VDC-Word-bài-hay-trên-nhóm_Số-Phức_l2

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

SỐ PHỨC
Câu 1:

z

Xét số phức

iz − 2i − 2 − z + 1 − 3i = 34 .Tìm

thỏa mãn

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = ( 1− i ) z + 1+ i .
A.
Câu 2:

Pmin =

Cho

34
2 .

Pmin = 17 .

B.

a , b, x , y , z

C.

là các số phức thỏa mãn:

y 2 + ay + b + z = 0 , x − y = 2 3 .Gọi M , m
Tính
A.
Câu 3:

M + m = 28 .

B.

a 2 − 4b = 16 + 12i , x 2 + ax + b + z = 0 ,

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

M + m= 6 3.

z

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

B. Đoạn thẳng

z.

(

z

M + m = 10 .

D.

M + m = 12 .

z − 1 + z − 3i = 2

).

I ( − 1; − 2 ) , bán kính R = 2 .

thỏa mãn

w = z + 2 + 2i + z − 4 − 6i

(

F1 ( 1;0 ) , F2 0; − 3
z − 1 − 2i = 5 .

).

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

.

A.

max w = 11;min w = 10 .

B.

max w = 10 3;min w = 11 .

C.

max w = 11 3;min w = 11 .

D.

max w = 10 2;min w = 10 .

Cho số phức

2
A. 3 .

z

là

I ( 1; − 2 ) , bán kính R = 2 .

D. Đường elip có hai tiêu điểm
Cho số phức

C.

thỏa mãn điều kiện

F1F2 với F1 ( 1;0 ) ; F2 0; 3

C. Đường tròn tâm

Câu 5:

D.

13
17 .

M + m.

A. Đường tròn tâm

Câu 4:

Pmin = 34 .

Pmin =

thỏa mãn

( 2 z − 1) ( 1 + i ) + ( z + 1) ( 1 − i ) = 2 − 2i . Giá trị của z

B.

2.

3
C. 2 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

là

2
D. 2 .

Trang 1 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 6:

A.
Câu 7:

z

Tính tổng phần thực của các số phức
trên tập số phức.

2.

Cho

phức

là nghiệm của phương trình

−2 3 .

B.
số

Đề Trường A Lần X Năm 2019

z.

C.

Tính

giá

z4 − 2z3 − z2 − 2z + 1 = 0

−4.

trị

2 5.

D.
nhỏ

nhất

của

biểu

thức

P = z − 1 − 2i + z − 2 − 3i + z − 3 − 4i + ... + z − 2017 − 2018i .
A. 1008.1009

Câu 8:

2.

B. 1008.1010

2.

1 3
1 3
z1 = + i, z2 = − + i
Cho
2 2
2 2 và số phức

C. 0.

z

thỏa mãn

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
phức

3z − i 3 = 3 . Đặt

P = z + z − z1 + z − z2

M,m

lần lượt

. Tính mơ đun của số

ω = M + mi .

2 21
A. 3 .
Câu 9:

2016 2 .

D.

Cho số phức

13 .

B.

z , z1 , z2

4 3
C. 3 .

D. 4.

2 z1 = 2 z2 = z1 − z2 = 6 2 .

thoả mãn

Giá trị nhỏ nhất của

P = z + z − z1 + z − z2 bằng
A.

6 2+ 2 .

Câu 10: Tính mơđun của số phức
A. 1 .

2002

Câu 12: Cho biết

w

z

thỏa mãn

( a; b )

cặp.

6 2+ 3 .
z

là một số nguyên.

3.

( a + bi )
C.

và

2002

D.

4.

D.

2003 cặp.

= a − bi .

2004

cặp.

z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện z − i = z − 1

P = w − z1 + w − z2

3 2.

C.

các số thực sao cho
B. 1 cặp.

C.

( 1 + i ) . z. z − 1 = ( i − 2 ) z

2.

là số phức thỏa mãn điều kiện

thức
A.

3 2+ 3 .

B.

Câu 11: Tìm số cặp thứ tự
A.

B.

9
2+ 3
D. 2
.

2 w + 2 − i + 3 w − 1 + 2i ≤ 6 2 .

và

z1 − z2 = 4 2 . Gọi

Giá trị nhỏ nhất của biểu

bằng
B.

4 2.

C.

5 2.

 z1 − z2 − 9 − 12i = 3

Câu 13: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn:  z1 − 3 − 20i = 7 − z2 . Gọi
nhất, nhỏ nhất của biểu thức

D.

M, m

P = z1 + 2 z2 + 12 − 15i . Tính M 2 − m2 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

6 2.

lần lượt là giá trị lớn

Trang 2 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

A.

450 .

Câu 14: Kí hiệu

thuộc đoạn

C.

451 .

[ −1;1] . Tìm giá trị lớn nhất của

z1 + z2

2 3.

B.

D.

225 .

z 2 + az + b = 0 , với a, b

là hai nghiệm phức của phương trình

6.

A.

675 .

B.

z1 , z2

Đề Trường A Lần X Năm 2019

là các số thực

.

5.

C.

D.

2 6.

Câu 15: Có tất cả bao nhiêu số phức có phần thực và phần ảo đều nguyên đồng thời thỏa mãn

z + 4i + z − 6i = z + i + z − 3i

và
B. 4028.

A. 4029.
Câu 16: Cho số thực

z ≤ 2019
C. 4031.

D. 4030.

a , biết rằng phương trình z 4 + az 2 + 1= 0 có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4 thỏa mãn

( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) = 441. Tổng các giá trị của a bằng
2
1

A.

2
2

2
3

19
B. 2 .

8.

Câu 17: Trong mặt phẳng

của biểu thức
A.

w = ( 3 + 4i ) z + i

5.

Câu 18: Cho số phức

Câu 20:

P = z +1− i

2.

B.

4.

Cho số phức

z

C.

z− 2 = 5

là một đường

25 .

D.

35 .

là

2 2.

3.

2.

D. 8 .

và

z − 1 − i = z − 3 + 3i .

C.
2

thỏa mãn

thỏa mãn

z
w
=
không phải là số thực và
2 + z 2 là số thực. Giá trị lớn nhất

thỏa mãn
B.

20 .

Câu 21: Cho số phức
thức
A.

z

z

9.

(

)

z = 2 z+ z + 4

C. 1 .

D.

2.

3 z + z + 2 z − z ≤ 12 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

z − 4 + 3i . Tính M .m .

của
A.

z

thỏa mãn

Câu 19: Có bao nhiêu số phức
A.

D.

có điểm biểu diễn thuộc đường trịn bán kính

7.

B.

z

17
C. 2 .

Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức

trịn. Khi đó số phức
A.

2
4

B.

z

thỏa mãn

24 .

C.

26 .

z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất M max

M = z 2 + z + 1 + z 3 + 1 . Khi đó P = M min + M max

P = 8.

B.

P = 5.

C.

D.

28 .

và giá trị nhỏ nhất

M min

của biểu

có giá trị là

P= 7.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D.

P= 6.

Trang 3 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 22: Cho

hai

số

z1 , z2

phức

thỏa

z − 1 = 34, z + 1 + mi = z + m + 2i
Khi đó giá trị của

z1 + z2

Câu 23: Tìm số cặp có thứ tự
A.

2018 .

Câu 24: Gọi

S

mãn
A.
Câu 25:

mãn

đồng

thời

hai

(trong đó m là số thực) và sao cho

điều

kiện

sau:

z1 − z2

là lớn nhất.

bằng:
B. 10 .

2.

A.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

( a; b )
B.

C.

sao cho

( a + bi )

2018

= a − bi, ( a, b ∈ ¡

2020 .

là tổng tất cả các số thực

m

2.

C.

130 .

D.

2019 .

).

2017 .
z2 − 2z + 1− m = 0

để phương trình

D.

có nghiệm phức

z

thỏa

z = 2 . Tính S .

6.

B. 10 .

Cho số phức

C.

- 3.

D.

7.

z = − 2 + i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz

trên mặt

phẳng tọa độ?
A.

M ( − 1; − 2 ) .

Câu 26: Cho số phức

z

B.

thay đổi luôn thỏa mãn

các điểm biểu diễn số phức

bởi đường cong
A. 12π

P ( − 2;1) .

z − i + z + i = 6 . Gọi S

w = ( z − i ) ( i + 1)

khi

B. 12π .

Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

A. Vô số.

N ( 2;1) .

z

D.

Q ( 2;1) .

là đường cong tạo bởi tất cả

thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn

S.

2.

cực tiểu tại

C.

C.

m

9π 2 .

để hàm số

D.

6π 2 .

y = x8 + ( m + 1) x5 − ( m2 − 1) x 4 + 1

x= 0.
B.

3.

C.

2.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

D.

4.

Trang 4 Mã đề X

đạt


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

HƯỚNG DẪN GIÀI CHI TIẾT
1.C
11.C
21.D

Câu 1.

2.C
12.C
22.C

3.B
13.D
23.D

4.D
14.C
24.D

[2D4-5.1-3] Xét số phức
biểu thức

A.

Pmin =

BẢNG ĐÁP ÁN
5.A
6.A
7.A
15.D
16.C
17.C
25.A
26.A
27.C

z

thỏa mãn

8.A
18.B

iz − 2i − 2 − z + 1 − 3i = 34

9.C
19.D

10.A
20.B

.Tìm giá trị nhỏ nhất của

P = ( 1− i) z + 1+ i .
34
2 .

B. Pmin

= 17 .

C. Pmin

= 34 .

D.

Pmin =

13
17 .

Lời giải
Chọn C

iz − 2i − 2 − z + 1 − 3i = 34 ⇔ z − 2 + 2i − z + 1 − 3i = 34

⇔ MA − MB = 34

với

M

⇔ MA − MB = AB ⇔ M ∈

là điểm biểu diễn của
tia đối của tia

P = ( 1− i) z +1+ i = 1− i z +

Vậy

BA

z

,

(tính cả

A ( 2; − 2 ) , B ( − 1;3)

B

.

).

1+ i
= 2 z + i = 2MI
, với I ( 0; − 1) .
1− i

Pmin = 2 IB = 34 ⇔ M ≡ B .
Ngày 23/ 3/ 2019

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 2.

[2D4-4.1-4] Cho

a , b, x , y , z

Đề Trường A Lần X Năm 2019

là các số phức thỏa mãn:

y 2 + ay + b + z = 0 , x − y = 2 3 .Gọi M , m

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

z.

M + m.

Tính
A.

a 2 − 4b = 16 + 12i , x 2 + ax + b + z = 0 ,

M + m = 28 .

B.

M + m= 6 3.

C. M

+ m = 10 .

D.

M + m = 12 .

Lời giải
Chọn C
Cách 1
Do đề cho

2
x 2 + ax + b + z = 0 , y + ay + b + z = 0 và a, b, x, y, z

là các số phức

⇒ x, y là nghiệm của phương trình t 2 + at + b + z = 0
 x + y = −a
⇒
 xy = b + z
Mà

( x − y) = ( x + y)
2

2

− 4 xy = a 2 − 4 ( b + z ) = a 2 − 4b − 4 z = ( 16 + 12i ) − 4 z

⇒ x − y = ( 16 + 12i ) − 4 z ≥ ( 16 + 12i ) − 4 z
2

⇒ 12 ≥ 20 − 4 z ⇒ z ≥ 2 ⇒ m = Min z = 2
Ta có

( x − y ) = ( 16 + 12i ) − 4 z ⇒ 4 z = ( 16 + 12i ) − ( x − y )
2

2

⇒ 4 z = ( 16 + 12i ) − ( x − y ) ≤ ( 16 + 12i ) + x − y = 20 + 12
2

2

⇒ z ≤ 8 ⇒ M = Max z = 8
Như vậy

M + m = 8 + 2 = 10

Cách 2
Từ giả thiết cho, ta được:

a 2 − 4b = 16 + 12i ⇒ a 2 − 4b = 20 ( *)
x− y = 2 3 ⇒ x− y ≠ 0
2
2
 x 2 + ax + b + z = 0  x − y + a ( x − y ) = 0
( x − y ) ( x + y + a ) = 0
⇒ 2
⇒
 2

2
2
 y + ay + b + z = 0  x + y + a ( x + y ) + 2b + 2 z = 0 ( x + y ) + a ( x + y ) − 2 xy + 2b = −2 z

( x + y ) 2 = a 2
 x + y = −a
⇒

⇒
2 z = 2 xy − 2b  4 z = 4 xy − 4b

( x − y) = ( x + y)
2

Nên

2

− 4 xy = a 2 − 4 xy ⇒ a 2 − 4 xy = x − y = 12 ( **)
2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

4 z = 4 xy − 4b = ( 4 xy − a 2 ) + ( a 2 − 4b ) . Từ (∗) và (∗∗), ta suy ra:

Mà

⇒ a 2 − 4b − 4 xy − a 2 ≤ 4 z ≤ 4 xy − a 2 + a 2 − 4b
8
32
⇒ ≤ z ≤ ⇒ 2 ≤ z ≤ 8 ⇒ m = Min z = 2; M = Max z = 8

4
4
Như vậy
Câu 3.

M + m = 8 + 2 = 10

[2D4-1.2-3] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
A. Đường tròn tâm
B. Đoạn thẳng

thỏa mãn điều kiện

z − 1 + z − 3i = 2

là

I ( 1; − 2 ) , bán kính R = 2 .

(

F1F2 với F1 ( 1;0 ) ; F2 0; 3

C. Đường tròn tâm

z

).

I ( − 1; − 2 ) , bán kính R = 2 .

D. Đường elip có hai tiêu điểm

(

F1 ( 1;0 ) , F2 0; − 3

).

Lời giải
Chọn B
Đặt

(

M ( x; y ) là điểm biểu diễn số phức z ; F1 ( 1;0 ) , F2 0; 3

các số phức : 1 ,

=2

Khi đó

z − 1 + z − 3i = 2 ⇔ MF1 + MF2 = 2 .

⇒
Câu 4.

3i .

Có F1 F2

Nên

MF1 + MF2 = F1F2 ⇒ M

Tập hợp điểm

) là điểm biểu diễn lần lượt cho

M

thuộc đoạn

F1 F2 .

là đoạn thẳng F1 F2 .

[2D4-5.1-3] Cho số phức

z

w = z + 2 + 2i + z − 4 − 6i

thỏa mãn

z − 1 − 2i = 5 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

.

A.

max w = 11;min w = 10 .

B.

max w = 10 3;min w = 11 .

C.

max w = 11 3;min w = 11 .

D.

max w = 10 2;min w = 10 .

Lời giải

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 7 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

Chọn D

z . Khi đó, điểm M ∈ C ( I , R) với tâm I ( 1;2 )

2
2
kính R = 5 . Phương trình đường tròn C ( I , R ) là ( x − 1) + ( y − 2 ) = 25 .
Gọi

M (x;y) là điểm biểu diễn của số phức

Ta có: A
Suy ra

Ta có:
Vậy

thuộc đường trịn

C( I , R)

và

AB = 10

nên

AB

là đường kính.

w = z + 2 + 2i + z − 4 − 6i = MA + MB .

MA + MB ≥

M ≡ A

AB , dấu " = " xảy ra khi  M ≡ B .

min w = AB = 10 .

Ta có:

Suy ra
Vậy

( − 2; − 2) , B ( 4;6 )

bán

( MA + MB )

2

2
2
2
= MA2 + MB 2 + 2MA.MB ≤ 2 ( MA + MB ) = 2 AB .

MA + MB ≤ 2 AB , dấu " = " xảy ra khi

MA = MB =

AB

2

.

max w = AB 2 = 10 2 .

Ngày 29/3/2019
Câu 5.

[2D4-2.2-2] Cho số phức

2
A. 3 .

z

B.

thỏa mãn

2.

( 2 z − 1) ( 1 + i ) + ( z + 1) ( 1 − i ) = 2 − 2i . Giá trị của z
3
C. 2 .

2
D. 2 .

Lời giải

Chọn A
Giả sử

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

) , thay vào phương trình đã cho ta được

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 8 Mã đề X

là


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

( 2 x + 2 yi − 1) ( 1 + i ) + ( x − yi + 1) ( 1 − i ) = 2 − 2i
⇔ 3x − 3 y + ( x + y − 2 ) i = 2 − 2i
1

x=

3x − 3 y = 2

3
⇔
⇔
 x + y − 2 = −2  y = − 1 ⇒ z = 1 − 1 i ⇒ z = 2


3
3 3
3 .
Ngày 29 / 3 / 2019
Câu 6.

[2D4-4.1-2] Tính tổng phần thực của các số phức

z4 − 2z3 − z 2 − 2z + 1 = 0
A.

2.

z

là nghiệm của phương trình

trên tập số phức.
B.

−2 3 .

C.

−4.

D.

2 5.

Lời giải
Chọn A
Dễ thấy

z= 0

không là nghiệm của phương trình.

Chia cả 2 vế của phương trình cho z 2 ta được:

2 1
z2 − 2z − 1− + 2 = 0
z z
1   1

⇔  z2 + 2 ÷ − 2 z + ÷ − 1 = 0
z  
z

2

 1
 1
⇔  z + ÷ − 2 z + ÷ − 3 = 0
 z
 z
 1
 z + z = −1
⇔

z + 1 = 3
 z

⇔

 z2 + z +1 = 0
 2
 z − 3z + 1 = 0

Vậy tổng phần thực của các nghiệm là:
Câu 7.

[2D4-5.2-4] Cho

số

phức

z.

( − 1) + 3 = 2 .
Tính

giá

trị

nhỏ

nhất

của

biểu

P = z − 1 − 2i + z − 2 − 3i + z − 3 − 4i + ... + z − 2017 − 2018i .
A. 1008.1009

2.

B. 1008.1010

2.

C. 0.

D.

2016 2 .

Lời giải
Chọn A
Gọi các điểm

A1 ( 1;2 ) , A2 ( 2;3) , ..., A2017 ( 2017;2018) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 9 Mã đề X

thức


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Ta thấy
Gọi

M

Đề Trường A Lần X Năm 2019

A1 , A2 , …, A2017 ∈ ( d ) : y = x + 1 nên chúng thẳng hàng.
là điểm biểu diễn số phức

z.

Ta có:

P = MA1 + MA2 + ... + MA2017 = ( MA1 + MA2017 ) + ( MA2 + MA2016 ) + ... + ( MA1008 + MA1010 ) + MA1009

≥ A1 A2017 + A2 A2016 + ... + A1008 A1010
Dấu

" = " xảy ra ⇔ M

nằm ở giữa đoạn

A1008 A1010

đồng thời

MA1009 = 0 ⇔ M ≡ A1009 .

Khi đó

Pmin = A1 A2017 + A2 A2016 + ... + A1008 A1010 = 2016 2 + 2014 2 + ... + 2 2 = 2 2 ( 1 + 2 + ... + 1008 )
= 2 2.

1008
( 1 + 1008) = 1008.1009 2 .
2

1 3
1 3
z1 = + i, z2 = − + i
[2D4-5.1-4] Cho
2 2
2 2 và số phức

Câu 8.
,

m

z

thỏa mãn

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

mô đun của số phức

3z − i 3 = 3 . Đặt

P = z + z − z1 + z − z2

. Tính

ω = M + mi .

2 21
A. 3 .

B.

4 3
C. 3 .

13 .

D. 4.

Lời giải
Chọn A
Bổ đề: Cho tam giác

ABC

đều, điểm

M

thuộc cung nhỏ

» . Chứng minh rằng
BC

MB + MC = MA .

Chứng minh: Lấy điểm
Do

·AMC = ·ABC = 60°

Ta lại có

N

MA sao cho MN = MC . Ta chứng minh NA = MB .

thuộc đoạn

nên tam giác

MNC

·
·
BC = AC , MBC = MAC ( 2 ) .

đều. Suy ra

·
·
MCB
= NCA
( 1) .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

M

Trang 10 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Từ

( 1) , ( 2 )

ta có

Đề Trường A Lần X Năm 2019

∆ MBC = ∆ NAC ( g.c.g ) ⇒ MB = NA . Vậy MB + MC = MA .

Trở lại bài toán:

1 3
 1 3
⇒ M 1  ; ÷÷, M 2  − ; ÷÷
Gọi M 1 , M 2 , M lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 , z2 , z
2 2 
 2 2 

Ta có

3z − i 3 = 3 ⇔ z −

bán kính
Hơn nữa

R=

3
3
i=
3
3 . Do đó điểm

M

 3
I  0; ÷÷
thuộc đường trịn ( C ) tâm  3  ,

3
3 . Ta thấy IO = IM 1 = IM 2 = R nên O, M 1 , M 2 ∈ ( C ) .

OM 1 = M 1M 2 = M 2O = 1 nên ∆ OM 1M 2

quát, ta giả sử điểm

M

là tam giác đều. Do đó, khơng mất tính tổng

thuộc cung nhỏ của cung

M1M 2 . Áp dụng Bổ đề, ta có

MM 1 + MM 2 = MO .
Khi đó

P = OM + MM1 + MM 2 = 2OM .
Suy ra

m = 2OM 2 = 2, M = 2OM 3 = 4 R =

Khi đó
Câu 9.

M + mi = M 2 + m2 =

[2D4-5.1-3] Cho số phức
nhất của

A.

4 3
3 , với M 3 ≠ O là giao điểm của

OI

với

( C) .

16
2 21
+4=
3
3 .

z , z1 , z2

thoả mãn

2 z1 = 2 z2 = z1 − z2 = 6 2 .

Giá trị nhỏ

P = z + z − z1 + z − z2 bằng

6 2+ 2 .

B.

3 2+ 3 .

C.

6 2+ 3 .

9
2+ 3
D. 2
.

Lời giải
Chọn C
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 11 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Từ
Gọi

2 z1 = 2 z2 = z1 − z2 = 6 2

M , M1 , M 2

M1 , M 2
Do

ta có

Đề Trường A Lần X Năm 2019

z1 = 6 ; z2 = 6 ; z1 − z2 = 6 2 .

lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức

đều nằm trên đường tròn tâm

z1 − z2 = 6 2

nên

z , z1 , z2 .

O bán kính R = 6 .

M1M 2 = 6 2 .

P = z + z − z1 + z − z 2 = OM + MM1 + MM 2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 12 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Q( M 2 ,60°) ( M ) = M ′ ; Q( M 2 ,60°) ( O ) = O′

Xét

Đề Trường A Lần X Năm 2019

theo tính chất của phép quay ta có

MM 2 = MM ′ ;

OM = O′ M ′ ⇒ P = OM + MM1 + MM 2 ≥ M1M + MM ′ + M ′O′ ≥ M1O′ .
Dấu “=” xảy ra khi các điểm

M 1 , M , M ′ , O′

thẳng hàng

⇒ Pmin = M 1O′ = 62 + 62 − 2.6.6cos150° = 6 2 + 3 .
Ngày 28/ 3/ 2019
Câu 10.

[2D4-2.3-3] Tính mơđun của số phức
nguyên.
A. 1 .

B.

z

thỏa mãn

2.

C.

( 1 + i ) . z. z − 1 = ( i − 2 ) z

3.

D.

và

z

là một số

4.

Lời giải
Chọn A
Ta có

( 1 + i ) . z. z − 1 = ( i − 2 ) z

⇔ ( 1 + i ) .z. z = 1 − 2 z + i. z
⇒ ( 1 + i ) .z. z = 1 − 2 z + i. z
2

⇔ 2. z =
4

( 1− 2 z )

2

+ z

2

2

⇔ 2 z = 5 z − 4 z +1

(

)

⇔ ( z − 1) 2 z + 2 z − 3 z + 1 = 0
Do

z

3

2

là một số nguyên nên suy ra

z = 1.

i −1
⇒
z
=
= i ( TM )
Thử lại: thay z = 1 vào phương trình ban đầu, ta có ( 1 + i ) .z − 1 = i − 2
.
1+ i
Vậy,

z = 1.

Ngày 28/03/2019
Câu 11. [2D4-2.3-3] Tìm số cặp thứ tự
A.

2002

cặp.

( a; b )

các số thực sao cho

B. 1 cặp.

C.

2004

( a + bi )
cặp.

2002

= a − bi .
D.

2003 cặp.

Lời giải
Chọn C
Đặt

z = a + bi , ta có

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 13 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

( a + bi )

2002

Đề Trường A Lần X Năm 2019

= a − bi

⇔ z 2002 = z

⇒ z 2002 = z
⇔ z

2002

(

⇔ z z

− z =0
2001

)

−1 = 0

z =0
⇔
 z = 1.
 Với

z = 0 , ta có z = 0 suy ra ( a; b ) = ( 0;0 ) .

 Với

z = 1 , ta có z.z = 1 ⇔ z = z . Do đó, ta có

1

z 2002 = z ⇔ z 2002 =
thõa mãn
Vậy có tất cả

1
⇔ z 2003 − 1 = 0
. Phương trình này có 2003 nghiệm và nghiệm này
z

z≠ 0.
2004

cặp

( a; b ) .

Ngày 26/03/2019
Câu 12.

[2D4-5.1-3] Cho biết

z1 , z2 là

z1 − z2 = 4 2 . Gọi w

là số phức thỏa mãn điều kiện

nhỏ nhất của biểu thức

A. 3

2.

hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện

P = w − z1 + w − z2
B. 4

z− i = z−1

2 w + 2 − i + 3 w − 1 + 2i ≤ 6 2 . Giá trị

bằng

2.

C. 5

2.

D. 6

2.

Lời giải
Chọn C
Gọi

z = x + y.i

Ta có:

M

Có: 2

x, y ∈ ¡

.

z − i = z − 1 ⇔ x 2 + ( y − 1) = ( x − 1) + y 2 ⇔ x − y = 0 .
2

Vậy số phức
Gọi

với

z1 , z2

2

có các điểm biểu diễn là

là điểm biểu diễn cho số phức

M1, M 2

và

thuộc đường thẳng

x− y = 0 ( d) .

w.

w + 2 − i + 3 w − 1 + 2i ≤ 6 2 ⇔ 2 w − ( − 2 + i ) + 3 w − ( 1 − 2i ) ≤ 6 2

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 14 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

⇔ 2MA + 3MB ≤ 6 2 ( 1)
Vậy

( 1) ⇔ 2 AB = 6

với

Đề Trường A Lần X Năm 2019

A ( − 2;1) , B ( 1; − 2 ) , AB = 3 2 .

2 ≥ 2 MA + 3MB = 2 ( MA + MB ) + MB ≥ 2 AB + MB .

⇒ 2 AB ≥ 2 AB + MB ≥ 2 AB .

Dấu

" = " xảy ra khi M thuộc đoạn AB

Suy ra

và

MB = 0 ⇔ M ≡ B .

M ( 1; − 2 ) ⇒ w = 1 − 2i .

P = 1 − 2i − z1 + 1 − 2i − z2 = MM 1 + MM 2

với

M1, M 2

thuộc đường thẳng

x− y = 0 ( d)

và

M 1M 2 = 4 2 .
Gọi

H là hình chiếu của M trên đường thẳng d , ta có

Khơng mất tính tổng qt, đặt

TH1:

d( M ,d ) =

3
= MH
.
2

M1H = a ≥ 0 .

H nằm trong đoạn thẳng M1M 2 .

2

 3 
P = M 1 H + HM + M 2 H + HM = a +  ÷ +
 2
2

2

2

2

2

(

)

2

 3 
4 2 −a + ÷
 2 .
2

r  3  r 
3 
r r r r
u =  a ; ÷ , v =  4 2 − a; ÷
Đặt
2
2  . Áp dụng u + v ≥ u + v ta được P ≥ 32 + 18 = 5 2 .



Dấu

"= "

TH2:

3
 3
=
k
.

k = 1 > 0
 2
2
⇔

r r
a = 2 2

xảy ra khi và chỉ khi u = kv, k > 0 a = k . 4 2 − a
.

(

)

H không thuộc đoạn thẳng M1M 2 , giả sử H nằm bên trái M1M 2 .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 15 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

2

2

(

)

2
 3 
 3 
P = M 1 H + HM + M 2 H + HM = a +  ÷ +  ÷ + 4 2 + a
.
 2
 2
2

Vì

a > 0 nên

Vậy

2

P>

2

2

2

9

9 3
73
+ 32 + =
+
>5 2
.
2
2
2
2

Pmin = 5 2 .

Ngày 26/ 3/ 2019

 z1 − z2 − 9 − 12i = 3

Câu 13. [2D4-5.1-4] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn:  z1 − 3 − 20i = 7 − z2 . Gọi
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
A.

450 .

B.

M,m

lần lượt là

P = z1 + 2 z2 + 12 − 15i . Tính M 2 − m2 .

675 .

C.

451 .

D.

225 .

Lời giải
Chọn D
Đặt

w = z1 − 9 − 12i .

 z1 − z2 − 9 − 12i = 3
 w − z2 = 3
⇒

 w + 6 − 8i + z2 = 7.
Ta có:  z1 − 3 − 20i = 7 − z2

Gọi

A, B

 AB = 3
⇒

là điểm biểu diễn của w , z2
 AM + OB = 7 với M ( − 6;8 )

⇒ AB + AM + OB = 10 = OM ⇒ A , B
uuur uuuur
 OA = xOM
⇒  uuur uuuur
 OB = yOM với x ,

nằm trên đoạn

OM

y ∈ [ 0;1] .

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 16 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

 w = −6 x + 8 xi
⇒
 z2 = −6 y + 8 yi với x ,
Khi đó

y ∈ [ 0;1] .

P = z1 + 2 z2 + 12 − 15i = w + 2 z2 + 21 − 3i

=

( − 6 x − 12 y + 21) + ( 8 x + 16 y − 3)

Đặt

t = x + 2 y ( 0 ≤ t ≤ 3) .

2

2

Khảo sát hàm số

=  −6 ( x + 2 y ) + 21 + 8 ( x + 2 y ) − 3 .
2

2

2

f ( t ) = 100t 2 − 300t + 450

 3
min f ( t ) = f  ÷ = 225 ⇒
[ 0;3]
 2

trên đoạn

[ 0;3]

max f ( t ) = f ( 0 ) = 450

ta được [ 0;3]

số thực thuộc đoạn

 Pmax = M = 450

.
 Pmin = m = 15

z1 , z2

là hai nghiệm phức của phương trình

[ −1;1] . Tìm giá trị lớn nhất của

6.

B. 2

3.

z1 + z2

C.

z 2 + az + b = 0

, với

a, b

là các

.

5.

D. 2

6.

Lời giải
Chọn C
Xét

z 2 + az + b = 0 ( 1) , ∆ = a 2 − 4b với a, b∈ [ − 1;1]

TH1:

∆ < 0 ⇔ a 2 < 4b . Khi đó ( 1)

.

có hai nghiệm phức là hai số phức liên hợp của nhau.

Giả sử

z1 = z0 ⇒ z2 = z0 .

Ta có:

z 0 . z 0 = b ⇒ z 0 = b ⇒ z0 = b .

Nên

và

M 2 − m2 = 225 .

Câu 14. [2D4-5.2-3] Kí hiệu

A.

2

( − 6t + 21) + ( 8t − 3) = 100t 2 − 300t + 450

P=

Vậy

Đề Trường A Lần X Năm 2019

2

T = z1 + z2 = 2 z0 = 2 b ≤ 2 .

Suy ra

max T = 2 khi b = 1 .

 z1 + z2 = − a

TH2: ∆ ≥ 0 ⇔ a 2 ≥ 4b . Khi đó ( 1) có hai nghiệm thực thỏa mãn  z1 z2 = b.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 17 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

T = z1 + z2 ⇒ T 2 = ( z1 + z2 ) + 2 z1 z2 − 2 z1 z2 = a 2 + 2 b − 2b ≤ 12 + 2. − 1 − 2. ( − 1) = 5.
2

Suy ra

T≤ 5.

' = ' xảy ra khi b = − 1, a = ± 1 nên max T = 5 .

Dấu

Kết hợp hai trường hợp ta được

Câu 15.

max T = 5 .

[2D4-5.1-4] Có tất cả bao nhiêu số phức có phần thực và phần ảo đều nguyên đồng thời thỏa
mãn z + 4i
A. 4029.

+ z − 6i = z + i + z − 3i

và

z ≤ 2019

B. 4028.

C. 4031.

D. 4030.

Lời giải
Chọn D
Đặt

w = z − i ⇒ w − 5i + w + 5i = w + 2i + w − 2i = 2b .

Nhận xét:
TH1.

2b = 5 − w + w + 5 ≥ 5 − w + 5 + w = 10 ⇒ b ≥ 5 .

b = 5 . Đặt w = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có:

10 = x 2 + ( y − 5) + x 2 + ( y + 5 ) ≥ 5 − y + y + 5 ≥ 5 + 5 = 10 .
2

2

Do đẳng thức xảy ra nên

x= 0

và

− 5 ≤ y ≤ 5 . Khi đó w = yi . Ta có

w + 2i + w − 2i = 10 ⇔ y + 2 + y − 2 = 10 . Giải ra được y = ± 5 . Vậy w = ± 5i .
TH2.

b > 5 , khi đó w

có điểm biểu diễn thuộc 2 elip:

x2
y2
x2
y2
( E1 ) : 2 + 2 = 1 và ( E2 ) : 2 + 2 = 1
b −5 b
b −2 b

Ta thấy
Suy ra

( E1 ) ∩ ( E2 ) = ( 0; ± b ) .
w = bi ; w = − bi .

Nếu w = bi ⇒ z =
nguyên thỏa mãn.

( b + 1) i ⇒
(

)

z = b + 1 ( b > 5 ) .Do z ≤ 2019 ⇒ 5 < b ≤ 2018 . Vậy có 2013 số

Nếu w = bi ⇒ z = − b + 1 i ⇒ z = b − 1
Vậy có 2015 số nguyên thoả mãn.

( b > 5) . Do

z ≤ 2019 ⇒ b − 1 ≤ 2019 ⇒ 5 < b ≤ 2020 .

Từ hai trường hợp trên ta có 4030 số thỏa mãn.
Ngày 25/3/2019

Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn!

Trang 18 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 16. [2D4-4.3-4] Cho số thực
thỏa mãn

A.

Đề Trường A Lần X Năm 2019

a , biết rằng phương trình z 4 + az 2 + 1= 0 có bốn nghiệm z1, z2, z3, z4

( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) = 441. Tổng các giá trị của a bằng
2
1

2
2

2
3

2
4

19
B. 2 .

8.

17
C. 2 .

D.

9.

Lời giải
Chọn C
Cách 1
Ta có

z

là nghiệm của phương trình

z 4 + az 2 + 1= 0 thì − z

cũng là nghiệm của phương trình.

 z32 + 4 = z12 + 4
 z 3 = − z1
⇒ 2

2
Khơng mất tính tổng qt giả sử  z4 = − z2
 z4 + 4 = z2 + 4 . Do đó

( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) ( z + 4) = 441 ⇒ ( z + 4) ( z + 4)
2

1

2
2

2
3

2
4

2
1

2

2
2

2

(

)(

)

= 441 ⇒ z12 + 4 z22 + 4 = ± 21

Ta có

z 4 + az 2 + 1= 0 ⇔ ( z 2 + 4) + az 2 − 8z 2 − 15 = 0 ⇔ ( z 2 + 4) + ( a − 8) ( z 2 + 4) + 17 − 4a = 0
2

Đặt

2

2
t1 = z12 + 4, t2 = z22 + 4 ⇒ t1, t2 là hai nghiệm của phương trình t + ( a − 8) t + 17 − 4a = 0 .

 a = −1
17 − 4a = 21
⇒
⇔  19
a =
17
−
4
a
=
−
21


2.

⇒ t1t2 = 17 − 4a
Cách 2
Gọi

z1 , z2 , z3 , z4 là 4 nghiệm của phương trình z 4 + az 2 + 1= 0 khi đó ta có

f ( z ) = z 4 + az 2 + 1 = ( z − z1 ) ( z − z2 ) ( z − z3 ) ( z − z4 )
Đặt

T = ( z12 + 4) ( z22 + 4) ( z32 + 4) ( z42 + 4)

= ( z1 − 2i ) ( z1 + 2i ) ( z2 − 2i ) ( z2 + 2i ) ( z3 − 2i ) ( z3 + 2i ) ( z4 − 2i ) ( z4 + 2i )

= ( z1 − 2i ) ( z2 − 2i ) ( z3 − 2i ) ( z4 − 2i ) ( z1 + 2i ) ( z2 + 2i ) ( z3 + 2i ) ( z4 + 2i )
⇒ T = f ( 2i ) f ( − 2i )
Ta có

f ( 2i ) = ( 2i ) + a ( 2i ) + 1= 17 − 4a
4

2

f ( − 2i ) = ( − 2i ) + a ( − 2i ) + 1= 17 − 4a
4

2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 19 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

 a = −1
⇒ T = ( 17 − 4a ) = 441⇒  19
a =

2.
2

Câu 17. [2D4-1.2-3] Trong mặt phẳng

Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức

một đường trịn. Khi đó số phức
A.

5.

B.

w = ( 3 + 4i ) z + i

7.

z

thỏa mãn

z− 2 = 5

có điểm biểu diễn thuộc đường trịn bán kính
C.

25 .

D.

35 .

Lời giải
Chọn C

w− i
w− i
w − 6 − 9i
⇔
=
z
⇔
−
2
=
z
−
2
⇔
= z− 2
w = ( 3 + 4i ) z + i 3 + 4i
3 + 4i

3 + 4i
w − ( 6 + 9i )
w − 6 − 9i
= z− 2 ⇔
= 5 ⇔ w − ( 6 + 9i ) = 25
Suy ra: 3 + 4i
.
5
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức

w là đường tròn tâm I ( 6;9 ) , bán kính R = 25 .

Cách 2:

w = ( 3 + 4i ) z + i = ( 3 + 4i ) ( z − 2 ) + 6 + 9i ⇔ w − ( 6 + 9i ) = ( 3 + 4i ) ( z − 2 ) .
Suy ra:

w − ( 6 + 9i ) = ( 3 + 4i ) ( z − 2 )

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức

hay

w − ( 6 + 9i ) = 25 .

w là đường trịn tâm I ( 6;9 ) , bán kính R = 25 .

Ngày 1/4/2019

Câu 18. [2D4-5.1-4] Cho số phức

trị lớn nhất của biểu thức
A.

2.

z

thỏa mãn

z

P = z +1− i
B. 2

z
w
=
không phải là số thực và
2 + z 2 là số thực. Giá
là

2.

C.

2.

D. 8 .

Lời giải

Chọn B
Gọi

z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ , y ≠ 0 ) , và số phức z

có điểm biểu diễn hình học là

M.

1
2
2 x − 2 yi
= z + = x + yi + 2 2
w
z
x +y

w

là

2y
1
y− 2 2 = 0
x +y
thực nên w thực

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 20 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề Trường A Lần X Năm 2019

 x 2 + y 2 = 2
⇔
 ( x; y ) ≠ ( ± 2;0 ) .
Vậy

M

( C ) có tâm O ( 0;0 ) , R = 2

thuộc đường tròn

P = z + 1 − i = MI ,

Ta có :
Dễ thấy

I ( −1;1 )

bỏ đi điểm

S

(

) (

2;0 ; S ' − 2;0

)

I ( −1;1 ) .

với

thuộc đường tròn (

C ) . Do vậy độ dài MI

đạt giá trị lớn nhất chính bằng

đường kính. Vậy PMax = 2 2 .
Ngày 06/ 12 / 2018
Câu 19. [2D4-2.3-3] Có bao nhiêu số phức
A.

4.

B.

z

(

2

thỏa mãn

)

z = 2 z+ z + 4

3.

C. 1 .

và

z − 1 − i = z − 3 + 3i .
D.

2.

Lời giải
Chọn D
Gỉa sử

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

(

).

)

z = 2 z + z + 4 ⇔ x2 + y2 = 4 x + 4 ⇔ ( x − 2 ) + y2 = 8 .
2

2

z − 1 − i = z − 3 + 3i ⇔ x + yi − 1 − i = x + yi − 3 + 3i

( x − 1) + ( y − 1)
2

⇔

2

( x − 3 ) + ( y + 3)
2

=

2

⇔ x − 2y − 4 = 0 ⇔ x = 2y + 4 .

( x − 2 ) 2 + y 2 = 8 5 y 2 + 8 y − 4 = 0 ( 1)
⇔
( *) 
Số các số phức cần tìm là số nghiệm của hệ
.
 x = 2 y + 4
 x = 2 y + 4

( 1)

có hai nghiệm phân biệt

⇒ ( *)

có hai nghiệm phân biệt.

Vậy có 2 số phức thỏa mãn điều kiện đề bài.
Câu 20. [2D4-4.1-3] Cho số phức
nhất, nhỏ nhất của
A.

20 .

z

thỏa mãn

3 z + z + 2 z − z ≤ 12 . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn

z − 4 + 3i . Tính M .m .
B.

24 .

C.

26 .

D.

28 .

Lời giải
Chọn B
Gọi

N ( x; y )

là điểm biểu diễn số phức

z = x + yi ( x, y ∈ ¡

).

3 z + z + 2 z − z ≤ 12 ⇔ 3 2 x + 2 2 yi ≤ 12 ⇔ 6 x + 4 y ≤ 12 ⇔ 3 x + 2 y ≤ 6 . Khi đó:
Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 21 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Tập hợp các điểm

N

là miền hình thoi

Đề Trường A Lần X Năm 2019

ABCD

với

A ( 0;3) , B ( − 2;0 ) , C ( 0; − 3) , D ( 2;0 ) .

y
A
K
B

O
N

D
x

H

C

z − 4 + 3i = NI , với I ( 4; − 3)
Ta có:

I

là điểm biểu diễn số phức

z1 = 4 − 3i .

CD :3x − 2 y − 6 = 0, AB :3x − 2 y + 6 = 0, ∆ : 2 x + 3 y + 1 = 0

là đường thẳng đi qua

I

và

 16 15   20 9 
H = ∆ ∩ CD, K = ∆ ∩ AB ⇒ H  ; − ÷, K  − ; ÷
vng góc với AB . Gọi
 13 13   13 13  .
Vì

1<

16
< 2⇒ H
nằm giữa
13

KB < KA . Với mọi vị trí của
m = IH =

của biểu thức

A. P =

20
< −1⇒ K
nằm giữa
13

C và D , HD < HC ;
A và B,
N trên miền hình thoi ABCD , ta có IH ≤ IN ≤ IA suy ra

12 13
, M = IA = 2 13 ⇒ M .m = 24
.
13

Câu 21. [2D4-5.1-4] Cho số phức

M min

−2 < −

8.

z

thỏa mãn

z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất M max

M = z 2 + z + 1 + z 3 + 1 . Khi đó P = M min + M max

B.

P = 5.

C. P =
Lời giải

và giá trị nhỏ nhất

có giá trị là

7.

D.

P= 6.

Chọn D
Đặt

z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) , ta có z = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 1 do đó − 1 ≤ x ≤ 1 .

M = z 2 + z + 1 + z 3 + 1 = z 2 + z + 1 + z + 1 . z 2 − z + 1 = z 2 + z + z.z + z + 1 . z 2 − z + z.z
= z z + 1 + z + z z + 1 . z − 1 + z = z + 1 + z + z + 1 . z − 1 + z = 2 x + 1 + 2 x − 1 . ( x + 1) + y 2
2

= 2x + 1 + 2x −1 . 2x + 2 .
Đặt

t = 2x + 2

TH1: với

với

0≤ t ≤ 2

ta được

M = f ( t ) = t 2 − 1 + t 2 − 3 .t

2
2
3
2
0 ≤ t ≤ 1 thì f ( t ) = ( 1 − t ) + t ( 3 − t ) = − t − t + 3t + 1 .

f ′ ( t ) = − 3t 2 − 2t + 3 = 0 ⇔ t =

với

0≤ t≤ 2

− 1 + 10
3

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 22 Mã đề X

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

TH2: với 1 <

t≤ 3

thì

f ( t ) = ( t 2 − 1) + t ( 3 − t 2 ) = − t 3 + t 2 + 3t − 1 .

f ′ ( t ) = −3t 2 + 2t + 3 = 0 ⇔ t =

TH3: với

Đề Trường A Lần X Năm 2019

1 + 10
3

2
2
3
2
3 < t ≤ 2 thì f ( t ) = ( t − 1) + t ( t − 3) = t + t − 3t − 1 .

(

f ′ ( t ) = 3t 2 + 2t − 3 > 0 ∀ t ∈ 3;2 

Vậy

P = M min + M max = 1 + 5 = 6 .

Câu 22. [2D4-5.1-3] Cho hai số phức

z − 1 = 34, z + 1 + mi = z + m + 2i
Khi đó giá trị của
A.

2.

z1 + z2

z1 , z2

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

(trong đó m là số thực) và sao cho

z1 − z2

là lớn nhất.

bằng:
B. 10 .

C.

2.

D.

130 .

Lời giải
Chọn C

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 23 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Gọi

z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ )

Có

z − 1 = 34 ⇒ ( x − 1) + y 2 = 34 .

Đề Trường A Lần X Năm 2019

( C)

2

z + 1 + mi = z + m + 2i ⇔ ( x + 1) + ( y + m ) = ( x + m ) + ( y + 2 )

2

2

2

2

⇔ ( 2 − 2 m ) x + ( 2m − 4 ) y − 3 = 0 .
Đường thẳng
Gọi

 3 3
K  − ;− ÷
luôn đi qua điển cố định  2 2 

M , N là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 ,

⇒ M,N
Ta có

K, I

d

là giao của đường tròn

z1 − z2 = MN ⇒ z1 − z 2
và nhận

I ( 1;0 )

( C)

2018 .

có tâm

lớn nhất khi

I ( 1;0 ) bán kính r = 34

MN

là đường kính, tức là

là trung điểm. Khi đó ta được

( a; b )

Câu 23. [2D4-4.4-3] Tìm số cặp có thứ tự
A.

( d)

B.

2020

sao cho

.

MN

(d)

đi qua hai điểm

z1 + z2 = 2OI = 2 .

( a + bi )
C.

và đường thẳng

2018

2017

= a − bi, ( a, b ∈ ¡

.

D.

).

2019 .

Lời giải
Chọn D
2

Theo giả thiết ta có:
Vì phương trình

( *)

z

2018

=z⇔z

có bậc là

Hay có 2019 cặp có thứ tự

2018

2019

( a; b )

z
2
=
⇔ z 2019 − z = 0 ( *) .
z

nên phương trình có 2019 nghiệm.

sao cho

( a + bi )

2018

= a − bi, ( a, b ∈ ¡

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

).
Trang 24 Mã đề X


Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Câu 24. [2D4-4.1-3] Gọi
phức
A.

z

thỏa mãn

S

Đề Trường A Lần X Năm 2019

là tổng tất cả các số thực

m

để phương trình

z2 − 2z + 1− m = 0

có nghiệm

z = 2 . Tính S .

6.

B. 10 .

C.

- 3.

D.

7.

Lời giải
Chọn D
Cách 1: Phương trình đã cho tương đương
Với

= m.

m=2
m = −2

m = 1
⇔
m=2
m = 9
m = −2

.

m < 0 , phương trình có nghiệm z = 1 ± i − m

Khi đó

.

1 ± i −m = 2 ⇔ 1 − m = 4 ⇔ m = −3 .

Từ đó suy ra

S = 9 + 1 + ( − 3) = 7 .

Cách 2: Phương trình đã cho tương đương

Với

2

m ≥ 0 , phương trình có các nghiệm z = 1 ± m .

1 +

1 +
1± m = 2 ⇔ 
1 −

Khi đó
1 −
Với

( z − 1)

m≥

( z − 1)

2

= m.

z = 1+ m > 1

 z = 1 − m < 1 .
,
phương
trình
có
các

nghiệm
0

1 + m = 2
m = 1
z =2⇔
⇔
1 − m = −2  m = 9 .
Khi đó
Với

m < 0 , phương trình z 2 − 2 z + 1 − m = 0 có tất cả cách hệ số đều là số thực thì khi có hai

nghiệm thức thì hai nghiệm đó là liên hợp của nhau nên
Theo vi-ét ta có:
Từ đó suy ra

z1 = z2 ⇒ z1 = z2 = 2 .

z1.z2 = 1 − m > 0 ( Do m < 0) ⇒ z1.z2 = 1 − m ⇔ 1 − m = 4 ⇔ m = − 3

S = 9 + 1 + ( − 3) = 7 .

Ngày 29/ 09/ 2018
Câu

25. [2D4-1.2-2] Cho số phức

z = − 2 + i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w = iz

trên mặt phẳng tọa độ?
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 25 Mã đề X