Dang 4. Ứng dụng tính đơn điệu vào PT,BPT,HPT,BĐT(VDT

Câu 1.

[2D1-1.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hàm số
y = f ( x)
y= f�
( x) có đồ thị như hình vẽ sau. Bất phương trình f ( 1- x ) < e x + m
. Hàm số
�( 1;1) khi và chỉ khi
nghiệm đúng với mọi x
2

A.

m � f ( 1) - 1

.

B.

m � f ( 1) - e2

.

C.

m > f ( - 1) - e2

.

D.

m > f ( 1) - 1

.

Lời giải
Tác giả:Trần Vũ Thái; Fb:Trần Vũ Thái
Chọn D
f ( 1- x ) < e x + m
2

Ta có

�( 1;1) tương đương với m > f ( 1- x ) - e x đúng với mọi
đúng với mọi x
2

( 1;1) . Xét g ( x) = f ( 1- x) - e x với x �( 1;1) .
x �2

g�
( x) =- f �
( 1- x) - 2 x.e x =2

Ta có

( 1- x ) + 2 x e )
( f�
.
x

Nhận xét:

f�
( 1- x) < 0 và xe x2 < 0 suy ra g �
( x) > 0 .
+) Với - 1 < x < 0 thì 1 <1- x < 2 nên
f�
( 1- x) > 0 và xe x2 > 0 suy ra g �
( x) < 0 .
+) Với 0 < x <1 thì 0 <1- x <1 nên
f�
( 1- x) = 0 và xe x2 = 0 suy ra g �
( x) = 0 .
+) Với x = 0 thì 1- x = 1 nên
Bảng biến thiên

Để

m > f ( 1- x ) - e x

Câu 2.

2

�( 1;1) suy ra m > f ( 1) - 1 .
nghiệm đúng với mọi x

[2D1-1.4-3] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Cho hàm số
bảng biến thiên như sau:

y  f  x

. Hàm số

y f�
 x

có


Bất phương trình
A.

m  f  1 

f  x  ex  m

1
e.

B.

Chọn D
Theo giả thiết ta có:
Xét hàm số

g  x

 1;1
khoảng

Từ đó suy ra

Câu 3.

đúng với mọi

m �f  1  e

x � 1;1

khi và chỉ khi:

m  f  1  e

.

nên:

 1;1

e x  e1 

ta có:

g�
 x  f �
 x  ex

 1;1  ** .

 *
Từ

 **
và

ta có:

.

. Ta có hàm số y  e đồng biến trên
x

1
 0, x � 1;1
f�
 x   0, x � 1;1 .
e
. Mà

g�
 x   f � x   e x  0, x � 1;1

khoảng

1
e.

C.
.

D.
Lời giải
Tác giả: Biện Tấn Nhất Huy; Fb: Nhất Huy

m  f  x   e x  g  x  , x � 1;1  *

trên

m �f  1 

m �g۳ 
1

m



f

1

. Nghĩa là hàm số

y  g  x

nghịch biến trên

1
e.

y  f  x
[2D1-1.4-3] (Cụm 8 trường Chuyên Lần 1) Cho hàm số
xác định trên � và có đạo
f '  x    1  x   2  x   sin x  2   2019
y  f  1  x   2019 x  2018
hàm
. Hàm số
nghịch biến
trên khoảng nào dưới đây ?
3; �
0;3
�;3
1; �
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.

Lời giải
Tác giả: Trương Hồng Hà ; Fb: Trương Hồng Hà
Chọn B
Xét hàm số
Ta có

y  f  1  x   2019 x  2018

xác định trên �.

y�
f�
 1  x   2019
 �
1  1 x �
. 2  1  x  �
sin  1  x   2 �
�
�
�
� 2019  2019

 x  3  x �
sin  1  x   2 �
�
�.
Mặt khác

sin  1  x   2  0

với mọi x ��.

x0
�
��
y�
 0 �  x  3  x  0
x3.

�
Do đó
x  3  x
Dấu của y�là dấu của biểu thức
.

Ta có bảng biến thiên.


Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số
 0;3 .

Câu 4.

A.

y  f  1  x   2019 x  2018

nghịch biến trên khoảng

f x
[2D1-1.4-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số   có đạo hàm
f  x   x. f �
 x   x  x  1  x  2  , x ��. Hàm số
xác định và liên tục trên � thoả mãn
g  x   x. f  x 
đồng biến trên khoảng nào?

 �;0  .

B.

 1; 2  .

C.

 2; � .

D.

 0; 2  .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trường An; Fb: Trường An Nguyễn
Chọn C
Ta có:

�
g�
x. f  x  �
 x  �
 x   x  x  1  x  2 
�
� f  x   x. f �

x0
�
�
g�
 x   0 � �x  1

�
x2
�

.

Bảng biến thiên:
x
g�
 x

�



0
0



1
0



�
2
0 

g  x

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số
Câu 5.

g  x

đồng biến trên khoảng

 2; � .

y  f  x
[2D1-1.4-3] (SGD-Nam-Định-2019) Cho hàm số
có đồ thị là đường cong trong hình
f  x  2019   1
vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình
là
A. 1 .
B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .


Lời giải
Tác giả: Hồ Liên Phượng; Fb: Ho Lien Phuong
Chọn C
Dựa vào đồ thị, ta có đường thẳng y  1 cắt đồ thị
tại ba điểm phân biệt A, B, C .
Do đó

x  2019  x A
�
��
x  2019  xB
�
�
f  x  2019   1
x  2019  xC
�
x  x A  2019
�
�
��
x  xB  2019
�
x  xC  2019
�
Vậy số nghiệm thực của phương trình
Câu 6.

f  x  2019   1

là 3 .

[2D1-1.4-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hàm số
như hình vẽ dưới đây

y  f  x

có đồ thị

f  x   log 2 m
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
có hai nghiệm phân
biệt.

A.

m  0.

B. 0  m  1; m  16 .

C. m  1; m  16 .

D. m  4.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Định; Fb: Nguyễn Công Định
Chọn B
f  x   log 2 m
y  f  x
Số nghiệm của phương trình
chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
(hình vẽ) và đường thẳng y  log 2 m .

Dựa vào hình vẽ ta có: phương trình

log 2 m  4
m  16

�
�
��
�
log 2 m  0
0  m 1
�
�
Câu 7.

f  x   log 2 m

có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

.

y  f  x
( x ) có bảng biến thiên
[2D1-1.4-3] (Sở Đà Nẵng 2019) Cho hàm số
. Hàm số y  f �
x. f  x   mx  1
x � 1; 2019 
như hình dưới. Bất phương trình
nghiệm đúng với mọi
khi


A.
C.

m �f  1  1

.

m �f  2019  

B.
1
2019 .

D.
Lời giải

m �f  1  1

.

m �f  2019  

1
2019 .

Chọn B
x. f  x   mx  1
x � 1; 2019 
nghiệm đúng với mọi
Ta có
1
� f  x   m
x � 1; 2019 

x
với mọi
.
1
h  x  f  x 
x với mọi x � 1; 2019  .
Xét hàm số
1
h�
 x  f �
 x  2
x .
Ta có
1
f�
 x  �0 với mọi x � 1; 2019  (dựa vào BBT) và x 2  0 với mọi x � 1; 2019  nên
Vì
h�
 x   0 với mọi x � 1; 2019 
� h x
1; 2019 
đồng biến trên khoảng 
� h  x   h  1
x � 1; 2019 
với mọi
.
h x m
x � 1; 2019 
m
 h  1

�
m f  1 1
Mà  
với mọi
nên
.
Câu 8.

3
2
 C  và hàm số
[2D1-1.4-3] (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  x  8 x  8 x có đồ thị
y  x 2  (8  a ) x  b ( với a, b ��) có đồ thị  P  . Biết đồ thị hàm số  C  cắt  P  tại ba điểm
 1;5 . Khi a đạt giá trị nhỏ nhất thì tích ab bằng
có hồnh độ nằm trong đoạn
A. 729 .
B. 375 .
C. 225 .
D. 384 .

Lời giải
Tác giả: Đỗ Hải Thu; Fb: Đỗ Hải Thu
Phản biện: Nguyễn Yên Phương; Fb: Yenphuong Nguyen
Chọn B
Hoành độ giao điểm của đồ thị
x 3  8 x 2  8 x  x 2  (8  a ) x  b

 C

và đồ thị

 P

là nghiệm phương trình

(1)

� x3  9 x 2  ax  b  0
Đồ thị hàm số

 C

 P

tại ba điểm có hồnh độ nằm trong đoạn
 1;5 .
(1) có 3 nghiệm nằm trong

Đặt

cắt

f  x   x 3  9 x 2  ax  b � f '  x   3x 2  18 x  a

.

 1;5 khi phương trình


 1;5 thì f '( x)  3x 2  18 x  a  0 có hai nghiệm

Phương trình (1) có 3 nghiệm nằm trong
 1;5 � a  3x 2  18 x có hai nghiệm phân biệt thuộc  1;5 .
phân biệt thuộc
Xét hàm số

g  x   3 x 2  18 x

Bảng biến thiên của

suy ra

g '  x   6 x  18 g '  x   0 � x  3
;
.

y  g  x

2
y  g  x
Dựa vào bảng biến thiên của
ta thấy phương trình a  3x  18 x có 2 nghiệm phân
 1;5 khi 15 �a  27 .
biệt thuộc

� a đạt giá trị nhỏ nhất bằng 15 khi x  5 , thay vào (1) được b  25 .
Thử lại, với a  15 , b  25 , phương trình (1) trở thành
x  1
�
2
x3  9 x 2  15 x  25  0 �  x  5   x  1  0 � �

.
x5
�

� phương trình (1) có ba nghiệm trong đoạn  1;5 , trong đó có một nghiệm kép.
Vậy a  15 , b  25 thỏa mãn yêu cầu bài toán � a.b  375 .
Câu 9.

[2D1-1.4-3] (Chuyên Sơn La Lần 3 năm 2018-2019) Cho hàm số
y f�
 x  có đồ thị như sau:

Bất phương trình
A.

m �f  2 

.

f  x   x2  2 x  m

đúng với mọi

m  f  1  1

C.

B.

.

x � 1; 2 

m �f  2   1

.

y  f  x

. Hàm số

khi và chỉ khi
D.

m �f  1  1

.

Lời giải
Tác giả:Vũ Thị Thu Thủy ; Fb: Vũ Thị Thu Thủy
Chọn A
Ta có

f  x   x 2  2 x  m , x � 1; 2  � f  x   x 2  2 x  m , x � 1; 2 

Xét hàm số
Ta có

g  x   f  x   x 2  2 x , x � 1; 2

g�
 x  f �
 x  2x  2  f �
 x    2x  2

.


Vẽ đường thẳng y  2 x  2

Ta thấy

f�
 x   2 x  2, x � 1; 2 

trên khoảng
Vậy

 1; 2  .

m  g  x  , x � 1; 2  ۣ
 m

do đó

g�
 x   0, x � 1; 2 

g  2   f  2   22  2.2  f  2 

Câu 10. [2D1-1.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số
thiên như sau:

y  f  x

g  x

suy ra hàm số

nghịch biến

.

. Hàm số

y f�
 x

có bảng biến

x 2
x � 2; 2 
Bất phương trình f ( x )  3e  m có nghiệm
khi và chỉ khi:

m �f  2   3

A.

.

m  f  2   3e 4

B.

.

C.

m �f  2   3e4

.

D.

m  f  2   3

.

Lời giải
Tác giả: Lê Trọng Hiếu ; Fb: Hieu Le
Phản biện: Ngô Nguyễn Anh Vũ ; Fb: Euro Vũ
Chọn B
x2
x2
Ta có: f ( x)  3e  m � f ( x)  3e  m .

Đặt
Vì

h  x   f ( x )  3e x  2 � h�
 x  f �
 x   3e x 2

x � 2; 2  , f �
 x  �3

Nên

và

.

x � 2; 2  � x  2 � 0; 4  � 3e x  2 � 3;3e 4 

h�
 x  f �
 x   3e x 2  0, x � 2; 2  � f (2)  3e 4  h  x   f (2)  3

.

x2
x � 2; 2 
m  f  2   3e 4
Vậy bất phương trình f ( x)  3e  m có nghiệm
khi và chỉ khi
.

Câu 11. [2D1-1.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho hàm số
như sau

có bảng xét dấu của đạo hàm

x � 1;1
đúng với mọi
khi và chỉ khi
m  f  1  e
m  f  0 1
m �f  1  e
B.
.
C.
.
D.
.

f  x  ex  m
2

Bất phương trình
m �f  0   1
A.
.

y  f  x

Lời giải


Tác giả: Hồ Ngọc Hưng; Fb: Ho Ngoc Hung

Chọn C
f  x   e x  m, x � 1;1
2

Có

� m  g  x   f  x   e x , x � 1;1

 *

2

x  0 � 1;1
Ta có
có nghiệm
và
g�
 x   0, x � 1;0  ; g �
 x   0, x � 0;1 .
g�
 x  f �
 x   2 x.e x

2

Bảng biến thiên:

Do đó

max g  x   g  0   f  0   1

 1;1

Ta được

.

 * � m  f  0   1 .

Câu 12. [2D1-1.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 17) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình
log 2  2 x  m   2 log 2 x  x 2  4 x  2m  1
có hai nghiệm thực phân biệt?
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 4.
Lời giải
Chọn C
�x  0
.
�
2
x

m

0
�
Điều kiện:
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
log 2 (2 x  m)  log 2 x 2  x 2  4 x  2m  1 .

� log 2 x 2  x 2  log 2  2 x  m   4 x  2m  1

.
� log 2 x  x  log 2 (4 x  2m)  4 x  2 m (1)
.
2

2

Xét hàm số f (t )  log 2 t  t trên D  (0; �) .
1
f '(t ) 
 1  0 t  0
t ln 2
Ta có
nên hàm số f (t ) ln đồng biến trên D .
2
2
Suy ra phương trình (1) tương đương với phương trình: x  4 x  2m � x  4 x  2m  0 (2) .
u cầu bài tốn tương đương với phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
'  0
4  2m  0
�
�
m  2
�
�
�
� �S  0 � �
40

��
� 2  m  0.
m

0
�
�P  0
�
2 m  0
�
�

Vậy có duy nhất số nguyên m  1.


Câu 13. [2D1-1.4-3]
(Chuyên
Phan
Bội
Châu
Lần2)
Cho
hàm
số
2
3
2019
�
x
x

x
1  x    ... 
 e x khi x �0
�
f  x  �
2! 3!
2019!
� x 2  10 x
khi x  0
�
. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương và
m  f  x  �0
chia hết cho 5 của tham số m để bất phương trình
có nghiệm?
A. 25 .

B. 0 .

C. 6 .

D. 5 .

Lời giải.
Chọn D
+) Với x �0 :

f�
 x  1 x 

x2

x 2018
x2
x 2017
�
 ... 
 ex f �
 e x ;...
 x   1  x   ... 
2!
2018!
2!
2017!
;

f  2019   x   1  e x �0, x �0 �
f  2018  x 

�
f�
 x

0,

x

0 �
f  x

f  0

0,

f  2018  0 

x 0

0,

x

0

;…

.

*
m  f  x   0, x �0
Nên m �Z thì
.

Do đó bất phương trình

m  f  x  �0

vơ nghiệm trên

 0;  � ,

m �Z* .

2
2
+) Với x  0 : Bpt: m  x  10 x �0 � x  10 x �m .

Ta có bảng biến thiên

m  25
Bất phương trình có nghiệm -��-

m 25 � m � 5;10;15; 20; 25 .

Câu 14. [2D1-1.4-3] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số
m � 2019;2019
để
bất
phương
trình
3
3
3
2
3
3
 1  m  x  3  2  m  x   13  m  3m  x  10  m  m �0 đúng
x � 1;3
với mọi
. Số phần tử của tập S là
A. 4038.
B. 2021.

C. 2022.
D. 2020.
Lời giải
Tác giả: Lê Thị Như Quỳnh; Fb: Lê Thị Như Quỳnh
Chọn B
 1  m3  x3  3  2  m3  x2   13  m  3m3  x  10  m  m3 �0, x � 1;3 .
�  x  2   x  2 ��
m  x  1 �
�
� m  x  1 , x � 1;3 .
3

Xét:

f  t   t 3  t , t ��

3

, ta có

f�
 t   3t 2  1  0, t ��.

f t
Hàm số   luôn đồng biến trên �.
u  x2
�
�
v  m  x  1
Đặt �

.

 *


f u�
 * ۳۳�
  f  v
ycbt ۣ�
 m

x2
, x
x 1

u

x 2 m  x 1

v

 1;3

�
m � 2019; 2019
�
m ��
Mà �
nên

.
�x  2 �
Min �
� m
x� 1;3
�x  1 �

m

5
4.

� �
5�
2019; �
�m ��
4 �� m � 2019; 2018;..., 1;0;1
� �
�m ��
�

.

Vậy có 2021 giá trị cần tìm.
y  f  x
Câu 15. [2D1-1.4-3] (Nguyễn Đình Chiểu Tiền Giang) Cho hàm số
. Đồ thị hàm số
4
y f�
 x  được cho như hình vẽ bên. Hàm số g  x   f  2 x  1 đồng biến trên khoảng nào

sau đây?

A.

�1 �
� ;1 �
B. �2 �.

 �; 1 .

�3�
1; �
�
C. � 2 �.

D.

 2; � .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thùy Linh; Fb: Nguyễn Linh
Chọn B
Ta có



g�
 x   f  2 x 4  1

 � 8x f � 2 x  1  0

3

4

x0
�
x0
�
�
x3  0
� 4
� 4
��
��
2 x  1  1 � �
x 2
4
�f '  2 x  1  0
4
�
�
�
2x 1  3
x  4 2
�
�
.
Dựa vào đồ thị hàm số

f�

 x

� g  x

 �;  2 

và dấu của

4

đồng biến trên

g�
 x

 0; 2  .
4

và

�1 �
� ;1�
g  x
Vậy
đồng biến trên khoảng �2 �.

, ta có BBT như sau:


y  f  x

Câu 16. [2D1-1.4-3] (NGUYỄN ĐÌNH CHIỂU TIỀN GIANG) Cho hàm số
. Đồ thị hàm số
4
y f�
 x  được cho như hình vẽ bên. Hàm số g  x   f  2 x  1 đồng biến trên khoảng nào
sau đây?

A.

 �; 1

�1 �
� ;1�
B. �2 �.

.

�3�
1; �
�
C. � 2 �
.

D.

 2; � .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thùy Linh; Fb: Nguyễn Linh
Chọn B

Ta có



g�
 x   f  2 x 4  1

 � 8x f � 2 x  1  0
3

4

x0
�
x0
�
�
x3  0
�
� 4
��
��
2 x  1  1 � �
x 42
4
�
�
�f '  2 x  1  0
�
2x4 1  3

x  4 2
�
�
.
Dựa vào đồ thị hàm số

f�
 x

� g  x

 �;  2 

và dấu của

4

đồng biến trên

g�
 x

, ta có BBT như sau:

 0; 2  .
4

và

�1 �

� ;1�
g x
Vậy   đồng biến trên khoảng �2 �.

Câu 17. [2D1-1.4-3] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Cho hàm số
� 3 �
x �� ; �
 2019
f
 x   m đúng với mọi �12 8 �khi và chỉ khi
2019
A. m  2 .

2018
B. m � .

2018
C. m  2 .

Lời giải.
Chọn B

f  x   cos 2 x

. Bất phương trình

2019
D. m �2 .

�
�
�
f�
2x  � f �
2x  2 �
 x   2sin 2 x  2 cos �
 x   4 cos 2 x  2 cos �
�
�
2 �;
2 �;...
�
�
Ta có
�
�
�
�
f  n   x   2n cos �
2x  n �
f  2019   x   22019 cos �
2 x  2019 � 2 2019 sin 2 x
2 �. Do đó
2�
�
�
.
� 3
x �� ;

12 8
�
� f

2019 

 3 �
 1
�
�
� 3 �
�� 2 x �� ; �� sin 2 x  sin  , x �� ; �
6 2
12 8 �
�
�6 4 �
�
 3
;
12 8
�

 x   22018 , x ��
�

Do đó bất phương trình

f

 2019 

�
�
�.

� 3 �
x �� ; �
 x   m đúng với mọi �12 8 �khi và chỉ khi m �22018 .

Câu 18. [2D1-1.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 6) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm đến cấp hai trên �.
1
m  x 2 �f ( x)  x3
3
Bảng biến thiên của hàm số y  f '( x) như hình vẽ. Bất phương trình
x � 0;3
nghiệm đúng với mọi
khi và chỉ khi

A.

m  f  0

.

B.

m �f  3

.

C.

m �f  0 

.

D.

m  f  1 

2
3.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dạ Thu ; Fb: Nguyen Da Thu
Chọn C
1
1
m  x 2 �f ( x)  x 3 � f ( x)  x3  x 2 �m
3
3
.
1
g  x   f ( x)  x3  x 2
g  x  �m , x � 0;3
3
Đặt
. Theo bài ra, ta có:
(*).
2

2
2
Ta có g '( x)  f '( x)  x  2 x  1  x  2 x  ( x  1) �0, x �(0;3) .
g  0   f  0  ; g  3  f  3
Do đó g (0)  g ( x)  g (3), x �(0;3) . Mà:
.
� f (0)  g ( x)  f (3), x �(0;3)

Vì vậy (*) ۣ m

f (0) .


Câu 19. [2D1-1.4-3] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
5 x 2  12 x  16  m  x  2  x 2  2
để phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn
2 x  x 1
2 x 1
2018
 2018
 2019 x �2019 .
�
11 3 �
m ��
2
6
;
�
�

3 �
�
�.
A.

C.

B.



m � 2 6 ;3 3 �
�.

�
11 3 �
m ��
3
3
;
�
�
�� 2 6
3
�
�
D.
.



m ��
2 6 ;3 3 �
�
�.



Lời giải
Tác giả: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu ; Fb: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu
Chọn B
2 x
Xét bất phương trình 2018

x 1

 20182

x 1

 2019 x �2019

(1) . Điều kiện: x �1 .

�
a  2x  x  1
ab
�
� a  b  2( x  1) � x  1 
�

2
b  2  x 1
Đặt �
.
Bất phương trình (1) thành:
2018a  2018b  2019

ab
�0 � 2(2018) a  2019a �2(2018)b  2019b
2

(2)

.

t
Xét hàm số f (t )  2(2018)  2019t liên tục trên �.

f�
(t )  2.2018t ln 2018  2019  0, t �� nên f (t ) đồng biến trên �.
 
�
f (�
a )�
f (b
)��a b
Bất phương trình (2) ۣ

2x

x 1 2

x 1

1 x 1.

Với 1 �x �1 , ta có:

5 x 2  12 x  16  m  x  2  x 2  2
� 3  x  2  2  x2  2  m  x  2
2

x 2  2 với x � 1;1 .

Đặt



x2  2
�3
2
 m (3)
x2  2
x2
x2  2
.

x2

t

t�


x2

2  2x
x 2
2



3

�0, x � 1;1

1
�t � 3
1;1
nên hàm t đồng biến trên 
, suy ra 3
.


�1
�
t �� ; 3 �
1;1
�3
�ta tìm được đúng một

Do hàm t đơn điệu trên 
nên ứng với mỗi giá trị của
x � 1;1
giá trị của
và ngược lại.
Viết lại phương trình (3) theo ẩn t :
3t 

1
2
�t � 3
 m  4
3
t
với
.

�1
�
t �� ; 3 �
(3) có 2 nghiệm thực phân biệt x � 1;1 � (4) có 2 nghiệm thực phân biệt
�3
�
(*) .

Xét hàm số
g�
(t )  3 

g (t )  3t 

�1
�
2
� ; 3�
�.
t liên tục trên � 3

2
2
g�
(t )  0 � t 2  � t 
3
t 2 . Cho

2 �1
�
�� ; 3 �
3 �3
�.

Bảng biến thiên:



m � 2 6 ;3 3 �
�
Dựa vào bảng biến thiên, ta có (*) �
Vậy



m � 2 6 ;3 3 �
�thoả yêu cầu bài toán.

Câu 20. [2D1-1.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 12) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình
1
2 x 1  8  x 2  m
2
có 3 nghiệm thực phân biệt?
A. 8 .
B. 9 .
C. 6 .
D. 7 .
Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Mai Sơn; Fb: Maison Pham
Chọn A
1
m  2 x 1  8  x 2 (*).
2
Phương trình đã cho tương đương với:
Xét hàm số:
1 2
� x 1
2

8

x ( x �2)
x 1

�
1 2 �
�g ( x)  2 ln 2  x ( x  2)
2
x 1
f ( x)  2  8  x  �
� f�
( x)  �
.
1 2
2
h( x)  2 x 1 ln 2  x ( x  2)
x 1
�
�
8  2  x ( x  2)
�
2
(Hàm số khơng có đạo hàm tại điểm x = 2).
Ta có:


g�
( x)  2 x 1 ln 2 2  1  221 ln 2 2  1  0, x  2 � g ( x)  g (2)  23 ln 2  0, x  2 (1).
�h(1)   ln 2  1  0
�
x 1
2
( x)  2 ln 2  1  0, x  2 và �h(0)  2 ln 2  0
� h(0).h( 1)  0 do đó

 h�
h( x)  0 có nghiệm duy nhất x0 �(1;0). Dùng máy tính tìm được x0 �0, 797563 lưu


f  x0   f ( A) �6,53131.
nghiệm này vào biến nhớ A, ta có
f�
( x)  0 � x  x0 �(1;0). Bảng biến thiên:
Vậy ta có

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:
2  m  f ( x0 ) �6,53131 .
m � 1, 0,1, 2,3, 4,5, 6
Do m là số nguyên nên
.
Có tất cả 8 số nguyên thoả mãn yêu cầu.
Câu 21. [2D1-1.4-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho bất phương trình
3

x 4  x 2  m  3 2 x 2  1  x 2  x 2  1  1  m

phương trình nghiệm đúng với mọi x  1 .
1
m�
2.
A.
B. m  1 .

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất

C.

m

1
2.

D. m �1 .

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Thu Thủy; Fb: Thủy Lê
Chọn D
3

Ta có:

x 4  x 2  m  3 2 x 2  1  x 2  x 2  1  1  m

�  x 4  x 2  m   3 x 4  x 2  m  3 2 x 2  1   2 x 2  1  0
�  x 4  x 2  m   3 x 4  x 2  m  3 2 x 2  1   2 x 2  1
Xét hàm số
Có

(1)

f  t   t 3  t t ��
,
.

f�

 t   3t 2  1  0, t ��

Bất phương trình (1) có dạng

f

nên hàm số



3

f  t

đồng biến trên �.

 

x4  x2  m  f

� x 4  x2  m  2 x 2  1 � m   x4  x 2  1 .

3



2x2  1 �

3

x4  x2  m  3 2x2  1


Xét hàm số

g  x    x4  x2  1

với

x � 1; �

.

� m  g  x  x  1
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x  1
,
.
g�
 x   4 x3  2 x  2 x  2 x 2  1  0, x  1

.

Bảng biến thiên:

Tập giá trị của hàm số
Vậy

g  x

trên

 1; �

là

 �;1 .

m  g  x  x  1 ۳ m 1
,
.

Câu 22. [2D1-1.4-3] (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Lần 1) (Chuyên Lê
y  f  x
y f�
 x
Hồng Phong Nam Định Lần 1) Cho hàm số
. Đồ thị
f  1 2 x 
�1 �
g  x  � �
�2 �
như hình bên. Hàm số
nghịch biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau?
0;1
A. 
.

B.

 �;0  .

C.

 1;0  .

D.

 1;  � .

Lời giải
Tác giả: Vũ Việt Tiến, FB: Vũ Việt Tiến
Chọn D
x  1
�
f�
x  0 � �

y f�
 x  ta có
1 x  2.
�
Từ đồ thị hàm số
f  1 2 x 

�1 �
g  x  � �
�2 �
Xét hàm số

.


f  1 2 x 

1�
g�
 x  �
��
�2 �
Ta có

f  1 2 x 

1�
�1 �
.  2  . f �
 1  2 x  .ln �
� � 2ln 2. � �
�2 �
�2 �

.f �
 1 2x

.

x 1
�
1  2 x  1

�
�
��
� 1
�
1  1 2x  2
  x0
�
�
g�
x

0
�
f
1

2
x

0
 


�2
.
Vậy hàm số

g  x

nghịch biến trên khoảng

 1;  � . Chọn

D.

f  x
Câu 23. [2D1-1.4-3] (Nguyễn Du số 1 lần3) Cho hàm số
liên tục trên � có đồ thị như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị ngun của n để phương trình sau có nghiệm x ��.
f 16sin 2 x  6sin 2 x  8  f  n  n  1 





A. 10.

B. 6.

C. 4.
D. 8.
Lời giải
Tác giả: Lê Phương Anh ; Fb: Anh Phương Lê
Phản biện: Nguyễn Thị Trà My; FB: Nguyễn My

Chọn B
Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số

f  x

ln đồng biến trên �, do đó

f  16sin 2 x  6sin 2 x  8   f  n  n  1  � 16sin 2 x  6sin 2 x  8  n  n  1
Ta xét
16sin 2 x  6sin 2 x  8  n  n  1

� 8  1  cos 2 x   6sin 2 x  8  n  n  1  0
� 8cos 2 x  6sin 2 x  n  n  1  0

82  62 � n 2  n  �  n 2  n  �100 � 10 �n 2  n �10
2

Để phương trình có nghiệm x �� thì
� n2

Vì

n�
10

1  41
�
2

n

2

1  41

2
2
(do n  n �10, n ).

n nguyên nên n � 3; 2; 1;0;1; 2 .

Câu 24. [2D1-1.4-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị
( x  2) 2 x
g ( x) 
( x  3)  f 2 ( x)  3 f ( x) 
như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số
có bao nhiêu tiệm cận
đứng?


A. 6 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Tình; Fb:nguyenduytinh
Chọn C

Xét phương trình:

x3 0

�
( x  3)  f 2 ( x)  3 f ( x)   0 � �
�f ( x)  0
�
�f ( x)  3

 x  3  0 � x  3 mặt khác x  3 hàm số y  g ( x) không xác định nên đường thẳng x  3 không
là một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x  2
�
�
x  1
f ( x)  0 � �
�
x 1
�
x3 ,
�

Với x  1, x  2 hàm số y  g ( x) không xác định nên đường thẳng x  1, x  2 không là tiệm cận
đứng của đồ thị hàm số.
Với x  1, x  3 : Hàm số xác định tại x  1, x  3 và x  1, x  3 không là nghiệm của tử số nên hai đường
thẳng x  1, x  3 là 2 tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x2
�
f ( x)  3 � �
x  x0
�


ta thấy x  2 là nghiệm của tử số và x  x0  0 nên hàm số y  g ( x) khơng xác
định do đó hai đường thẳng x  2; x  x0 không là tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số y  g ( x ) có 2 tiệm cận đứng.
Câu 25. [2D1-1.4-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số
trên R và có đồ thị như hình vẽ dưới đây .

f 3  x  3 f 2  x  4 f  x  2
Số nghiệm của phương trình

3 f  x 1

y  f  x

 3 f  x  2
là:

liên tục


A. 6 .

B. 9 .

C. 7 .

D. 8 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Mạnh; Fb: Nguyễn Mạnh Toán
Chọn B

Đặt

t  f  x

đưa phương trình về hàm đặc trưng

Xét hàm đặc trưng

f  x   x3  x

 t  1

3

  t  1 





3

3t  1  3t  1

.

đồng biến R nên ta được t  1  3t  1 � t  0; t  1 .

f x 0
Với t  0 ta có  

từ đồ thị ta được số nghiệm là 3 .
f  x  1
Với t  1 ta có
từ đồ thị ta được số nghiệm là 6 .

Vậy phương trình có 9 nghiệm phân biệt.
y  f  x
Câu 26. [2D1-1.4-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số
liên tục trên
� và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương
f  x 3  3 x 2  2   m 2  3m
1; 3 
trình
có nghiệm thuộc nửa khoảng 
là

A.

 1;1 � 2; 4

.

B.

 1; 2  � 4;

 �

.

C.

 �; 1 � 2; 4  .

D.

 1;1 � 2; 4 

.

Lời giải
Tác giả: Đỗ Thị Nhàn

FB: DoNhan

Chọn D
3
2
 3x 2  6 x .
Đặt t  x  3x  2 � t �

�
x  0 � 1;3
t�
0� �
x  2 � 1;3 
�
.
Ta có:
Khi đó

t (2)  2; t (1)  0; t (3)  2 � t � 2; 2 
f  x 3  3x 2  2   m 2  3m (1)

Phương trình

 1

có nghiệm thuộc

.

trở thành:

 1; 3

f  t   m2  3m (2)

khi phương trình

 2

có nghiệm

t � 2; 2 

.

1  m  4
�

�
m 2  3m  4  0
1  m �1
�
�
�
2 �m  3m  4 � � 2
� ��
��
m �1
2 �m  4
m  3m  2 �0
�
�
��
m �2
��
2

Dựa vào đồ thị ta có

.


Vậy phương trình

 1

có nghiệm thuộc

 1; 3

khi

m � 1;1 � 2; 4 

.

y  f  x
f�
 x    x2  2
Câu 27. [2D1-1.4-3] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hàm số
thỏa mãn
x ��. Bất phương trình f  x   m có nghiệm thuộc khoảng  0;1 khi và chỉ khi

A.

m �f  1

.

B.

m �f  0 

.

C.
Lời giải

m  f  0

.

D.

m  f  1

.

Tác giả:Trần Phương ; Fb: Trần Phương
Chọn D
f�
 x    x 2  2  0 x ���

Hàm số nghịch biến trên � nên f (0)  f (1)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình
m  f  1

.

f  x  m

có nghiệm thuộc khoảng

 0;1

�