Dang 6. Tìm m để hàm số, đồ thị hàm số các hàm số khác có cực trị thỏa mãn điều kiện(VDC)

Câu 1.

f�
( x)  ( x  1) 2  x 2  4 x 
có đạo hàm
.Có bao
2
g ( x )  f 2 x  12 x  m
nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
có đúng 5 điểm
cực trị ?
A. 18.
B. 17.
C. 16.
D. 19.

[2D1-2.6-4] (Sở Hà Nam) Cho hàm số

f  x





Lời giải.
Tác giả: Huỳnh Anh Kiệt ; Fb: Huỳnh Anh Kiệt
Chọn B
Ta có :

x  1
�

�
f�
( x)  0 � ( x  1)  x  4 x   0 � �
x0
�
x4
�
2

2

, trong đó x  1 là nghiệm kép.

g ( x )  f  2 x 2  12 x  m  � g �
 x    4 x  12  f �
 2 x 2  12 x  m 

Xét

g�
 x   0 �  4 x  12  f �
 2 x 2 12 x  m   0

(*)

x3
�
x3
�
� 2

� 2
2 x  12 x  m  1 (l )
2 x  12 x  m  1
�
�� 2
�� 2
�
2 x  12 x  m
 1
2 x  12 x  m  0
�
�
2
2
�
�
2 x  12 x  m  4
2 x  12 x  4  m  2 
�
�
( Điểm cực trị của hàm số
2 x 2  12 x  m  1 )

g  x

là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình

2
Xét hàm số y  2 x  12 x có đồ thị (C).

y '  4 x  12
Ta có bảng biến thiên

g  x
 1 ;  2  đều có hai nghiệm phân biệt
Để
có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình
khác 3 .
Do đó, mỗi đường thẳng y  4  m và y  m phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hồnh
độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng y  4  m ln nằm trên đường thẳng y  m .
Ta có: 18   m � m  18 . Vậy có 17 giá trị m nguyên dương .


Câu 2.

[2D1-2.6-4] (Chuyên Thái Nguyên) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
3
y  x   2m  1 x 2  3m x  5
có ba điểm cực trị?
A. Vơ số.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Điệp ; Fb:Hoàng Điệp Phạm
Chọn A
y  x   2m  1 x 2  3m x  5
Hàm số
có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số
3

2
y  x   2m  1 x  3mx  5
x ,x
x �0  x2
có hai điểm cực trị 1 2 thỏa mãn 1
.
2
y�
 3x  2  2m  1 x  3m
Ta có
.
3

�
Δ�
 4m 2  5m  1  0
ۣ m 0
�
�P  m �0
. Vậy có vơ số m thỏa mãn đề bài.
Câu 3.

f  x 

[2D1-2.6-4] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Hàm số
m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2 .
B..
C. 5 .
D. 4 .

Lời giải

x
m
x 1
(với
2

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn D
Đặt

g  x 

x
m
x 1
2

x
x
m
g  x  2
m
x 1
x 1
Số cực trị của hàm số
bằng tổng số cực trị của hàm
và số
g  x  0

nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình
.
f  x 

Ta có

g ' x 

2

1  x2
 0 � x  �1
x2  1

Bảng biến thiên

x
m
g  x  0
x 1
Hàm số
có 2 cực trị và phương trình
có tối đa 2 nghiệm đơn (hoặc
x
f  x  2
m
x 1
bội lẻ). Do đó hàm số
có nhiều nhất 4 điểm cực trị.
g  x 

2


Bài tốn tổng qt: Tìm số cực trị của hàm số
+ Cơ sở lý thuyết: Số cực trị của hàm số

y  f  x

y  f  x

bằng tổng số cực trị của hàm
f  x  0
số nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình
.

y  f  x

và

y  f  x
+ Khi giải bài toán học sinh đưa về hai bài tốn cơ bản: tìm số cực trị của hàm số
và
f  x  0
số nghiệm của phương trình
. Do đó học sinh có thể lập bảng biến thiên để xét đồng
thời 2 bài toán đơn đó.
y  f  x
Cho hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới. Tập các giá trị của tham số m

g  x  f  x  m
 a; b  . Tính T  2b  a.
để hàm số
có 7 điểm cực trị là
PT 44.1.

A. 2 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 6 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn B
Số cực trị của hàm số

g  x

bằng tổng số cực trị của hàm
f  x  0
nghiệm bội lẻ của phương trình
.

y  f  x  m

và số nghiệm đơn hoặc

g  x  f  x  m
có 3 điểm cực trị. Do đó hàm số
có 7 điểm cực trị khi
f  x  m
và chỉ khi phương trình
có 4 nghiệm phân biệt � 2  m  0 � T  2.
Hàm số

PT 44.2.

y  f  x  m

y  x3  6 x 2  m
m
Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số
có 5 điểm cực trị.

A. 32 .

B. 31 .

C. 31 .

D. 34 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn C
Đặt

f  x   x3  6x 2  m


y  f  x

Số cực trị của hàm số

bằng tổng số cực trị của hàm
f  x  0
hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình
.

y  f  x

và số nghiệm đơn

x0
�
f '  x   3x 2  12 x  0 � �
x4
�
Ta có
Bảng biến thiên

y  f  x
có 3 điểm cực trị. Do đó hàm số
có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi
f  x  0
phương trình
có 3 nghiệm phân biệt � m  32  0  m � 0  m  32

Hàm số

y  f  x

Mà m ��� có 31 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
PT 44.3.
sau

(Sở Bình Phước – 2019) Cho hàm số

Đồ thị hàm số

g  x   2 f  x   x2

A. 3 .

B. 7 .

y  f  x

có đồ thị

y  f ' x

như hình vẽ

có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?
C. 5 .

D. 6 .

Lời giải
Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn B
Đặt

h  x   2 f  x   x2

Số cực trị của hàm số

g  x  h  x

bằng tổng số cực trị của hàm
h  x  0
hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình
.

y  h  x

và số nghiệm đơn


Ta có

h ' x   2 f '  x   2x  0 � f '  x   x

Nghiệm của phương trình

h ' x  0

là hoành độ giao điểm của hai đồ thị

y  f ' x

và y  x .

Do đó phương trình có nghiệm 2; 2; 4.
Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số
tối đa 4 nghiệm phân biệt

y  h  x

có 3 điểm cực trị và phương trình

h  x  0

có

� hàm số g  x   h  x  có tối đa 7 điểm cực trị.

Câu 4.

[2D1-2.6-4] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
y  x3  3x2  9 x  5 
2 có 5 điểm cực trị?
m để hàm số
A. 62 .

B. 63 .

C. 64 .
Lời giải

D. 65 .

Tác giả: Lê Xuân Sơn; Fb: Lê Xuân Sơn
Chọn B
Xét hàm số

g ( x)  x 3  3 x 2  9 x  5 

m
2.

x  1
�
g�
( x )  3 x 2  6 x  9; g �
( x)  0 � �
x3 .
�
Ta có:
Ta có:

g ( 1) 

m

m
; g (3)   32
2
2
.

Bảng biến thiên của hàm số g ( x) :

Hàm số g ( x ) có giá trị cực tiểu là

g (3) 

m
m
 32
g (1) 
2
2.
và giá trị cực đại là


Hàm số

y  x3  3x2  9 x  5 

� Đồ thị hàm số
�

m
2 có 5 điểm cực trị

g ( x)  x3  3x 2  9 x  5 

g (1).g (3)  0 �

m
2 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

m �m
�
�  32 � 0 � 0  m  64
2 �2
�
.

Vì m là số nguyên nên có 63 giá trị m thỏa mãn bài toán.
Câu 5.

[2D1-2.6-4]

(Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2)

Cho

hàm

số

1
y  f  x   x3   2m  1 x 2   8  m  x  2

3
với m ��. Tập hợp tất cả các giá trị của m để
y f  x
 a; b  . Tích a.b bằng
hàm số
có 5 cực trị là khoảng
A. 12.
B. 16.
C. 10.
D. 14.
Lời giải
Tác giả: Hồng Quang Chính; Fb: quangchinh hoang
Chọn D
Ta có

y�
 x 2  2  2m  1 x  8  m

.





do f   x   f  x 
f  x
là hàm chẵn
, nên đồ thị hàm
đối xứng qua trục Oy . Do
f  x

f  x
đó, khi hàm
có hai cực trị dương thì hàm
sẽ có thêm hai cực trị đối xứng qua trục
Oy và một cực trị cịn lại chính là giao điểm của đồ thị hàm f  x  và trục Oy .
Vì

f

 x

 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.
u cầu bài tốn tương đương với phương trình y�
2
4m2  3m  7  0
 2m  1   8  m   0 �
�
0 �
�
�
�
�
�
� 1
S

0
�
2
m


1

0
�
m
�
�
�
�P  0
�
� 2
8m  0
�
�
m8
�
�
Điều kiện tương đương là

7
�
�m  1 �m  4
�
� 1
�7 �
� �m 
� m �� ;8 �
�4 �
� 2

�m  8
�
�
.
Vậy
Câu 6.

a

7
4 , b  8 và a.b  14 .

y  f  x
[2D1-2.6-4] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Cho hàm số
có đạo hàm
3
2
2
f�
 x    x  1 x   4m  5 x  m  7m  6 , x ��. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
g  x  f  x 
có 5 điểm cực trị?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Lời giải






Chọn B
Nhận xét:

 x  1  0 .
+) x  1 là nghiệm bội ba của phương trình
g  x  f  x 
+) Hàm
là hàm chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.
g  x  f  x 
y  f  x
Do đó hàm
có 5 điểm cực trị � Hàm số
chỉ có hai điểm cực trị
2
2
x   4m 5 x  m  7m 6  0
 *
dương � Phương trình
có nghiệm kép dương khác 1
x2   4m 5 x  m2  7m 6  0
 ** .
hoặc phương trình
có hai nghiệm trái dấu khác 1
2
�
   4m  5   4  m 2  7 m  6   0
�

3� 6
�m
��
 * � �   4 m  5 
6
�
0
�1
�
2
Giải
(loại).
�
m � 1;6 
�
�
m2  7m  6  0
۹ �
m 1
�
��
m �2
 ** �1   4m  5  m 2  7m  6 �0 �
�
Giải
.
m � 3; 4;5
Mà m �� nên
.
3

m
Vậy có giá trị
ngun thỏa mãn u cầu bài tốn.
3

Câu 7.

f  x
[2D1-2.6-4] (Quỳnh Lưu Lần 1) Cho hàm số
có đạo hàm
4
3
2
2
f�
x  2  m  3 x  6m  18�
.
 x   x  x  2  x  4 �
�
�
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
m để hàm số f  x  có đúng một điểm cực trị?
7.
B.
B. 5 . C. 8 . D. 6 .
Lời giải
Tác giả: Đoàn Tấn Minh Triết; Fb: Đoàn Minh Triết
Chọn C
�
x2  0

x0
�
�
4
�
x  2
 x  2  0
�
f�
��
 x  0 � �
3
�
x  4
 x  4  0
�
�
�2
x 2  2  m  3 x  6m  18  0  *
�
x  2  m  3 x  6m  18  0
�
Ta có
f  x
 * vơ nghiệm, có nghiệm kép
Để hàm số
có đúng một điểm cực trị � Phương trình
hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm là 4.
Trường hợp 1. Phương trình
� 3  m  3

� m � 2 ;  1 ; 0 ; 1 ; 2

 *

2
2
vô nghiệm �   4m  24m  36  24m  72  4m  36  0

m3
�
�   4m2  36  0 � �
 * có nghiệm kép
m  3 .
�
Trường hợp 2. Phương trình
 * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Trong đó x1  4.
Trường hợp 3. Phương trình
m  3
�
x1 , x2 �   4m 2  36  0 � �
m3 .
�
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí Viète ta có

�S  x1  x2  4  x2  2m  6
�
�P  x1.x2  4.x2  6m  18

�x2  2m  2
3
9
�
��
3
9 � 2m  2   m  � m  5
2
2
x2   m 
�
2
2
�
.
Vậy
Câu 8.

m � 3 ;  2 ;  1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5

thỏa mãn u cầu đề bài.

[2D1-2.6-4] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Cho hàm số bậc bốn

y f�
( x ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số điểm
y f



x2  2x  2

A. 1.

cực

 là:

B. 2.

đại

C. 4.

của

D. 3.

Lời giải:

Lời giải:
Chọn A
Đặt

y  g ( x)  f



y�
 g�

( x) 
Ta có:

 có tập xác định D  �.
x 1
f�
x  2x  2 

x  2x  2
.
x2  2 x  2

2

2

x  1
�
�
x  1
�
� � x2  2x  2  1
y�
0��
2
� 2
�f � x  2 x  2  0
� x  2x  2  3
�





x  1
�
�
��
x  1  2 2
x  1
�
� �2
�
x  1  2 2
x  2x  7  0
�
�
.
Bảng xét dấu:

x

1  2 2

�

g�
( x)

-

0

+

-1
0

1  2 2
-

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị, trong đó có 1 điểm cực đại.


0

�
+

y  f ( x ) . Hàm số
hàm

số


Câu 9.

[2D1-2.6-4]

(THPT

ĐÔ

LƯƠNG

3

LẦN

2)

Cho
hàm
số
�7 �
2
 ;0�
�
f  x    x  1  mx 2  4mx  m  n  2 
với m, n ��. Biết trên khoảng � 6 �hàm số đạt
�7 5�
 ; �
�
2 4 �hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
�
x


1
cực đại tại

. Trên đoạn
7
3
5
5
x
x
x
x
2.
2.
2.
4.
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Tác giả: Trần Đắc Nghĩa; Fb: Đ Nghĩa Trần
Chọn B
f�
x    x  1  4mx 2  10mx  6m  2n  4 

Ta có
.
2
f�
 x   0 �  x  1  4mx  10mx  6m  2n  4   0
Cho
x 1

�
�� 2
4mx  10mx  6m  2n  4  0  1
�
.
�7 �
 ;0�
�
 1 có hai nghiệm phân
Trên khoảng � 6 �hàm số đạt cực đại tại x  1 nên phương trình
x  1
biệt trong đó có một nghiệm 1
.
3
5
x2  
x1  x2  
m 0 và
2 (vì theo Vi – ét
2 và x1  1 ).
Bảng biến thiên:

�7 5�
3
 ; �
x
�
2
4
�hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

2.
Vậy trên đoạn �

Câu 10. [2D1-2.6-4] (Lý Nhân Tông) Cho hàm số

f  x    m  1 x 3  5 x 2   m  3  x  3.

y f  x
nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
có đúng 3 điểm cực trị?
A. 4 .
B. 3 .
C. 5 .
D. 1 .

Lời giải
Chọn A
+) Tập xác định: D  �.
+)

f�
 x   3  m  1 x 2  10 x   m  3

+) Trường hợp 1:

a  0 � m 1

.

Có tất cả bao

f  x   5 x 2  4 x  3

. Hàm số có một điểm cực đại là

x

2
5 khi đó

Khi đó hàm số trở thành
hàm số

y f  x

2
2
x   ; x  0; x 
5
5 nên nhận m  1.
có 3 điểm cực trị:

0
+) Trường hợp 2: a �۹
0  x1  x2
thỏa
.

3

2
m 1 . Hàm số y  f  x    m  1 x  5 x   m  3 x  3 có 2 cực trị

f�
 x   0 � m  3 khi m  3 đồ thị hàm số
Khi đó x  0 là nghiệm của phương trình:
5
x  0; x  
y  f  x
6.
có 2 cực trị:
Khi đó hàm số

y f  x

có 1 điểm cực trị: x  0 . Loại m  3 .

3
2
0 m 1 Hàm số y  f  x    m  1 x  5 x   m  3 x  3 có 2 cực trị
+) Trường hợp 3: a �۹
f�
 x   0 có 2 nghiệm trái dấu
x1  0  x2
thỏa
. Khi đó phương trình
 m  1  m  3  0 � 3  m  1 .

4 giá trị nguyên của tham số m .

Vậy có