Tìm m để phương trình (bất pt) có nghiệm bằng pp khảo sát hàm số (có lời giải)

Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bài toán “Tìm giá trị của tham số để phương trình, bất phương trình và hệ phương
trình có nghiêm” là một bài toán quan trọng và thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào
các trường Đạị học và Cao đẳng. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh thường lúng
túng khi gặp bài toán này hoặc gặp khó trong lúc giải quyết bài toán vì thường gặp khó
bởi điều kiện phát sinh khi giải toán. Trong chuyên đề này tôi trao đổi cách vận dụng đạo
hàm để giải những bài toán thuộc dạng trên
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
1. Cơ sở lí thuyết:
Trước tiên ta xét các mệnh đề sau được suy luận từ định nghĩa hàm số đơn điệu và các
kinh nghiệm trong giải toán:
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập D
1) Phương trình: f(x) = m có nghiệm x
∈
D
min ( ) ax ( )
x D
x D
f x m m f x
∈
∈
⇔ ≤ ≤
2) Bất phương trình:
( )f x m≤
có nghiệm x
∈
D
min ( )
x D

f x m
∈
⇔ ≤
3) Bất phương trình:
( )f x m≤
nghiệm đúng
x D ∀ ∈

max ( )
x D
f x m
∈
⇔ ≤
4) Bất phương trình:
( )f x m≥
có nghiệm x
∈
D
ax ( )
x D
m m f x
∈
⇔ ≤
5) Bất phương trình:
( )f x m≥
nghiệm đúng
x D ∀ ∈

min ( )
x D

m f x
∈
⇔ ≤
6) hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập D thì
( ) ( ) ( , )f u f v u v u v D= ⇔ = ∀ ∈
2. Phương pháp giải toán:
Để giải bài toán tìm giá trị của tham số m để phương trình(PT), bất phương trình(BPT)
có nghiệm ta có thể thực hiện theo các bước sau:
 Biến đổi PT(BPT) về dạng: f(x) = g(m) (hoặc
( ) ( ), ( ) ( )f x g m f x g m≤ ≥
)
 Tìm tập xác định D của hàm số f(x)
 Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)
 Xác định:
min ( ) , ax ( )
x D
x D
f x m f x
∈
∈
 Vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận cho bài toán.
Lưu ý:
Trong trường hợp PT(BPT) chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau
 Đặt ẩn số phụ t =
( )x
ϕ
Từ điều kiện ràng buộc của ẩn x ta tìm điều kiện cho ẩn t
 Đưa PT(BPT) ẩn số x về PT(BPT) theo ẩn số t Ta được f(t) = g(m) hoặc
( ) ( ), ( ) ( )f t g m f t g m≤ ≥
 Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)

 Từ bảng biến thiên của hàm số f(t) và các mệnh đề đã nêu ở mục 1 rút ra kết luận của
bài toán
3. Một số ví dụ minh họa
1
Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin
Thí dụ 1: Chứng minh rằng:
0m∀ >
phương trình
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
luôn có 2
nghiệm thực phân biệt. (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2007)
Giải
Điều kiện:
2x ≥
ta có:
2
2 8 ( 2)x x m x+ − = −
3 2
( 2)( 6 32 ) 0x x x m⇔ − + − − =
3 2
2
6 32 (*)
x
x x m
=

⇔

+ − =


đặt f(x) = x
3
+ 6x
2
– 32
ta có f’(x) = 3x
2
+ 12x > 0 với mọi x > 2
bảng biến thiên
x 2
+∞
f’(x) +
f(x)

+∞
0
Từ bảng biến thiên và mục 1) ta có m > 0 (*) luôn có một nghiệm x > 2
Vậy bài toán được chứng minh
Thí dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
có nghiệm(trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2007)
Giải
Điều kiện :
1x ≥
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −

2
4
2
4
1 1
3 2
1
( 1)
x x
m
x
x
− −
⇔ + =
+
+

4
1 1
3 2
1 1
x x
m
x x
− −
⇔ + =
+ +
Đặt
4

1
1
x
t
x
−
=
+
với
1x ≥
ta có
0t ≥
thay vào phương trình ta được
2
2 3 ( )m t t f t= − =

ta có :
'( ) 2 6f t t= −
ta có :
1
'( ) 0
3
f t t= ⇔ =
t 0
1
3

+∞
f’(t) + 0
f(t)

1
3
0
−∞
Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm khi
1
3
m ≤
Thí dụ 3 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :
2
2 2 1x mx x+ + = +
(*) (trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)
Giải :
Điều kiện :
1
2
x ≥ −
vì x = 0 không là nghiệm nên
2
Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin
2
2
3 4 1
(*) 3 4 1
x x
x x mx m
x
+ −
⇔ + − = ⇔ =

Xét
2
3 4 1
( )
x x
f x
x
+ −
=
ta có
2
3 1
'( ) 0 0
x
f x x
x
+
= > ∀ ≠
Bảng biến thiên
x
1
2
−
0
+∞
f’(x) + +
f(x)

+∞

+∞
9
2

−∞

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì
9
2
m ≥
Thí dụ 4: Cho phương trình :
2 2
3 3
log log 1 2 1 0 (1)x x m+ + − − =
a. Giải phương trình khi m = 2
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm trên
3
1;3
 
 
(Trích đề thi tuyển sinh đại học khối A năm 2002)
Giải
Đặt
2
3
log 1t x= +
điều kiện :
1t ≥
ta được :
2

2 2 0 (*)t t m+ − − =
khi
3
1;3 [1;2]x t
 
∈ ⇒ ∈
 
a. khi m = 2 ta được :
2
6 0t t+ − =
2 3 ( )t t L⇔ = ∨ = −
2
3
log 1 2x⇔ + =
2
3
log 1 4x⇔ + =
3 3x⇔ =
b. khi
3
[1;3 ] [1;2]x t∈ ⇒ ∈
ta có :
2
2
(*) ( )
2
t t
f t m
+ −
⇔ = =

Bảng biến thiên
t 1 2
f’(t) +
f(t)
2
0
Từ bảng biến thiên ta có :
0 2m≤ ≤
Thí dụ 5 : Tìm m để bất phương trình :
2
(1 2 )(3 ) 2 5 3x x m x x+ − > + − +
nghiệm đúng
với mọi
1
;3
2
x
 
∈ −
 
 
Giải
Đặt
(1 2 )(3 )t x x= + −
khi
1 7 2
;3 0;
2 4
x t
 

 
∈ − ⇒ ∈
 
 
 
 
thay vào bất phương trình ta được
2
( )f t t t m= + >
3
Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin
t 0
7 2
4
f’(t) +
f(t)

49 14 2
8
+
0
Từ bảng biến thiên ta có :
0m <
Thí dụ 6 : Giải hệ phương trình :
3
2
3 ( 4) 1 (1)
1 (2)
x x y y
y x


+ = + +


= +


Giải
( )
3
3
(1) 3 1 3 1x x y y
⇔ + = + + +
(Đk :
1y ≥ −
)xét hàm số
3
( ) 3f t t t= +
ta có
2
'( ) 3 3 0f t t t
= + > ∀
Vậy f(t) luôn đồng biến trên R vậy
2
( ) ( 1) 1 1 ( 0)f x f y x y x y x
= + ⇔ = + ⇔ = + ≥

kết hợp với (2) ta có :
2
2

1
1
x y
y x

= +


= +



2 2
2
1
x y y x
y x

− = −

⇔

= +



2
( )( 1) 0
1
x y x y

y x
− + + =


⇔

= +


2 2
1
1 0
x y x y
y y x x
= − − =
 
⇔ ∨
 
= − − − =
 

1
0
1 5
1
2
x y
x y
y
x

y
= − −

=

 
⇔ ∨
=

 
±
=

 
= −




Vậy hệ phương trình có nghiệm là
1 5 1 5
; ; (0; 1)
2 2
 
+ +
−
 ÷
 
Thí dụ 7 : Tìm m để bất phương trình
( )

3 1 3 2 (1 )(3 )x x x x m
+ + − − + − ≥

được nghiệm đúng với mọi
[ 1;3]x∈ −
Giải :
Đặt
2 2
1 3 4 2 (1 )(3 ) 2 (1 )(3 ) 4t x x t x x x x t
= + + − ⇒ = + + − ⇔ + − = −
Với
[ 1;3]x∈ −
[2;2 2]t⇔ ∈
Thay vào bất phương trình ta được :
2
3 4m t t≤ − + −
Xét hàm số
2
( ) 3 4 ó '( ) 2 3f t t t ta c f t t= − + − = − +
3
'( ) 2 3 ó '( ) 0 2
2
f t t ta c f t t= − + = ⇔ = <
t 2
2 2
f’(t)
f(t)
-2

6 2 12−

Từ bảng biến thiên ta có
6 2 12m ≤ −
thỏa đề bài
Thí dụ 8 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
127
3
−=+− xmxx
Giải:
4
Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin
Với ĐK
2/1≥x
, phương trình đã cho
1447
23
+−=+−⇔ xxmxx
⇔
x
3
– 4x
2
– 3x – 1 = – m <=> f(x) = - m. (1)
Xét hàm số f(x) trên







+∞;
2
1
, ta có
f ’(x) = 3x
2
– 8x – 3 ; f ‘(x) = 0



−=
=
⇔
)(3/1
3
loaix
x
f(3) = - 19, f(1/2) = - 27/8.
* BBT (hình bên).
Từ BBT suy ra (1) có hai nghiệm trên






+∞;
2
1
(tức phương trình đã cho có hai nghiệm)

27 27
19 m m 19
8 8
⇔ − ≤ − ≤ − ⇔ ≤ ≤
Thí dụ 9: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
2
11
2215)53(
2
−≤−++−++ mxxxxm
Hướng dẫn:
* ĐK:
53 ≤≤− x
* Đặt
xxt −++= 53
,
422 ≤≤ t
Suy ra:
2
8
215
2
2
−
=−+
t
xx
Nên (1) trở thành:
mtgm
t

t
m
t
mt 2)(2
2
3
2
11
2
2
8
22
−≤⇔−≤
−
+
⇔−≤
−
+
* Khảo sát sự biến thiên của hàm số g(t) trên đoạn
[ ]
4;22
,
* Lập BBT và từ BBT suy ra các giá trị cần tìm.
Bài tập làm thêm :
Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình
3
2 2
1 x 2 1 x m- + - =

1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực.

Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
3
4
x 1 x 2m x(1 x) 2 x(1 x) m+ - + - - - =
.
Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình
2
x 2x m 2x 1+ - = -
có 2 nghiệm thực
phân biệt.
Bài 4. Tìm m để phương trình :
1 8 (1 )(8 )x x x x m
+ + − + + − =
có nghiệm
Bài 5. Tìm m để phương trình
x 1 3 x (x 1)(3 x) m- + - - - - =
có nghiệm thực.
Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình
x 1 x 2
m 2 0
x 2 x 1
- +
- + =
+ -
có nghiệm thực.
Bài 7. Tìm a để phương trình :
2
3 1
2 1 ax
2 1

x
x
x
−
= − +
−
có nghiệm duy nhất
Bài 8. Tìm điều kiện của m để phương trình
1 1
x x x m
2 4
+ + + + =
có nghiệm thực
Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình
mxxxx =−+−++ 626222
44
có hai nghiệm
thực phân biệt (A-2008)
5
x
f’(x)
f(x)
1/2
3
+
_
0
-
+
-27/8

-19
+
_
Trường THPT Tập Sơn Tổ: Toán – Tin
Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình
x 4 x 4 x x 4 m+ - + + - =
có nghiệm
thực.
Bài 11. Tìm điều kiện m để phương trình
x m
x 6 x 9 x 6 x 9
6
+
+ - + - - =
có
nghiệm thực.
Bài 12 Tìm điều kiện của m để phương trình
2
2
m
16 x 4 0
16 x
- - - =
-
có nghiệm
thực
Bài 13. Tìm m để phương trình
4
4 4
x 4x m x 4x m 6+ + + + + =

có nghiệm thực.
Bài 14. Chứng tỏ rằng phương trình
2
3x 1
2x 1 mx
2x 1
-
= - +
-
luôn có nghiệm thực với
mọi giá trị của m.
Bài 15. Tìm m để phương trình
x 1
(x 3)(x 1) 4(x 3) m
x 3
+
- + + - =
-
có nghiệm thực.
Bài 16. Tìm m để phương trình
3
3
1 x 1 x m- + + =
có nghiệm thực.
Bài 17 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình:
( )
2 2 4 2 2
m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ - - + = - + + - -
có nghiệm thực.
Bài 18. Tìm m để phương trình

2
m x 2 x m+ = +
có 2 nghiệm thực phân biệt.
Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất của a để bất phương trình :
4
3 2 3
2
( 1) sin
2
( 1)
a x
a x a
x
π
− + ≤
−

có ít nhất một nghiệm
Bài 20 : Tìm m để mọi
[0;2]x
∈
đều thỏa mãn bất phương trình :
2 2
2 4
log 2 4 log ( 2 ) 5x x m x x m
− + + − + ≤
Bài 21 : Tìm m để bất phương trình :
2 2
5 5
log ( 4 ) log ( 1) 1x x m x+ + − + <

nghiệm đúng với
mọi
(2;3)x
∈
Bài 22 : Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình :
1
.2 (2 1).(3 5 ) (3 5) 0
x x x
a a
+
+ + − + + <
nghiệm đúng với mọi :
0x <
Giáo viên thực hiện
Đinh Văn Thắng
6