Dang 4. Sự tương giao của hai đồ thị (liên quan đến tọa độ giao điểm)(VDT

Câu 1.

[2D1-5.4-3] (ĐOÀN THƯỢNG-HẢI DƯƠNG LẦN 2 NĂM 2019) Gọi
sao cho đường thẳng

y = m + 1 cắt đồ thị hàm số y = x 4 − 3x 2 − 2

OMN

thỏa mãn tam giác

 11 15 
m∈  ; ÷
A.
 4 4 .

vuông tại

m

là số thực dương

tại hai điểm phân biệt

M,N

O ( O là gốc tọa độ). Kết luận nào sau đây là đúng?

 1 3
m∈  ; ÷
B.

 2 4.

7 9
m∈  ; ÷
C.
 4 4.

 3 5
m∈  ; ÷
D.
 4 4.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh ; Fb: Minh Nguyen

Chọn D
Ta có

y = m+ 1 ( d)

và

y = x 4 − 3x 2 − 2 ( C ) .

Xét phương trình tương giao:
Đặt

t = x2 ≥ 0, phương trình ( 1)

Phương trình

( 2)

có tích

Suy ra phương trình

( 2)

khi

m là số thực dương.

ln có hai nghiệm trái dấu

( 1)

t1 < 0 < t2 .
x1 = − t2 , x2 = t2

có hai nghiệm đối nhau

cắt nhau tại hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua

OMN

Mặt khác tam giác
Thay

vuông tại

Oy

(

) (

( d)

và

)

M − t2 ; m + 1 , N t 2 , m + 1 .

uuuur uuur
2
O thì OM .ON = 0 ⇔ t2 = ( m + 1) .

2

4

− 3 ( m + 1) − ( m + 3) = 0 ⇔ ( m + 1) − 3 ( m + 1) − ( m + 1) − 2 = 0 .
2

4

2

a = m + 1 > 1 ta được phương trình

a 4 − 3a 2 − a − 2 = 0 ⇔ ( a − 2 ) ( a + 2a + a + 1) = 0 ⇔ a = 2
Từ đó ta được m + 1 = 2 ⇔ m = 1 (thỏa mãn m > 0 ).
Vậy m = 1.
3

Câu 2.

là

đồng thời

t2 = ( m + 1) vào phương trình ( 2 ) ta được:

( m + 1)
Đặt

t 2 − 3t − ( m + 3) = 0 . ( 2 )

trở thành:

a.c = − m − 3 < 0

Từ đó suy ra phương trình

( C)

4
2

x 4 − 3x 2 − 2 = m + 1 ⇔ x − 3x − ( m + 3) = 0 . ( 1)

2

(do

a > 1 nên a3 + 2a 2 + a + 1 > 0 ).

[2D1-5.4-3] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Cho hàm số y = f ( x) xác định trên
liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

¡ \{1} ,

f ( x) + 1 = m

có đúng

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
ba nghiệm thực phân biệt.
A.

( − 4;2 ) .

B.

( −∞ ;2] .

m

sao cho phương trình

C.
Lời giải

[ − 4;2) .

D.

( − 3;3) .


Tác giả: Đỗ Bảo Châu; Fb: Đỗ Bảo Châu
Chọn D
Phương trình
hàm số

f ( x ) + 1 = m ⇔ f ( x ) = m − 1 có đúng ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị

y = f ( x)

và đường thẳng

y = m − 1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số
Vậy
Câu 3.

y = f ( x)

ta được

− 4 < m − 1 < 2 ⇔ − 3 < m < 3.

m∈ ( − 3;3) .

[2D1-5.4-3] (Quỳnh Lưu Nghệ An)Tìm tất cả các giá trị của tham số

sao cho phương

x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 có hai nghiệm thực.

trình
A.

m∈ ¡

m>

7
12 .

B.

m≥ −

7
2.

C.

Lời giải

m≥

3
2.

D.

m≥

9
2.

Chọn D
Cách 1 – Phan Văn Tài
Ta có:

x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 . (1)

1

x ≥ −
 2 x + 1 ≥ 0
2
⇔
⇔ 2
2
2


 x + mx + 2 = ( 2 x + 1)
3x − ( m − 4 ) x − 1 = 0 ( 2 ) .
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔

phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

x1 ,

1
−
x2 thỏa mãn 2 ≤ x1 < x2 .

∆ > 0

1 
1

⇔  x1 + ÷ x2 + ÷ ≥ 0
2 
2

⇔
 x1 + x2
1
>−

 2
2

m≥

( m − 4 ) 2 + 12 > 0

 2m − 9 ≥ 0
9
 m − 4 > −3
⇔ m≥

2.

9
2.

Vậy
Cách 2 - Nguyễn Văn Hậu

1

x
≥
−

 2x + 1 ≥ 0
⇔
2
⇔
 2
2

(1)
2
2
 3x + 4 x − 1 = mx (2)
x + mx + 2 = 2 x + 1
 x + mx + 2 = (2 x + 1)


Vì x = 0 khơng phải là nghiệm của phương trình nên phương trình đã cho tương đương với
phương trình sau:


1

x
≥
−
,x ≠ 0

2
 2
3x 2 + 4 x − 1
1
 3x + 4 x − 1 = m
f ( x) =
x ≥ − ,x ≠ 0
. Xét hàm số
với
.


x
x
2

3x 2 + 1
f ′ ( x ) = 2 > 0, ∀x ≠ 0
Ta có
.
x
 −1 9

lim f ( x ) = −∞ , lim− f ( x ) = +∞ , lim f ( x ) = +∞ , f  2 ÷ = 2
x → +∞
 
x → 0+
x→ 0

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có hai nghiệm thực khi
Câu 4.

m≥

9
2.

[2D1-5.4-3] (Sở Hưng n Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Có bao nhiêu giá trị âm của tham số

m

để phương trình

A. 1 .

2019m + 2019m + x 2 = x 2 có hai nghiệm thực phân biệt
B.

0.

C. Vô số.
Lời giải

D.

2.

Tác giả: LêHoa; Fb:LêHoa
Chọn A
Cách 1:

 t = 2019m + x 2 ( t ≥ 0 )

2
( a ≥ 0) .
Đặt  a = x
 2019m + t = a

Ta được hệ  2019m + a = t ⇒
Trường hợp 1:

a≠ t.

2019m + t − 2019m + a = a − t

(*)

t−a
= a−t
Khi đó (*)
2019m + t + 2019m + a
1
⇔
= −1
phương trình vơ nghiệm.
2019m + t + 2019m + a
⇔

Trường hợp 2:

a= t

Thay vào (*) thỏa mãn. Vậy (*) có nghiệm
Với

a= t

ta có

a= t.

a = 2019m + a ⇔ a 2 = 2019m + a ⇔ a 2 − a − 2019m = 0 .


Phương trình

2019m + 2019m + x 2 = x 2 có hai nghiệm thực phân biệt

⇔ a 2 − a − 2019m = 0

có 2 nghiệm

1

m
=
−
⇔
4.2019

. Do
m > 0

Cách 2: Lưu Thêm
Ta có

m

a1 , a2

∆ = 0

 a1 = a2 > 0 ⇔   S > 0

1. ( − 2019m ) < 0
thỏa mãn  a1 < 0 < a2


âm nên có một giá trị

m= −

1
4.2019 thỏa mãn.

2019m + 2019m + x 2 = x 2 ⇔ 2019m + 2019m + x 2 = x 4

⇔ ( 2019m + x 2 ) + 2019m + x 2 = x 4 + x 2 , ( 1)

.

1

Xét hàm số

f ( t ) = t 2 + t ; f ' ( t ) = 2t + 1 > 0, ∀ t > − 2 .

 1

− ; +∞ ÷


Ta có hàm số f ( t ) = t + t đồng biến trên khoảng  2

 1

 1

2019m + x 2 ∈  − ; +∞ ÷ x 2 ∈  − ; +∞ ÷
và
 2
,
 2
.
2

Do đó

( 1)

⇔ f

(

)

2019m + x 2 = f ( x 2 ) ⇔ 2019m + x 2 = x 2

⇔ 2019m + x 2 = x 4 ⇔ 2019m = x 4 − x 2 .
Ta có BBT hàm số

g ( x ) = x4 − x2

1

2019
m
=
−
⇔
4

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt
m > 0
1
m= −
4.2019 thỏa mãn.
Do m âm nên có một giá trị
Câu 5.

[2D1-5.4-3] (Thuận Thành 2 Bắc Ninh) Cho

y = ax3 + bx 2 + cx − 2

như hình vẽ.

( P ) : y = − x2

và đồ thị hàm số

Tính giá trị biểu thức P =
A.

3.

a − 3b − 5c .
B. − 7 .

C. 9 .
Lời giải

D.

− 1.

Tác giả: Fb: Hằng-RuBy Nguyễn;
Chọn A
3
2
ax3 + bx 2 + cx − 2 = − x 2 ⇔ ax + ( b + 1) x + cx − 2 = 0
Vì hai đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại các điểm có hồnh độ − 2; − 1;1 nên ta có

Xét phương trình

ax3 + ( b + 1) x 2 + cx − 2 = a ( x + 2 ) ( x + 1) ( x − 1)

⇔ ax3 + ( b + 1) x 2 + cx − 2 = a ( x 3 + 2 x 2 − x − 2 )

Đồng nhất hệ số hai vế của phương trình, ta có

 b + 1 = 2a

c = − a ⇔
 2 = 2a


a = 1

 b = 1 ⇒ P = a − 3b − 5c = 1 − 3 + 5 = 3
c = −1
.




Câu 6.

[2D1-5.4-3] (Sở Nam Định) Cho hàm số
thẳng d: y=
nhỏ nhất.
A.

m= −1.

y=

x
( C) và điểm A( −1;1) . Tìm
1− x

mx− m− 1 cắt ( C) tại hai điểm phân biệt M, N
B.

m= 0 .

m= − 2 .

C.

sao cho

m để đường

AM 2 + AN 2
D.

m= −

đạt giá trị

2
3.

Lời giải
Tác giả: Lê Minh Tâm Facebook: TamLee
Chọn A

x
= mx− m− 1
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( C ) và d là: 1− x

(đk:
⇒ x= ( 1− x) ( mx− m− 1)
⇔ x = mx− m− 1 − mx2 + mx+ x
⇔ mx2 − 2mx+ m+ 1 = 0 (*)

x≠ 1)


Để

( C) và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt M, N thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1

 m≠ 0

⇔  ∆ ' = m2 − m( m+ 1) = −m> 0
 m− 2m+ m+ 1 ≠ 0


⇔ m< 0
Giả sử M

( x1;y1 ) , N ( x2 ; y2 ) . Theo hệ thức viét :

x1 + x2 = 2; x1 x2 =

m+ 1
m

(

)
và y .y = ( mx − m− 1) ( mx − m− 1) = m x x − m( m+ 1) ( x + x ) + ( m+ 1)
= m(m+ 1) − 2m( m+ 1) + ( m+ 1) = m+ 1
⇒ y1 + y2 = m x1 + x2 − 2m− 2 = 2m− 2m− 2 = −2
2

1

2

1

2

1 2

1

2

2

2

Ta có:

AM 2 + AN 2 = ( x1 + 1) + ( y1 − 1) + ( x2 + 1) + ( y2 − 1)
2

2

2

2

= ( x1 + x2 + 2 ) − 2 ( x1 + 1) ( x2 + 1) + ( y1 + y2 − 2 ) − 2 ( y1 − 1) ( y2 − 1)
2

2

= ( x1 + x2 + 2 ) − 2 ( x1 x2 + x1 + x2 + 1) + ( y1 + y2 − 2 ) − 2 ( y1y2 − ( y1 + y2 ) + 1)
2

2

2
2
 m+ 1

= ( 2 + 2) − 2 
+ 2 + 1÷ + ( −2 − 2) − 2 ( m+ 1− ( −2 ) + 1)
 m


1
 m+ 1
 1

= 18 − 2 
− 2m= 18 − 2 − 2. − 2m= 16 + 2.  + (− m) ≥ 16 + 2.2 = 20

÷
 m 
(Áp dụng BĐT
m
 −m


Cơsi)

Suy ra:
Vậy

AM 2 + AN 2 đạt giá trị nhỏ nhất là 20

m= − 1 (vì m< 0 )



1
= − m⇔ m2 = 1 ⇔
khi − m

 m= 1
 m= −1



Câu 7.

m

[2D1-5.4-3] (Chun Hạ Long lần 2-2019) Tìm
cắt trục hồnh tại

A.

4

y = x 4 − 2mx 2 + m2 − 1

để đồ thị hàm số

điểm phân biệt.

m > 1.

B.

− 1≤ m ≤ 1.

C.

m ≤ −1

D.  m ≥ 1 .

m ≤ −1.

Lời giải
Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy

Chọn A
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của

y = x 4 − 2mx 2 + m 2 − 1 và Ox :

x 4 − 2mx 2 + m 2 − 1 = 0 ( *)
Đặt

x 2 = t ( t ≥ 0 ) . Khi đó phương trình (*) trở thành t 2 − 2mt + m 2 − 1 = 0 ( **)

Để đồ thị hàm số

⇔

điểm phân biệt

phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt

dương
Câu 8.

y = x 4 − 2mx 2 + m2 − 1 cắt trục hoành tại 4

⇔

1 > 0
∆′ > 0


 S > 0 ⇔  2m > 0 ⇔

 m2 − 1 > 0
P > 0



m > 0

 m > 1
 m < −1
⇔


m > 1.

[2D1-5.4-3] (THPT-Phúc-Trạch-Hà-Tĩnh-lần-2-2018-2019-thi-tháng-4)Tất cả giá trị của
tham số
là
A.

m

0≤ m≤

để đồ thị hàm số

1
2.

B.

( C ) : y = − 2 x3 + 3x2 + 2m − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

0< m<

1
2.

1
1
≤ m<
C. 4
2.

1
1
− < m<
D. 2
2.

Lời giải
Tác giả: Phạm Cao Thế; Fb: Cao Thế Phạm
Chọn B
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm của

( C)

và trục hoành là:

− 2 x3 + 3x 2 + 2m − 1 = 0 ⇔ 2 x3 − 3x 2 = 2m − 1.
Số giao điểm của

( C)

và trục hồnh chính là số nghiệm của phương trình

( 1)

Mặt khác số nghiệm của
đường thẳng

chính là số giao điểm của đồ thị

d m : y = 2m − 1 .

x = 0
y′ = 6 x 2 − 6 x = 0 ⇔ 
Xét hàm số y = 2 x − 3x . Ta có
x = 1 .
3

Bảng biến thiên

( 1)

2

( 1) .

( C′ ) của hàm số y = 2 x3 − 3x 2 với

Khi đó u cầu bài tốn
Câu9.

⇔ ( C′ )

cắt

dm

tại 3 điểm phân biệt

⇔ − 1 < 2m − 1 < 0 ⇔ 0 < m <

[2D1-5.4-3] (THĂNG LONG HN LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số
hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
đúng 3 nghiệm phân biệt.

A. 1.

B.

2.

C.

y = f ( x)

m để phương trình

3.

D.

1
2.

có đồ thị như

f  f ( x ) + m  = 0

có

4.

Lời giải
Tác giả: Hồng Tiến ; Fb: Cơ Tiến Toán
Chọn A
Đặt

f ( x ) = t ( *) . Khi đó:

Nhận xét: +) Với
+) Với

t > −3⇒

t = −3 ⇒

phương trình

phương trình

( *)

2 − m > − m, ∀ m

nên

có một nghiệm

có hai nghiệm

t + m = 0
⇔
⇔
t
+
m
=
2
Ta có: f  f ( x ) + m  = 0

Vì

( *)

f  f ( x ) + m  = 0

x = x1 và x = x2 với x1 < 1; x2 > 1.

 t = −m
t = 2 − m
.

có đúng 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

 −m = −3
⇔

2
−
m
>
−
3


Vậy có 1 giá trị nguyên của

x = 1.

m = 3
⇔ m=3

m
<
5
.


m thỏa mãn yêu cầu bài toán.


[ − 2;2] và có đồ thị
như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm thực của phương trình 2 f ( x ) − 1 = 0 trên đoạn [ − 2;2] là

Câu 10. [2D1-5.4-3] (Ngô Quyền Hà Nội) Cho hàm số

A.

0.

B.

3.

y = f ( x)

C.

liên tục trên đoạn

2.

D. 1 .

Lời giải
Tác giả: Lê Vũ; Fb: Lê Vũ
Chọn B

Ta có:

2 f ( x) − 1 = 0 ⇔ f ( x) =

Do đó số nghiệm phương trình
số

y = f ( x)

và đường thẳng

1
2.

2 f ( x) − 1 = 0

y=

trên đoạn

[ − 2;2]

1
2 trên đoạn [ − 2;2] .
1
2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại 3 điểm

[ − 2;2] đường thẳng
phân biệt nên phương trình 2 f ( x ) − 1 = 0 trên đoạn [ − 2;2]

Từ đồ thị ta thấy, trên đoạn

là số giao điểm của đồ thị hàm

y=

Câu 11. [2D1-5.4-3] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số

có

y = f ( x)

hình vẽ bên. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình

3 nghiệm phân biệt.
liên tục trên

f ( f ( x) ) = f ( x)

R

và có đồ thị như

bằng


A.

7.

B.

3.

6.

C.

D.

9.

Lời giải
Tác giả: Huỳnh Trọng Nghĩa ; Fb: Huỳnh Trọng Nghĩa
Chọn A

Đặt

t=

t = −2
f (t ) = t ⇔  t = 0
 t = 2
f ( x) phương trình trở thành:
Vì đồ thị

 f ( x) = − 2
 f ( x) = 0 ⇔

Vậy  f ( x) = 2

f (t ) cắt đường thẳng y = t

tại ba điểm có hồnh độ

t = − 2; t = 0; t = 2.

x = 1; x = − 2

 x = 0; x = a ∈ (− 2; − 1); x = b ∈ (1; 2).


x = − 1; x = 2

Ta chọn đáp án A.
Câu 12. [2D1-5.4-3] (Chuyên Thái Bình Lần3) Cho hàm số

m

tất cả giá trị của tham số
phân biệt

A ( 0;1) , B, C

để đồ thị hàm số

f ( x ) = x 3 + 3x 2 + mx + 1.

y = f ( x)

cắt đường thẳng

sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

góc với nhau. Gía trị của

S

9
.
A. 2

9
.
B. 5

Gọi

y=1

y = f ( x)

tại

S

là tổng

tại ba điểm

B, C

vng

bằng

9
.
C. 4

11
.
D. 5

Lời giải

Chọn C
Phương trình hoàn độ giao điểm của

y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 và y = 1 là:

x = 0
x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 ⇔ x ( x 2 + 6 x + m ) = 0 ⇔  2
 x + 6 x + m = 0 ( *)
Để đồ thị hàm số

C ( x2 ; y2 )

y = f ( x)

thì phương trình

cắt đồ thị hàm số

( *)

y = 1 tại ba điểm phân biệt A ( 0;1) , B ( x1; y1 ) ,

có hai nghiệm phân biệt khác

0.


m ≠ 0
m ≠ 0

⇒
⇔
9
 ∆ = 9 − 4m > 0  m < .

4

 x1 + x2 = − 3
.

Theo hệ thức Viète ta có  x1. x2 = m
Để tiếp tuyến của đồ thị hàm số

y = f ( x)

tại

B, C

vng góc với nhau thì

f ′ ( x1 ) . f ′ ( x2 ) = − 1 ⇔ ( 3x12 + 6 x1 + m ) . ( 3x22 + 6 x2 + m ) = − 1

⇔ 9 x12 x22 + 18 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3m ( x12 + x22 ) + 6m ( x1 + x2 ) + 36 x1 x2 + m 2 + 1 = 0

9 + 65
m =
9 + 65 9 − 65 9
8
⇔ 4m 2 − 9 m + 1 = 0 ⇔ 
⇒S=
+
= .
8
8
4

9 − 65
m =
8

Câu 13. [2D1-5.4-3] (Ba Đình Lần2) Cho hàm số

y = x3 + 3mx 2 − m3

d : y = m2 x + 2m3 . Biết rằng m1 , m2 ( m1 > m2 )
đồ thị

( Cm )

tại

3

là hai giá trị thực của

điểm phân biệt có hồnh độ

x1 , x2 , x3

biểu nào sau đây là đúng về quan hệ giữa hai giá trị
A.

m1 + m2 = 0 .

B.

m12 + 2m2 > 4 .

có đồ thị

thỏa mãn

m

( Cm )

và đường thẳng

để đường thẳng

d

cắt

x14 + x2 4 + x34 = 83 . Phát

m1 , m2 ?

C. m2
Lời giải

2

+ 2m1 > 4 .

D.

m1 − m2 = 0 .

Tác giả: Lương Pho ; Fb: LuongPho89
Chọn A
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của

x3 + 3mx 2 − m3 = m 2 x + 2m3
⇔ x3 + 3mx 2 − m2 x − 3m3 = 0
⇔ ( x3 − m 2 x ) + ( 3mx 2 − 3m3 ) = 0
⇔ x ( x 2 − m2 ) + 3m ( x 2 − m 2 ) = 0
⇔ ( x + 3m ) ( x 2 − m2 ) = 0
 x = −3m
⇔ x = m

 x = − m

d

và

( Cm )


Để đường thẳng

d

cắt đồ thị

( Cm )

tại

3 điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 ⇔ m ≠ 0 .

x14 + x2 4 + x34 = 83 ⇔ m4 + ( − m ) + ( − 3m ) = 83

4

Khi đó,

4

⇔ 83m4 = 83 ⇔ m = ± 1
Vậy

m1 = 1, m2 = − 1 hay m1 + m2 = 0 .

Câu 14. [2D1-5.4-3] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Tính độ dài đoạn thẳng
dưới.

A.

CD = 8

.

B.

CD = 27 .

C.

CD = 13 .

D.

CD

trong hình bên

CD = 26 .

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Thúy ; Fb: Thúy Lê
Chọn D

x−1
1 − 13
1 + 13
= x + 2 ⇒ x2 − x − 3 = 0 ⇔ x =
; x=
Phương trình hồnh độ giao điểm x − 2
2
2 .
 1 − 13 5 − 13 
 1 + 13 5 + 13 
C 
;
;
÷÷ D 
÷
2
2
2
2 ÷ . Vậy CD = 26 .


 ; 
Câu 15. [2D1-5.4-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Biết hai đồ thị
hàm số

y = x3 + x 2 − 2

tam giác
A. 5.

ABC

và

y = − x2 + x

cắt nhau tại ba điểm phân biệt A,

B, C. Khi đó, diện tích

bằng
B. 6.

C. 4.

D. 3.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Phương Mai; Fb: Phương Mai
Chọn D
Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

x3 + x 2 − 2 = − x 2 + x


⇔ x3 + 2 x 2 − x − 2 = 0
⇔ ( x − 1)( x + 1)( x + 2) = 0
x = 1
⇔  x = − 1
 x = − 2 ⇒ A ( 1;0 ) ; B ( − 1; − 2 ) ; C ( − 2; − 6 )

⇒

Phương trình đường thẳng

Khoảng cách từ

C

AB

tới đường thẳng

là:

x− y − 1= 0

AB

là:

d (C ; AB) =

uuur
1 3
AB = ( −2; − 2 ) ⇒ AB = 2 2 ⇒ SVABC = . .2 2 = 3.
2 2
Vậy diện tích tam giác

ABC

bằng

| −2 + 6 − 1| 3
=
1+1
2.

3.

Câu 16. [2D1-5.4-3] (CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 3) Cho hàm số

có đạo hàm liên tục trên

f '( x)
= 2 − 2x
và thỏa mãn f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ . Biết f ( 0 ) = 1 và f ( x )
. Tìm tất cả các giá trị thực

¡

của tham số
A.

f ( x)

m

để phương trình

0 < m ≤ 1.

B.

f ( x) = m

m> e.

có hai nghiệm thực phân biệt.
C.

0< m < e.

D. 1 <

m< e.

Lời giải
Tác giả: Trần Như Tú ; Fb: Tú Tran
Chọn C

f '( x)
= 2 − 2x ⇒
Ta có f ( x )
Do

f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡

Ta có

∫

f '( x)
dx = ∫ ( 2 − 2 x ) dx ⇒ ln f ( x ) = 2 x − x 2 + C
f ( x)
.

ln f ( x ) = 2 x − x 2 + C ⇒ f ( x ) = e 2 x− x + C .
2

nên

f ( 0 ) = 1 ⇔ eC = 1 ⇔ C = 0 . Vậy f ( x ) = e2 x− x

2

.

Cách 1:

Phương trình

Gọi

f ( x) = m ⇔ e

g ( x ) = 2x − x2

Bảng biến thiên của g

( x)

.

2 x − x2

2
 2 x − x = ln m
⇔
= m  m > 0

( 1)
.


Phương trình

( 1)

có 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

ln m < 1 ⇔ 0 < m < e .

Cách 2: Tác giả fb: Quốc Vương

Từ

2
2
f ( x ) = lim f ( x ) = 0 .
f ( x ) = e2 x− x ⇒ f ′ ( x ) = 2 ( 1 − x ) e2 x − x ; f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ; xlim
→ −∞
x → +∞

Bảng biến thiên của

Vậy phương trình

f ( x)

f ( x) = m

có 2 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi

0 < m < e.

Câu 17. [2D1-5.4-3] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số
thị (C). Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
(C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
A. 38.
B.52.

y=

2x + 1
x + 1 có đồ

d : y = x + m − 1 cắt đồ thị

AB = 2 3 . Tính tổng bình phương các phần tử của S.
C. 28.

D. 14.

Lời giải
Tác giả: Phan Trung Hiếu; Fb: Hieu Pt
Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là

2x + 1
= x + m−1⇔
x+1
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt

⇔

 x ≠ −1
 2
 x + (m − 2) x + m − 2 = 0 (*).

phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1

 ∆ (*) > 0

 (m − 2) 2 − 4(m − 2) > 0
⇔
⇔
⇔ m 2 − 8m + 12 > 0 ⇔
2
 (− 1) − ( m − 2) + m − 2 ≠ 0 1 ≠ 0
Khi đó,

A( x1; x1 + m − 1)

và

B( x2 ; x2 + m − 1) , với x1

và

x2

m < 2
 m > 6 (**).


là hai nghiệm của phương trình (*).


Hơn nữa,

AB = 2 3 ⇔ AB 2 = 12 ⇔ 2( x2 − x1 ) 2 = 12 ⇔ ( x1 + x2 ) 2 − 4 x1 x2 = 6 , với

 m = 4 + 10

m 2 − 8m + 6 = 0 ⇔ 
x1 + x2 = 2 − m và x1 x2 = m − 2 (Viète). Từ đó, ta có
 m = 4 − 10 .
So điều kiện (**), ta nhận hai giá trị m trên. Do đó,

{

}

S = 4 − 10;4 + 10 .

(

) (

)

2

2

Vậy, tổng bình phương các phần tử của S là 4 − 10 + 4 + 10 = 52.
Câu 18. [2D1-5.4-3] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

để phương trình

x2 − 4 x + 3

1
 ÷
5

= m4 − m2 + 1

A.

m≤1 .

C.

m∈ ( − 1;0 ) ∪ ( 0;1)

có

4

nghiệm thực phân biệt
B.

0< m≤ 1 .

D. − 1 ≤ m ≤ 1 .
Lời giải
Tác giả: Giang Văn Thảo ; Fb: Văn Thảo

.

Chọn C

1
 ÷
Ta có:  5 

x2 − 4 x + 3

= m 4 − m2 + 1 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = log 1 ( m 4 − m 2 + 1)
5

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị

(1)

y = f ( x)

và

y = log 1 ( m4 − m2 + 1)
5

Xét đồ thị

y = x 2 − 4 x + 3 có dạng như hình vẽ:
y
4

2

x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-2

Dựa vào đồ thị ta thấy để phương trình (1) có

y = log 1 ( m4 − m2 + 1)
5

giao nhau tại

4

4

nghiệm khi hai đồ thị

điểm phân biệt.

0 < log 1 ( m4 − m 2 + 1) < 1 ⇔ 1 > m 4 − m 2 + 1 > 1
Khi đó
5
5

y = f ( x)

và


 m4 − m2 < 0

⇔
⇔ 4
1 11
2
m − m + + > 0
4 20


 m 2 ( m 2 − 1) < 0

  2 1  2 11
 m − ÷ + > 0 ⇔
2  20


Đồ thị nên có đánh dấu mốc trên trục tung
cũng nên nói thêm

y = 1 vì ta cần dùng mốc này để kết luận bài tốn,

1
5 ln đúng

m4 − m2 + 1 >

Câu 19. [2D1-5.4-3] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Cho hàm số

( )

f e
Số nghiệm của phương trình 
A. 1 .

B.

−1 < m < 1

.
m ≠ 0

x

2

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ sau.

( ) − 2 = 0 là:

 −f e


x

C. 3 .
Lời giải

2.

D. 5 .
Tác giả: Phan Bình; Fb: BìnhPhan

Chọn B

x≥ 0.

Điều kiện
Đặt

t=e

x

. Do

x ≥ 0 ⇒ t ≥ 1 và ứng với mỗi giá trị t ≥ 1 chỉ cho một giá trị x ≥ 0 .

 f ( t ) = −1
2
 f ( t )  − f ( t ) − 2 = 0 ⇔ 
 f ( t ) = 2 .
Ta có phương trình trở thành:
Từ đồ thị hàm số
trình

f ( t) = 2

y = f ( t)

trên

[ 1;+∞ )

suy ra phương trình

f ( t ) = − 1 có 1 nghiệm và phương

có 1 nghiệm khác với nghiệm của phương trình

f ( t ) = − 1.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

x2 + x

y=
Câu 20. [2D1-5.4-3] (THPT Nghèn Lần1) Cho hàm số
x − 2 có đồ thị ( C ) và đường thẳng

d : y = − 2 x . Biết d
tuyến của
A.

0.

( C)

tại

cắt

( C)

A và B
B.

tại hai điểm phân biệt

A , B . Tích các hệ số góc của các tiếp

bằng

4.

1

C. 6 .
−

5
D. 2 .


Lời giải
Tác giả: Phạm Thị Uyên ; Fb: Phạm Uyên
Chọn D
+ Phương trình hồnh độ giao điểm của

d

và

( C)

là:

x = 0
x2 + x
= − 2 x , ( x ≠ 2) ⇔ 
x−2
x = 1 .

A và B

+ Khi đó, khơng giảm tổng qt, giả sử hồnh độ của
Tiếp tuyến của

y′ ( x0 ) =

( C)

tại điểm có hồnh độ

x0 , ( x0 ≠ 2 )

lần lượt là 0 và 1.

bất kì có hệ số góc là:

x0 2 − 4 x0 − 2

( x0 − 2 )

2

.

Do đó, tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của

( C)

tại

A và B bằng:

1

5
y′ ( 0 ) . y′ ( 1) = − . ( − 5 ) =
2
2.
Câu 21. [2D1-5.4-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Giá trị

( H) : y =

k

x− 4
2 x − 2 tại hai điểm phân biệt A , B

d : y = kx + k cắt đồ thị
cùng cách đều đường thẳng y = 0 . Khi đó k thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
thỏa mãn đường thẳng

A.

( − 2; − 1) .

B.

( 1;2) .

C.
Lời giải

( − 1;0) .

D.

( 0;1) .

Tác giả: Nguyễn Dạ Thu ; Fb: Nguyen Da Thu
Chọn C

Xét phương trình hồnh độ các giao điểm:

kx + k =

x− 4
2 x − 2 ( điều kiện: x ≠ 1 ).

⇒ 2kx 2 − x − 2k + 4 = 0 ( 1) .
Đường thẳng

d

cắt đồ thị

( H)

hai nghiệm phân biệt khác 1

tại hai điểm phân biệt

A , B khi và chỉ khi phương trình ( 1)

có

k ≠ 0

k ≠ 0

4 + 15
k ≠ 0

  k >
⇔  2k − 1 − 2k + 4 ≠ 0 ⇔  2
⇔
4

1 − 4.2k .(4 − 2k ) > 0 16k − 32k + 1 > 0  

k < 4 − 5
.
 
4


x1 , x2

Gọi

là 2 nghiệm của phương trình

cách đều đường thẳng

y = 0 nên kx1 + k = kx2 + k ⇔ kx1 + k = − kx2 − k

⇔ x1 + x2 = − 2 ⇒

phân biệt )

( 1) , ta có: A ( x1 ; kx1 + k ) , B ( x2 ; kx2 + k ) . Do A , B
( vì

A , B là hai điểm

1
1
= −2
⇔ k=−
( áp dụng Viet )
2k
4 ( thỏa mãn điều kiện ).

Câu 22. [2D1-5.4-3] (Chuyên Bắc Giang) Tìm giá trị thực của tham số

d : y = x − m + 2 cắt đồ thị hàm số
AB ngắn nhất.
A. m = − 3 .
B. m = 3 .

y=

m

để đường thẳng

2x
( C ) tại hai điểm phân biệt và sao cho độ dài
x−1
A B
C. m = − 1 .
D. m = 1 .
Lời giải
Tác giả: Phạm Công Dũng ; Fb: Phạm Cơng Dũng

Chọn D
Tập xác định của hàm số
Hồnh độ giao điểm của

D = ¡ \ { 1}

d

.

2x
= x− m+ 2
và ( C ) là nghiệm của phương trình x − 1

 x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
⇔
⇔
2
 2 x = ( x − 1) ( x − m + 2 )

 2 x = x − mx + 2 x − x + m − 2
 x ≠ 1
⇔ 2
 x − ( m + 1) x + m − 2 = 0 ( 1) .

d

⇔

cắt

( C)

tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

( 1)

có hai nghiệm phân biệt khác 1

 ( m + 1) 2 − 4 ( m − 2 ) > 0
 m 2 − 2m + 9 > 0
2
⇔
2
⇔
m
−
1
+ 8 > 0 , đúng với
(

)
−
2
≠
0
1 − ( m + 1) .1 + m − 2 ≠ 0


Nghiệm

x1 , x2

của

( 1)

lần lượt là hoành độ điểm

∀ m∈ ¡

.

A, B.

 x1 + x2 = m + 1

Gọi A ( x1 ; x1 − m + 2 ) và B ( x2 ; x2 − m + 2 ) . Theo hệ thức Vi-ét ta có:  x1 x2 = m − 2 .

AB 2 = ( x2 − x1 ) + ( x2 − m + 2 − x1 + m − 2 ) = 2 ( x2 − x1 ) = 2 ( x2 + x1 ) − 8 x2 x1
2

2

2

2

= 2 ( m + 1) − 8 ( m − 2 ) = 2m2 − 4m + 18 = 2 ( m − 1) + 16 ≥ 16, ∀ m .
2

2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Vậy

AB

ngắn nhất khi

m = 1.

m = 1.

Câu 23. [2D1-5.4-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Cho hàm số

d : y = ax + b
hai điểm

là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1). Biết

A, B

sao cho tam giác

OAB

cân tại

d

y=

x+ 2
2 x + 3 (1). Đường thẳng

cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại

O . Khi đó a + b

bằng


A.

− 1.

B.

0.

C.

2.

D.

−3.

Lời giải
Tác giả: Trần Văn Tân ; Fb tranvantan:
Chọn D

 3
D = R \ − 
TXĐ:
 2
y′ =

−1

( 2 x + 3)

2

Do tiếp tuyến tạo với các trục tọa độ tam giác vuông cân tại
các đường phân giác của các góc phần tư suy ra

a = ± 1.

Hồnh độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình

y′ = a

−1
TH1: Nếu a = 1 , phương trình (*) là ( 2 x + 3)

2

O

nên tiếp tuyến vng góc với

(*) nên:

=1
vơ nghiệm.

 x = −1
2
=
−
1
⇒
2
x
+
3
=
1
⇒

(
)
 x = −2
2

.
− 1 , phương trình (*) là ( 2 x + 3)
−1

TH2: Nếu

a=

(

) + 1⇔

Khi x = − 1 , y = 1 , phương trình tiếp tuyến là y = − 1 x + 1
đi qua gốc tọa độ nên không tạo được tam giác vuông cân.
Khi

y= x

(loại) do tiếp tuyến này

x = − 2 , y = 0 , phương trình tiếp tuyến là y = − 1( x + 2 ) + 0 ⇔ y = − x − 2 (thỏa mãn).

Từ đó suy ra

a = − 1 và b = − 2 . Vậy a + b = − 3 .

Câu 24. [2D1-5.4-3] (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4:
như hình vẽ sau:

y = f ( x)

y = g ( x ) =  f ′ ( x )  − f ( x ) . f ′′ ( x ) và trục Ox .
2

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
A.

6.

Chọn D

B.

2.

được cho

C. 4 .
Lời giải

D.

0.

y = f ( x)

Vì đồ thị hàm số

4

nghiệm phân biệt

Giả sử

cắt trục hồnh tại

4

điểm phân biệt nên phương trình

f ( x) = 0

có

x1 , x2 , x3 , x4 .

f ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) . Ta có:

f ′ ( x ) = a ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) + a ( x − x1 ) ( x − x3 ) ( x − x4 )
+ a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x4 ) + a ( x − x1 ) ( x − x2 ) ( x − x3 )

 Nếu

x = xi , ∀ i : i = 1,4

thì

f ′ ( xi ) ≠ 0 . Khi đó, ta có:

g ( xi ) =  f ′ ( xi )  − f ( xi ) . f ′′ ( xi ) =  f ′ ( x )  > 0 .
2

2

Do đó,

x = xi , ∀ i = 1,4 đều khơng là nghiệm phương trình g ( x ) = 0 .

 Nếu

x ≠ xi , ∀ i = 1,4

thì

 1
1
1
1 
f ′ ( x) = f ( x) 
+
+
+

 x − x1 x − x2 x − x3 x − x4  .

⇒

f ′( x)
1
1
1
1
=
+
+
+
f ( x ) x − x1 x − x2 x − x3 x − x4



 f ′ ( x) ′
1
1
1
1
⇒
+
+
+
÷
 = − 
2
2
2

2
÷
x
−
x
x
−
x
x
−
x
x
−
x
(
)
(
)
(
)
(
)
 f ( x) 
1
2
3
4



⇔

f ′′ ( x ) f ( x ) −  f ′ ( x ) 
 f ( x ) 

2

2

 1
1
1
1 
= −
+
+
+
÷< 0
 ( x− x )2 ( x− x )2 ( x− x )2 ( x− x )2 ÷
.
1
2
3
4



⇒ f ′′ ( x ) f ( x ) −  f ′ ( x )  < 0 ⇒ g ( x ) > 0 .
2

Vậy phương trình

g ( x) = 0

vô nghiệm.

Câu 25. [2D1-5.4-3] (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số
đây. Hỏi phương trình

y = f ( x)

liên tục trên

R có đồ thị như hình vẽ dưới

f ( 2 − f ( x ) ) = 1 có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?


5.

A.

B.

6.

C. 3 .
Lời giải

D.

4.

Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến
Chọn C

2 − f ( x) = −2
⇔
⇔
f
2
−
f
x
=
1
2
−
f
x
=
1
( )
( )
Dựa vào đồ thị ta có:


(

)

Mà

f ( x) = 4

Và

f ( x ) = 1 có 2 nghiệm phân biệt x = − 2; x = 1 .

có nghiệm duy nhất nhỏ hơn

 f ( x) = 4

 f ( x ) = 1 .

−2.

Vậy phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt.
Câu 26. [2D1-5.4-3] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
khoảng
A. 10.

( 1;2) .

B. 4.

f ( x + 1) =

y = f ( x)

liên tục trên

[ 1;3]

và

m
x − 4 x + 5 có nghiệm trên
2

C. 5.
D. 0.
Lời giải
Tác giả: Phạm Văn Chuyền; Fb: Good Hope

Chọn B
Vì

x − 4 x + 5 = ( x − 2) + 1 > 0 ∀ x
2

Đặt

2

nên

h ( x ) = ( x 2 − 4 x + 5 ) f ( x + 1) , với x ∈ ( 1;2) .

Ta có

m
⇔ ( x 2 − 4 x + 5 ) f ( x + 1) = m
2
.
x − 4x + 5

h′ ( x ) = ( x 2 − 4 x + 5) f ′ ( x + 1) + ( 2 x − 4 ) f ( x + 1) .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
và

f ( x + 1) =

y = f ( x)

ta có

∀ x ∈ ( 1;2 ) ⇒ x + 1∈ ( 2;3) ⇒ f ′ ( x + 1) ≤ 0

2 x − 4 < 0, ∀ x ∈ ( 1;2 ) ; f ( x + 1) ≥ 3 > 0, x + 1∈ ( 2;3) . Do đó h′ ( x ) < 0, ∀ x ∈ ( 1;2 ) .

Bảng biến thiên của hàm số

y = h( x)

trên khoảng

( 1;2) .


Khi đó phương trình

h ( x) = m

có nghiệm

x ∈ ( 1;2 )

khi và chỉ khi

h ( 2 ) < m < h ( 1)

⇔ 1. f ( 3) < m < 2 f ( 2 ) ⇔ 3 < m < 8 . Do đó có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài

toán.

Câu 27. [2D1-5.4-3] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Cho hàm số

y = f '( x )

cắt trục hoành tại ba điểm có hồnh độ

phương trình

f ( x − a) = f ( c)

A. 2.

a< b< c

y = f ( x)

có đồ thị

như hình vẽ. Số nghiệm thực của

là

B. 0.

C. 3.

D. 1.

Lời giải
Tác giả: Trần Tố Nga ; Fb: Trần Tố Nga
Chọn D

= f '( x) a
ta có bảng
x y−∞
b biếncthiên:+∞
f ′( x) + 0 − 0 + 0 −

+) Từ đồ thị

f ( x ) y = f ' ( xf) (taacó:
)

f ( c)

+) Từ đồ thị
b

c

a

b

S2
S1

S1 < S 2 ⇔ ∫ − f ′ ( x ) dx < ∫ f ′ ( x ) dx
⇔ f ( a) − f ( b) < f ( c) − f ( b)
⇔ f ( a) < f ( c)

+) Số nghiệm của phương trình
đường thẳng

y = f ( c)

f ( x − a) = f ( c)

trong đó đường thẳng

là số giao điểm của đồ thị

y = f ( c)

y = f ( x − a ) và

là đường song song hoặc trùng với trục


hồnh, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
do tịnh tiến đồ thị hàm số

y = f ( x)

Từ ba điều trên suy ra phương trình

f ( c ) , còn đồ thị hàm số y = f ( x − a )

sang trái theo phương của trục hoành

f ( x − a) = f ( c)

A

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
nghiệm phân biệt thuộc đoạn

A. 5.

B. 3.

m

đơn vị.

có đúng một nghiệm.

Câu 28. [2D1-5.4-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho hàm số

Gọi

( − a)

có được là

y = f ( x)

có đồ thị như hình vẽ.

 m
f ( 2sin x ) = f  ÷
để phương trình
 2  có 12

[ − π ;2π ] . Tính tổng tất cả các phần tử của A .

C. 2.

D. 6.
Lời giải

Tác giả: Lê Mai; Fb: Lê Mai

Chọn B
Đặt

t = 2sin x

với

x ∈ [ − π ;2π ] .

t ′ = 2cos x .
π
t ′ = 0 ⇔ 2cos x = 0 ⇔ x = + kπ ( k ∈¢ )
.
2
 π π 3π 
x ∈ [ − π ;2π ] ⇒ x ∈  − ; ; 
 2 2 2 .
Bảng biến thiên


Từ đó, ta suy ra được bảng biến thiên của

u = 2sin x

Với

u = 2 ta có 3 nghiệm phân biệt x ∈ [ − π ;2π ] .

Với

u= 0

Với

0 < u < 2 ta có 6 nghiệm phân biệt x ∈ [ − π ;2π ] .

ta có 4 nghiệm phân biệt

Yêu cầu bài toán

⇔

x ∈ [ − π ;2π ] .

 m
f ( u) = f  ÷
 2  có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng ( 0;2 )

m

0< < 2

27

 m
2
⇔ − < f  ÷< 0 ⇔ 
⇔

16
2
m ≠ 3
 2 2
Vậy

A = { 1;2}

là

0 < m < 4

m ≠ 3

. Tổng tất cả các phần tử của

A

.

bằng 3.

Câu 29. [2D1-5.4-3] (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số

y = f ( x)

liên tục trên

m3 + m
vẽ bên. Tìm giá trị của tham số

nghiệm thực phân biệt.
A.

m= 2.

B.

m

m = 26 .

để phương trình
C.

f

2

m = 10 .

( x) + 1

R

và có đồ thị như hình

= f 2 ( x) + 2

D.

m = 1.

có đúng ba


Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Tỉnh; Fb: Nguyễn Văn Tỉnh
Chọn B
Phương trình tương đương
Xét hàm số

f ( t) = t3 + t

Từ phương trình

m=

m3 + m =

trên

¡

có

(

)

3

f 2 ( x ) + 1 + f 2 ( x ) + 1 (*)

f ′ ( t ) = 3t 2 + 1 > 0 ∀ t ∈ R

nên hàm số đồng biến trên

R.

(*) ⇒ m = f 2 ( x ) + 1 ( Đk m ≥ 1 ). Khi đó phương trình

 f ( x ) = m 2 − 1 (1)
f ( x) + 1 ⇔ f ( x) = m − 1 ⇔ 
 f ( x ) = − m 2 − 1 (2)

2

2

2

m = 1 ta có f ( x ) = 0 phương trình có 2 nghiệm nên m = 1 loại.
Nếu m > 1 phương trình (2) có đúng một nghiệm, như vậy để phương trình đã cho có ba
nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt suy ra
Nếu

 m = 26
m2 − 1 = 5 ⇔ 
 m = − 26 , do

m > 1 nên ta chọn m = 26 .

Câu 30. [2D1-5.4-3] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Cho hàm số
định và liên tục trên trên R có đồ thị như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m để phương trình 7 f ( 5 − 2

 −π π 
;
có hai nghiệm phân biệt thuộc  2 2  ?

)

y = f ( x)

1 + 3cosx = 3m − 7

xác