra thể tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp S . ABC là
Câu 9:

V

4 .IB 3
 72 2 a 3
3

.

B C D có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a và
[2H1-2.4-3] Cho hình hộp ABCD. A����

A�
A  A�
B  A�
C  2a 2 . Thể tích khối tứ diện AB��
D C bằng
4a 3 . 2
3 .
A.

4a 3
C. 3 .

4a 3 . 6
3 .
B.

4a 3 . 3
3 .
D.

Lời giải

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề X

.


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

Chọn B

1
 VABCD. A����
 4. VABCD . A����
B
C
D
BCD
VAB��
D C  VABCD . A����
B C D  VAB �
CB  VB �
CC ��
D  VACDD � VAB �
A��
D
6
1
 VABCD. A����
BCD
3

.

� A�
O   ABCD 
O là đường cao của khối hộp.
Gọi O  AC �BD
nên A�
O 2  A�
A2  AO 2  6a 2 .
Ta có A�

Vậy

VAB��
DC 

1
4a 3 . 6
2
 2a  .a 6 
3
3 .

Câu 10: [2H1-2.1-3] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a , AD  2a ,

a
SA vng góc với đáy, khoảng cách từ A đến  SCD  bằng 2 . Tính thể tích khối chóp theo a
.

4 15 3

a
A. 45
.

4 15 3
a
B. 15
.

2 5 3
a
C. 15
.

2 5 3
a
D. 45
.

Lời giải
Chọn A
S

H

A

2a

D

a
B

C

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

 1 .
Kẻ AH  SD
CD  AD
�
�
CD  SA � CD   SAD  � CD  AH
Ta có �
Từ

 1

,

 2

 2 .
a

AH   SCD  � d  A,  SCD    AH � AH  2
ta có
.

1
1
1 � SA 
 2
2
SA AD 2
Trong SAD ta có AH

AH . AD
AD 2  AH 2

a
�
2a
 2
a2
2a 15
4a 2 

4
15 .

1

1 2a 15
4 15 3
V  SA. AB. AD  �
.a.2a 
a
3
3 15
45
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là
.
B C có đáy là tam giác ABC vng cân tại A ,
Câu 11: [2H1-3.12-3] Cho hình lăng trụ đứng ABC. A���

góc giữa hai mặt phẳng
phẳng

C
 AB�

C
 AB�

và

B�
 BCC �
 bằng 60�và khoảng cách từ điểm

B đến mặt

a 6
CA��
C là?
bằng 2 . Thể tích của khối đa diện AB�

a3 3
A. 2 .

3a 3 3
2 .
B.

3
C. a 3 .

a3 3
D. 3 .

Lời giải
Chọn C

�AC  AB
�
A�
C    ABB�
A�
�� AC   ABB�
 �  AB�
 theo giao tuyến AB�.
Ta có �AC  AA

Trong mặt phẳng

A�
 ABB�
 , kẻ

� BH  d  B,  AB�
C  

C
BH  AB�tại H , ta có BH   AB�
.

a 6
2 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 18 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

�AM  BC
�
B�
�� AM   BCC �
.

BC
M
Gọi
là trung điểm của
, ta có �AM  BB

�MN P BH
�
BH   AB�
C  � MN   AB�
C
Gọi N là trung điểm của HC , ta có �
.
� �
C  ,  BCC �
B�
AM , MN   60o
 AB�
   �
Vì

MN   AB�
C

Ta có

MN 

.

�
AMN   AM , MN   60�
nên MN  AN suy ra
.

BH a 6

2
4 .

MN
a 6
AM 

�
cos 60� 2 . � BC  2MN  a 6
Tam giác AMN vng tại N có AMN  60�nên

, AB  AC  a 3 .
Tam giác ABB�vng tại A có đường cao BH nên:

1
1
1
2
1
1


 2 2  2

2
2
2
a 3.
BB� BH
AB
3a 3a
3a � BB�
CA��
C là:
Vậy thể tích khối đa diện AB�

2
2
VAB�CA��
VABC . A���
a
C 
BC 
3
3

Câu 12: [2H2-2.7-4] Trong mặt phẳng
động ngoài mặt phẳng

 P

 P

 a 3

3�

2

2

 a3 3

.

cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8cm và một điểm S di

2
sao cho tam giác MAB ln có diện tích bằng 16 3cm , với M là

 S  là mặt cầu đi qua bốn đỉnh M , A , B , C . Khi thể tích khối chóp
trung điểm của SC . Gọi
S . ABC lớn nhất, tính bán kính nhỏ nhất của  S  .

16 6
cm
A. 9
.

4 3
cm
B. 3
.

4 15

cm
C. 3
.

4 39
cm
D. 3
.

Lời giải
Chọn C

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 19 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Ta có

S ABM 

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

1
d
. AB  16 3 � d
 M , AB   4 3cm .
2  M , AB 

Suy ra M thuộc mặt trụ có trục là đường thẳng AB và bán kính của mặt trụ bẳng 4 3cm .
1
VS . ABC  2VM . ABC  2. S ABC .d M ,  ABC   1
 .
3

S ABC không đổi  2 .

I , H lần lượt là hình chiếu của M trên đường thẳng AB và mặt phẳng  ABC  .
d
 MH �MI
Ta có  M ,  ABC  

 3 .

Từ 1 ,  2 và  3 suy ra VS . ABC lớn nhất khi MH
Khi đó

MI


H

I.

 MAB    ABC  .

Gọi Rd là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
Gọi Rb là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MAB .

R là bán kính mặt cầu  S  .

Có

R  Rd 2  Rb 2 

AB 2
4 và Rd , AB không đổi nên R nhỏ nhất khi Rb nhỏ nhất.

Bài tốn quy về tìm vị trí điểm M trên đường thẳng d song song với AB và cách AB một
khoảng 4 3cm sao cho bám kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB nhỏ nhất.

Rb =

AB
2sin �
AMB

.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 20 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

Dựng đường trịn qua A , B và tiếp xúc với d tại K .

AB
2sin �
AMB

�
�
Ta có AMB �AKB = 60�

AB

2sin �
AKB .

Do đó Rb nhỏ nhất khi M �K .
Khi đó tam giác MAB đều cạnh bằng 8cm .

Tính được

R

4 15
cm
3
.

SA   ABCD 
Câu 13: [2H1-3.6-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng và
. Trên

đường thẳng vng góc với

 ABCD 

cùng phía đối với mặt phẳng

tại D lấy điểm S �thỏa mãn

 ABCD  . Gọi V1

S�
D

1
SA
2
và S , S �ở

là thể tích phần chung của hai khối chóp

V1
S . ABCD và S �
. ABCD . Gọi V2 là thể tích khối chóp S . ABCD . Tỉ số V2 bằng
V1 5
V1 1
V1 2
V1 7





V
18
V
3
V
3
V
18 .
2
2
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.

Lời giải
Chọn D

1
1
VS �. ABCD  VS . ABCD  V2
2
2 .

D
A , ta có: SA // S �
Gọi F  SD �S �

�

FS � S �
D 1
S�
A

 �
3
FA SA 2
S�
F
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 21 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Xét

AB 
 S�

và

 SCD 

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

có:

�F � S �
AB  � SCD 
�
�  S�
AB  � SCD   FE // AB // CD
�AB // CD
Khi đó FE // AB

�

B.
với E �S �

S�
B S�
A

3
S�
E SF
.

Ta có:
VS �.CDFE 1 �S �
C S�
D S�
F S�
E�
C S�
D S�
A S�
B � 1� 1 1�
2
�S �
 � .
.
.



 �
1.1. . �
1  1  3  3 

�
�
�
VS �.CDAB 4 �S �
C S�
D S�
A S�

B�
C S�
D S�
F S�
E � 4� 3 3�
9.
�S �

2
1
1
� VS �.CDFE  VS �.CDAB  VS . ABCD  V2
9
9
9 .
V1 7
1
1
7

� V1  VS �. ABCD  VS �.CDFE  V2  V2  V2
2
9
18 . Vậy V2 18 .

Lưu ý: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác S . ABCD có đáy là hình bình hành lần
SM
SN
SP
SQ

x
y
z
t
Q
lượt tại các điểm M , N , P ,
sao cho SA
; SB
; SC
; SD
ta có:

VS .MNPQ
VS . ABCD



xyzt �1 1 1 1 � 1 1 1 1
  
�   �
4 �x y z t �và x z y t .

B C D cạnh a . Các điểm M , N lần lượt di động
Câu 14: [2H1-3.5-4] Cho khối lập phương ABCD. A����

N  a 2 . Khi đó, thể tích khối tứ diện AMNB�có giá
D sao cho AM  B�
trên các tia AC , B��
trị lớn nhất là

a3 2
A. 12 .

a3 3
B. 6 .

a3
C. 6 .

a3
D. 12 .

Lời giải
Chọn D
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 22 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

N , y  AM .
Đặt x  B�

Vì B ' N  AM nên

VAMNB�

1
1
.B�
N . AM .d  B�
N , AM   x. y.a
6
6
.
2

�a 2 � a 2
xy ��
�2 �
� 2
a
2

B
'
N

AM

x

y
�
2
xy
�

�
Mà
nên
.

1 a2
a3
VAMNB�� . .a 
6 2
12 .
Do đó

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

AM  BN �


a 2
2 .

a3
Vậy thể tích nhỏ nhất của khối tứ diện AMNB�là 12 .
�
Câu 15: [1H3-3.3-4] Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ABC  60�. Hình
ABC 
chiếu vng góc cuả điểm S lên mặt phẳng 
trùng với trọng tâm của tam giác ABC .
SCD 
Gọi  là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng 
, biết SB  a , tính sin  .

A.

sin  

3
2 .

B.

sin  

1
4.

C.

sin  

1
2.

D.

sin  

2
2 .

Lời giải

Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian

SCD 
Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng 
.

sin  

d  B;  SCD  
SB



3 d  H ;  SCD  
2
SB
. Gọi I là hình chiếu của B lên CD . K là hình chiếu

d H ; SCD    HP
của H lên CD , P là hình chiếu của H lên SK . Suy ra HK // BI và  
.

HK 

Mà

2
2
�  2 .a 3. 1  a 3
BI  BD.sin BDC
3
3
3
2
3 .

BH 

3a 2 a 6
a 3
� SH  SB 2  BH 2  a 2 

9
3 .
3

d  H ;  SCD   

SH .HK
SH 2  HK 2



2a
2a
2
� d  B;  SCD   
� sin  
3
2
2 .

Câu 16: [2H2-1.4-4] Cho hình chóp S . ABCD có SA vng góc với mặt phẳng

 ABCD  ;

tứ giác

ABCD là hình thang vng tại A và B ; AD  3BC  3a ; AB  a , SA  a 3 . Điểm I thỏa

uuur
uur
AD

3
AI ; M là trung điểm SD , H là giao điểm của AM và SI . Gọi E , F lần lượt là
mãn
hình chiếu của A lên SB, SC . Tính thể tích V của khối nón có đáy là đường trịn ngoại tiếp
ABCD 
tam giác EFH và đỉnh thuộc mặt phẳng 
.

 a3
V
5 5.
A.

 a3
V
5.
C.

 a3
V
2 5.
B.

 a3
V
10 5 .
D.

Lời giải
Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 24 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình khơng gian





uuur 1 uur uuu
r
uuur uu
r 1 uur 2 uuu
r uur
r uur uur
AM 
AS  AD uu
AM .SI   AS  AD. AI  0
� AH  SI
2
2
, SI  AI  AS �





�
�AH   SCI 
�AH  SC
�
��

�AE  SC
ABCI là hình vng nên ta chứng minh được �AE   SBC 
Mà AF  SC � A, E , F , H đồng phẳng và cùng thuộc đường trịn đường kính AF .
Mặt khác ta có E , F , H cùng nhìn đoạn AC dưới một góc vng nên A, C , E , F , H cùng thuộc
mặt cầu tâm O , đường kính AC . Nên trục đường trịn ngoại tiếp tam giác EFH cắt mặt phẳng
 ABCD  tại O . Do hình nón có đỉnh là O .
FC   EFH 

nên

d  C ,  EFH    FC 

2a
1
a
� d  O,  EFH    d  C ,  EFH   
2
5
5

1
 a3
AF a 30
V   r 2h 

3
10 5 .
10 �
Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác EFH là 2
B C có đáy là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu vng

Câu 17: [2H1-3.5-3] Cho hình lăng trụ ABC. A���

ABC 
góc của A�trên mặt phẳng 
trùng với trung điểm H của đoạn AM ( M là trung điểm

2 3
a
. ABC là
cạnh BC ). Biết khoảng cách giữa BC và AA�bằng 3 . Thể tích khối chóp C �
3 5a 3
A. 5 .

3a 3
B. 36 .

3a 3
C. 18 .

D.

5a 3
5 .

Lời giải
Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 25 Mã đề X