VDC DU AN 5 HÌNH KHÔNG GIAN p1 SP

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình không gian

HÌNH KHÔNG GIAN

ĐỀ BÀI
Câu 1:
phẳng

A.

( BMC′ )

cos ϕ =

Câu 2:

SC

Cho khối lập phương
và

ABCD.A′ B′C ′D′ . Gọi M

AD , ϕ

là góc giữa hai mặt

( ABB′A′ ) . Khẳng định nào dưới đây đúng?

3
4.
Cho hình chóp

sao cho

là trung điểm của

B.

S. ABCD

cos ϕ =

4
5.

C.

cos ϕ =

1
3.

D.

có đáy là hình bình hành và có thể tích là

SC = 5SP . Một mặt phẳng ( α )

qua

AP

cắt hai cạnh

SB

và

SD

cos ϕ =

V . Gọi P

2
3.

là điểm trên cạnh

lần lượt tại

M

và

N . Gọi

V1

V1 là thể tích của khối chóp S . AMPN . Tìm giá trị lớn nhất của V
1
A. 15 .

1
B. 25 .

3
C. 25 .

2
D. 15 .

Câu 3: Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi
một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán

3
kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng 2 chiều cao của thùng

( )

nước và đo được thể tích của nước tràn ra ngoài là 54 3π dm . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt
trong của thùng và đúng một nửa khối cầu đã chìm trong nước ( hình vẽ ). Thể tích nước còn lại trong
thùng có giá trị nào sau đây?
3

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

46
3π ( dm3 )
A. 5
.

Câu 4:

Sản phẩm 5 Hình không gian

46
3π ( dm3 )
C. 3
.

3
B. 18 3π ( dm ) .

Cho hình lăng trụ đều

D. 18π

( dm ) .
3

′
ABC × A′ B′ C ′ . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( ABC )

′
a, góc giữa hai mặt phẳng ( ABC )

′
và ( BCCB )

bằng

α

với

cos α =

bằng

1

.
2 3 Tính thể tích khối lăng trụ

ABC × A′ B′ C ′ .
3a 3 2
V=
A.
4 .
Câu 5:

Cho tứ diện

3a3 2
V=
B.
8 .

SABC

có

a3 2
V=
C.
2 .

SA = SB = SC = 1 . Mặt phẳng ( α )

3a3 2
V=
D.
2 .

thay đổi luôn đi qua trọng tâm của tứ

1
1
1
+
+
diện và cắt SA, SB, SC lần lượt tại A1 , B1 , C1 . Tìm giá trị lớn nhất của SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1 .

16
A. 3 .
Câu 6:

4
B. 9 .
Cho khối chóp

S . ABCD

từ C đến mặt phẳng ( SBD )

a , SA vuông góc với đáy và khoảng cách

B.

V = a3 .

a3
V=
C.
3 .

3a 3
V=
D.
9 .

S . ABCD , ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB , AB = 4CD . Chiều cao của
ABCD bằng a . Bốn đường cao kẻ từ S của bốn mặt bên có độ dài bằng b . Biết thể tích khối

Cho hình chóp

hình thang

S. ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

4
D. 3 .

a 3
bằng 3 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

a3
V=
A.
2 .
Câu 7:

16
C. 9 .

5a3
bằng 12 . Khi đó:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.

b = 2a .

Câu 8:

B.

Cho hình chóp

S .ABC

a 3
4 .

b=

có đáy

ABC

· = SCB
· = 90° . Biết khoảng cách từ A
SAB
ngoại tiếp hình chóp
A.

C.

b=

a 3
2 .

D.

là tam giác vuông cân tại

đến mặt phẳng

( SBC )

bằng

b=

a 5
2 .

B , AB = BC = 3a 2 ,

2a 3 . Tính thể tích mặt cầu

S.ABC .

72 18π a3 .

Câu 9:

Sản phẩm 5 Hình không gian

B. 18

Cho hình hộp

ABCD. A′ B′C′D′

18π a 3 .
có đáy

C.

S. ABCD

có đáy

24 18π a3 .

và

bằng

4a 3
C. 3 .

4a 3 . 6

B.
3 .

Câu 10: Cho hình chóp

D.

ABCD là hình vuông cạnh 2a

A′ A = A′ B = A′ C = 2a 2 . Thể tích khối tứ diện AB′D′C
4a 3 . 2
A.
3 .

6 18π a3 .

4a 3 . 3
D.
3 .

ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = 2a , SA vuông góc

a
với đáy, khoảng cách từ A đến ( SCD ) bằng 2 . Tính thể tích khối chóp theo a .

4 15 3
a
A. 45
.

4 15 3
a
B. 15
.

Câu 11: Cho hình lăng trụ đứng

ABC. A′ B′C ′

mặt phẳng

( AB′C )

và

( BCC′B′ )

bằng

60°

2 5 3
a
C. 15
.
có đáy là tam giác

2 5 3
a
D. 45

.

ABC

và khoảng cách từ điểm

B

A , góc giữa hai

vuông cân tại
đến mặt phẳng

( AB′C )

bằng

a 6
2 . Thể tích của khối đa diện AB′CA′ C ′ là?
a3 3
A. 2 .

3a3 3
B.
2 .

Câu 12: Trong mặt phẳng
mặt phẳng
Gọi

( S)

( P)

( P)

sao cho tam giác

cho tam giác

MAB

là mặt cầu đi qua bốn đỉnh

nhỏ nhất của

C.

ABC

a3 3
D. 3 .

a3 3 .

đều cạnh bằng

luôn có diện tích bằng 16

8cm

và một điểm

S

di động ngoài

3cm2 , với M là trung điểm của SC .

M , A , B , C . Khi thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất, tính bán kính

( S) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

16 6
cm
A. 9
.

Sản phẩm 5 Hình không gian

4 3
cm
B. 3

.

Câu 13: Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

4 15
cm
C. 3
.

4 39
cm
D. 3
.

ABCD là hình vuông và SA ⊥ ( ABCD ) . Trên đường thẳng

1
′
S
D
=
SA
vuông góc với ( ABCD ) tại D lấy điểm S ′ thỏa mãn
2 và S , S ′ ở cùng phía đối với mặt
phẳng

( ABCD ) . Gọi V1 là thể tích phần chung của hai khối chóp S. ABCD và S ′. ABCD . Gọi V2 là thể

V1
tích khối chóp S . ABCD . Tỉ số V2 bằng
V1 5
=
A. V2 18 .

V1 1
=
B. V2 3 .

Câu 14: Cho khối lập phương

AC , B′D′

sao cho

ABCD. A′ B′C ′D′

góc cuả điểm

A.

sin ϕ =

a . Các điểm M , N

a3 3
B. 6 .

Câu 15: Cho hình chóp

SB

cạnh

S

V1 7
=
D. V2 18 .
lần lượt di động trên các tia

AM + B′N = a 2 . Khi đó, thể tích khối tứ diện AMNB′

a3 2
A. 12 .

thẳng

V1 2
=
C. V2 3 .

S . ABCD

lên mặt phẳng

và mặt phẳng

có đáy

( ABC )

C.

có giá trị lớn nhất là

a3
6.

a3
D. 12 .

ABCD là hình thoi cạnh a

và

trùng với trọng tâm của tam giác

·ABC = 60° . Hình chiếu vuông

ABC . Gọi ϕ

là góc giữa đường

( SCD ) , biết SB = a , tính sin ϕ .

3

2 .

B.

Câu 16: Cho hình chóp

sin ϕ =

S . ABCD có SA

1
4.

C.

sin ϕ =

1
2.

vuông góc với mặt phẳng

D.

sin ϕ =

2
2 .

( ABCD ) ; tứ giác ABCD

là hình

uuur uur
thang vuông tại A và B ; AD = 3BC = 3a ; AB = a , SA = a 3 . Điểm I thỏa mãn AD = 3AI ; M là
trung điểm SD , H là giao điểm của AM và SI . Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC .
Tính thể tích

V

của khối nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác

EFH

và đỉnh thuộc mặt phẳng

( ABCD ) .
π a3
V=
A.
5 5.

π a3
V=
B.
2 5.

π a3
V=
C.

5.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

π a3
V=
D.
10 5 .
Trang 4 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 17: Cho hình lăng trụ
trên mặt phẳng

( ABC )

ABC. A′ B′C ′

Sản phẩm 5 Hình không gian

có đáy là tam giác đều cạnh

H

trùng với trung điểm

của đoạn

AM ( M

2a , hình chiếu vuông góc của A′

là trung điểm cạnh

BC ). Biết khoảng

2 3
a
cách giữa BC và AA′ bằng 3 . Thể tích khối chóp C ′. ABC là
3 5a 3
A. 5 .

3a3
B. 36 .

Câu 18: Cho hình chóp

BA = BC = a . Gọi D

S. ABC

có

SA

là điểm đối xứng với

21

a
A. 7 .
Câu 19: Cho hình chóp

3a3
C. 18 .

vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết

B

qua

có đáy

ABC

AC . Khoảng cách từ B
2
a
C 2 .

2 21
a.
B. 7

S . ABC

5a 3
D. 5 .

là tam giác đều cạnh

· = 300 , SA = a,
BAC

đến mặt

( SCD )

bằng

2
a
D. 2 .

· = SCB
· = 90° và
a , SAB

SB = 2a . Tính tan của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) .
2
A. 4 .

B.

2.

C.

Câu 20: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành.

2 2.
M

D.

6.

là trung điểm của cạnh SC . Mặt phẳng

( α ) chứa AM , cắt SD, SB lần lượt tại E và F .

SD SB
+
Tính tỉ số SE SF
8
A. 3 .

7
B. 3 .

C.

2.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D. 3 .

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 21: Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
phẳng đáy một góc

5a 3
B. 18 .

Câu 22: Cho hình vuông

H

ABCD

và

là điểm trên đoạn

ED

S

và nằm

tạo với mặt

bằng:

5a3
C. 6 .

ABEF

vuông tại

AB = a, SA = 2SD , mặt phẳng ( SBC )

600 . Thể tích khối chóp S . ABCD

15a 3
A. 2 .

với nhau. Gọi

Sản phẩm 5 Hình không gian

5a 3
D. 2 .

cạnh bằng 1, lần lượt nằm trên hai mặt phẳng vuông góc

1
EH = ED
sao cho
và S là điểm trên tia đối của
3

HB sao cho

1
SH = BH
. Tính thể tích khối đa diện ABCDSEF .
3

7
B. 6 .

5
A. 6 .
Câu 23: Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

11
C. 12 .

11

D. 18 .

ABCD là hình thang cân ( AB // CD ) . Biết AD = 2 5 ,

AC = 4 5 , AC ⊥ AD , SA = SB = SC = SD = 7 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA , CD .
4 15
A. 5 .

2.

B.

Câu 24: Cho lăng trụ đứng

10 38
C. 19 .

ABCD. A′ B′C ′D′

2 102102
D.
187 .

có đáy là hình thang cân với đáy nhỏ

CD = 28 và chiều cao của lăng trụ h = 12 . Biết rằng có một hình cầu ( S )
đáy của hình lăng trụ đã cho. Hãy tính diện tích của mặt cầu

AB = 15,

đáy lớn

tiếp xúc với tất cả các cạnh

( S) .

C. 1824π .

D.

Câu 25: Cho hình chóp

S . ABCD . Đáy ABCD là hình bình hành, M

là trung điểm

SN 2
=
SC sao cho SC 3 ,

SP 3
=
thuộc cạnh SD sao cho SD 4 . Mặt phẳng ( MNP ) cắt SA, AD , BC lần lượt

A.

tại

608π

.

B.

P

560π

Q, E , F . Biết thể tích khối S .MNPQ

73
A. 15 .

.

bằng 1. Tính thể tích khối

154
B. 66 .

564π

.

SB , N

thuộc cạnh

ABFEQM .

207
C. 41 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

29
D. 5 .

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 26: Cho hình chóp
Gọi

M , N, P

chóp

S. ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , các cạnh bên bằng nhau và bằng 2a .
SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi

a 2 13
B.
4 .

· = SCB
· = 90
SAB

S. ABC

0

S . ABC

có đáy

ABC

A

, biết khoảng cách từ

và hình

3a 2
D. 4 .

a 2 11
C. 4 .
là tam giác đều cạnh

2a . Gọi M

là trung điểm của

SA ,

6a
đến mặt phẳng ( MBC ) bằng 21 . Thể tích của khối chóp

bằng

10 3 3
a
A. 9
.

8 39 3
a
B. 3
.

Câu 28: Cho lăng trụ đứng
là điểm nằm trên cạnh

ABCD.A′ B′C ′D′

4 13 3
a
C. 3
.

có đáy

B.

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác

2a 3 3 .

S. ABCD

C.

của khối chóp

và

D. 12a

( SAB )

DE
3

bằng

a 3.

3.

là tam giác đều và nằm

3a 7
bằng 7 .

A đến mặt phẳng ( SCD )

S. ABCD .

2a 3
V=
A.
3 .

B.

Câu 30: Cho hình hộp chữ nhật
điểm của các cạnh

6a 3 3 .

có đáy là hình vuông, mặt bên

trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm

V

2 3a3 .

ABCD là hình thoi với AC = 2a , BD = 2a 3 . Gọi

sao cho

a3 3 .

Tính thể tích

D.

EC ′ = 2 EC . Biết rằng khoảng cách giữa B′C ′
ABCD.A′ B′C ′D′ theo a .

CC ′

Tính thể tích của khối lăng trụ

A.

( MNP )

S . ABCD.

Câu 27: Cho hình chóp

A.

AB, AD,

lần lượt là trung điểm của

5a 2
A. 4 .

E

Sản phẩm 5 Hình không gian

V=a

3

.

ABCD. A′ B′C ′D′

1
V = a3
C.
3 .
có thể tích bằng

3
V = a3
D.
2 .

96 . Gọi M , N , P

lần lượt là trung

AA′ , CD và A′ D′ . Tính thể tích khối chóp B.MNP .
B. 16 .

24 .

C.

32 .

D. 10 .

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

[1H3-4.4-3] Cho khối lập phương
giữa hai mặt phẳng

( BMC ′ )

và

ABCD.A′ B′C ′D′ . Gọi M

là trung điểm của

AD , ϕ

là góc

( ABB′A′ ) . Khẳng định nào dưới đây đúng?

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.

cos ϕ =

3
4.

B.

cos ϕ =

Sản phẩm 5 Hình không gian

4
5.

C.

cos ϕ =

1
3.

D.

cos ϕ =

2

3.

Lời giải
Chọn D
Cách 1:

Đặt

AB = a ( a > 0 ) .Lấy điểm E

đồng dạng

sao cho

uuur uuuur
EB′ = 2 B′A′ , suy ra ∆ A′ B′N = ∆ ABM

và

∆ A′ B′N

∆ EB′C ′ ⇒ EC ′ //MB .

( ABB′A′ ) ∩ ( BC ′M ) = BE .
F

là hình chiếu vuông góc của

(

B′

) (

lên

BE , ta có: B′C ′ ⊥ ( ABB′C ′ )

)

⇒ (·ABB′A′ ) ; ( BC ′M ) = B· ′F ; C ′F = B· ′FC ′ = ϕ

Ta có:

BE ′ = 2a, BB′ = a ⇒ B′F =

BB′.B′E
BB′ 2 + B′E 2

.

=

2a 5
5 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

C ′F = B′C ′ 2 + B′F 2 =

Sản phẩm 5 Hình không gian

B′F 2
3a 5
cos ϕ =
=
C ′F 3 .
5 .Vậy

Cách 2:

BC , B′C ′, A′ D′ ⇒ ( ABB′A′ ) // ( MNPQ ) .

Gọi

N , P, Q

Vậy

⇒ (·ABB′A′ ) ; ( BC ′M ) = (·
MNPQ ) ; ( BC ′M )

Đặt

lần lượt là trung điểm

) (

(

).

AB = 2a, ( a > 0 ) . Khi đó: BM = a 5, BN = a, ME = a 5 ⇒ S∆BME

3a 2
=
2 .

( MNPQ ) ∩ ( BC ′M ) = ME .
H

là hình chiếu vuông góc của

) (

(

B

lên

)

ME , ta có: BN ⊥ ( MNPQ )

· ; NH = BHN
·
⇒ (·
MNPQ ) ; ( BC ′M ) = BH
=ϕ
BH =

Vậy

.

2S∆ 3a 5
2a 5
=
BN = a ⇒ NH = BH 2 − NH 2 =
ME
5 ;
5 .

cos ϕ =

NH 2
=
BH 3 .

Cách 3:
Gắn hệ trục tọa độ

Oxyz

như hình vẽ:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình không gian

Đặt

AB = 2a . Khi đó: A ( 0;0;0 ) , B ( 2a;0;0 ) , D ( 0;2a;0 ) , C ′ ( 2a;2a;2a ) .

M

là trung điểm

AD ⇒ M ( 0; a;0 ) .

uuuur uuuur
uuuur
uuuur
2
2
2
2

′

⇒
′
BM = ( − 2a; a;0 ) , BC = ( 0;2a;2a )
 BM , BC  = ( 2a ;4a ; − 4a ) = 2a ( 1;2; − 2 ) .
r
′
BMC
n
(
)
Mặt phẳng
có vectơ pháp tuyến là = ( 1;2; − 2 ) .
Mặt phẳng ( ABB′A′ )

có vectơ pháp tuyến là

r
j = ( 0;1;0 ) .

rr
n. j 2
cos ϕ = r r =
n j 3.
Khi đó:
Câu 2:

[2H1-2.5-4] Cho hình chóp
điểm trên cạnh

lần lượt tại

1
A. 15 .

M

SC

sao cho

S . ABCD

có đáy là hình bình hành và có thể tích là

SC = 5SP . Một mặt phẳng ( α )

qua

AP

V . Gọi P

cắt hai cạnh

SB

và

là

SD

V1
và N . Gọi V1 là thể tích của khối chóp S . AMPN . Tìm giá trị lớn nhất của V
1
B. 25 .

3
C. 25 .

2
D. 15 .

Lời giải
Chọn C
Cách 2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 10 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đặt

x=

Sản phẩm 5 Hình không gian

SM
SN
y=
SB ,
SD , ( 0 < x, y ≤ 1) .

V1 VS . AMP + VS . ANP = VS . AMP + VS . ANP = 1  SM . SP + SN . SP  1
=
x + y)
=
2VS . ABC 2VS . ADC 2  SB SC SD SC ÷ 10 (
Ta có V
(1)
V
V1 VS . AMN + VS .PMN = VS . AMN + VS . PMN = 1  SM . SN + SM . SN . SP  3
= xy
=
2VS . ABD 2VS .CBD 2  SB SD SB SD SC ÷ 5 (2).
Lại có V
V

1
3
x
x + y ) = xy
⇒ y=
(
Suy ra 10
5 ⇒ x + y = 6 xy
6 x − 1 . Từ điều kiện 0 < y ≤ 1 , ta có

0<

x
1
≤1
x≥
6 x − 1 , hay
5.

V1 3 x 2
= .
Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích V 5 6 x − 1 .
 x = 0 ( L)
3 6x − 2x f ′ ( x ) = 0 ⇔  1
3 x
1 
′
f
x
=
.
(
)
x =
f ( x) = .
, x ∈  ;1
2
(N )
5
( 6 x − 1) ,

Đặt
,
ta
có
.
5 6x − 1
5
 3
 
2

2

V1
3
 1
 1 1
min
= min f ( x ) = f  1  = f 1 = 3
f  ÷ = f ( 1) =
f  ÷=
( )
 ÷
V x∈  1 ;1
25 ,  3  15 , do đó
25 .
 5
 5
5 
Câu 3:

[2H1-2.6-4] Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một
hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có
bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 11 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình không gian

3
kính bằng 2 chiều cao của thùng nước và đo được thể tích của nước tràn ra ngoài là

54 3π ( dm3 ) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa khối cầu
đã chìm trong nước ( hình vẽ ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?

46
3π ( dm3 )
A. 5
.

3
B. 18 3π ( dm ) .

46
3π ( dm3 )

C. 3
.

D. 18π

( dm ) .
3

Lời giải
Chọn C

B

I

H
F

C

A
Gọi r1 là bán kính đáy thùng,
nước.

r2 là bán kính miệng thùng ( r2 = 3r1 ) , h là chiều cao của thùng

3
R= h
Bán kính khối cầu:
4 ; thể tích phần nước tràn ra ngoài:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình không gian

3

14 3 14 3 
9
V1 =
πR =
π  h ÷ = π h3 = 54 3π
23
23 4 
32
3
⇒ h=4 3⇒ R= h=3 3
4

CF AC
AC
1
h
=
=
= ⇒ AC = = 2 3

*) ∆ ACF ∼ ∆ AIB : BI
.
AI AC + h 3
2
1
1
1
1
1
1
= 2+ 2⇔ 2= 2+
2
IH
IB AI
R IB ( AC + h ) 2

IH ⊥ AB ⇒
*)

1

( 3 3)

=

2

1
1
1

1
1
+
⇔
=
+
⇒ BI = 6 ( dm )
BI 2  3h  2
27 BI 2 108
 ÷
 2

⇒ r1 = CF =

BI
= 2 ( dm )
3

Thùng nước là khối nón cụt có thể tích:

1
1
1
52
208
VT = π ( r12 + r2 2 + r1r2 ) h = π ( 13r12 ) h = π ( 13r12 ) 4 3 = π r12 =
π
3
3
3

3
3
Thể tích phần nước còn lại trong thùng là:
Câu 4:

[2H1-2.6-4] Cho hình lăng trụ đều

( ABC ′ )

bằng

V = VT − 54 3π =

46
π
3 .

ABC × A′ B ′ C ′ . Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

′
a, góc giữa hai mặt phẳng ( ABC )

′
và ( BCCB )

bằng

α

với

cos α =

1
2 3

.

Tính thể tích khối lăng trụ ABC × A′ B ′ C ′ .
A.

V=

3a3 2
4 .

B.

V=

3a3 2
8 .

C.

V=

a3 2
2 .

D.

V=

3a3 2
2 .

Lời giải
Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

+) Kẻ

Sản phẩm 5 Hình không gian

CE ⊥ AB, CH ⊥ C ′E

⇒ CH ⊥ ( C′AB ) ⇒ CH = a.
+) Kẻ

·
·
=α
HK ⊥ BC′ ⇒ CK ⊥ BC ′ ⇒ ( ( C ′AB ) , ( BCC′B′ ) ) = (·HK , CK ) = HKC

+) Gọi độ dài đoạn

+) Ta có:

cos α =

CE =

1
2 3

BC , CC ′

lần lượt là

.

x, h.

x 3
.
2

⇒ sin α =

11
CH
12
⇒ CK =

=a
.
12
sin α
11

+) Mặt khác:

1
1
 1
 CH 2 = CE 2 + CC ′ 2
4
1
1
1
1
= 2+ 2
= 2

2
2
 x 2 = 4a 2




a
3
x

h
x
4
a
1
1
1


⇔
⇔
=
+
⇔  2 3a 2
11
1
1
1
2
 CK 2 CB 2 CC ′2

 =
= +
h =
 12a 2 x 2 h 2
 h2 3a 2

2

x 2 3 3a3 2

⇒V = h×
=
4
2 .
Câu 5:

[2H1-2.5-4] Cho tứ diện

SABC

trọng tâm của tứ diện và cắt

có

SA = SB = SC = 1 . Mặt phẳng ( α )

SA, SB, SC

lần lượt tại

thay đổi luôn đi qua

A1 , B1 , C1 . Tìm giá trị lớn nhất của

1
1
1
+
+
SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 14 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

16
A. 3 .

Sản phẩm 5 Hình không gian

4
B. 9 .

16
C. 9 .

4
D. 3 .

Lời giải
Chọn A

Vì

G

là trọng tâm tứ diện nên ta có

uuur uuur uuur uuur r
GA + GB + GC + GS = 0 từ đó dẫn đến

uuur uur uur uuur SA uuur SB uuur SC uuur
4 SG = SA + SB + SC =
.SA1 +
.SB1 +
.SC1
SA1
SB1
SC1
uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
uuur
1 uuur
1 uuur
1 uuur
⇒ 4 SG =
.SA1 +
.SB1 +
.SC1 ⇒ SG =
.SA1 +
.SB1 +
.SC1
SA1
SB1
SC1
4SA1
4SB1
4SC1
1

1
1
1
1
1
+
+
=1
+
+
=4
Do 4 điểm A1 , B1 , C1 , G đồng phẳng nên 4 SA1 4 SB1 4 SC1
hay SA1 SB1 SC1

Sử dụng bất đẳng thức

( ab + bc + ca )

( a + b + c)
≤
3

2

ta thu được:
2

 1
1
1 

+
+

÷≤
SA
.
SB
SB
.
SC
SC
.
SA
 1 1
1
1
1
1
Dấu “=” xảy ra

 1
1
1 
+
+

÷
 SA1 SB1 SC1  = 16
3
3

⇔ SA1 = SB1 = SC1 =

3
4 ⇔ ( A1 B1C1 ) / / ( ABC )

1
1
1
16
+
+
Vậy giá trị lớn nhất của SA1.SB1 SB1.SC1 SC1.SA1 là 3 .
Câu 6:

[2H1-2.1-3] Cho khối chóp

S. ABCD

có đáy là hình vuông cạnh

a , SA vuông góc với đáy và

a 3
khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) bằng 3 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

a3
V=
A.
2 .

B.

Sản phẩm 5 Hình không gian

a3
V=
C.
3 .

V = a3 .

Lời giải

3a 3
V=
D.
9 .

Chọn C

Do

ABCD là hình vuông cạnh a

Vì

O là trung điểm của AC

Kẻ

AH ⊥ SO , do BD ⊥ ( SAC )

AH =

nên

nên

AO =

a 2
2 ( O là tâm của hình vuông

ABCD ).

d ( C , ( SBD ) ) = d ( A, ( SBD ) ) .

nên

BD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBD ) ⇒ d ( A, ( SBD ) ) = AH

hay

a 3
3 .
⇒

Xét tam giác

SAO

1
1
1
= 2+ 2
2
có AH
SA AO

1
1
1
1
=
−
= 2
2
2
2
SA  a 3   a 2  a

÷ 
÷

 3   2 

⇒ SA = a .

1
1 2 a3
V = SA.S ABCD = a.a =
Vậy
3
3
3.

Câu 7:

S. ABCD , ABCD là hình thang cân, đáy lớn AB , AB = 4CD .
ABCD bằng a . Bốn đường cao kẻ từ S của bốn mặt bên có độ dài

[2H1-2.4-4] Cho hình chóp
Chiều cao của hình thang

bằng

A.

b . Biết thể tích khối S . ABCD

b = 2a .

B.

b=

5a3
bằng 12 . Khi đó:

a 3
4 .

C.

b=

a 3
2 .

D.

b=

a 5
2 .

Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình không gian

Chọn D

+)

SH ⊥ ( ABCD )

+)

M , N , P , Q lần lượt là hình chiếu của S

+)

SM = SN = SP = SQ ( = b ) ⇒ HM = HN = HP = HQ = r .

⇒ H
⇒ H

ABCD .

là tâm đường tròn nội tiếp hình thang cân

là trung điểm

MP ⇒

r=

AB , BC , CD , DA .

lên

MP a
=
2 2.

1
1
5a 3
V = .SH . .a ( AB + CD ) =
+)
3
2
12

⇔

a2
SH .CD =
2

⇔

a2
SH =
2CD .

a4
b = SH + HM =

+ r2
2
+)
.
4CD
2

2

Ta lại có hệ thức:

2

CP.BM = r ⇔
2

1
CD.2CD = r 2
2

a4
a 4 a 2 5a 2
2
b = 2 +r =
+ =
a2 4
4r
4
4.
4

⇔ CD = r .

2

⇒
Câu 8:

[2H1-2.4-4] Cho hình chóp

S. ABC

b=

a 5
2 .

có đáy

ABC

⇒

là tam giác vuông cân tại

B,

· = SCB
· = 90° . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC )
AB = BC = 3a 2 , SAB

bằng

2a 3 . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC .
A.

72 18π a3 .

B. 18

18π a 3 .

C.

6 18π a3 .

D.

24 18π a3 .

Lời giải
Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Do

· = SCB
· = 90°
SAB

nên điểm

A, C

cùng thuộc mặt cầu đường kính

Suy ra tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Đáy

ABC

là tam giác vuông cân tại

B

Sản phẩm 5 Hình không gian

S .ABC

là trung điểm

nên nhận trung điểm

I

M

SB .

của đoạn
của

AC

SB .

là tâm đường tròn

ngoại tiếp. Do tâm mặt cầu luôn thuộc trục đường tròn ngoại tiếp đáy nên ta có
Suy ra

IM ⊥ ( ABC ) .

d ( A ; ( SBC ) ) = 2d ( M ; ( SBC ) ) = 2d ( M ; ( IBC ) ) = 2h ⇒ h = a 3 .

Xét hình chóp

M .IBC

MI , MB , MC

có

đôi một vuông góc nên ta có

1
1
1
1
= 2+
+
2
2
h MI MB MC 2 .
1
MB = MC = AC = 3a
Theo đề bài, ta có
. Do đó
2
1
1
1
1
= 2 + 2 + 2 ⇒ MI = 3a
2
.
3a MI 9a 9a
Xét tam giác vuông

Câu 9:

IMB

có

IB = MI 2 + MB 2 = 3 2a .

Suy ra thể tích của mặt cầu ngoại tiếp chóp

S . ABC

4π .IB 3
V=
= 72 2π a 3
là
.
3

ABCD.A′ B′C ′D′

có đáy

ABCD là hình vuông cạnh 2a

[2H1-2.4-3] Cho hình hộp

A′ A = A′ B = A′ C = 2a 2 . Thể tích khối tứ diện AB′D′C
4a 3 . 2
A.
3 .

4a 3 . 6
B.
3 .

và

bằng

4a 3
C. 3 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

4a 3 . 3
D.
3 .
Trang 18 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình không gian

Lời giải

Chọn B

VAB′D′C = VABCD. A′B′C ′D′ − VAB′CB − VB′CC′D′ − VACDD′ − VAB′A′D′

1
= VABCD. A′B′C ′D′ − 4. VABCD. A′B′C ′D′
6

1
= VABCD. A′B′C ′D′
.
3
Gọi

O = AC ∩ BD ⇒ A′ O ⊥ ( ABCD )

Ta có

Vậy

nên

A′ O

là đường cao của khối hộp.

A′ O 2 = A′ A2 − AO 2 = 6a 2 .

VAB′D′C

1
4a 3 . 6
2
= ( 2a ) .a 6 =
3
3 .

Câu 10: [2H1-2.1-3] Cho hình chóp

S. ABCD

có đáy

ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = 2a ,

a
SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến ( SCD ) bằng 2 . Tính thể tích khối chóp theo

.

4 15 3
a
A. 45
.

4 15 3
a
B. 15
.

2 5 3
a
C. 15
.

2 5 3
a
D. 45

.

Lời giải
Chọn A

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 19 Mã đề X

a


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình không gian

S

H

D

2a

A
a
B

Kẻ

C

AH ⊥ SD ( 1) .

CD ⊥ AD

Ta có CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ CD ⊥ AH ( 2 ) .

a
⇒
AH
=
Từ ( 1) , ( 2 ) ta có AH ⊥ ( SCD ) ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = AH
2.

1
1
1 ⇒ SA = AH . AD
=
+
Trong ∆ SAD ta có AH 2 SA2 AD 2
AD 2 − AH 2

a
×2a
2
=
2a 15
a2
2

4a −
=
4
15 .

1
1 2a 15
4 15 3
V = SA. AB. AD = ×
.a.2a =
a
Vậy thể tích khối chóp S . ABCD là
.
3
3 15
45
Câu 11: [2H1-3.12-3] Cho hình lăng trụ đứng
góc giữa hai mặt phẳng
phẳng ( AB′C )

a3 3
A. 2 .

( AB′C )

và

ABC. A′ B′C ′

( BCC ′B′ )

có đáy là tam giác

bằng

60°

ABC

vuông cân tại

và khoảng cách từ điểm

B

đến mặt

a 6
bằng 2 . Thể tích của khối đa diện AB′CA′ C ′ là?
3a3 3
B.
2 .

C.

a3 3 .

a3 3
D. 3 .

Lời giải
Chọn C

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

A,

Trang 20 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình không gian

 AC ⊥ AB

Ta có  AC ⊥ AA′ ⇒ AC ⊥ ( ABB′A′ ) ⇒ ( AB′C ) ⊥ ( ABB′A′ ) theo giao tuyến
Trong mặt phẳng

( ABB′A′ ) , kẻ BH ⊥ AB′ tại H , ta có BH ⊥ ( AB′C ) .

⇒ BH = d ( B, ( AB′C ) ) =

Gọi

Gọi

AB′ .

a 6

2 .

M

 AM ⊥ BC

là trung điểm của BC , ta có  AM ⊥ BB′ ⇒ AM ⊥ ( BCC ′B′ ) .

N

 MN P BH

là trung điểm của HC , ta có  BH ⊥ ( AB′C ) ⇒ MN ⊥ ( AB′C ) .

⇒ (·
( AB′C ) , ( BCC′B′) ) = (·AM , MN ) = 60o .
Vì

MN ⊥ ( AB′C )

Ta có

MN =

Tam giác
,

nên

MN ⊥ AN

suy ra

·AMN = ( AM , MN ) = 60°
.

BH a 6
=
2
4 .

AMN

vuông tại

N

có

·AMN = 60°

nên

AM =

MN
a 6
=
cos 60°
2 . ⇒ BC = 2MN = a 6

AB = AC = a 3 .

Tam giác

ABB′

vuông tại

A có đường cao BH

nên:

1
1
1
2
1
1
=
− 2= 2− 2= 2
2
2
BB′ BH AB 3a 3a 3a ⇒ BB′ = a 3 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Vậy thể tích khối đa diện

AB′CA′ C ′

Sản phẩm 5 Hình không gian

là:

2
2
VAB′CA′C ′ = VABC . A′B′C ′ = a
3
3
Câu 12: [2H2-2.7-4] Trong mặt phẳng
động ngoài mặt phẳng
trung điểm của

S .ABC

( P)

( P)

cho tam giác

sao cho tam giác

SC . Gọi ( S )

ABC

MAB

2

2

= a3 3

đều cạnh bằng

.

8cm

và một điểm

luôn có diện tích bằng 16

là mặt cầu đi qua bốn đỉnh

lớn nhất, tính bán kính nhỏ nhất của

16 6
cm
A. 9
.

( a 3)

3×

S

3cm 2 , với M là

M , A , B , C . Khi thể tích khối chóp

( S) .

4 3
cm
B. 3
.

4 15
cm
C. 3
.

4 39
cm
D. 3
.

Lời giải
Chọn C

1
S ABM = d( M , AB ) . AB = 16 3 ⇒ d

Ta có
( M , AB ) = 4 3cm .
2
Suy ra

M

thuộc mặt trụ có trục là đường thẳng

AB

và bán kính của mặt trụ bẳng

4 3cm .

1
VS . ABC = 2VM . ABC = 2. S ABC .d( M , ( ABC ) ) ( 1)
.
3

S ABC không đổi ( 2) .

I,H

lần lượt là hình chiếu của

d
Ta có ( M , ( ABC ) )

M

trên đường thẳng

di

AB

và mặt phẳng

( ABC ) .

= MH ≤ MI ( 3) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 22 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

( 1) , ( 2)

Từ

và

( 3)

suy ra

VS . ABC

lớn nhất khi

Sản phẩm 5 Hình không gian

MH = MI ⇔ H ≡ I .

( MAB ) ⊥ ( ABC ) .

Khi đó
Gọi

Rd

là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC .

Gọi

Rb

là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

MAB .

R

( S) .

là bán kính mặt cầu

AB 2
R = Rd + Rb −
Có
4 và Rd ,
2

2

Bài toán quy về tìm vị trí điểm
khoảng

Rb =

4 3cm

AB

M

không đổi nên

R

nhỏ nhất khi

trên đường thẳng

d

song song với

sao cho bám kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Rb

nhỏ nhất.

AB

MAB

và cách

AB

một

nhỏ nhất.

AB
2sin ·AMB .

Dựng đường tròn qua

A, B

và tiếp xúc với

AB

d tại K .
AB

Ta có

·AMB £ AKB
· = 60° ⇒ 2sin ·AMB ≥ 2sin ·AKB .

Do đó

Rb

nhỏ nhất khi

Khi đó tam giác

Tính được

R=

MAB

M≡ K.
đều cạnh bằng

8cm .

4 15
cm
.
3

Câu 13: [2H1-3.6-4] Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

ABCD

là hình vuông và

SA ⊥ ( ABCD ) . Trên

1
′
S
D
=
SA
đường thẳng vuông góc với ( ABCD ) tại D lấy điểm S ′ thỏa mãn
2 và S , S ′ ở
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

cùng phía đối với mặt phẳng

Sản phẩm 5 Hình không gian

( ABCD ) . Gọi V1 là thể tích phần chung của hai khối chóp

V1
S . ABCD và S ′. ABCD . Gọi V2 là thể tích khối chóp S . ABCD . Tỉ số V2 bằng
V1 5
=
A. V2 18 .

V1 1
=
B. V2 3 .

V1 2
=
C. V2 3 .

V1 7
=
D. V2 18 .

Lời giải
Chọn D

1

1
VS ′. ABCD = VS . ABCD = V2
2
2 .
Gọi

F = SD ∩ S ′A , ta có: SA // S ′D

Xét

( S ′AB )

và

( SCD )

⇒

FS ′ S ′D 1
S ′A
=
= ⇔
=3
.
FA SA 2
S ′F

có:

 F ∈ ( S ′AB ) ∩ ( SCD )


⇒ ( S ′AB ) ∩ ( SCD ) = FE // AB // CD với
 AB // CD
Khi đó

FE // AB

⇒

E ∈ S ′B .

S ′B S ′A
=
=3
.
S ′E SF

Ta có:

VS ′.CDFE 1  S ′C S ′D S ′F S ′E   S ′C S ′D S ′A S ′B  1  1 1 
2
= 
.
.
.
+
+
+
=  1.1. . ÷( 1 + 1 + 3 + 3) =
÷

÷
VS ′.CDAB 4  S ′C S ′D S ′A S ′B   S ′C S ′D S ′F S ′E  4  3 3 
9.

2
1
1
⇒ VS ′.CDFE = VS ′.CDAB = VS . ABCD = V2
9
9
9 .
V1 7
1
1
7
=
⇒ V1 = VS ′. ABCD − VS ′.CDFE = V2 − V2 = V2
V
18 .
.
Vậy
2
9
18
2
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 24 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Sản phẩm 5 Hình không gian

Lưu ý: Mặt phẳng cắt các cạnh của khối chóp tứ giác

S . ABCD

có đáy là hình bình hành lần

SM
SN
SP
SQ
=x
=y
=z
=t
lượt tại các điểm M , N , P , Q sao cho SA
; SB
; SC
; SD
ta có:
VS .MNPQ
VS . ABCD

=

xyzt  1 1 1 1 
1 1 1 1

+ = +
 + + + ÷
4  x y z t  và x z y t .

Câu 14: [2H1-3.5-4] Cho khối lập phương
trên các tia AC ,
trị lớn nhất là

a3 2
A. 12 .

B ′ D′

sao cho

ABCD. A′ B′C ′D′

cạnh

a . Các điểm M , N

lần lượt di động

AM + B′N = a 2 . Khi đó, thể tích khối tứ diện AMNB′

a3 3
B. 6 .

C.

a3
6.

có giá

a3
D. 12 .

Lời giải
Chọn D

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 25 Mã đề X