Dang 1. Định nghĩa, tính chất và nguyên hàm cơ bản(NB)

Câu 1.

[2D3-1.1-1] (Cụm THPT Vũng Tàu) Nguyên hàm của hàm số
A.

− cos x + x2 + C .

B.

− cos x + 2 x 2 + C .

C.

f ( x ) = 2 x + sin x

2 x 2 + cos x + C .

D.

là

cos x + x 2 + C .

Lời giải
Tác giả: Phan Thanh Lộc ; Fb: Phan Thanh Lộc
Phản biện: Dương Hà Hải ; Fb: Dương Hà Hải
Chọn A
Ta có:
Câu 2.

∫ f ( x ) dx = ∫ ( 2 x + sin x ) dx = x

2

− cos x + C .

[2D3-1.1-1] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

1 2
cos x + C.
A. 2

B. sin x +

C. − sin x +
Lời giải

C.

f ( x ) = cos x .
1
− cos 2 x + C
D. 2
.

C.

Tác giả:Lê Cơng Hùng
Chọn B
Ta có:
Câu 3.

∫ f ( x ) dx = ∫ cos xdx = sin x + C.

[2D3-1.1-1] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG
NGÃI) Họ nguyên hàm của hàm số
A.

x 2 + cos x + C .

x2
− cos x + C
C. 2
.

f ( x ) = x + sin x
B.

là

x 2 − cos x + C .

x2
+ cos x + C
D. 2
.

Lời giải

Tác giả: Lâm Quốc Toàn; Fb: Lam Quoc Toan
Chọn C

x2
∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + sin x ) dx = 2 − cos x + C .
Ta có:
Câu 4.

[2D3-1.1-1] (SỞ GDĐT KIÊN GIANG 2019) Một nguyên hàm
là

3x
F ( x) =
+ 2019 x
A.
.
ln 3
C.

F ( x ) = 3x ln 3 .

B.

F ( x)

của hàm số

f ( x ) = 3x

F ( x ) = 3x + 2019 .

3x

F ( x) =
+ 2019
D.
.
ln 3
Lời giải
Tác giả: Đoàn Minh Triết ; Fb: Minh Triết Đoàn

Chọn D


Ta có:

∫

f ( x ) d x = ∫ 3 x dx =

3x
+C
ln 3 .

Từ đó suy ra một nguyên hàm của
Câu 5.

f ( x)

là

F ( x) =

3x
+ 2019
.
ln 3

[2D3-1.1-1] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x) = e2 x + x

là:

1 2 x x2
e + +C
A. 2
.
2

1 x x2
e + +C
B. 2
.
2

1 2 x +1 x 2
e + +C
C. 2 x + 1
.
2

D.

2e2 x + 1 + C .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh; Fb: Nguyễn Minh
Chọn A

Ta có
Câu 6.

∫

1
x2
f ( x)dx = ∫ ( e2 x + x ) dx = e2 x + + C
.
2
2

[2D3-1.1-1] (THPT NÔNG CỐNG 2 LẦN 4 NĂM 2019) Nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = e2x

là

ex
+C
A. 2
.

B.

e2 x
+C
C. 2
.

e2x + C .

D.

ex + C .

Lời giải
Tác giả: Thao Duy; Fb: Thao Duy.
Chọn C

1 2x
e2 x
e dx = ∫ e d ( 2x ) =
+C
Ta có: ∫
.
2
2
2x

Câu 7.

[2D3-1.1-1] (Chuyên Hà Nội Lần1)

A.

f ( x ) = cos x + m ( m ∈ ¡

).
( m∈ ¡ ) .

C.

f ( x ) = − cos x + m

∫ sin x dx = f ( x ) + C khi và chỉ khi
B.

f ( x ) = cos x .

( )

D. f x = − cos x .
Lời giải
Người giải: Lê Hồng Phi ; Fb: Lê Hồng Phi

Chọn C

∫

( )

( ) ∫

Ta có sin x dx = f x + C ⇔ f x = sin x dx − C =

Câu 8.

− cos x + m ( m ∈ ¡ ) .

[2D3-1.1-1] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Họ nguyên hàm của
hàm số

f ( x) = sin 2 x

là ?


A.

cos 2x + C .

B.

1
− cos 2 x + C
C. 2
.

− cos2x + C .

D.

sin 2 x + C .

Lời giải
Tác giả: Đỗ Ngọc Tân ; Fb: Tân Ngọc Đỗ
Chọn C

1

sin2xdx = − cos2x + C
Ta có ∫
. Chọn đáp án C.
2
Câu 9.

[2D3-1.1-1] (Chuyên-Thái-Nguyên-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Họ nguyên hàm của hàm
số

f ( x ) = 2 x + 1 là

A.

x2 + x .

B.

2.

C.

C.

D.

x2 + x + C .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thủy; Fb: diephoang
Chọn D
Ta có

∫ ( 2 x + 1) dx = x

2

+ x+ C.

Câu 10. [2D3-1.1-1] (THPT-Nguyễn-Công-Trứ-Hà-Tĩnh-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Họ nguyên
hàm của hàm số
A.

f ( x ) = 3 x 2 + 3x

3x
x +
+C
B.
.
ln 3
3

x + 3 ln3 + C .

3

là

x

C.

x +3 +C.
3

x

D.

x3 +

ln 3
+C
.
3x

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy
Chọn B

3x
f ( x ) dx = ∫ ( 3x + 3 ) dx = ∫ 3x dx + ∫ 3 dx = x +
+C
Ta có: ∫

.
ln 3
2

x

2

x

3

Câu 11. [2D3-1.1-1] (Đặng Thành Nam Đề 15) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 3x + sin8 x

3x
− cos8 x + C
A. ln 3
.

3x 1
− cos8x + C
B. ln 3 8
.

3x 1
+ cos8 x + C
C. ln 3 8
.

1
3x ln 3 − cos8 x + C
D.
.
8

là

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Phu; Fb: Nguyễn Văn Phu
Chọn B

Ta có

x
x
∫ ( 3 + sin 8x ) dx = ∫ 3 dx + ∫ sin 8xdx =

3x 1
− cos8 x + C
.
ln 3 8

Câu 12. [2D3-1.1-1] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2x + 2x

là

2x
x +
+C
A.
.
ln 2
2

B.

x 2 + 2 x.ln 2 + C .

C. 2 +
Lời giải

2x
2+
+C
D.
.
ln 2

2 x.ln 2 + C .

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Mai; Fb: Thanh Mai Nguyen
Chọn A

2x
( 2 x + 2 ) dx = x + ln 2 + C .

Ta có: ∫
x

2

Câu 13. [2D3-1.1-1] (THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019) Họ nguyên hàm của hàm
số

f ( x) = e x + cos x + 2019

A.

e x + sin x + 2019 + C .

B.

e x − sin x + C .

C.

e x + sin x + 2019 x + C .

D.

e x − sin x + 2019 x + C .

là

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Dung Nguyễn

Chọn C
Ta có:

∫(e

x

+ cos x + 2019 ) dx = e x + sin x + 2019 x + C .

f ( x) = e x + cos x + 2019

Vậy họ nguyên hàm của hàm số

là

e x + sin x + 2019 x + C .

Câu 14. [2D3-1.1-1] (Sở Ninh Bình 2019 lần 2) Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

1
sin 2 x + C .
B. 2

sin 2 x + C .

f ( x ) = cos 2 x .
1
− sin 2 x + C .
D. 2

C. − 2sin 2 x + C .
Lời giải

Tác giả: Vũ Quốc Triệu ; Fb: Vũ Quốc Triệu
Chọn B

1

1

cos2 x dx = ∫ cos2 x d ( 2 x ) = sin 2 x + C.
Ta có : ∫
2
2
Câu 15. [2D3-1.1-1] (Chuyên Thái Nguyên) Họ nguyên hàm của hàm số

1
+C
B. 4 x.ln 4
.

4x
+C
A. ln 4
.

C. 4 x +

f ( x ) = 22 x

C.

là:

D. 4 x.ln 4 + C .

Lờigiải
Tác giả:Bùi Anh Dũng. Facebook: Bùi Dũng
Chọn A

4x
f ( x ) dx = ∫ 2 dx = ∫ 4 dx =
+C
Ta có: ∫
.
ln 4
2x

x

Câu 16. [2D3-1.1-1] (HK2 Sở Đồng Tháp) Cho các hàm số
Mệnh đề nào sau đây sai?

f ( x), g ( x)

liên tục trên tập xác định.


A.

C.

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx, (k ≠ 0) .
∫

f ( x)
∫ f ( x)dx
dx =
g ( x)
∫ g ( x)dx .

B.

∫ f ′( x)dx = f ( x) + C .

D.

∫ [ f ( x) − g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Đức; Fb: Nguyen Tran Duc
Chọn C
Theo công thức nguyên hàm sách giáo khoa đáp án A, B, D đúng.

1

dx = ln x + C
Đáp án C sai, ví dụ ∫ x

≠

∫ 1dx = x + C
∫ xdx x + C
1

2

2

2

.

Câu 17. [2D3-1.1-1] (CổLoa Hà Nội) Họ nguyên hàm của hàm số
A.

F ( x ) = 3x3 − sin x + C .

C.

F ( x ) = x3 + sin x + C .

B.

f ( x ) = 3x 2 + sin x

là

F ( x ) = x3 +cos x + C .

D. F
Lời giải

( x ) = x3 − cos x + C .

Tác giả: Nguyễn Thanh Hương; Fb: ThanhHươngNguyễn
Chọn D
Áp dụng tính chất của nguyên hàm và bảng nguyên hàm cơ bản ta được họ nguyên hàm của
hàm số đã cho là:

F ( x ) = x3 − cos x + C .
f ( x) =

Câu 18. [2D3-1.1-1] (Chuyên Vinh Lần 3) Tất cả các nguyên hàm của hàm
A.

2 3x − 2 + C .

2
3x − 2 + C
B. 3
.

2
3x − 2 + C
C. 3
.
−

D.

1
3x − 2 là

− 2 3x − 2 + C .

Lời giải
Chọn B
1

∫
Ta có

1
1
1
1 ( 3x − 2 ) 2
2
−
dx = ∫ ( 3 x − 2 ) 2 d ( 3 x − 2 ) = .
+C =
3 x − 2 + C.
1
3
3
3
3x − 2
2

Câu 19. [2D3-1.1-1] (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Tính

e ≈ 2,718 .
e2 x 2
F ( x) =
+C
A.
.
2

e3
F ( x) = + C
B.
.
3

F ( x) = ∫ e 2 dx ,

C. F ( x ) =

e2 x + C .

trong đó

e

là hằng số và

D. F ( x) =

2ex + C .

Lời giải
Tác giả: PhanThanhLộc; Fb:PhanThanhLộc


Phản biện: Nguyễn Văn Đắc;Fb Đắc Nguyễn
Chọn C
Ta có:

F ( x) = ∫ e2 dx = e2 x + C .

Câu 20. [2D3-1.1-1] (Kim Liên) Tìm

A.

C.

F ( x)

( 2 x + 1)
=

100

F ( x)

( 2 x + 1)
=

101

F ( x ) = ∫ ( 2 x + 1)

100

+ C.

200

202

dx

B.

+ C.

D.
Lời giải

F ( x)

( 2 x + 1)
=

101

F ( x)

( 2 x + 1)
=

101

+ C.

101

102

+ C.
FB: dacphienkhao

Chọn C

( ax + b )
(∫ ax + b ) dx =
a ( n + 1)
Áp dụng cơng thức

n +1

n

Ta có

F ( x ) = ∫ ( 2 x + 1)

Câu 21. [2D3-1.1-1]

100

( 2 x + 1)
dx =
202

, với

n ≠ − 1 và a ≠ 0 .

101

+C

.

(THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Cho

F ( x ) là một ngun hàm của hàm số f ( x )
A. I = 2 xF ( x ) − x + C.
C.

+C

trên

I = 2 F ( x ) − 1 + C.

¡ . Tìm I = ∫  2 f ( x ) − 1 dx.

biết

I = 2 xF ( x ) − 1 + C.

B.

I = 2 F ( x ) − x + C.

D.
Lời giải

Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy
Chọn D
Ta có:

I = ∫  2 f ( x ) − 1 dx = 2 ∫ f ( x ) dx − ∫ dx = 2 F ( x ) − x + C.

Câu 22. [2D3-1.1-1] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Họ nguyên hàm của
hàm số
A. 1 +

f ( x ) = 1 + sin x

cos x + C .

B. 1 −

cos x + C .

C.

x + cos x + C .

D.

x − cos x + C .

Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu
Chọn D
Ta có

∫ f ( x ) dx = ∫ ( 1 + sin x ) dx = x − cos x + C .


Câu 23. [2D3-1.1-1] (HKII Kim Liên 2017-2018) Hàm số

f ( x)

nào dưới đây thoả mãn

∫ f ( x ) dx = ln x + 3 + C ?
A.

f ( x ) = ( x + 3) ln ( x + 3) − x .

C.

f ( x) =

B.

1
x+ 2 .

f ( x) =

D. f
Lời giải

1
x+ 3.

( x ) = ln ( ln ( x + 3) ) .
Tác giả: Đỗ Tấn Bảo; Fb: Đỗ Tấn Bảo

Chọn B

∫

′
f ( x ) dx = ln x + 3 + C ⇒ f ( x ) = ( ln x + 3 + C ) =

Ta có
Vậy chọn phương án B.

( x + 3) ′ =
x+ 3

1
x+ 3.

Câu 24. [2D3-1.1-1] (Chuyên KHTN lần2) (Chuyên KHTN lần2) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x) = sin3x
A.

là

3cos3x + C.

B.

1
cos3x + C.
C. 3

− 3cos3x + C.

1
− cos3x + C.
D. 3

Lời giải
Tác giả: Dương Hà Hải; Fb: Dương Hà Hải.
Phản biện :Mai Đình Kế; Fb: Tương Lai.
Chọn D

1

f
(
x
)
dx
=
sin
3
xdx
=
−
cos3x + C.
∫
Ta có ∫
3
Câu 25. [2D3-1.1-1] (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số

1 x 1 2
2 + x + x+C
A. ∫
.
x+1
2
1 x 1 2
f
x
d
x
=
2 + x + x+C

(
)
C. ∫
.
ln 2
2
f ( x ) dx =

f ( x ) = 2 x + x + 1 . Tìm ∫ f ( x ) dx .
1 2
x
f
x
d
x
=
2
+
x + x+C
(
)
B. ∫
.
2
D.

∫ f ( x ) dx = 2

x

+ x2 + x + C .

Lời giải
Chọn C

Có

∫

f ( x ) dx = ∫ ( 2 x + x + 1) dx =

1 x 1 2
2 + x + x+C
.
ln 2
2

Câu 26. [2D3-1.1-1] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Họ nguyên hàm
của hàm số

f ( x) =

1
ln ( 3x − 1) + C
A. 3
.

1

1

−∞ ; ÷

3  là
3x − 1 trên khoảng 
B.

ln ( 1 − 3x ) + C .


1
ln ( 1 − 3x ) + C
C. 3
.

D.

ln ( 3x − 1) + C .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Hoàng Huy; Fb: Nguyen Hoang Huy
Chọn C

1

1
1
1
−∞ ; ÷
d
x

=
ln
3
x
−
1
+
C
=
ln ( 1 − 3x ) + C

Trên khoảng 
.
3  ta có ∫ 3x − 1
3
3

y = e2 x

Câu 27. [2D3-1.1-1] (KonTum 12 HK2) Họ nguyên hàm của hàm số
A.

2e + C .
2x

1 2x
e +C
B. 2
.

C. e 2 x + C .
Lời giải

là
D.

4e2 x−1 + C .

Chọn B

1 2x
2x
e
d
x
=
e +C
Nguyên hàm ∫
.
2
Câu 28. [2D3-1.1-1] (KHTN Hà Nội Lần 3) Họ nguyên hàm của hàm số
A.

- cos x + C .

B.

cos x + C

.

C.

tan x + C .

f ( x) = sin x
D.

là

- cot x +C .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Ánh ; Fb: Ngoc Anh Nguyen
Chọn A
Ta có:

ịsin xdx =- cos x +C .

Câu 29. [2D3-1.1-1] (HK2 Sở Đồng Tháp) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. ∫ sin xdx = cos x + C .
C.

∫ cos xdx = sin x + C .

1

1

dx = −

B. ∫ x
x
D.

∫ a dx = a
x

x

2

+ C ( x ≠ 0)

.

+ C (0 < a x ≠ 1) .

Lời giải.
Tác giả: Trần Văn Hiếu; Fb: Hieu Tran.
Chọn C

∫ cos xdx = sin x + C
Câu 30. [2D3-1.1-1] (Hùng Vương Bình Phước) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

y = x 2 − 3x +

x 3 3x 1
−
− + C, C ∈ ¡
A. 3 ln 3 x 2

.

x3 x 1
− 3 + 2 + C, C ∈ ¡
B. 3
.
x

x 3 3x
−
+ ln x + C , C ∈ ¡
C. 3 ln 3
.

x 3 3x
−
− ln x + C , C ∈ ¡
D. 3 ln 3
.
Lời giải

1
x.


Tác giả: Nguyễn Trần Tuấn Minh ; Fb: Tuấn Minh
Chọn C

x 3 3x
 2 x 1

+ ln x + C , C ∈ ¡
 x − 3 + ÷dx = −
Ta có: ∫ 
.
x
3 ln 3
Câu 31. [2D3-1.1-1] (THPT Nghèn Lần1) Họ nguyên hàm của hàm số
A.

x 2 − cos x + C .

B.

2 + cos x + C .

C. 2 −
Lời giải

f ( x ) = 2 x + sin x

cos x + C .

D.

là

x 2 + cos x + C .

Tác giả: PhongHuynh ; Fb: PhongHuynh
Chọn A

Ta có

∫ ( 2 x + sin x ) dx = 2∫ xdx + ∫ sin xdx = x2 − cos x + C .

Câu 32. [2D3-1.1-1] (Chuyên Thái Bình Lần3) Hàm số
của hàm số

F ( x) = 2sin x − 3cos x

là một nguyên hàm

A.

f ( x ) = 2cos x + 3sin x .

B.

f ( x ) = − 2cos x + 3sin x .

C.

f ( x ) = − 2cos x − 3sin x .

D.

f ( x ) = 2cos x − 3sin x .

Lời giải
Tác giả: Quỳnh Thụy Trang; Fb: XuKa
Chọn A

Câu 33. [2D3-1.1-1] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) = x - 1 trên ( 0;+¥ ) ?
2 3
x - x +2
A.
.
3
1
F ( x) =
C.
2 x.
F ( x) =

B.
D.
Lời giải

F ( x) =

F ( x) =

1
2 x

- x

.

23 2

x - x +1
.
3

Tác giả: Vũ Văn Hiến; Fb: Vu Van Hien
Chọn A
3

Ta có

∫ f ( x ) dx = ∫ (

Quan sát đáp án, chọn

 1 
x2
= ∫  x 2 − 1÷dx = − x + C 2
3

=
x3 − x + C
x − 1 dx 
.
3
2

)

C = 2 ta được đáp án A.

Câu 34. [2D3-1.1-1] (ĐỀ-THI-THU-ĐH-THPT-CHUYÊN-QUANG-TRUNG-L5-2019) Họ nguyên
hàm của hàm số

f ( x ) = 2x +

2
2 ln 2 − 2 + C
A.
.
x
x

B.

2
x là

2 x + 2ln x + C .

2x
+ 2ln x + C
C. ln 2
.

2x
+ 2ln x + C
D. ln 2
.

Lời giải
Tác giả: Đoàn Thị Hường; Fb: Đoàn Thị Hường
Chọn C

2x
 x 2
f ( x ) dx = ∫  2 + ÷dx =
+ 2ln x + C
Ta có ∫
.
x
ln 2


f ( x ) = cos 2x + 3x

Câu 35. [2D3-1.1-1] (Sở Đà Nẵng 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số

1
3
− sin 2 x + x 2 + C
A. 2
.
2

1
sin 2 x + 3x 2 + C
B. 2
.

− 2sin 2 x + 3 + C .

1
3
sin 2 x + x 2 + C
D. 2
.
2

C.

là

Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Thành ; Fb:Thanh Vũ
Chọn D

1

3

3x dx = sin 2 x + x
Ta có ∫ ( cos 2x + 3x ) dx = ∫ cos 2xdx + ∫
2
2

2

+C

Câu 36. [2D3-1.1-1] (Đoàn Thượng) Họ các nguyên hàm của hàm số
B.

4

f ( x ) = x4 + x2

1 5 1 3
x + x +C
C. 5
.
3

4 x + 2 x + C . B. x + x + C .
3

.

2

D.

là

x5 + x3 + C .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Tuấn Minh ; Fb: Tuấn Minh

Chọn C

(x
Ta có: ∫

4

1
1
+ x 2 ) dx = x5 + x3 + C
( C là hằng số).
5
3

Câu 37. [2D3-1.1-1] (KonTum 12 HK2) Họ nguyên hàm của hàm số

1
ln 2 x − 3 + C
A. 2
.

B. 2ln 2 x − 3 + C .

f ( x) =

1
ln 2 x − 3 + C
C. 3
.

1
2 x − 3 là
D.

ln 2 x − 3 + C .

Lời giải

Tác giả: ; Fb: Nguyễn Ngọc Lan Vy
Chọn A

1
1
d
x
=
ln 2 x − 3 + C
Ta có : ∫ 2 x − 3
.
2
Câu 38. [2D3-1.1-1] (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) (KINH MÔN II LẦN 3 NĂM 2019) Họ
nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = cos 2 x

A.

∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C .

C.

∫ cos 2 xdx =

sin 2 x
+C
.
2

là
B.

∫ cos 2 xdx = 2sin 2 x + C .

D.

∫ cos 2 xdx = −

Lời giải

sin 2 x
+C
.
2


Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy
Chọn C

Ta có:

∫ cos 2 xdx =

1
sin 2 x
cos
2
x
.d
2
x
=
+C
(
)
.
2∫
2

Câu 39. [2D3-1.1-1] (Văn Giang Hưng Yên) Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?

dx
= ln x + C
A. ∫ x
.

x α+1
x dx =
+ C ( α ≠ − 1)
B. ∫
.

α +1

ax
a dx =
+ C ( 0 < a ≠ 1)
C. ∫
.
ln a

dx
= tan x + C
D. ∫ cos x
.

α

x

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Đức Quy; Fb: Nguyễn Đức Quy
Chọn D
Ta có

dx
cos xdx (sinx)'dx
d(sinx) 1 1 + sinx
=
=
=
∫ cos x ∫ cos2 x ∫ 1 − sin 2 x ∫ 1 − sin 2 x = 2 ln 1 − sinx + C .

Nên đáp án

D sai.

( tan x ) ′ =
Cách khác:

1
cos 2 x nên đáp án

D

sai.

Câu 40. [2D3-1.1-1] (Chuyên Vinh Lần 3) Tìm nguyên hàm của hàm số:

.

y = x2 − 3x +
A.

.
3

2

3

2

.
3

x 3x
−
+ ln x + C
3
2
C.

. B.

.

1
x

2

x 3x
−
+ ln x + C
3
2
D.
.
x3 3x 2 1
−
+ 2 +C
3

2
x

x 3x
−
− ln x + C
3
2
Lời giải.

Tác giả: Tống Thúy; Fb: Thuy Tong.
Chọn A
3
2
1
 2
1
x
3
x
2
+ ln x + C
 x − 3x + ÷dx = ∫ x dx − 3∫ xdx + ∫ dx = −
Ta có: ∫ 
.
x
x
3 2

Câu 41. [2D3-1.1-1] (NGƠ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = x 2 − 3x +

1
x trên ¡ \ { 0} là

x3 3x 2 1
−
+ +C
A. 3
.
2 x2

x3 3x 2
−
+ ln x + C
B. 3
.
2


x3 3x 2
−
+ ln x + C
C. 3
.
2

x3 3x 2
−

− ln x + C
D. 3
.
2
Lời giải
Tác giả: Đỗ Phúc Thịnh; Fb: Đỗ Phúc Thịnh

Chọn B

1
x3 3 x 2
 2
f ( x ) d x = ∫  x − 3 x + ÷ dx = −
+ ln x + C
Ta có: ∫
.
x
3 2

x3 3x 2
1
−
+ ln x + C
f ( x ) = x − 3x +
Vậy họ nguyên hàm của hàm số
.
x trên ¡ \ { 0} là 3 2
2

Câu 42. [2D3-1.1-1] (Trần Đại Nghĩa) Họ nguyên hàm của hàm số
A.

ex + x + C .

B.

− e− x − x + C .

C.

f ( x) = e− x − 1 là

− ex − x + C .

D.

e− x − x + C .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trần Đức; Fb: Nguyen Tran Duc
Chọn B
Câu 43. [2D3-1.1-1] (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Cho các hàm số
và

y = g ( x)

liên tục trên

¡

y = f ( x)

. Khẳng định nào sau đây là đúng?

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx . B. ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .
C. ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . D. ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
A.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn D
Cho các hàm số

y = f ( x)

và

y = g ( x)

liên tục trên

¡ . Ta có:

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
PT 19.1
là đúng?

Cho các hàm số

y = f ( x)

và

y = g ( x)

liên tục trên

¡

. Khẳng định nào sau đây

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx . B. ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .
C. ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = − ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx . D. ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
A.

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Thị Thanh Vân; Fb: Thanh Van
Chọn B


Cho các hàm số

y = f ( x)

và

y = g ( x)

liên tục trên

¡ . Ta có:

∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx
Câu 44. [2D3-1.1-1] (THPT ISCHOOL NHA TRANG) Trong không gian

A ( − 1;2;1) , B ( 0;2;3) . Phương trình mặt cầu ( S )
2

đường kính

AB

Oxyz ,

cho hai điểm

là

2

1
5
2
( S ) :  x + ÷ + ( y − 2)2 + ( z − 2 ) =
A.
4.
 2

1
5
2
2
( S ) :  x − ÷ + ( y + 2 ) + ( z + 2 ) =
B.
4.
 2

2

2

1
1
2
2
2
2
( S ) :  x + ÷ + ( y − 2 ) + ( z − 2 ) = 5 ( S ) :  x − ÷ + ( y + 2 ) + ( z + 2 ) = 5
C.
. D.
.
 2
 2
Lời giải

Tác giả: Vũ Thị Thành; Fb:Thanh Vũ
Chọn A

Gọi

I

là tâm mặt cầu đường kính

AB . Khi đó I

là trung điểm đoạn thẳng

AB

nên

 1

AB
5
I  − ;2;2 ÷
R=
=
 2
 . Ta có
2
2 .
2

Phương trình mặt cầu

( S)

đường kính

AB

1
5
2
( S ) :  x + ÷ + ( y − 2)2 + ( z − 2 ) = .
là
4
 2

Câu 45. [2D3-1.1-1] (Hùng Vương Bình Phước) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A.

- 3cos3x +C .

B.

3cos3x + C .

1
cos3x + C
C. 3
.

D.

f ( x) = sin 3 x

-

1
cos3x + C
.
3

Lời giải
Tác giả: Trần Đại Lộ; Fb: Trần Đại Lộ
Chọn D

òsin 3x dx =-

cos3x
+C
3

Câu 46. [2D3-1.1-1] (Sở Vĩnh Phúc)Họ nguyên hàm của hàm số
A.

2−

3
+ C.
x2

B.

x2 −

3
+ C.
x2

C.

f ( x) = 2x +

x 2 + ln x + C.

3
x là
D.

x 2 + 3ln x + C.

Lờigiải
Tácgiả: Lê Cảnh Dương ; FB: Cảnh Dương Lê
Chọn D

∫


f ( x ) dx = ∫  2 x +


3
2
÷dx = x + 3ln x + C.
x

Câu 47. [2D3-1.1-1] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2x + x

là


A. 2 x.ln 2 + 1 +

x2
2 + +C
B.
.
2

2x x2
+ +C
C. ln 2 2
.

x

C.

x2
2 .ln 2 + + C
D.
.
2

x

Lời giải
Tác giả: Bùi Xuân Toàn ; Fb: Toan Bui
Chọn C

2x x2
f ( x ) dx = ∫ ( 2 + x ) dx =
+ +C
Ta có: ∫
.
ln 2 2
x



f ( x ) = e x ( 1 − 3e− 2 x )

Câu 48. [2D3-1.1-1] (Yên Phong 1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A.

e x − 3e− 3 x + C .

B.

e x + e− 2 x + C .

C. e x − 3e − x +
Lời giải

C.

D.

e x + 3e− x + C .

Chọn D
Ta có

∫ e  ( 1 − 3e ) dx = ∫  ( e
−2x

x

x

− 3e− x ) dx = e x + 3e− x + C . Chọn đáp án D.

Câu 49. [2D3-1.1-1] (THPT TX QUẢNG TRỊ LẦN 1 NĂM 2019) Nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = e − x + 1 là
A.

− ex + x + C .

B.

− e− x + x + C .

C. e x +

x+ C.

D. e x +

x+ C.

Lời giải
Tác giả: Khương Duy; Fb: Khuy Dương
Chọn B
Ta có

∫ f ( x ) dx = ∫ ( e

−x

+ 1) dx = − e − x + x + C .

x
Câu 50. [2D3-1.1-1] (Chuyên Bắc Giang) Hàm số F ( x ) = e là nguyên hàm của hàm số nào trong các
2

hàm số sau

2

f ( x ) = 2 xe x .
2

A.

B.

( )

f ( x ) = x 2e x − 1 .
2

ex
f ( x) =
D.
2x .

C. f x = e .
Lời giải
Tác giả: Hoàng Thị Ngọc Lan; Fb: Ngoclan Hoang
2x

Chọn A

( )

x
′
Ta có f ( x ) = F ( x ) = e

2

′

2

= 2 xe x .

Câu 51. [2D3-1.1-1] ( Sở Phú Thọ) Họ nguyên hàm của hàm số

x 4 x3
+ +C
A. 4
.
3

B.

x 4 + x3 + C .

C.

f ( x ) = x3 + x 2

3x 2 + 2 x + C .

là

x 4 x3
+ +C
D. 3
.
4

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Dạ Thu ; Fb:nguyendathu
Chọn A


x 4 x3
∫ ( x + x ) dx = ∫ x dx + ∫ x dx = 4 + 3 + C.
3

2

3

2

Câu 52. [2D3-1.1-1] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Tìm ngun


ex 
f ( x) = e  2 +
2 ÷
hàm của hàm số
 cos x  .
2
F ( x ) = − x + tan x + C
A.
.
e

B.

F ( x ) = 2e x − tan x + C .

2
− tan x + C
.
ex

D.

F ( x ) = 2e− x + tan x + C .

−x

C.

F ( x) = −

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram
Chọn A

∫


ex 
dx
2
f ( x ) . dx = ∫ e  2 +
. dx = 2 ∫ e − x . dx + ∫ 2 = − 2e − x + tan x + C = − x + tan x + C

2 ÷
cos x
e
.
 cos x 
−x

Câu 53. [2D3-1.1-1] (Kim Liên 2016-2017) Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) = 3 x −

f ( x ) dx = 2
A. ∫

1
x3 + + C
.
x

f ( x ) dx =
B. ∫
2

3

1
x3 − + C
.
x

f ( x ) dx = 3
C. ∫

1
x3 + + C
.
x

f ( x ) dx = 3
D. ∫

1
x3 − + C
.
x

1
x2

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Lan Vy; Fb: Nguyễn Ngọc Lan Vy

Chọn A



f ( x ) dx = ∫  3
Ta có: ∫


x−

1
2
1
 1
dx = 3. x3 −  − ÷ + C = 2 x3 + + C
2 ÷
.
x 
3
x
 x

Câu 54. [2D3-1.1-1] (Sở Phú Thọ) Họ nguyên hàm của hàm số

x 4 x3
+ +C
A. 4
.
3

B.

x 4 + x3 + C .

f ( x ) = x3 + x 2

C. 3 x 2 +
Lời giải

2 x+C .

là:

x 4 x3
+ +C
D. 3
.
4

Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan
Chọn A

x 4 x3
f ( x ) dx = ∫ ( x + x ) dx = + + C
Ta có : ∫
.
4 3
3

Câu 55.

2

Họ nguyên hàm của hàm số

3x5 x 2
+ +C
A. 5

.
2

B.

f ( x ) = 3 x5 + x

3x6 + x2 + C .

là:

C. 3x 6 +
Lời giải

2 x +C .

x6 x2
+ +C
D. 2
.
2


Tác giả: Giáp Văn Quân ; Fb: quanbg.quan
Chọn D

x6 x2
f ( x ) dx = ∫ ( 3x + x ) dx = + + C
Ta có : ∫
.

2 2
5

dx

Câu 56.

[2D3-1.1-1] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Tìm ∫ 2 − 3 x

1
− ln 3x − 2 + C
A. 3
.

−
B.

3

( 2 − 3x )

2

+C
.

1
ln 2 − 3 x + C
C. 3
.

1
D. ( 2 − 3x )

2

+C
.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Mạnh; Fb: Nguyễn Mạnh Toán
Chọn A

dx

1

= − ln 3x − 2 + C
Ta có ∫ 2 − 3 x
.
3
Câu 57. [2D3-1.1-1] (THPT PHỤ DỰC – THÁI BÌNH) Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

∫ cos3xdx = 3sin 3x + C.

C.

∫ cos3xdx = −

cos3xdx =
B. ∫

sin 3x
+ C.
3

D.
Lời giải

f ( x ) = cos3x

.

sin 3x
+ C.
3

∫ cos3xdx = sin 3x + C.

Tác giả: Vũ Quốc Triệu ; Fb: Vũ Quốc Triệu
Chọn B

Ta có:

∫ cos3xdx =

1
1
cos3xd ( 3x ) = sin 3x + C

∫
.
3
3

Câu 58. [2D3-1.1-1] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số

1

1
sin ( 3 − 2 x ) .
2

1

f ( x ) dx = cot ( 3 − 2 x ) + C
A. ∫
.
2

f ( x ) dx = − cot ( 3 − 2 x ) + C
B. ∫
.
2

1

f ( x ) dx = tan ( 3 − 2 x ) + C
C. ∫
.

2

f ( x) =

D.

∫ f ( x ) dx = cot ( 2 x + 1) + C .
Lời giải
Tác giả: Vũ Văn Hiến; Fb: Vu Van Hien

Chọn A

1
1
d
x
=
−
cot ( ax + b ) + C
∫
sin
ax
+
b
a
(
)
+ Áp dụng công thức
.
2

+

∫ f ( x ) dx = ∫

1
1
1
d
x
=
−
.cot
3
−
2
x
+
C
=
.cot ( 3 − 2 x ) + C
(
)
sin 2 ( 3 − 2 x )
−2
2
.

Câu 59. [2D3-1.1-1] (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2x + x

là

2x
+ x2 + C
A. ln 2
.

2x x2
+ +C
C. ln 2 2
.

x2
2 + +C
B.
.
2
x

D.

2x + x2 + C .

Lời giải
Tác giả: Trần Công Sơn; Fb: Trần Công Sơn
Chọn C

2x x2
∫ f ( x ) dx = ∫ ( 2 + x ) dx = ln 2 + 2 + C .
Ta có:
x

2
Câu 60. [2D3-1.1-1] (Sở Quảng Ninh Lần1) Tìm nguyên hàm của hàm số
4x − 3
2
1
3
2
1
d
x
=
ln
2
x
−
+C
d
x
=
ln
4
x
−
3
+

C
∫
A. ∫ 4 x − 3
.
B.
.
4
x
−
3
2
2
4
f ( x) =

2
dx = 2ln 4 x − 3 + C
C. ∫ 4 x − 3
.

2
3
d
x
=
2ln
2
x
−
+C

D. ∫ 4 x − 3
.
2
Lời giải
Tác giả: Mai Quỳnh Vân; Fb: Vân Mai

Chọn B

3

d  2x − ÷
2
1
1 
3
2 1
= ln 2 x − + C
∫ 4 x − 3 dx = ∫ 3 dx = 2 ∫
3
2
2
2x −
2x −
Ta có:
.
2
2
Câu 61. [2D3-1.1-1] (Lê Xoay lần1) (Lê Xoay lần1)Cho

π 

π 
F  ÷= 1
F ÷
f ( x) = sin 2 x và  4  . Tính  6  ?
5
A. 4 .
B. 0 .

3
C. 4 .

Lời giải

F (x) là

nguyên hàm của hàm số

1
D. 2 .

Tác giả: Trần Thị Phượng Uyên, FB: Uyen Tran
Chọn C

1
F ( x ) = − cos 2 x + C
Vì F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) = sin 2 x nên
2


1 π

π 
1
F  ÷ = 1 ⇔ − cos + C = 1 ⇔ C = 1
F (x) = − cos 2 x + 1
, suy ra
2
2
 4
2
1 π
3
π 
F  ÷ = − cos + 1 =
2
3
4.
 6
Câu 62. [2D3-1.1-1] (Chuyên Hà Nội Lần1) Hàm số nào trong các hàm số sau đây không là nguyên
hàm của hàm số

y = x 2019

x 2020
+1
A. 2020 .

?

x 2020
B. 2020 .

x 2020
−1
D. 2020 .

C. y = 2019 x .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Phú ; Fb: Nguyễn Văn Phú
2018

Chọn C
Ta có:

∫x

hàm số

2019

x 2020
dx =
+ C, C
là hằng số. Nên các phương án A, B, D đều là nguyên hàm của
2020

y = x 2019 .

Phương án C là đạo hàm của hàm số y = x

2019

nên chọn C

Câu 63. [2D3-1.1-1] (THPT YÊN DŨNG SỐ 2 LẦN 4) Họ các nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

1
2 x + 3 là

1
ln 2 x + 3 + C
A. ln 2
.

B. ln 2 x + 3 + C .

1
ln 2 x + 3 + C
C. 2
.

1
ln ( 2 x + 3) + C
D. 2
.

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Bích Hạnh ; Fb:Hạnh Bích

Chọn C

Áp dụng:

∫

1
1
1
f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C ⇒ ∫
dx = ln 2 x + 3 + C.
a
2x+ 3
2

Câu 64. [2D3-1.1-1] (Sở Cần Thơ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

x4 3
F ( x) = − x + 5 x + C
A.
.
4
C.

B.

f ( x) = x3 − 3x2 + 5 là

F ( x) = x 4 − x 3 + 5 x + C .

1
F ( x) = x 4 − x 3 + 5 x + C
D.
.
3

F ( x) = 3x − 6 x + C .
2

Lời giải
Tác giả: Đỗ Minh Tùng; Fb: Đỗ Minh Tùng
Chọn A

x4 3
F ( x) = ∫ f ( x)dx = ∫ ( x − 3x + 5)dx = − x + 5 x + C.
4
3

2



e− x 
f ( x) = e  2 + 2 ÷
Câu 65. [2D3-1.1-1] (Nguyễn Khuyến)Nguyên hàm của hàm số
 cos x  là
1
1
2e x +
+C

2e x −
+C
x
A.
.
B. 2e + tan x + C .
C.
.
D. 2e x − tan x + C .
cos x
cos x
x

Lời giải

Tác giả: Ngô Thị Thơ; Fb: Ngô Thị Thơ
Chọn B


e− x 
1
f ( x ) = e  2 + 2 ÷ = 2e x + 2
cos x .
 cos x 
x

Suy ra nguyên hàm của

f ( x)

là:

2e x + tan x + C .

Câu 66. [2D3-1.1-1] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.

∫ sin 5xdx = cos5x + C, C ∈ ¡ .

sin 5 xdx = −
C. ∫

∫ sin 5xdx = 5cos5 x + C, C ∈ ¡ .

B.

cos5 x
+ C, C ∈ ¡
.
5

sin 5 xdx =
D. ∫

cos5 x
+ C, C ∈ ¡
.
5

Lời giải

Tác giả: Nguyễn Dung ; Fb: Dung Nguyễn
Chọn C

Áp dụng công thức

Vậy

∫ sin 5xdx = −

∫ sin kxdx = −

cos kx
+ C, C ∈ ¡
.
k

cos5 x
+ C, C ∈ ¡
.
5

Câu 67. [2D3-1.1-1] (TRƯỜNG THỰC HÀNH CAO NGUYÊN – ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN NĂM
2019) Giả sử hàm số
thực tùy ý. Khi đó:

f ( x)

liên tục khoảng

K

và

a, b là hai điểm của K , ngoài ra k

a

a

b

b

b

a

b

a

a

a

là một số

( I ) ∫ f ( x ) dx = 0. ( II ) ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx. ( III ) ∫ k. f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx.
Trong ba công thức trên:
A. Chỉ có

( I)

và

( II )

C. Chỉ có

( II )

sai.

sai.

B. Cả ba đều đúng.

( )

D. Chỉ có I sai.
Lời giải
Tác giả: Huỳnh Anh Kiệt; Fb: Huỳnh Kiệt

Chọn C
Theo định nghĩa sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản thi chỉ có

( II )

sai.

Câu 68. [2D3-1.1-1] (HKII Kim Liên 2017-2018) Tìm nguyên hàm của hàm số

f ( x) = 3x .


3x + 1
f ( x )dx =
+C
B. ∫
x +1 .

3x
f ( x)dx =
+C
A. ∫
.
ln 3
C.

∫ f ( x)dx = 3 + C .
x

D.
Lờigiải

∫ f ( x)dx = 3 .ln 3 + C .
x

Tácgiả: Đào Thị Hương; Fb: Hương Đào
Chọn A

3x
3 dx =
+C
Ta có ∫
.
ln 3
x

Câu 69. [2D3-1.1-1] (Chuyên Hà Nội Lần1) Hàm số nào trong các hàm số sau đây là một nguyên hàm
của hàm số y = e

−2 x

?

e− 2 x
y=−
A.
2 .
C.

y = 2e + C ( C ∈ ¡
−2x

B.

y = − 2e − 2 x + C ( C ∈ ¡

).

e− 2 x
y=
D.
2 .

).

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Việt Huy; Fb: Huy Nguyen
Chọn A

1 −2x
−2 x
e
d
x
=
−
e +C
Ta có ∫
.
2
Suy ra đáp án đúng là A


Câu 70. [2D3-1.1-1] (Gang Thép Thái Nguyên) Cho hàm số

f ( x)

liên tục trên

[ a; b]

và

∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , hãy chọn khẳng định đúng.
b

A.

b

∫ f ( x ) dx = b − a.

B.

a

b

C.

∫ f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b) .
a

b

∫ f ( x ) dx = a − b.

∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) .

D. a
Lời giải

a

Tác giả:Lê Như Quân;FB:Lê Như Quân
Chọn D
b

Sử dụng định nghĩa tích phân ta có

∫

f ( x ) dx = F ( x )

a

b
= F ( b) − F ( a ) .
a

Câu 71. [2D3-1.1-1] (Sở Hà Nam) Họ nguyên hàm của hàm số

1
y = e3 x + 2 x + C .
A.
3

1
y = e3 x + 2 + C.
B.
3

y = e3 x + 2 là

1
y = e3 x + 1 + 2 x + C .
3x
C.
D. y = 3e + 2 x + C.
3

Lời giải


Tác giả: Dương Quang Hưng; Fb: Dương Quang Hưng
Chọn A

(e
Ta có: ∫

3x

1
+ 2 ) dx = e3 x + 2 x + C .
3

Câu 72. [2D3-1.1-1] (Sở Hưng Yên Lần1) (Sở Hưng Yên Lần1) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x) =

1
x − 1 là
−

A. ln x − 1 + C .

B.

1

( x − 1)

2

+C
.

(

)

C. 2ln x − 1 + C .
D. ln x − 1 + C .
Lời giải
Tác giả:Vũ Thị Thúy; Fb: Vũ Thị Thúy

Chọn A

1
1
d
x
=
∫ x − 1 d ( x − 1) = ln x − 1 + C .
Có ∫ x − 1
1
f ( x) =
Vậy họ nguyên hàm của hàm số
x − 1 là ln x − 1 + C .
Câu 73. [2D3-1.1-1] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

x 3 3x
−
− ln x + C , C ∈ ¡
A. 3 ln 3
.

x 3 3x
−
+ ln x + C , C ∈ ¡
B. 3 ln 3

x3 x 1
− 3 + 2 + C, C ∈ ¡
C. 3
.
x

x 3 3x 1
−
− + C, C ∈ ¡
D. 3 ln 3 x 2
.

y = x 2 − 3x +

1
x.

Lời giải

Tác giả: Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc
Chọn B

x 3 3x
 2 x 1
x
−
3
+
d
x
=
−
+ ln x + C , C ∈ ¡

÷

Ta có: ∫ 
.
x
3 ln 3
Câu 74. [2D3-1.1-1] ( Chun Lam Sơn Lần 2) Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số

f ( x) = sinx + e x − 5 x ?
5
F ( x) = − cos x + e x − x 2 + 1
A.
.
2
5
F ( x) = cos x + e x − x 2
C.
2 .

B.

D.
Lời giải

Chọn A

( sinx + e
Ta có ∫

x

5

− 5 x ) dx = − cos x + e x − x 2 + C
.
2

F ( x) = cos x + e x − 5 x + 3 .
F ( x) = − cos x +

ex 5 2
− x
x+1 2 .


Câu 75. [2D3-1.1-1] ( Nguyễn Tất Thành Yên Bái) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 3x 2 + sin x

A.

F ( x ) = x 3 + sin x + C .

B.

F ( x ) = x3 − cos x + C .

C.

F ( x ) = 3x3 − sin x + C .

D.

F ( x ) = x3 + cos x + C .

là

Lời giải
Fb: Lan Anh Lê
Chọn B
Ta có

∫ ( 3x

2

+ sin x ) dx = x3 − cos x + C .

Câu 76. [2D3-1.1-1] (Kim Liên 2016-2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
A.

C.

1

f ( x) =

( sin x + cos x )

∫

1  π
f ( x ) dx = − tan  x + ÷ + C

.
2  4

B.

∫

1  π
f ( x ) dx = − tan  x − ÷ + C
.
2  4

1  π
f
x
d
x
=
tan  x + ÷+ C
(
)
D. ∫
.
2  4

∫

2

1  π

f ( x ) dx = tan  x − ÷ + C
.
2  4

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Lan Vy; Fb: Nguyễn Ngọc Lan Vy

Chọn B

1

∫ f ( x ) dx = ∫ ( sin x + cos x )
Ta có:
=∫

2

dx

=∫

1
2


 π 
 2 cos  x − 4 ÷÷




dx

1
dx
1  π
π
2
2.cos  x − ÷ = tan  x − ÷ + C
.
2  4
4


Câu 77. [2D3-1.1-1] (Đặng Thành Nam Đề 12) Họ các nguyên hàm của hàm số
A.

−

3
+C
.
x4

B.

−

1
+C

.
x2

1
+C
C. 2 x 2
.
−

f ( x) =

D.

−

1
x 3 là

2
+C
.
x2

Lời giải
Tác giả:Lê Công Hùng ; Fb: />
Chọn C

1
x −2
1

−3
dx = ∫ x dx =
+ C=− 2+C
3
∫
Ta có x
.
−2
2x
Câu 78. [2D3-1.1-1] ( Chuyên Lam Sơn Lần 2)Cho
trên miền
A.

( 0;+∞ )

∫

1
f ( x ) dx = + ln x + C
(với
x

chọn đẳng thức đúng về hàm số

f ( x ) = x + ln x .

B.

f ( x) .
f ( x) =

x −1
x2 .

C

là hằng số tùy ý),


f ( x) = − x +

C.

1
+ ln x
.
x

D.

f ( x) =

−1
+ ln x
.
x2

Lời giải
Tác giả: Dương Thị Bích Hịa; Fb: Dương Thị Bích Hịa.
Chọn B

1
1 1 x −1
'
f
x
=
(
+
ln
x
+
C
)
=
−
+ =
(
)
Trên miền ( 0;+∞ ) , ta có:
x
x2 x x2 .
Câu 79. [2D3-1.1-1] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Họ nguyên hàm của hàm số

1
e x − x2 + c
A.
.
2
1

C. x + 1

B.

1
ex − x2 + c
.
2

f ( x) = ex − x

là

ex − x2 + c .

D. e x − 1 + c .
Lờigiải
Tácgiả:; Fb: Thanhhoa Nguyễn

Chọn A .

∫(e

x

1
− x ) dx = e x − x 2 + c
.
2

Câu 80. [2D3-1.1-1] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho
hàm số liên tục và xác định trên

¡

f ( x) , g ( x)

là các

. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
B. ∫  f ( x ) − g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx .
C. ∫ 5 f ( x ) dx = 5∫ f ( x ) dx .
D. ∫ f ( x ) .g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx.∫ g ( x ) dx .
A.

Lời giải
Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân
Chọn D
Theo tính chất của nguyên hàm thì các đáp án

A,B,C

đều đúng, đáp án

D

Câu 81. [2D3-1.1-1] (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN V NĂM 2019) Cho hàm số

liên tục trên

A.

C.

[ a; b]

b

a

a

b

và số thực

k

là sai.

y = f ( x) , y = g ( x)

tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
a

∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx .

B.

b

b

b

a

a

a

∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .

D.

∫ kf ( x ) dx = 0 .
a

b

b

a

a

∫ xf ( x ) dx = x ∫ f ( x ) dx .

Lời giải
Tác giả: Lê Ngọc Hùng; Fb: Hung Le
Chọn D

Vì

b

b

a

a

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , với k ∈ R .

Câu 82. [2D3-1.1-1] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Nguyên hàm của hàm số
A.

2sin 2x + C .

B.

− 2sin 2x + C .

f ( x ) = cos 2 x

1
sin 2 x + C

C. 2
.

là

1
− sin 2 x + C
D. 2
.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Oanh ; Fb: Nguyễn Oanh

Chọn C

1

= sin 2 x + C
Ta có ∫ cos 2 xdx 2
.
dx
Câu 83. [2D3-1.1-1] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) ∫ 2 − 3 x bằng:
3
1
1
1
−
+
C
+C

− ln 3 x − 2 + C
ln
2
−
3
x
+
C
A. 3
.
B. (2 − 3 x) 2
.
C. 3
.
D. (2 − 3 x) 2
.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Minh; Fb: Nguyễn Minh

Chọn A

dx
1
=
ln ax + b + C
Áp dụng công thức ∫ ax + b a
.
dx
1

1
=
ln
2
−
3
x
+
C
=
−
ln 3x − 2 + C
Ta có ∫ 2 − 3 x − 3
.
3
Câu 84. [2D3-1.1-1] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Tìm nguyên hàm của hàm số

y = x 2 − 3x +

1
x.

x3 3x 2
−
− ln x + C
A. 3
.
2

x 3 3x 2

−
+ ln x + C
B. 3
.
2

x3 3x 2
−
+ ln x + C
C. 3
.
2

x 3 3x 2 1
−
+ +C
D. 3
.
2 x2
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Vũ Hoàng Trâm; Fb: Hoang Tram

Chọn C

1
x 3 3x 2
 2
x
−
3

x
+
d
x
=
−
+ ln x + C

÷
Ta có: ∫ 
.
x
3 2
Câu 85. [2D3-1.1-1] (SỞ PHÚ THỌ LẦN 2 NĂM 2019) Họ nguyên hàm của hàm số

f ( x) = sin x − 4 x3

là


A.

sin 2 x
− 8x + C
B. 2
.

cos x − x 4 + C .

C.

− cos x − x 4 + C .

cos2 x
− 8x + C
D. 2
.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Vĩnh Thái ; Fb:Thaiphucphat
Chọn C
Ta có

∫ ( sin x − 4 x ) dx = − cos x − x
3

4

+C.

Câu 86. [2D3-1.1-1] (Hùng Vương Bình Phước) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
A.

ln 2 x + 3 + C .

f ( x) =

1
2x + 3

1
1
ln 2 x + 3 + C
lg ( 2 x + 3) + C
C. ln 2
. D. 2
.

1
ln 2 x + 3 + C
B. 2
.

Lời giải
Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc
Chọn B
Câu 87. [2D3-1.1-1] (Nguyễn Khuyến)Gọi
mãn
A.

F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 2 x + e x thỏa

F ( 0 ) = 2019 . Tính F ( 1)

e + 2019 .

B.

e − 2018 .

C.

e + 2018 .

D.

e − 2019 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Hợp ; Fb: Nguyễn Thị Hồng Hợp
Chọn A
Nguyên hàm của hàm số

f ( x ) = 2x + ex

là :

F ( x ) = x2 + ex + C ; C ∈ R .
Theo yêu cầu bài toán ta có

F ( 0 ) = 02 + e0 + C = 2019 .

⇔ 1 + C = 2019 .

⇔ C = 2018 .
Nguyên hàm cần tìm là :

F ( x ) = x 2 + e x + 2018 .

⇒ F ( 1) = 12 + e1 + 2018 = e + 2019 .

Vậy:

F ( 1) = e + 2019

Câu 88. [2D3-1.1-1] (Chuyên Thái Bình Lần3) Hàm số
dưới đây trên mỗi khoảng xác định ?

F ( x) =

1
x là một nguyên hàm của hàm số nào