Dang 1. Bài toán xác định các đường tiệm cận của hàm số (không chứa tham số) hoặc biết BBT, đồ thị(TH)

Câu 1.

{}

[2D1-4.1-2] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x) xác định trên ¡ \ 1 , liên tục
trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có
bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1 .

B.

C. 3 .
Lời giải

2.

D.

4.

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Mai; Fb: Thanh Mai Nguyen
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta thấy:

lim f ( x) = 5

⇒

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang:

y = 5.

lim f ( x) = 3

⇒

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang:

y = 3.

x → +∞

x → −∞

 lim+ f ( x) = +∞
x→1

f ( x) = −∞
 lim
x → 1−

⇒

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng:

x = 1.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Câu 2.

[2D1-4.1-2] (Cụm 8 trường chuyên lần1) Đồ thị hàm số
tiệm cận?
B. 3 .

A. 1 .

C. 0 .
Lời giải

y=

x− 7
x 2 + 3x − 4 có bao nhiêu đường
D.

2.

Tác giả: Phạm Thị Thu Trang; Fb: Trang Phạm
Chọn A
TXĐ:

Ta có:

D= [7 ; + ∞) .
x−7
=0
x → +∞ x 2 + 3 x − 4
, suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang: y = 0 .

lim y = lim

x → +∞

lim y lim y lim y lim y ; lim− y không tồn tại nên đồ thị hàm số đã cho có 1
x→ − 4

Mặt khác: x → −∞ ; x → 1+ ; x → 1+ ; x → − 4+
đường tiệm cận.


Câu 3.

[2D1-4.1-2] (THANH CHƯƠNG 1 NGHỆ AN 2019 LẦN 3) Cho hàm số
Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị đã cho là
A. 1 .

B.

C. 3 .
Lời giải

4.

D.

y=

x−2
2 x2 + 1 − 3

.

2.

Tác giả: Phạm Thanh My ; Fb: Thanh My Phạm
Chọn D
Tập xác định:

D = ¡ \ { ± 2}
2
,
2

y=
Ta có lim
x →+∞

limy = lim
x→ 2

x→ −2

2
⇒
đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang.
2

2 x2 + 1 + 3

2x2 − 8

lim y = lim
( )
+

x →−∞

( x − 2) (

x→ 2

x→ ( −2)

limy = −

( x − 2) (

2x2 + 1 + 3 3
=
2 ( x + 2)
4

lim
x→ 2

2 x2 + 1 + 3

2x2 − 8

+

)=

)=

lim

x→ ( − 2)

Do đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng

+

2 x2 + 1 + 3
= +∞ , lim y = −∞
−
2 ( x + 2)
x→ ( −2)

x = − 2.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 2.
Câu 4.

[2D1-4.1-2] (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số

y=

2x − 1
( x + 1) x là

A. 1.

B.

2.

C. 3.
Lời giải.

D.

4

Chọn B
Tập xác định của hàm số là
Do không tồn tại

lim+

x→ 0

D = ( 0; +∞ )

lim y và lim− y

x → − 1+

x→ − 1

nên

x = − 1 không là tiệm cận đứng

2x − 1
= −∞ ⇒ x = 0
( x + 1) x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2x − 1
= 0⇒ y= 0
x → +∞ x + 1
( ) x
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim

Câu 5.

x2 − x + 1
y= 2
[2D1-4.1-2] (Sở Bắc Ninh)Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
x − x − 2 là:
A.

3.

B. 1 .

C.

4.

D.

2.


Lời giải
Tác giả: Trần Quốc Khang ; Fb: Bi Tran
Chọn A
Tập xác định:

D = R \ { − 1;2} .

x2 − x + 1
lim + y = lim + 2
= −∞
nên đồ thị hàm số có TCĐ:
x → ( − 1)
x → ( − 1) x − x − 2

lim+ y = lim+

x →2

x→ 2

x2 − x + 1
= +∞
nên đồ thị hàm số có TCĐ:
x2 − x − 2

x = −1.

x = 2.

x2 − x + 1
lim y = lim 2
=1
x →±∞
x →±∞ x − x − 2
nên đồ thị hàm số có TCN: y = 1 .
Vậy đồ thị hàm số có
Chú ý:

3 đường tiệm cận.

Có thể khẳng định đồ thị hàm số có 2 TCĐ:

x = − 1; x = 2

từ kết quả

x2 − x + 1
x2 − x + 1
lim − y = lim − 2
= +∞ lim− y = lim− 2

= −∞
, x→ 2
.
x → ( − 1)
x → ( − 1) x − x − 2
x→ 2 x − x − 2
Câu 6.

[2D1-4.1-2] (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hàm số
có bảng biến thiên được cho như hình vẽ

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A. 3.
B. 4.

y = f ( x)

là
C. 1.

y = f ( x)

D. 2.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Quý ; Fb: Nguyễn Văn Quý
Chọn D
Tập xác định

D = ¡ \ { 2} .

lim y = 3 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 3 .

x → ±∞

lim y = −∞ ; lim+ y = +∞ đồ thị hàm số có tiệm cận đứng
x = 2.
x→ 2

x → 2−

Câu 7.

[2D1-4.1-2] (Gang Thép Thái Nguyên)Đồ thị hàm số
cận đứng và tiệm cận ngang?
A.

4.

B.

3.

C. 1 .

f ( x) =

x+1
x 2 − 1 có tất cả bao nhiêu tiệm
D.

2.


Lờigiải
Tác giả:Lưu Liên; Fb: Lưu Liên
Chọn B
Tập xác định của hàm số

D = ( −∞ ; − 1) ∪ ( 1; +∞ )

x < − 1 ⇒ x + 1 < 0 . Khi đó

TH1:

Suy ra hàm số TCN

Suy ra hàm số TCN

( x + 1)
( x − 1) ( x + 1)

=

x2 − 1

2

−

=−

x+1
x −1 .

y = − 1 , khơng có TCĐ.

x > 1 ⇒ x + 1 > 0 . Khi đó

TH2:

f ( x) =

x+1

f ( x) =

x +1
x2 − 1

( x + 1)
( x − 1) ( x + 1)
2

=

=

x +1
x −1 .

y = 1 , TCĐ x = 1 .

Vậy hàm số có 2 TCN và 1 TCN

Câu 8.

4 x 2 − 3x + 2
y=
[2D1-4.1-2] (NGUYỄN TRUNG THIÊN HÀ TĨNH) Đồ thị hàm số
x − 2019 có số
đường tiệm cận là
A. 1 .

B.

2.

C.

3.

D.

2019 .

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Thu Hường ; Fb: Lê Hường
Phản biện: Vũ Huỳnh Đức; Fb: Vũ Huỳnh Đức
Chọn C

TXĐ:

D = ¡ \ { 2019}

.

3 2
3 2
3 2
x 4− + 2
x 4− + 2
4− + 2
4 x − 3x + 2
x x = lim
x x = lim
x x =2
lim
= lim
x → +∞
x → +∞
x → +∞
x − 2019
x − 2019
1 − 2019
Do x → +∞ x − 2019
nên
x
2

y= 2

là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

3 2
3 2
3 2
x 4− + 2
−x 4− + 2
− 4− + 2
4 x − 3x + 2
x x = lim
x x = lim
x x = −2
lim
= lim
2019
x → −∞
x → −∞
x → −∞
x − 2019
x − 2019
1− x
Do x → −∞ x − 2019
2

nên

y = − 2 là một tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
lim

4 x 2 − 3x + 2
4 x 2 − 3x + 2
= +∞
lim
= −∞
và x → 2019− x − 2019
nên
x − 2019

Do x → 2019+
đứng của đồ thị hàm số.

x = 2019

là một tiệm cận


4 x 2 − 3x + 2
y=
Vậy đồ thị hàm số
x − 2019 có 3 đường tiệm cận.
Câu 9.

[2D1-4.1-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Hình phẳng
được giới hạn bởi các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
tích bằng
A. 1 .

B.

3.

C.

y=

2x − 3
x + 1 và hai trục tọa độ có diện

6.

D.

2.

Lời giải
Tác giả: Phan Thị Hồng Cẩm; Fb: lop toan co cam
Phản biện: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải
Chọn D

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Hai trục tọa độ có phương trình là:

y=

2x − 3
x + 1 là: x = − 1; y = 2.

x = 0; y = 0.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
trục tọa độ là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường
Vậy

y=

2x − 3
x + 1 và hai

x = − 1; y = 2; x = 0; y = 0.

S = 2.1 = 2.

4 x2 + 2x − 1 + x
y=
Câu 10. [2D1-4.1-2] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Đồ thị hàm số
có
x+1
bao nhiêu đường tiệm cận ?
A. 1 .

B.

0

.

C.

2

.

D.

3.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Ngọc Huyền Trân ; Fb:Huyền Trân Nguyễn
Chọn C


−1 − 5
 x ≤
4
 4 x 2 + 2 x − 1 ≥ 0  
⇔ 

−1 + 5
x +1 ≠ 0
 x ≥
4

Điều kiện:
 x ≠ −1

 −1− 5   −1+ 5

D = ( −∞ ; − 1) ∪  − 1;
; +∞ ÷÷

∪
4   4
Vậy


2 1
2 1
x 4+ − 2 + x
4+ − 2 +1
4x + 2x − 1 + x
x x
x x
= lim
= lim
=3
x → +∞
x → +∞
1
x +1
x +1
1+
x
2

lim

x → +∞

Xét

Vậy

y = 3 là TCN của đồ thị hàm số

2 1
2 1
−x 4+ − 2 + x
− 4+ − 2 +1
4x + 2x − 1 + x
x x
x x
lim
= lim
= lim
= −1
x → −∞
x → −∞
x → −∞
1
x +1
x +1
1+
Xét
x
2

Vậy

y = − 1 là một TCN của đồ thị hàm số

lim+

Xét

x→ −1

= lim+
x→ − 1

4x2 + 2 x − 1 + x
= lim+
x→ −1
x +1

( x + 1) ( 3x − 1)
( x + 1) ( 4 x 2 + 2 x − 1 − x )

(

4 x2 + 2x − 1 + x

( x + 1) (

= lim+
x→ − 1

(

)(

4x2 + 2x − 1 − x

4 x2 + 2 x − 1 − x

( 3x − 1)
4x + 2x −1 − x
2

)

)

)

= −2

4x2 + 2x − 1 + x
lim
= −2
Tương tự xét x → − 1−
x+1
Vậy

x = − 1 không là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.
Câu 11. [2D1-4.1-2] (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình vẽ

Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A. 3.
B. 0.

y = f ( x)

là
C. 2.

D. 1.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Quỳnh; Fb: Quỳnh Nguyễn
Chọn C

lim f ( x) = 1 ; lim f ( x) = − 1 .
x → −∞

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy: x → +∞

⇒

Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang là

y = 1 và y = − 1 .

Câu 12. [2D1-4.1-2] (Sở Lạng Sơn 2019) Số đường tiệp cận của đồ thị
A.

2.

B. 1.

C.

3.

y=

x+1
x + 3 là
D.

0.

Lời giải
Tác giả: Hồng Phúc ; Fb:Hồng Phúc


Chọn B

x + 1≥ 0
⇔ x ≥ − 1.

Điều kiện xác định:  x + 3 ≠ 0

lim f ( x )

Vì

x→ − 3

Vì

x → +∞

và

lim f ( x ) = 0

lim f ( x )

đều không tồn tại nên khơng có tiệp cận.

x → −∞

nên

y= 0

là tiệm cận ngang của đồ thị đã cho.

Câu 13. [2D1-4.1-2] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Số tiệm cận của đồ thị hàm số

y=
A.

x+9−3

( x2 + x ) ( x + 10) là

3.

B.

2.

C. 4 .
Lời giải

D. 1 .
Tác giả: Thu Hà ; Fb: Thu Ha

Chọn B
Tập xác định của hàm số:

D = [ −9; + ∞ ) \ { −1; 0}

.

Ta có:

1
x+9−3
lim
lim y = lim 2
=
x → +∞
x → +∞ x + x x + 10

( ) ( ) x→ + ∞ ( x + 1) ( x + 10)

(

ngang của đồ thị hàm số.

x+9 +3

)

lim− y = lim−

1
x+9−3
lim
=
( x2 + x ) ( x + 10) x→ + ∞ ( x + 1) ( x + 10)

(

x+9 + 3

lim+ y = lim+

1
x+9−3
lim
=
( x2 + x ) ( x + 10) x→ + ∞ ( x + 1) ( x + 10)

(

x+9 +3

x→ −1

x → −1

x→ −1

x→ −1

=0

⇒ y= 0

)

= −∞

)

= +∞

là đường tiệm cận

và

⇒ x = − 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
x+9−3

1
= lim
x → 0 x + x x + 10
( ) ( ) x→ 0 ( x + 1) ( x + 10)

lim y = lim
x→ 0

⇒ x= 0

2

(

x+9+3

)

=

1
60

không là tiệm cận của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có

2

đường tiệm cận.

Câu 14. [2D1-4.1-2] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Đồ thị hàm số
tiệm cận?
A. 3 .
Chọn B

.

B. 1 .

y=

2 − 2x
x3 − 1 có tất cả mấy đường

C. 0 .
D. 2
Lời giải
Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa ; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa


2 − 2x
2
2 − 2x
2
=
−
lim
=
−

Vì x → 1 x 3 − 1
3 , x → 1− x3 − 1
3 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.
2 − 2x
2 − 2x
lim 3
= 0 lim 3
=0
Vì x → +∞ x − 1
, x → −∞ x − 1
nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0 .
lim+

Vậy số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y = f ( x)

là 1 .

Câu 15. [2D1-4.1-2] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Hình phẳng
được giới hạn bởi các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
tích bằng
A. 1 .

B.

3.

C.

y=

2x − 3
x + 1 và hai trục tọa độ có diện

6.

D.

2.

Lời giải
Tác giả: Phan Thị Hồng Cẩm; Fb: lop toan co cam
Phản biện: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải
Chọn D

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Hai trục tọa độ có phương trình là:

y=

2x − 3
x + 1 là: x = − 1; y = 2.

x = 0; y = 0.

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
trục tọa độ là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường
Vậy

y=

2x − 3
x + 1 và hai

x = − 1; y = 2; x = 0; y = 0.

S = 2.1 = 2.

Câu 16. [2D1-4.1-2] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Cho hàm số
biến thiên như sau

y = f ( x)

có bảng

Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.

4.

B. 1 .
Lời giải

C.

3.

D.

2.

Tác giả: Lê Phong; Fb: lêphong
Chọn D
Từ bảng biến thiên suy ra

lim y = 1 và lim y = 5 .

x→ − ∞

x → +∞

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là

y = 1 và y = 5 .

Câu 17. [2D1-4.1-2] (Nguyễn Khuyến) Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

x2 − x + 1
y= 2
x − x− 2

là


A.

2.

B.

3.

C. 4.
Lờigiải

D. 1.

Tác giả: Lê Cảnh Dương ; FB: Cảnh Dương Lê
Chọn B
Tập xác định:

R \ { − 1;2} .

 1
 1− x +
2
 x − x + 1  xlim

lim y = lim  2
= → ±∞  1 − 1 −
÷
x → ±∞ x − x − 2
Ta có x→ ±∞


 x
ngang là

1

x2
2
x2


÷
÷= 1⇒
÷
đồ thị hàm số có một đường tiệm cận


y = 1.

 x2 − x + 1 
 x2 − x + 1 
lim − y = lim −  2
y = lim +  2
÷ = +∞ x→lim
÷ = −∞
+
x → ( − 1)
x → ( − 1)
− 1)
x → ( − 1)
(
x
−
x
−
2

x
−
x
−
2
,
.




 x2 − x + 1 
 x2 − x + 1 
lim y = lim−  2
y = lim+  2
÷ = +∞
÷ = −∞ xlim
+
x → 2−
x→ 2
x→ 2
, →2
.
 x − x− 2
 x − x− 2
Suy ra đồ thị có hai đường tiệm cận đứng là

x = − 1, x = 2.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.

Câu 18. [2D1-4.1-2] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Số đường tiệm cận của đồ thị hàm

x2 + x − 2
y= 4
số
x − 5 x 2 + 4 là
A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Lời giải
Tác giả:Trần Đức Phương; Fb:Phuong Tran Duc
Phản biện: Nguyễn Hoàng Điệp; Fb: Điệp Nguyễn
Chọn B
Tập xác định:

D = ¡ \ { ± 1; ± 2}

.

1 1 2
+ 3− 4
2
x + x−2
x
x x =0

lim y = lim 4
= lim
x2 + x − 2
x → +∞
x → +∞ x − 5 x 2 + 4
x→ +∞
5 4
lim y = lim 4
=0
1− 2 + 4
Ta có:
và x →−∞
x →−∞ x − 5 x 2 + 4
nên
x x
2

đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là

y = 0.

Ta có:
·

( x − 1) ( x + 2 )
x2 + x − 2
1
−1
lim+ y = lim+ 4
= lim+

= lim+
=
2
x →1
x →1 x − 5 x + 4
x →1 ( x − 1) ( x + 1) ( x − 2 ) ( x + 2 )
x →1 ( x + 1) ( x − 2 )
2


và

lim− y = lim−

x →1

x →1

1

( x + 1) ( x − 2 )

=

lim + y = lim +

x →( −1)

·

x →( −1)

lim+ y = lim+

x→ 2

·

x→ 2

x →( −2 )

1

( x + 1) ( x − 2 )
1

( x + 1) ( x − 2 )

lim + y = lim +

·

−1
2 .

x → ( −2 )

= −∞

= +∞

1

( x + 1) ( x − 2)

=

lim − y = lim −

x →( −1)

và

x →( −1)

lim− y = lim−

x→ 2

và

x→ 2

1

( x + 1) ( x − 2 )

1

( x + 1) ( x − 2 )

= −∞

= +∞

.

.

1
1
1
lim − y = lim −
=
x →( −2 ) ( x + 1) ( x − 2 )
4 và x→( −2)
4.

Suy ra đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là

x = − 1 và x = 2 .

x2 + x − 2
y= 4
Vậy đồ thị hàm số
x − 5 x 2 + 4 có 3 đường tiệm cận.
4x4 + 9 + 3
y=
Câu 19. [2D1-4.1-2] (Quỳnh Lưu Lần 1) Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

x 2 − 2 x là
A. 2.

B. 1.

C. 0.
D. 3.
Lời giải
Tác giả: Hà Khánh Huyền; Fb: Hà Khánh Huyền

Chọn D
Ta có

x2 − 2 x = 0

x = 0
⇔
.
x = 2

lim y = +∞ ; lim− y = −∞ ; lim+ y = −∞ ; lim− y = +∞ ; lim y = 2 .

x → 2+

x→ 2

x→ 0

x → ±∞

x→ 0

4x4 + 9 + 3
y=
Vậy đồ thị hàm số
x 2 − 2 x có 3 đường tiệm cận.
Câu 20. [2D1-4.1-2] (Chuyên Thái Bình Lần3) Hỏi đồ thị hàm số
tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A.

3.

B.

0.

C.

y=

x −1
x 2 − 3x + 2 có đúng bao nhiêu

2.

Lời giải
Chọn A

x > 1


TXĐ:  x ≠ 2 .
+)

⇒
+)

lim+ y = lim+
x →1

x →1

x −1
1
= lim+
= −∞
( x − 1) ( x − 2 ) x→1 x − 1 ( x − 2 )
.

Đường thẳng

x = 1 là TCĐ bên phải.

lim+ y = lim+

1
1
= +∞ lim− y = lim−
= −∞
x→ 2
x→ 2

x − 1 ( x − 2)
x
−
1
x
−
2
( )
;
.

x→ 2

x→ 2

D. 1 .


⇒
+)

Đường thẳng

x = 2 là TCĐ.

lim y = lim

1
=0
x − 1 ( x − 2)

.

x → +∞

x → +∞

⇒ Đường thẳng y = 0 là TCN.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Câu 21. [2D1-4.1-2] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 4
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải

y=

x + x2 + 1
x−1

Tác giả: Tống Thúy; Fb: Thuy Tong
Chọn B
Tập xác định

D = ¡ \ { 1}

x + x 2 + 1 = xlim
→ +∞
lim y = lim

x → +∞
x → +∞
x−1
x + x 2 + 1 = xlim
→ −∞
lim y = lim
x → −∞
x → −∞
x−1

1+ 1+
1−

1
x

1− 1+
1−

1
x

1
x2 = 2
.

1
x2 = 0
.

Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là

y= 2

và

y = 0.

x + x2 + 1
x + x2 + 1
lim y = lim+
= +∞ lim− y = lim−
= −∞
, x→ 1
.
x → 1+
x→ 1
x→ 1
x−1
x−1
Suy ra đồ thị hàm số có một đường tiệm cận đứng là

x = 1.

x + x2 + 1
y=
Vậy đồ thị hàm số
x − 1 có 3 đường tiệm cận.
PT 23.1
A.

2

4x4 − 9 + 3
y=
Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
x2 − 2 x
B. 1 .

C. 0 .
Lời giải

D. 3 .
Tác giả: Tống Thúy; Fb: Thuy Tong

Chọn A



3  3
D =  −∞ ; −  ∪  ; +∞ ÷÷ \ { 2}
2  2
TXĐ:


Ta có:


4x − 9 + 3
= lim

x → +∞
x2 − 2 x
4

lim y = lim

x → +∞

x → +∞

+)

4x − 9 + 3
= lim
x → −∞
x2 − 2x
4

lim y = lim

x → −∞

x → −∞

⇒ y= 2

9 3
+
x4 x2 = 2
2

1−
x

4−

9 3
+
x4 x2 = 2
2
1−
x

4−

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

4x4 − 9 + 3
4x4 − 9 + 3
lim y = lim+
= +∞ lim− y = lim−
= −∞
+) x → 2+
, x→ 2
x→ 2
x→ 2
x2 − 2 x
x2 − 2 x

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+) Không tồn tại

lim y

x → 0+

và

lim y

x → 0−

⇒ x = 0 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
Admin tổ 4 Strong team
Cách nhìn nhanh đường tiệm cận.
Tiệm cận ngang:
- Tập xác định của hàm số phải có chứa

−∞

hoặc

+∞ .

- Bậc của tử nhỏ hơn hoặc bằng bậc của mẫu.
Tiệm cận đứng đối với hàm phân thức.
- Ta có

x = x0

x = x0

là nghiệm của mẫu.

- Lân cận bên trái hoặc lân cận bên phải của
- Nếu cả tử và mẫu đều có nghiệm
ở mẫu (
PT 23.2

là tiệm cận đứng nếu

( x − x0 )

n

- thì ta nói

Cho hàm số

x0

x0

hàm số phải xác định.

thì bậc nghiệm

x0

ở tử phải nhỏ hơn bậc nghiệm

n là bậc của nghiệm x0 ).

y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ.

Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A.

2

x0

B. 1 .

C. 0 .
Lời giải

y = f ( x ) là
D. 3 .

Tác giả: Tống Thúy; Fb: Thuy Tong


Chọn A
TXĐ:

D = ¡ \ { 2}

lim y = +∞

x → +∞

lim y = 2

x → −∞

⇒ y= 2

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

lim y = −∞

x → 2−

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.
x + x2 + 1
y=
Câu 22. [2D1-4.1-2] (Chuyên Vinh Lần 3) Đồ thị hàm số
có bao nhiêu đường tiệm
x −1
cận
A.

4.

B.

3.

C. 1 .
Lời giải

D.

2.

Chọn B
Tập xác định

Ta có:

D = ¡ \ { 1}

lim+ y = lim+
x →1

x →1

.

x + x2 + 1
x + x2 + 1
= +∞ lim− y = lim−
= −∞
; x →1
.
x →1
x−1
x −1

Do đó đồ thị hàm số nhận đường thẳng
Lại có:

x = 1 làm tiệm cận đứng.


1 
1
x
1
+
1
+

2 ÷
1+ 1+ 2
2
x
x + x +1
x =2
 = lim
lim y = lim
= lim 
x → +∞
x → +∞
x → +∞
x → +∞
1
x −1

x −1
1−
+
.
x
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng

y= 2

làm tiệm cận ngang.


1 
1
x
1
−
1
+

2 ÷
1− 1+ 2
2
x
x + x +1
x =0
 = lim
lim y = lim
= lim 
x → −∞

x → −∞
x → −∞
x → +∞
1
x −1
x −1
1−
+
.
x
Vậy đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang.
Do đó đồ thị hàm số đã có 3 đường tiệm cận.
Câu 23. [2D1-4.1-2] (THTT lần5) Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như hình dưới đây


Đồ thị hàm số đã cho có tổng số bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A.

2.

B.

5.

C.

3.

D.

4.

Lời giải
Tác giả: Lê Xuân Sơn; Fb: Lê Xuân Sơn
Chọn C
Từ bảng biến thiên ta có:

 lim − f ( x ) = −∞
 x→ ( −1)
⇒

f
x
=
+∞
(
)
 x→lim
+
đường thẳng
 ( −1)

 lim− f ( x ) = +∞
 x →1
⇒


lim
f
x
=
−∞
(
)
 x→1+
đường thẳng

x = − 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

lim f ( x ) = lim f ( x ) = − 2 ⇒ đường thẳng y = − 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm
x → +∞

x → −∞

số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có ba đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Câu 24. [2D1-4.1-2] (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số

f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A.

2.

B.

4.

C.

3.

D. 1 .

Lời giải
Chọn A
Ta có:

lim y = 2

x → −∞

nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là

y = 2.

lim y = −∞ và lim− y = −∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
x = 0.
x→ 0

x → 0+

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

2.
y=

Câu 25. [2D1-4.1-2] (CổLoa Hà Nội) Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 0.
Lời giải

x x
x + 1 là


Tác giả: Nguyễn Mạnh Quyền ; Fb: Nguyễn Mạnh Quyền
Chọn D
TXĐ:
Vì

D = [0;+ ∞ )

limy
x→ − 1+

và

limy
x→ − 1−

khơng tồn tại nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

Câu 26. [2D1-4.1-2] (Chuyên Thái Bình Lần3)Cho hàm số

y = f ( x)

có bảng biến thiên như sau :

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu tiệm cận ?
A.

3.

B. 2 .

C. 1 .

D.

4.

Lời giải
Tác giả: Trần Ngọc Minh; Fb: Minh Tran Ngoc
Chọn A
Ta có :

lim y = −∞

x → − 2+

lim y = +∞

x → 0−

⇒ x = −2

⇒ x= 0

lim y = 0 ⇒ y = 0

x → +∞

là tiệm cận đứng bên trái.

là tiệm cận đứng bên phải.

là tiệm cận ngang bên phải.

Suy ra đồ thị hàm số có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 27. [2D1-4.1-2] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có nhiều
tiệm cận nhất?

2 x2 + x + 1
y=
A.
x2 − 1 .
C.

y=

1
3sin 2 x + cos 2 x .

B.
D.

y=

1
cos2 x .

y = x2 + x + 1.

Lời giải
Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy
Chọn B

2 x2 + x + 1
y=
2
Xét hàm số
x 2 − 1 có điều kiện xác định là x − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 1 .Vậy đồ thị hàm số này
có hai số tiệm cận đứng là các đường thẳng

x = 1 , x = − 1 và một tiệm cận ngang là y = 2 .


1
π
⇔ x ≠ + kπ ( k ∈ ¢ )

2
Xét hàm số
. Vậy đồ thị
cos x có điều kiện xác định là cos x ≠ 0
2
π
x = + kπ ( k ∈ ¢ )
hàm số này có vơ số tiệm cận đứng là các đường thẳng
.
2
y=

y = x 2 + x + 1 khơng có tiệm cận.

Đồ thị hàm số

Xét hàm số

y=

1
2
2
2
3sin 2 x + cos2 x có điều kiện xác định là 3sin x + cos x ≠ 0 ⇔ 2sin x + 1 ≠ 0

x ). Vậy đồ thị hàm số này khơng có tiệm cận.

(ln đúng với mọi

Câu 28. [2D1-4.1-2] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho hàm số
đường tiệm cận đứng của đồ thị

( C) .

x −1

2 x 2 − 2 có đồ thị ( C ) . Tìm số

C. 0 .
Lời giải

B. 1 .

A. 2

y=

D.

3.

Tác giả:Trịnh Văn Thạch; Fb: Trịnh Văn Thạch
Chọn B

D = ( −∞ ; − 1) ∪ ( 1; + ∞ ) .

Tập xác định của hàm số

x = 1

2x2 − 2 = 0 ⇔ 
Ta có:
 x = −1 .
lim−

x→ −1

lim+

x →1

x−1
2x − 2
2

x−1
2 x2 − 2

= −∞

= lim+

Như vậy đồ thị

x →1

( C)

⇒ x = − 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị ( C ) .
x−1

=0
2x + 2
⇒

x = 1 không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị ( C ) .

có đúng 1 đường tiệm cận đứng.

Câu 29. [2D1-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 17) Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của
đồ thị hàm số
A.

4.

y=

2x − 1
x 2 − 1 là
B.

3.

C. 1 .
Lời giải

Chọn A

 x < −1
x2 −1 > 0 ⇔ 
.

Điều kiện xác định :
x > 1

D.

2.




 lim y = 2
x → +∞
⇒

lim
y
=
−
2
 x→ −∞



 lim− y = −∞
x→ −1
⇒

lim
y
=

+∞
 x →1+

Vậy đồ thị hàm số có

4

y = 2

 y = − 2 là
x = 1

 x = − 1 là

2

đường tiệm cận ngang.

2

đường tiệm cận đứng .

đường tiệm cận.

Câu 30. [2D1-4.1-2] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Gọi
số tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số
A.

n = 1.

B.

n = 3.

y=

2− x
x − 4 x + 3 . Tìm n .

n

là tổng

2

C. n =
Lời giải

2.

D.

n = 4.

Tác giả: Lưu Liên; Fb: Lưu Liên
Chọn B

D = ¡ \ { 1;3} .
1 2
− 2

2− x
x−2
x
x = 0.
lim y = lim 2
= lim 2
= lim
x → +∞
x→ +∞ x − 4 x + 3
x → +∞ x − 4 x + 3
x → +∞
4 3
1− + 2
x x
2 1
−
2
2− x
2− x
x
x = 0.
lim y = lim 2
= lim 2
= lim
x → −∞
x→ −∞ x − 4 x + 3
x → −∞ x − 4 x + 3
x → −∞
4 3
1− + 2

x x

lim+ y = lim+

2− x
= +∞
;
x − 4x + 3

lim+ y = lim+

2− x
= −∞
;
x2 − 4x + 3

x→ 3

x→ 3

x→ 1

x→ 1

2

lim− y = lim−

2− x
= −∞ .

x − 4x + 3

lim− y = lim−

2− x
= +∞ .
x2 − 4x + 3

x→ 3

x→ 1

x→ 3

x→1

2

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang.
Câu 31. [2D1-4.1-2] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho hàm số
có bảng biến thiên như hình bên. Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số

A.

0.

B. 1 .

C.
Lời giải

2.

D.

3.

f ( x)


Chọn B
Tác giả: Lê Văn Hùng; Fb: Lê Văn Hùng
Ta có

lim y = 1 ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang

x →±∞

lim = 2; lim+ y = − 3

x → − 1−

x→ − 1

do đó đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận.
Câu 32. [2D1-4.1-2] (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Số tiệm cận

y=

đứng của đồ thị hàm số
A.

3.

B.

x+ 4 − 2
x 2 + x là

0.

C.

2.

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Công Anh; Fb: conganhmai
Chọn D
Tập xác định:

Tại

và

x = 0 , ta có:

lim+

x→ 0

.

x+ 4− 2
x
=
lim
= lim+
x → 0+
x2 + x
x ( x + 1) x + 4 + 2 x → 0 ( x + 1)

(

)

x+ 4− 2
x
= lim−
= lim−
2
x→ 0
x +x
x ( x + 1) x + 4 + 2 x→ 0 ( x + 1)

lim−

(

x→ 0

Suy ra

Tại

D = [ − 4; +∞ ) \ { − 1;0}

x= 0

)

(

x = − 1 , ta có:

lim +

)

=

x+ 4+ 2
1
4

)

1
4

.

x →( −1)

x+4 −2
x+4 −2
=
+∞
lim
= −∞
(hoặc x →( −1) − x 2 + x
).
x2 + x

x = − 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Câu 33. [2D1-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 3) Cho hàm số

y = f ( x)

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

2.

x+4+ 2

(

=

không phải là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Suy ra đường thẳng

A.

1

1

B.

4.

C.

3.

có bảng biến thiên như sau:

y=

1
f ( x ) + 2 là
D.

5.

Lời giải
Tác giả: Ngô Thị Thơ; Fb: Ngô Thị Thơ.
Chọn C


 x ≠ −2
f ( x) ≠ −2 ⇔ 
Điều kiện:
x ≠ 2
Tập xác định

Ta có,

D = ¡ \ { − 2;2}

lim f ( x ) = +∞

x → +∞

lim f ( x ) = +∞

x → −∞

nên

nên

lim

x → −∞

.

lim

x → +∞

1
=0
f ( x) + 2 .

1
=0
f ( x) + 2 .

Do đó, đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng

Mặt khác,

lim+

x→2

lim+

x→ −2

y = 0.

1
= +∞
f ( x) + 2
⇒ x = − 2 là tiệm cận đứng của đồ thị.

1
= +∞
f ( x) + 2

Vậy đồ thị hàm số

⇒ x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị.

y=

1
f ( x ) + 2 có

3 đường tiệm cận đứng và ngang.

Câu 34. [2D1-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 2) Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số
A.

y=

x2 − 1
x − 1 bằng

2.

B. 1 .

C.

4.

D.

3.

Lời giải
Tác giả & Fb: Lý Văn Nhân
Gv phản biện: Bùi Dũng
Chọn D
Tập xác định:

D = ( − ∞ ; − 1] ∪ ( 1; +∞ )

1
x −1
x2 = 1 ⇒
lim
= lim
x →+∞ x − 1
x →+∞
1
1−
đường thẳng

x
2

x −1
= lim
x − 1 x →−∞
2

lim

x →−∞

1−

y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1
x 2 = −1 ⇒
1
1−
đường thẳng
x

− 1−

x2 − 1
x+1
lim+
= lim+
= +∞ ⇒

x →1
đường thẳng
x − 1 x→1 x − 1

y = − 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.


Vậy đồ thị hàm số có tổng cộng là ba đường tiệm cận.

y = f ( x)

Câu 35. [2D1-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 10) Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau

Gọi a , b lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã
cho. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

a = 2, b = 0 .

B.

a = 0, b = 1 .

C.

a = 1, b = 1 .

D.

a = 1, b = 0 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram
Chọn B
Ta có:

lim y = −∞ , lim y = +∞ ⇒

x → +∞

x → −∞

lim y = −∞ ⇒

x → 0+

Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang ⇒

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

x= 0

⇒

b = 1.

Câu 36. [2D1-4.1-2] (THPT ĐÔ LƯƠNG 3 LẦN 2) Cho hàm số
đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là
A.

4.

B.

2.

C.

a = 0.

y=

3.

5+ x −1
x 2 + 4 x , tổng số tiệm cận
D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Bồ Văn Hậu; Fb: Nắng Đông
Chọn B

D = [ − 5; + ∞ ) \{0; − 4}

Tập xác định

Ta có:

lim

x → +∞

Ta lại có:
đã cho.

lim

x→ − 4

5+ x −1
= 0⇒
Đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang y = 0 .
x2 + 4x

lim+

x→ 0

5+ x −1
5+ x −1
=
+∞
;
lim
= −∞ ⇒ x = 0
2

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
x → 0− x + 4 x
x2 + 4 x

5+ x −1
5+ x−1
= lim
= lim
2
x + 4 x x→ − 4 x ( x + 4 ) 5 + x + 1 x→ −4 x

(

Và
cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

)

Vậy đồ thị hàm số đã cho có tất cả 2 đường tiệm cận.

(

1

1
= − ⇒ x = −4
8
5+ x +1
không là tiệm

)


Câu 37. [2D1-4.1-2] (Lê Xoay lần1) (Lê Xoay lần1)Cho hàm số

y=

ax + 1
bx − 2 . Tìm a , b để đồ thị hàm

1
2 là tiệm cận ngang.

x = 1 là tiệm cận đứng và
A. a = − 1 ; b = 2 .
B. a = 4 ; b = 4 .
số có

y=

C. a = 1 ;
Lời giải

b= 2.

D.

a = − 1; b = − 2 .

Tác giả: Nguyễn Như Tùng; Fb: Nguyễn Như Tùng

Chọn C
Với điều kiện

b≠ 0

và

− 2a − b ≠ 0 thì đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng

2
 b = 1

2
a
a 1 ⇔ b = 2


=
x=
y=
và
tiệm
cận
ngang
là
đường
thẳng
.
Do
đó

theo
giả
thiết
ta
có

b
2

a = 1 .
b
b

Câu 38. [2D1-4.1-2] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Cho hàm số
cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A.

4.

B.

3.

y=

2x + 1
x 2 − 1 . Tổng số đường tiệm

C. 1 .
D. 2 .

Lời giải
Tác giả: Phan Thị Tuyết Nhung; Fb: Phan Thị Tuyết Nhung

Chọn A
Tiệm cận ngang

1
x =2
lim y = lim
= lim
2
x →+∞
x →+∞
x →+∞
1
x −1
1− 2
Ta có:
.
x
1
2+
2x +1
x = −2
lim y = lim
= lim
2
x →−∞
x →−∞
x →−∞

1
x −1
− 1− 2
.
x
2x + 1

2+

Suy ra đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là
Tiệm cận đứng

y = ±2.

x > 1
x2 − 1 > 0 ⇔ 
Hàm số xác định khi
 x < −1.
2x + 1
2x + 1
lim+ y = lim+
= +∞
lim − y = lim −
= −∞
x→ 1
x→ 1
x → ( − 1)
và x → ( − 1)
x2 − 1
x2 − 1

Ta có

Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là x = 1 và x = − 1 .
Vậy tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là bốn.


Câu 39. [2D1-4.1-2] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số
A. 3.

y=

x −1 +1
x − 4 x − 5 là
2

B. 1.

C. 2.
Lời giải

D. 4.

Tác giả: Lê Thế Nguyện; FB: Lê Thế Nguyện
Chọn C

x≥1

Điều kiện:  x ≠ 5 .

+ Tiệm cận đứng: Do

lim+

x ≥ 1 và x→ 5

x−1+1
x−1+1
= lim−
=∞
.
( x + 1)( x − 5) x→ 5 ( x + 1)( x − 5)

Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng

x = 5.

1 1 1
− 2 +
x −1 +1
x
x
x =0
lim y = lim 2
= lim
x → +∞
x → +∞ x − 4 x − 5
x → +∞
4 5
1− − 2

+ Tiệm cận ngang:
.
x x
Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang

y = 0.

Câu 40. [2D1-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 12) Tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm

x2 − 1
y=
x −1

số
A. 2.

là
B. 1.

C. 4.
D.3.
Lời giải
Tác giả: Trần Lê Cường; Fb: Thầy Trần Lê Cường

Chọn D

Tập xác định của hàm số

x2 − 1
y=

x −1

là:

( −∞ ; − 1] ∪ ( 1; + ∞ ) .

1
1
−
1
−
2
x −1
x −1
x2 = 1
x2 = −1
lim
= lim
lim
= lim
x → +∞ x − 1
x → +∞
x →−∞ x − 1
x → +∞
1
1
1−
1−
Ta có
và

.
x
x
2

1−

⇒ y = 1 và y = − 1 là các đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim+

Mặt khác,

x→1

x2 − 1
= lim
x − 1 x →1+

( x − 1) ( x + 1)
2
( x − 1)

= lim+
x→1

⇒ x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x +1
= +∞
x −1

.

x2 − 1
y=
x−1 .

x2 − 1
y=
x −1 .


Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là 3.
Câu 41. [2D1-4.1-2] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hàm số
bảng biến thiên như sau:

y = f ( x)

có

Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A.

0.

B. 1 .

C.

3.

D.

2.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hồng Hạnh; Fb: Nguyễn Hồng Hạnh
Chọn C

lim y = −∞ lim− y = +∞ lim y = 0

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: x→−2+

; x→ 0

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là:

; x→ +∞

x = −2; x = 0

.

và 1 đường tiệm cận ngang là

y = 0.
Suy ra đồ thị hàm số đã cho có tất cả 3 đường tiệm cận.
Câu 42. [2D1-4.1-2] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG

( )

NGÃI) Cho hàm số y = f x có bảng biến thiên như hình bên. Tổng số đường tiệm cận ngang
và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. 4 .

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Nga ; Fb: Nga Lê.
Chọn C
Ta có

lim f ( x ) = − 3 . Hàm số có tiệm cận ngang y = − 3 .

x → +∞

lim f ( x ) = 2 . Hàm số có tiện cận ngang y = 2 .

x → −∞

lim+ f ( x ) = +∞ lim− f ( x ) = −∞

x →( 1)

;

x →( 1)

. Hàm số có tiệm cận đứng

x = 1.

Do đó tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 3 .


4 − x2
y= 2
Câu 43. [2D1-4.1-2] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Đồ thị hàm số
x − 3x − 4 có tất cả bao
nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang ?
A.

3.

B.

C. 2 .
Lời giải

0.

D. 1 .

Tác giả: Nguyễn Tiến Hà; Fb: Nguyễn Tiến Hà.
Chọn D
Tập xác định

D = [ −2;2] \ { −1}

nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

4 − x2
4 − x2
lim
= −∞ lim − 2
= +∞
Ta có x → ( − 1)+ x 2 − 3x − 4
; x → ( − 1) x − 3 x − 4
.
Do đó x = − 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận.
Câu 44. [2D1-4.1-2] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Cho hàm số
và có bảng biến thiên như
sau:

f ( x)

xác định, liên tục trên

R \ { − 1}

Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng..
C. Hàm số khơng có đạo hàm tại

x = − 1.

B. Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
Lời giải

x = 1.

Tác giả:Lê Tuấn Duy;
Chọn A

Từ bảng biến thiên ta thấy:

lim f ( x) = +∞

x → ( − 1)+

nên đồ thị hàm số ln có tiệm cận đứng

Câu 45. [2D1-4.1-2] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho hàm số

Đồ thị hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

x = − 1.

có bảng biến thiên như sau

có tất cả bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?


A.

4.

B.

2.

C.

3.

1

D. .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Lan; Fb: Nguyễn Lan
Chọn C
Ta có

lim y = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x → −∞

lim y = 1 ⇒ y = 1

x → +∞

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

lim y = +∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x →1+

lim y = 2 ⇒ x = −1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

x →−1−

Vậy đồ thị hàm số

y = f ( x)

có 3 tiệm cận.

Câu 46. [2D1-4.1-2] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Đường thẳng có phương trình
cận ngang của đồ thị hàm số nào sau đây?
A.

y=

−2 x + 4
1 + 2x .

B.

y=

1 + 2x
1+ x .

C.
Lời giải

y=

− 2x + 4
2x − 1 .

D.

y=

y = −2

là tiệm

6x + 3
5 − 3x .

Tác giả: Nguyễn Thị Tỉnh; Fb:Ngọc Tỉnh
Chọn D

4
4
−2 +
−2x + 4

x = − 1 lim − 2 x + 4 = lim
x = −1
lim
= lim
x →+∞ 1 + 2 x
x →+∞ 1
x →−∞ 1 + 2 x
x →−∞ 1
+2
+2
;
.
x
x
−2 +

Vậy

y = − 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y=

−2 x + 4
1 + 2x .

1
1
+2
+2
1 + 2x

1 + 2x
x
x
lim
= lim
= 2 lim
= lim
=2
x →+∞ 1 + x
x →+∞ 1
x →−∞ 1 + x
x →−∞ 1
+1
+1
;
.
x
x
Vậy

y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y=

1 + 2x
1+ x .

4
4
−2 +

−2x + 4
x = − 1 lim − 2 x + 4 = lim
x = −1
lim
= lim
x →+∞ 2 x − 1
x →+∞
x →−∞ 2 x − 1
x →−∞
1
1
2−
2−
;
.
x
x
−2 +

Vậy

y = − 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

y=

− 2x + 4
2x − 1 .