VDC word bài hay trên nhóm số phức l2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (791.88 KB, 24 trang )
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
SỐ PHỨC
Câu 1:
iz 2i 2 z 1 3i 34
Xét số phức z thỏa mãn
.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P 1 i z 1 i
A.
Câu 2:
Pmin
Cho
.
34
2 .
B. Pmin 17 .
a, b, x, y , z
C. Pmin 34 .
là các số phức thỏa mãn:
D.
Pmin
a 2 4b 16 12i ,
13
17 .
x 2 ax b z 0 ,
y 2 ay b z 0 , x y 2 3 .Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z .
Tính M m .
A. M m 28 .
Câu 3:
B. M m 6 3 .
C. M m 10 .
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
I 1; 2
A. Đường tròn tâm
, bán kính R 2 .
Câu 4:
.
B. max w 10 3;min w 11 .
C. max w 11 3;min w 11 .
D. max w 10 2;min w 10 .
Cho số phức z thỏa mãn
2 z 1 1 i z 1 1 i 2 2i
B.
. Giá trị của
3
C. 2 .
2.
z
là
2
D. 2 .
4
3
2
Tính tổng phần thực của các số phức z là nghiệm của phương trình z 2 z z 2 z 1 0
trên tập số phức.
B. 2 3 .
A. 2 .
Câu 7:
F1 1;0 F2 0; 3
,
.
A. max w 11;min w 10 .
2
A. 3 .
Câu 6:
là
z 1 2i 5
Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
w z 2 2i z 4 6i
Câu 5:
z 1 z 3i 2
F 1;0 F2 0; 3
B. Đoạn thẳng F1 F2 với 1
;
.
I 1; 2
C. Đường tròn tâm
, bán kính R 2 .
D. Đường elip có hai tiêu điểm
D. M m 12 .
Cho
số
phức
z.
Tính
D. 2 5 .
C. 4 .
giá
trị
nhỏ
P z 1 2i z 2 3i z 3 4i ... z 2017 2018i
A. 1008.1009 2 .
B. 1008.1010 2 .
nhất
của
biểu
.
C. 0.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
D. 2016 2 .
Trang 1 Mã đề X
thức
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Câu 8:
Cho
z1
Đề Trường A Lần X Năm 2019
1
3
1
3
i , z2
i
3z i 3 3
2 2
2 2 và số phức z thỏa mãn
. Đặt M , m lần lượt
là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
phức M mi .
2 21
A. 3 .
Câu 9:
4 3
C. 3 .
B. 13 .
z z
Cho số phức z , 1 , 2 thoả mãn
P z z z1 z z 2
P z z z1 z z2
. Tính mô đun của số
D. 4.
2 z1 2 z2 z1 z2 6 2
. Giá trị nhỏ nhất của
bằng
B. 3 2 3 .
A. 6 2 2 .
9
2 3
D. 2
.
C. 6 2 3 .
1 i .z. z 1 i 2 z và z là một số nguyên.
Câu 10: Tính môđun của số phức z thỏa mãn
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 11: Tìm số cặp thứ tự
A. 2002 cặp.
a; b
các số thực sao cho
B. 1 cặp.
a bi
2002
a bi
.
C. 2004 cặp.
D. 2003 cặp.
z i z 1
z z 4 2
Câu 12: Cho biết z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện
và 1 2
. Gọi
w là số phức thỏa mãn điều kiện 2 w 2 i 3 w 1 2i �6 2 . Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
P w z1 w z2
A. 3 2 .
bằng
B. 4 2 .
C. 5 2 .
D. 6 2 .
�
�z1 z2 9 12i 3
�
z 3 20i 7 z2
z
z
Câu 13: Cho hai số phức 1 ; 2 thỏa mãn: � 1
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
2
2
P z1 2 z2 12 15i
nhất, nhỏ nhất của biểu thức
. Tính M m .
A. 450 .
B. 675 .
C. 451 .
D. 225 .
2
Câu 14: Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z az b 0 , với a, b là các số thực
thuộc đoạn
A.
6.
1;1 . Tìm giá trị lớn nhất của
B. 2 3 .
z1 z2
C.
.
5.
D. 2 6 .
Câu 15: Có tất cả bao nhiêu số phức có phần thực và phần ảo đều nguyên đồng thời thỏa mãn
z 4i z 6i z i z 3i
A. 4029.
và
B. 4028.
z �2019
C. 4031.
D. 4030.
4
2
z , z ,z ,z
Câu 16: Cho số thực a , biết rằng phương trình z az 1 0 có bốn nghiệm 1 2 3 4 thỏa mãn
z
2
1
4 z22 4 z32 4 z42 4 441
A. 8 .
19
B. 2 .
. Tổng các giá trị của a bằng
17
C. 2 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
D. 9 .
Trang 2 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
z2 5
Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
là một đường
tròn. Khi đó số phức
A. 5 .
w 3 4i z i
có điểm biểu diễn thuộc đường tròn bán kính
C. 25 .
D. 35 .
B. 7 .
Câu 18: Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và
của biểu thức P z 1 i là
A. 2 .
B. 2 2 .
2
Câu 19: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
A. 4 .
B. 3 .
Câu 20:
Cho số phức z thỏa mãn
C.
2.
và
z 2 zz 4
w
z
2 z 2 là số thực. Giá trị lớn nhất
D. 8 .
z 1 i z 3 3i
C. 1 .
3 z z 2 z z �12
z 4 3i
của
. Tính M .m .
A. 20 .
B. 24 .
.
D. 2 .
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
C. 26 .
D. 28 .
z 1
Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất M min của biểu
M z 2 z 1 z3 1
. Khi đó P M min M max có giá trị là
B. P 5 .
C. P 7 .
thức
A. P 8 .
Câu 22: Cho
hai
số
z1 , z2
phức
thỏa
z 1 34, z 1 mi z m 2i
Khi đó giá trị của
A.
Câu 23:
z1 z2
2.
mãn
thời
hai
(trong đó m là số thực) và sao cho
điều
kiện
sau:
z1 z2
là lớn nhất.
bằng:
B. 10 .
a; b
Tìm số cặp có thứ tự
A. 2018 .
đồng
D. P 6 .
D. 130 .
C. 2 .
a bi
sao cho
B. 2020 .
2018
a bi, a, b ��
.
D. 2019 .
C. 2017 .
2
Câu 24: Gọi S là tổng tất cả các số thực m để phương trình z 2 z 1 m 0 có nghiệm phức z thỏa
mãn
A. 6 .
Câu 25:
z 2
. Tính S .
C. - 3 .
B. 10 .
D. 7 .
Cho số phức z 2 i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz trên mặt
phẳng tọa độ?
M 1; 2
.
A.
B.
P 2;1
.
C.
N 2;1
.
D.
Q 2;1
.
z i z i 6
Câu 26: Cho số phức z thay đổi luôn thỏa mãn
. Gọi S là đường cong tạo bởi tất cả
các điểm biểu diễn số phức
bởi đường cong S .
A. 12 2 .
w z i i 1
B. 12 .
khi z thay đổi. Tính diện tích hình phẳng giới hạn
C. 9 2 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
D. 6 2 .
Trang 3 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
y x8 m 1 x5 m2 1 x 4 1
Câu 27: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đạt
cực tiểu tại x 0 .
B. 3 .
A. Vô số.
C. 2 .
D. 4 .
HƯỚNG DẪN GIÀI CHI TIẾT
1.C
11.C
21.D
Câu 1.
2.C
12.C
22.C
3.B
13.D
23.D
BẢNG ĐÁP ÁN
5.A
6.A
7.A
15.D
16.C
17.C
25.A
26.A
27.C
4.D
14.C
24.D
8.A
18.B
9.C
19.D
10.A
20.B
iz 2i 2 z 1 3i 34
[2D4-5.1-3] Xét số phức z thỏa mãn
.Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
A.
Pmin
P 1 i z 1 i
34
2 .
.
B. Pmin 17 .
C. Pmin 34 .
D.
Pmin
13
17 .
Lời giải
Chọn C
iz 2i 2 z 1 3i 34 � z 2 2i z 1 3i 34
� MA MB 34 với M là điểm biểu diễn của z , A 2; 2 , B 1;3 .
� MA MB AB � M �tia đối của tia BA (tính cả B ).
P 1 i z 1 i 1 i z
1 i
2 z i 2MI
I 0; 1
1 i
, với
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 4 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Vậy Pmin 2 IB 34
Câu 2.
M
B
Đề Trường A Lần X Năm 2019
.
Ngày 23/ 3/ 2019
2
2
[2D4-4.1-4] Cho a, b, x, y, z là các số phức thỏa mãn: a 4b 16 12i , x ax b z 0 ,
y 2 ay b z 0 , x y 2 3 .Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z .
Tính M m .
B. M m 6 3 .
A. M m 28 .
C. M m 10 .
D. M m 12 .
Lời giải
Chọn C
Cách 1
2
2
Do đề cho x ax b z 0 , y ay b z 0 và a, b, x, y , z là các số phức
� x, y là nghiệm của phương trình t 2 at b z 0
�x y a
��
�xy b z
x y
Mà
2
x y 4 xy a 2 4 b z a 2 4b 4 z 16 12i 4 z
2
� x y 16 12i 4 z � 16 12i 4 z
2
12�20 4 z
Ta có
x y
2
z
2
m
Min z
2
16 12i 4 z � 4 z 16 12i x y
2
� 4 z 16 12i x y � 16 12i x y 20 12
2
�
z 8
M
Max z
2
8
Như vậy M m 8 2 10
Cách 2
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 5 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Từ giả thiết cho, ta được:
a 2 4b 16 12i � a 2 4b 20 *
x y 2 3 � x y �0
�
�x 2 y 2 a x y 0
x y x y a 0
�x 2 ax b z 0 �
�
� �2
�
�2
�
2
2
�y ay b z 0 �x y a x y 2b 2 z 0 �
x y a x y 2 xy 2b 2 z
2
�
�x y a
�
x y a2
��
��
2 z 2 xy 2b �
4 z 4 xy 4b
�
x y
Nên
Mà
2
x y 4 xy a 2 4 xy � a 2 4 xy x y 12
2
2
4 z 4 xy 4b 4 xy a 2 a 2 4b
**
. Từ () và (), ta suy ra:
� a 2 4b 4 xy a 2 �4 z �4 xy a 2 a 2 4b
8
32
���
z
4
4
2
z
8
m
Min z
2; M
Max z
8
Như vậy M m 8 2 10
Câu 3.
[2D4-1.2-3] Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện
A. Đường tròn tâm
I 1; 2
z 1 z 3i 2
là
, bán kính R 2 .
F 1;0 F2 0; 3
B. Đoạn thẳng F1 F2 với 1
;
.
C. Đường tròn tâm
I 1; 2
, bán kính R 2 .
D. Đường elip có hai tiêu điểm
F1 1;0 F2 0; 3
,
.
Lời giải
Chọn B
Đặt
M x; y
F 1;0 F2 0; 3
là điểm biểu diễn số phức z ; 1
,
là điểm biểu diễn lần lượt cho
các số phức : 1 ,
Có F1F2 2
3i .
z 1 z 3i 2 � MF1 MF2 2
Khi đó
.
Nên MF1 MF2 F1 F2 � M thuộc đoạn F1 F2 .
Câu 4.
� Tập hợp điểm M là đoạn thẳng F1F2 .
z 1 2i 5
[2D4-5.1-3] Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
w z 2 2i z 4 6i
.
A. max w 11;min w 10 .
B. max w 10 3;min w 11 .
C. max w 11 3;min w 11 .
D. max w 10 2;min w 10 .
Lời giải
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 6 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Chọn D
I 1;2
Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn của số phức z . Khi đó, điểm M �C ( I , R) với tâm
bán
2
2
C I , R
x 1 y 2 25 .
kính R 5 . Phương trình đường tròn
là
Ta có:
A 2; 2 B 4;6
C I , R
,
thuộc đường tròn
và AB 10 nên AB là đường kính.
Suy ra
w z 2 2i z 4 6i MA MB
.
M �A
�
�
M �B .
Ta có: MA MB �AB , dấu " " xảy ra khi �
Vậy min w AB 10 .
MA MB
Ta có:
2
2
2
2
MA2 MB 2 2MA.MB �2 MA MB 2 AB
Suy ra MA MB � 2 AB , dấu " " xảy ra khi
MA MB
.
AB
.
2
Vậy max w AB 2 10 2 .
Ngày 29/3/2019
Câu 5.
[2D4-2.2-2] Cho số phức z thỏa mãn
2
A. 3 .
B.
2 z 1 1 i z 1 1 i 2 2i
3
C. 2 .
2.
. Giá trị của
z
2
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
Giả sử
z x yi x, y ��
, thay vào phương trình đã cho ta được
2 x 2 yi 1 1 i x yi 1 1 i 2 2i
� 3 x 3 y x y 2 i 2 2i
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 7 Mã đề X
là
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
� 1
x
�
3
x
3
y
2
�
� 3
��
��
�x y 2 2
�y 1 � z 1 1 i � z 2
�
3
3 3
3 .
Câu 6.
Ngày 29 / 3 / 2019
[2D4-4.1-2] Tính tổng phần thực của các số phức z là nghiệm của phương trình
z 4 2 z 3 z 2 2 z 1 0 trên tập số phức.
B. 2 3 .
A. 2 .
D. 2 5 .
C. 4 .
Lời giải
Chọn A
Dễ thấy z 0 không là nghiệm của phương trình.
2
Chia cả 2 vế của phương trình cho z ta được:
2 1
z2 2z 1 2 0
z z
1 � � 1�
�
� �z 2 2 � 2 �z � 1 0
� z � � z�
2
� 1� � 1�
� �z � 2 �z � 3 0
� z� � z�
� 1
z 1
�
�� z
�
z2 z 1 0
1
�
�2
z 3
�
z 3z 1 0
� z
� �
Câu 7.
Vậy tổng phần thực của các nghiệm là:
z.
[2D4-5.2-4] Cho số phức
1 3 2 .
Tính
giá
trị
P z 1 2i z 2 3i z 3 4i ... z 2017 2018i
A. 1008.1009 2 .
B. 1008.1010 2 .
nhỏ
nhất
của
biểu
thức
.
D. 2016 2 .
C. 0.
Lời giải
Chọn A
Gọi các điểm
A1 1; 2
,
A2 2;3
, ...,
A2017 2017; 2018
.
� d : y x 1
Ta thấy A1 , A2 , …, A2017
nên chúng thẳng hàng.
Gọi M là điểm biểu diễn số phức z .
Ta có:
P MA1 MA2 ... MA2017 MA1 MA2017 MA2 MA2016 ... MA1008 MA1010 MA1009
�A1 A2017 A2 A2016 ... A1008 A1010
Dấu " " xảy ra � M nằm ở giữa đoạn A1008 A1010 đồng thời MA1009 0 � M �A1009 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 8 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Khi đó
Pmin A1 A2017 A2 A2016 ... A1008 A1010 2016 2 2014 2 ... 2 2 2 2 1 2 ... 1008
1008
1 1008 1008.1009 2
2
.
1
3
1
3
z1
i , z2
i
3z i 3 3
2 2
2 2 và số phức z thỏa mãn
[2D4-5.1-4] Cho
. Đặt M
2 2.
Câu 8.
P z z z1 z z 2
, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
. Tính
mô đun của số phức M mi .
2 21
A. 3 .
4 3
C. 3 .
B. 13 .
D. 4.
Lời giải
Chọn A
�
Bổ đề: Cho tam giác ABC đều, điểm M thuộc cung nhỏ BC . Chứng minh rằng
MB MC MA .
Chứng minh: Lấy điểm N thuộc đoạn MA sao cho MN MC . Ta chứng minh NA MB .
� NCA
�
�
�
MCB
Do AMC ABC 60�nên tam giác MNC đều. Suy ra
� MAC
�
MBC
Ta lại có BC AC ,
Từ
1 , 2
ta có
1 .
2 .
MBC NAC g.c.g � MB NA
. Vậy MB MC MA .
Trở lại bài toán:
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 9 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
�1 3 � � 1 3 �
� M1 �
, M2 �
�2 ; 2 �
�
� 2 ; 2 �
�
M
,
M
,
M
z
,
z
,
z
�
� �
�
Gọi 1 2
lần lượt là điểm biểu diễn của số phức 1 2
3z i 3 3 � z
Ta có
bán kính
R
3
3
i
3
3
� 3�
I�
0;
�
�
3 �
C
�
�,
M
. Do đó điểm
thuộc đường tròn
tâm
3
3 . Ta thấy IO IM 1 IM 2 R nên O, M 1 , M 2 � C .
Hơn nữa OM 1 M 1M 2 M 2O 1 nên OM 1M 2 là tam giác đều. Do đó, không mất tính tổng
quát, ta giả sử điểm M thuộc cung nhỏ của cung M 1M 2 . Áp dụng Bổ đề, ta có
MM 1 MM 2 MO .
Khi đó
P OM MM 1 MM 2 2OM .
Suy ra
m 2OM 2 2, M 2OM 3 4 R
Khi đó
Câu 9.
M mi M 2 m 2
4 3
3 , với M 3 �O là giao điểm của OI với C .
16
2 21
4
3
3 .
2 z1 2 z2 z1 z2 6 2
z z
[2D4-5.1-3] Cho số phức z , 1 , 2 thoả mãn
nhất của
P z z z1 z z 2
A. 6 2 2 .
. Giá trị nhỏ
bằng
B. 3 2 3 .
9
2 3
D. 2
.
C. 6 2 3 .
Lời giải
Từ
Chọn C
2 z1 2 z2 z1 z2 6 2
ta có
z1 6
;
z2 6
;
z1 z2 6 2
.
z z
Gọi M , M 1 , M 2 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z , 1 , 2 .
M 1 , M 2 đều nằm trên đường tròn tâm O bán kính R 6 .
Do
z1 z2 6 2
nên
M1M 2 6 2 .
P z z z1 z z2 OM MM 1 MM 2
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 10 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Xét
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Q M 2 ,60� M M � Q M 2 ,60� O O�
�
;
theo tính chất của phép quay ta có MM 2 MM ;
M�
O�
�M 1O�
OM O�
M �� P OM MM 1 MM 2 �M 1M MM �
.
Dấu “=” xảy ra khi các điểm M 1 , M , M �
, O�thẳng hàng
� Pmin M 1O�
62 62 2.6.6cos150� 6 2 3
.
Ngày 28/ 3/ 2019
Câu 10.
1 i .z. z 1 i 2 z và z là một số
[2D4-2.3-3] Tính môđun của số phức z thỏa mãn
nguyên.
A. 1 .
C. 3 .
B. 2 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
Ta có
1 i . z. z 1 i 2
z
� 1 i .z. z 1 2 z i. z
� 1 i .z. z 1 2 z i. z
2
� 2. z
4
1 2 z
2
z
2
2
� 2 z 5 z 4 z 1
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 11 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
� z 1 2 z 2 z 3 z 1 0
Do
z
3
là một số nguyên nên suy ra
z 1
Thử lại: thay
z 1
Vậy,
2
z 1
.
1 i .z 1 i 2
vào phương trình ban đầu, ta có
�z
i 1
i TM
1 i
.
.
Ngày 28/03/2019
Câu 11.
a; b
[2D4-2.3-3] Tìm số cặp thứ tự
A. 2002 cặp.
a bi
các số thực sao cho
C. 2004 cặp.
B. 1 cặp.
2002
a bi
.
D. 2003 cặp.
Lời giải
Chọn C
Đặt z a bi , ta có
a bi
2002
a bi
� z 2002 z
� z 2002 z
� z
2002
� z z
z 0
2001
1 0
�z 0
��
�z 1.
Với
Với
z 0
z 1
a; b 0;0 .
, ta có z 0 suy ra
, ta có
z. z 1 � z
z 2002 z � z 2002
thõa mãn z �0 .
1
z . Do đó, ta có
1
� z 2003 1 0
z
. Phương trình này có 2003 nghiệm và nghiệm này
a; b .
Vậy có tất cả 2004 cặp
Ngày 26/03/2019
Câu 12.
z i z 1
[2D4-5.1-3] Cho biết z1 , z2 là hai trong các số phức thỏa mãn điều kiện
và
z1 z2 4 2
2 w 2 i 3 w 1 2i �6 2
. Gọi w là số phức thỏa mãn điều kiện
. Giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
A. 3 2 .
P w z1 w z2
bằng
B. 4 2 .
C. 5 2 .
D. 6 2 .
Lời giải
Chọn C
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 12 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Gọi z x y.i với x, y ��.
z i z 1 � x 2 y 1 x 1 y 2 � x y 0
2
Ta có:
2
.
x y 0 d
Vậy số phức z1 , z2 có các điểm biểu diễn là M 1 , M 2 thuộc đường thẳng
.
Gọi M là điểm biểu diễn cho số phức w .
Có:
2 w 2 i 3 w 1 2i �6 2 � 2 w 2 i 3 w 1 2i �6 2
� 2MA 3MB �6 2 1
Vậy
1 � 2 AB 6
với
A 2;1 , B 1; 2 , AB 3 2
.
2 �2MA 3MB 2 MA MB MB �2 AB MB
.
�
2 AB 2 AB MB 2 AB .
Dấu " " xảy ra khi M thuộc đoạn AB và MB 0
Suy ra
M 1; 2 � w 1 2i
M
B.
.
P 1 2i z1 1 2i z2 MM 1 MM 2
x y 0 d
với M 1 , M 2 thuộc đường thẳng
và
M 1M 2 4 2 .
Gọi H là hình chiếu của M trên đường thẳng d , ta có
d M ,d
3
MH
2
.
Không mất tính tổng quát, đặt M 1 H a �0 .
TH1: H nằm trong đoạn thẳng M 1M 2 .
2
�3 �
P M 1H HM M 2 H HM a � �
�2�
2
2
2
2
2
2
�3 �
4 2 a � �
� 2 �.
2
r � 3 �r �
3 �
r r r r
u �a;
,v �
4 2 a;
�
�
u
v �u v
2�
� 2� �
Đặt
. Áp dụng
ta được P � 32 18 5 2 .
3
�3
k
.
k 1 0
�
�2
2
��
�
a2 2
r
r
�
�
a k. 4 2 a
u
kv
,
k
0
�
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 13 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
TH2: H không thuộc đoạn thẳng M 1M 2 , giả sử H nằm bên trái M 1M 2 .
2
2
�3 � �3 �
P M 1 H HM M 2 H HM a � � � � 4 2 a
�2� �2�
2
Vì a 0 nên
Vậy
2
P
2
2
2
2
.
9
9
3
73
32
5 2
2
2
2
2
.
Pmin 5 2 .
Ngày 26/ 3/ 2019
�
�z1 z2 9 12i 3
�
z 3 20i 7 z2
z
z
1
2
Câu 13. [2D4-5.1-4] Cho hai số phức ;
thỏa mãn: � 1
. Gọi M , m lần lượt là
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
A. 450 .
P z1 2 z2 12 15i
B. 675 .
2
2
. Tính M m .
C. 451 .
D. 225 .
Lời giải
Chọn D
Đặt
w z1 9 12i
.
�
�
�z1 z2 9 12i 3
�w z2 3
��
�
z 3 20i 7 z 2
�w 6 8i z2 7.
Ta có: � 1
�AB 3
��
�AM OB 7 với M 6;8
Gọi A , B là điểm biểu diễn của w , z2
� AB AM OB 10 OM � A , B nằm trên đoạn OM
uuu
r
uuuu
r
�
OA xOM
�
� �uuu
r
uuuu
r
� 0;1
OB yOM
�
với x , y
.
�w 6 x 8 xi
��
�z2 6 y 8 yi với x , y � 0;1 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 14 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Khi đó
Đề Trường A Lần X Năm 2019
P z1 2 z2 12 15i w 2 z2 21 3i
6 x 12 y 21
2
8 x 16 y 3 �
6 x 2 y 21�
8 x 2 y 3�
�
� �
�
�.
2
2
2
0 �t �3 .
Đặt t x 2 y
P
6t 21
2
Khảo sát hàm số
8t 3 100t 2 300t 450
2
f t 100t 2 300t 450
trên đoạn
0;3
ta được
max f t f 0 450
0;3
và
�
�Pmax M 450
�3 �
min f t f � � 225 � �
0;3
�Pmin m 15
�2 �
.
2
2
Vậy M m 225 .
2
Câu 14. [2D4-5.2-3] Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z az b 0 , với a, b là các
số thực thuộc đoạn
1;1 . Tìm giá trị lớn nhất của
A. 6 .
B. 2 3 .
z1 z2
.
C. 5 .
D. 2 6 .
Lời giải
Chọn C
2
1 , a 2 4b với a, b � 1;1 .
Xét z az b 0
2
1 có hai nghiệm phức là hai số phức liên hợp của nhau.
TH1: 0 � a 4b . Khi đó
Giả sử
z1 z0 � z2 z0 .
Ta có:
z 0 . z0 b � z 0 b � z 0 b
2
Nên
T z1 z2 2 z0 2 b �2
.
.
Suy ra max T 2 khi b 1 .
0
TH2: �۳
a2
4b . Khi đó 1 có hai nghiệm thực thỏa mãn
�z1 z2 a
�
�z1 z2 b.
T z1 z2 � T 2 z1 z2 2 z1 z2 2 z1 z2 a 2 2 b 2b �12 2. 1 2. 1 5.
2
Suy ra T � 5 .
Dấu '' '' xảy ra khi b 1, a �1 nên max T 5 .
Kết hợp hai trường hợp ta được max T 5 .
Câu 15.
[2D4-5.1-4] Có tất cả bao nhiêu số phức có phần thực và phần ảo đều nguyên đồng thời thỏa
z 4i z 6i z i z 3i
z �2019
mãn
và
A. 4029.
B. 4028.
C. 4031.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
D. 4030.
Trang 15 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Lời giải
Chọn D
� w 5i w 5i w 2i w 2i 2b
Đặt w z i
.
2b 5 w w 5 �5 w 5 w 10 � b �5
Nhận xét:
.
w x yi x, y ��
TH1. b 5 . Đặt
, ta có:
10 x 2 y 5 x 2 y 5 �5 y y 5 �5 5 10
2
2
.
Do đẳng thức xảy ra nên x 0 và 5 �y �5 . Khi đó w yi . Ta có
w 2i w 2i 10 � y 2 y 2 10
. Giải ra được y �5 . Vậy w �5i .
TH2. b 5 , khi đó w có điểm biểu diễn thuộc 2 elip:
E1 :
x2
y2
x2
y2
1
E
:
1
2
b2 5 b 2
b2 2 b2
và
Ta thấy
E1 � E2 0; �b .
Suy ra w bi ; w bi .
w bi � z b 1 i � z b 1 b 5
z �2019 � 5 b �2018
Nếu
.Do
. Vậy có 2013 số
nguyên thỏa mãn.
w bi � z b 1 i � z b 1 b 5
z �2019 � b 1 �2019 � 5 b �2020
Nếu
. Do
.
Vậy có 2015 số nguyên thoả mãn.
Từ hai trường hợp trên ta có 4030 số thỏa mãn.
Ngày 25/3/2019
4
2
z , z ,z ,z
Câu 16. [2D4-4.3-4] Cho số thực a , biết rằng phương trình z az 1 0 có bốn nghiệm 1 2 3 4
z12 4 z22 4 z32 4 z42 4 441
thỏa mãn
. Tổng các giá trị của a bằng
A. 8 .
19
B. 2 .
17
C. 2 .
D. 9 .
Lời giải
Chọn C
Cách 1
4
2
Ta có z là nghiệm của phương trình z az 1 0 thì z cũng là nghiệm của phương trình.
2
2
�
�z3 z1
�z3 4 z1 4
� �2
�
2
z 4 z2
�z4 4 z2 4 . Do đó
�
Không mất tính tổng quát giả sử
z
2
1
4 z22 4 z32 4 z42 4 441 � z12 4
2
z
2
2
4 441 � z12 4 z22 4 �21
2
Ta có
z 4 az 2 1 0 � z 2 4 az 2 8z 2 15 0 � z 2 4 a 8 z 2 4 17 4a 0
2
2
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 16 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đặt
t1 z12 4, t2 z22 4 � t1, t2
Đề Trường A Lần X Năm 2019
là hai nghiệm của phương trình
t 2 a 8 t 17 4a 0
.
a 1
�
17 4a 21
�
�
��
�
19
17 4a 21 �
a
�
� t1t2 17 4a
� 2.
Cách 2
4
2
Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là 4 nghiệm của phương trình z az 1 0 khi đó ta có
f z z 4 az 2 1 z z1 z z2 z z 3 z z4
Đặt
T z12 4 z22 4 z32 4 z42 4
z1 2i z1 2i z2 2i z2 2i z3 2i z3 2i z4 2i z4 2i
= z1 2i z2 2i z3 2i z4 2i z1 2i z2 2i z3 2i z4 2i
� T f 2i f 2i
f 2i 2i a 2i 1 17 4a
4
Ta có
2
f 2i 2i a 2i 1 17 4a
4
� T 17 4a
2
2
a 1
�
�
441�
19
�
a
� 2.
z2 5
Câu 17. [2D4-1.2-3] Trong mặt phẳng Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
là
w 3 4i z i
một đường tròn. Khi đó số phức
có điểm biểu diễn thuộc đường tròn bán kính
A. 5 .
B. 7 .
C. 25 .
D. 35 .
Lời giải
Chọn C
wi
wi
w 6 9i
w 3 4i z i � 3 4i z � 3 4i 2 z 2 � 3 4i z 2
w 6 9i
w 6 9i
z2 �
5 � w 6 9i 25
5
Suy ra: 3 4i
.
I 6;9
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm
, bán kính R 25 .
Cách 2:
w 3 4i z i 3 4i z 2 6 9i � w 6 9i 3 4i z 2
Suy ra:
w 6 9i 3 4i
z 2
hay
w 6 9i 25
.
.
I 6;9
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm
, bán kính R 25 .
Ngày 1/4/2019
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 17 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Câu 18. [2D4-5.1-4] Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và
trị lớn nhất của biểu thức P z 1 i là
A. 2 .
B. 2 2 .
w
D. 8 .
2.
C.
z
2 z 2 là số thực. Giá
Lời giải
Chọn B
Gọi z x yi, x, y �, y
0 , và số phức z có điểm biểu diễn hình học là M .
1
2
2 x 2 yi
z x yi 2
w
z
x y2
2y
1
y 2
0
x y2
w thực nên w thực
�x 2 y 2 2
�
��
� x; y � � 2;0 .
Vậy M thuộc đường tròn C có tâm O 0; 0 , R
2
bỏ đi điểm
S
2; 0 ; S ' 2;0
Ta có : P z 1 i MI , với I 1;1 .
Dễ thấy I 1;1 thuộc đường tròn C . Do vậy độ dài MI đạt giá trị lớn nhất chính bằng
đường kính. Vậy PMax 2 2 .
Ngày 06/ 12 / 2018
2
z 2 zz 4
Câu 19. [2D4-2.3-3] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
A. 4 .
B. 3 .
C. 1 .
và
z 1 i z 3 3i
.
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
Gỉa sử
z x yi x, y ��
.
z 2 z z 4 � x2 y2 4x 4 � x 2 y 2 8
2
2
.
z 1 i z 3 3i � x yi 1 i x yi 3 3i
�
x 1
2
y 1
2
x 3
2
y 3 � x 2 y 4 0 � x 2 y 4
2
.
�
x 2 y 2 8 � �5 y 2 8 y 4 0 1
* �
�
�
x 2y 4
�
�x 2 y 4
Số các số phức cần tìm là số nghiệm của hệ
.
2
1
có hai nghiệm phân biệt
� *
có hai nghiệm phân biệt.
Vậy có 2 số phức thỏa mãn điều kiện đề bài.
3 z z 2 z z �12
Câu 20. [2D4-4.1-3] Cho số phức z thỏa mãn
. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của
z 4 3i
. Tính M .m .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 18 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
A. 20 .
Đề Trường A Lần X Năm 2019
C. 26 .
B. 24 .
D. 28 .
Lời giải
Chọn B
Gọi
N x; y
là điểm biểu diễn số phức
z x yi x, y ��
.
3 z z 2 z z �12 � 3 2 x 2 2 yi �12 � 6 x 4 y �12 � 3 x 2 y �6
. Khi đó:
A 0;3 , B 2;0 , C 0; 3 , D 2;0
Tập hợp các điểm N là miền hình thoi ABCD với
.
y
A
K
B
O
N
C
z 4 3i NI
, với
I 4; 3
D
x
H
I
là điểm biểu diễn số phức z1 4 3i .
Ta có: CD : 3x 2 y 6 0, AB : 3x 2 y 6 0, : 2 x 3 y 1 0 là đường thẳng đi qua I và
16 15 � � 20 9 �
�
H �CD, K �AB � H � ; �
,K�
; �
13
13
13 13 �.
�
�
�
AB
vuông góc với
. Gọi
16
20
2�H
2
1 � K
13
13
Vì
nằm giữa C và D , HD HC ;
nằm giữa A và B,
KB KA . Với mọi vị trí của N trên miền hình thoi ABCD , ta có IH �IN �IA suy ra
1
m IH
12 13
, M IA 2 13 � M .m 24
13
.
z 1
Câu 21. [2D4-5.1-4] Cho số phức z thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất M max và giá trị nhỏ nhất
2
3
M min của biểu thức M z z 1 z 1 . Khi đó P M min M max có giá trị là
A. P 8 .
B. P 5 .
C. P 7 .
D. P 6 .
Lời giải
Chọn D
x, y �� , ta có z 1 � x 2 y 2 1 do đó 1 �x �1 .
Đặt z x yi
2
2
M z 2 z 1 z 3 1 z 2 z 1 z 1 . z 2 z 1 z z z.z z 1 . z z z.z
z z 1 z z z 1 . z 1 z z 1 z z 1 . z 1 z 2x 1 2x 1 .
2x 1 2 x 1 . 2 x 2
x 1
2
y2
.
M f t t 2 1 t 2 3 .t
Đặt t 2 x 2 với 0 �t �2 ta được
với 0 �t �2
f t 1 t 2 t 3 t 2 t 3 t 2 3t 1
TH1: với 0 �t �1 thì
.
1 10
f�
t 3t 2 2t 3 0 � t
3
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 19 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
f t t 2 1 t 3 t 2 t 3 t 2 3t 1
TH2: với 1 t � 3 thì
.
1 10
f�
t 3t 2 2t 3 0 � t
3
2
2
3
2
3 t �2 thì f t t 1 t t 3 t t 3t 1 .
f�
t 3t 2 2t 3 0 t � 3; 2 �
�
TH3: với
Vậy P M min M max 1 5 6 .
Câu 22. [2D4-5.1-3] Cho hai số phức
z 1 34, z 1 mi z m 2i
Khi đó giá trị của
A.
2.
z1 z2
z1 , z2
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
(trong đó m là số thực) và sao cho
z1 z2
là lớn nhất.
bằng:
B. 10 .
C. 2 .
D. 130 .
Lời giải
Chọn C
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 20 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
Gọi z x yi, ( x, y ��)
z 1 34 � x 1 y 2 34
C
2
Có
.
z 1 mi z m 2i � x 1 y m x m y 2
2
2
2
� 2 2 m x 2m 4 y 3 0
2
.
d
� 3 3�
K�
; �
2 2�
�
d
Đường thẳng luôn đi qua điển cố định
Gọi
M , N là điểm biểu diễn của hai số phức z1 , z2 ,
� M , N là giao của đường tròn C có tâm I 1;0 bán kính r 34 và đường thẳng (d)
z z MN � z1 z 2
Ta có 1 2
lớn nhất khi MN là đường kính, tức là MN đi qua hai điểm
K , I và nhận I 1; 0 là trung điểm. Khi đó ta được z1 z2 2OI 2 .
a; b
Câu 23. [2D4-4.4-3] Tìm số cặp có thứ tự
A. 2018 .
sao cho
B. 2020 .
a bi
2018
a bi, a, b ��
C. 2017 .
.
D. 2019 .
Lời giải
Chọn D
2
Theo giả thiết ta có:
Vì phương trình
*
z
2018
z�z
2018
z
2
� z 2019 z 0 * .
z
có bậc là 2019 nên phương trình có 2019 nghiệm.
a; b
Hay có 2019 cặp có thứ tự
a bi
sao cho
2018
a bi, a, b ��
.
2
Câu 24. [2D4-4.1-3] Gọi S là tổng tất cả các số thực m để phương trình z 2 z 1 m 0 có nghiệm
z 2
phức z thỏa mãn
. Tính S .
A. 6 .
C. - 3 .
B. 10 .
D. 7 .
Lời giải
Chọn D
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 21 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Cách 1: Phương trình đã cho tương đương
Đề Trường A Lần X Năm 2019
z 1
2
m
.
Với m �0 , phương trình có các nghiệm z 1 � m .
Khi đó
�
1
�
1
�
1� m 2 � �
1
�
�
1
�
m2
m 2
m 1
�
��
m9
m2
�
m 2
.
Với m 0 , phương trình có nghiệm z 1 �i m .
Khi đó
1 �i m 2 � 1 m 4 � m 3
Từ đó suy ra
S 9 1 3 7
.
.
Cách 2: Phương trình đã cho tương đương
Với m �0 , phương trình có các nghiệm
z 1
2
m
.
�
z 1 m 1
�
z 1 m 1
�
.
�
1 m 2
m 1
�
z 2� �
��
m9
1 m 2
�
�
Khi đó
.
2
Với m 0 , phương trình z 2 z 1 m 0 có tất cả cách hệ số đều là số thực thì khi có hai
z z2 � z1 z2 2
nghiệm thức thì hai nghiệm đó là liên hợp của nhau nên 1
.
Theo vi-ét ta có:
Từ đó suy ra
z1.z2 1 m 0 ( Do m 0) � z1.z2 1 m � 1 m 4 � m 3
S 9 1 3 7
.
Ngày 29/ 09/ 2018
Câu
25. [2D4-1.2-2] Cho số phức z 2 i . Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w iz
trên mặt phẳng tọa độ?
A.
M 1; 2
.
B.
P 2;1
.
C.
N 2;1
.
D.
Q 2;1
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
w iz i 2 i 2i i 2 1 2i
Suy ra điểm
M 1; 2
.
là điểm biểu diễn số phức w iz trên mặt phẳng tọa độ.
Ngày 31/ 03/ 2019
z i z i 6
Câu 26. [2D4-1.2-3] Cho số phức z thay đổi luôn thỏa mãn
. Gọi S là đường cong tạo
bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức
phẳng giới hạn bởi đường cong S .
w z i i 1
khi z thay đổi. Tính diện tích hình
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 22 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Đề Trường A Lần X Năm 2019
B. 12 .
A. 12 2 .
C. 9 2 .
D. 6 2 .
Lời giải
Chọn A
Ta có
w z i 1 i � z
w
i
1 i .
z i z i 6
Khi đó hệ thức
trở thành
w
w
i i
i i 6 � w w 2 2i 6 2
1 i
1 i
.
F 0; 0 F2 2; 2
Gọi M là điểm biểu diễn số phức w và 1
;
lần lượt là điểm biểu diễn của các
số phức w1 0 và w2 2 2i trên mặt phẳng tọa độ.
Vậy nên
w w 2 2i 6 2 � MF1 MF2 6 2 *
.
Vì F1 F2 2 2 6 2 nên tập hợp điểm các điểm M biểu diễn số phức w thỏa mãn điều kiện
* là Elip có
�
�2a 6 2 �
�a 3 2
��
� b a2 c2 4
�
c 2
�2c 2 2 �
.
Diện tích của Elip S là S .a.b 12 2 .
Ngày 19/ 3/ 2019
Câu 27. [2D1-2.4-4] Có bao
nhiêu
y x8 m 1 x5 m 2 1 x 4 1
A. Vô số .
B. 3 .
giá
trị
nguyên
của
tham
đạt cực tiểu tại x 0 .
C. 2 .
số
m
để
hàm
số
D. 4 .
Lời giải
Chọn C
Ta có
3
y�
8 x 7 5 m 1 x 4 4 m2 1 x3 x3 . �
8 x 4 5 m 1 x 4 m 2 1 �
�
� x .g x
0 .
Nhận xét: x 0 là một nghiệm của phương trình y�
sang khi đi qua nghiệm x 0 .
Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x 0 � y�đổi dấu từ
g x
* Trường hợp 1: x 0 là nghiệm của
, hay m �1 .
8 x 7 10 x 4 � x 0 là nghiệm bội chẵn nên y�không đổi dấu từ sang
- Với m 1 , ta có y �
khi đi qua nghiệm x 0 . Vậy m 1 không thỏa mãn.
8 x 7 � x 0 là nghiệm bội lẻ nên y �đổi dấu từ sang khi đi
- Với m 1 , ta có y�
qua nghiệm x 0 . Vậy m 1 thỏa mãn.
g x
* Trường hợp 2: x 0 không là nghiệm của
, hay m ��1 .
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 23 Mã đề X
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC
Do đó
y�
x 3 .g x
đổi dấu từ
sang
Đề Trường A Lần X Năm 2019
khi đi qua nghiệm x 0
�lim g x 0
�x �0
��
� 4 m2 1 0 � 1 m 1
lim g x 0
�
�x �0
.
Kết hợp hai trường hợp ta được 1�m 1 .
m � 1; 0
Do m nguyên nên
.
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!
Trang 24 Mã đề X
