TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN docx

I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
( 1)x x dx

2.
2
2
1
11
()
e
x x dx
xx
  


2.
3
1
2x dx

3.
2
1
1x dx


4.

2
3
(2sin 3 )x cosx x dx




5.
1
0
()
x
e x dx


6.
1
3
0
()x x x dx

7.
2
1
( 1)( 1)x x x dx  


8.
2
3

1
(3sin 2 )x cosx dx
x




9.
1
2
0
( 1)
x
e x dx


10.
2
2
3
1
()x x x x dx

11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx  


12.

3
3
1
x 1 dx( ).



13.
2
2
2
-1
x.dx
x 


14.
2
e
1
7x 2 x 5
dx
x



15.
x2
5
2

dx
x2  


16.
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln



17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin




18.
4

2
0
tgx dx
x
.
cos


19.
1
xx
xx
0
ee
ee
dx






20.
1
x
xx
0
e dx
ee
.




21.
2
2
1
dx
4x 8x


22.
3
xx
0
dx
ee
ln
.



22.
2
0
dx
1xsin




II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
32
3
sin xcos xdx



2.
2
23
3
sin xcos xdx




3.
2
0
sin
13
x
dx
cosx




3.
4
0
tgxdx



4.
4
6
cot gxdx



5.
6
0
1 4sin x cosxdx




6.
1
2
0
1x x dx

7.
1

2
0
1x x dx


8.
1
32
0
1x x dx

9.
1
2
3
0
1
x
dx
x 


10.
1
32
0
1x x dx

11.
2

3
1
1
1
dx
xx


12.
1
2
0
1
1
dx
x

13.
1
2
1
1
22
dx
xx




14.

1
2
0
1
1
dx
x 

15.
1
22
0
1
(1 3 )
dx
x


16.
2
sin
4
x
e cosxdx



17.
2
4

sin
cosx
e xdx




18.
2
1
2
0
x
e xdx


19.
2
32
3
sin xcos xdx




20.
2
sin
4
x

e cosxdx



21.
2
4
sin
cosx
e xdx




22.
2
1
2
0
x
e xdx


23.
2
32
3
sin xcos xdx





24.
2
23
3
sin xcos xdx



25.
2
0
sin
13
x
dx
cosx




26.
4
0
tgxdx


27.
4

6
cot gxdx




28.
6
0
1 4sin x cosxdx



29.
1
2
0
1x x dx


30.
1
2
0
1x x dx

31.
1
32
0

1x x dx


32.
1
2
3
0
1
x
dx
x 

33.
1
32
0
1x x dx


34.
2
3
1
1
1
dx
xx

35.

1
1 ln
e
x
dx
x



36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x

37.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x



38.
2ln 1
1

e
x
e
dx
x


39.
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
xx



40.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x


41.
2
1
11
x
dx
x


42.
1
0
21
x
dx
x 

43.
1
0
1x x dx


44.
1
0
1
1
dx
xx


45.
1
0
1
1
dx
xx


46.
3
1
1x
dx
x


46.
1
1 ln
e
x
dx
x



47.
1

sin(ln )
e
x
dx
x

48.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x



49.
2ln 1
1
e
x
e
dx
x


50.
2
2
1 ln

ln
e
e
x
dx
xx



51.
2
2
1
(1 ln )
e
e
dx
cos x

52.
1
23
0
5

x x dx

53.
 
2

4
0
sin 1 cos

x xdx

54.
4
2
0
4 x dx


55.
4
2
0
4 x dx

56.
1
2
0
1
dx
x


II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :

u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
bb
b
a
aa
x d u x v x v x u x dx


Tch phân ca
́
c ha
̀
m sô
́
dễ pha
́
t hiê
̣
n u va
̀
dv

@ Dng 1
sin
()
ax
ax
f x cosax dx
e











( ) '( )
sin sin
cos
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
ee



   



   


   

   

   



@ Dng 2:
( )ln( )f x ax dx




Đt
ln( )
()
()
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx















@ Dng 3:
sin
.




ax
ax
e dx
cosax




Ví d 1: tính cc tích phân sau
a/
1
2
2
0
( 1)
x
xe
dx
x 


đă
̣
t
2
2
( 1)
x
u x e
dx
dv
x








b/
3
8
43
2
( 1)
x dx
x 

đă

̣
t
5
3
43
( 1)
ux
x dx
dv
x









c/
1 1 1 1
2 2 2
12
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1
(1 ) (1 ) 1 (1 )
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x


    
   
   

Tính I
1
1
2
0
1
dx
x



bằng phương pha
́
p đô
̉
i biến số
Tính I
2
=
1
2
22
0
(1 )
x dx

x

bằng phương pha
́
p tư
̀
ng phần : đă
̣
t
22
(1 )
ux
x
dv dx
x









Bài tập
1.
3
3
1
ln

e
x
dx
x

2.
1
ln
e
x xdx


3.
1
2
0
ln( 1)x x dx

4.
2
1
ln
e
x xdx


5.
3
3
1

ln
e
x
dx
x

6.
1
ln
e
x xdx


7.
1
2
0
ln( 1)x x dx

8.
2
1
ln
e
x xdx


9.
2
0

( osx)sinxx c dx



10.
1
1
( )ln
e
x xdx
x



11.
2
2
1
ln( )x x dx

12.
3
2
4
tanx xdx




13.

2
5
1
ln x
dx
x

14.
2
0
cosx xdx



15.
1
0
x
xe dx

16.
2
0
cos
x
e xdx



III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:

1.



5
3
2
23
12
dx
xx
x
2.


b
a
dx
bxax ))((
1

3.



1
0
3
1
1

dx
x
xx
4.
dx
x
xx



1
0
2
3
1
1

5.


1
0
3
2
)13(
dx
x
x
6.



1
0
22
)3()2(
1
dx
xx

7.



2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.




0
1
2

23
23
9962
dx
xx
xxx

9.


3
2
22
4
)1(
dx
x
x
10.



1
0
2
32
)1(
dx
x
x

n
n

11.



2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.


2
1
4
)1(
1
dx
xx

13.



2
0
2
4
1
dx
x
14.


1
0
4
1
dx
x
x

15.
dx
xx


2
0
2
22
1
16.



1
0
32
)1(
dx
x
x

17.


4
2
23
2
1
dx
xxx
18.



3
2
3
2
23
333
dx

xx
xx

19.



2
1
4
2
1
1
dx
x
x
20.


1
0
3
1
1
dx
x

21.




1
0
6
456
1
2
dx
x
xxx
22.



1
0
2
4
1
2
dx
x
x

23.



1
0

6
4
1
1
dx
x
x

24.
1
2
0
4 11
56
x
dx
xx




25.
1
2
0
1
dx
xx

26.

27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 38.
39. 40.

IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1.
xdxx
4
2
0
2
cossin


2.

2
0
32
cossin

xdxx

3.
dxxx


2
0
54
cossin

4.


2
0
33
)cos(sin

dxx

5.


2
0
44
)cos(sin2cos

dxxxx
6.


2
0
22

)coscossinsin2(

dxxxxx

7.

2
3
sin
1


dx
x
8.


2
0
441010
)sincoscos(sin

dxxxxx

9.


2
0
cos2


x
dx
10.


2
0
sin2
1

dx
x

11.


2
0
2
3
cos1
sin

dx
x
x
12.

3

6
4
cos.sin


xx
dx

13.


4
0
22
coscossin2sin

xxxx
dx
14.


2
0
cos1
cos

dx
x
x

15.


2
0
cos2
cos

dx
x
x
16.


2
0
sin2
sin

dx
x
x

17.


2
0
3
cos1

cos

dx
x
x
18.


2
0
1cossin
1

dx
xx

19.


2
3
2
)cos1(
cos


x
xdx
20.





2
2
3cos2sin
1cossin


dx
xx
xx

21.

4
0
3

xdxtg
22.
dxxg

4
6
3
cot



23.

3
4
4


xdxtg
24.


4
0
1
1

dx
tgx

25.


4
0
)
4
cos(cos


xx

dx
26.



2
0
5cos5sin4
6cos7sin

dx
xx
xx

27.



2
0
sin1 dxx
28.


4
0
13cos3sin2

xx
dx

29.


4
0
4
3
cos1
sin4

dx
x
x
30.



2
0
cossin
2sin2cos1

dx
xx
xx

31.



2
0
cos1
3sin

dx
x
x
32.


2
4
sin2sin


xx
dx

33.

4
0
2
3
cos
sin

dx
x

x
34.


2
0
32
)sin1(2sin

dxxx

35.


0
sincos dxxx
36.


3
4
3
3
3
sin
sinsin


dx
xtgx

xx

37.


2
0
cossin1

xx
dx
38.


2
0
1sin2

x
dx

39.

2
4
53
sincos


xdxx

40.


4
0
2
cos1
4sin

x
xdx

41.


2
0
3sin5

x
dx
2.

6
6
4
cossin


xx

dx

43.


3
6
)
6
sin(sin



xx
dx
4.


3
4
)
4
cos(sin



xx
dx

45.


3
4
6
2
cos
sin


x
xdx
46.
dxxtgxtg )
6
(
3
6






47.


3
0
3
)cos(sin

sin4

xx
xdx
48.



0
2
2
)sin2(
2sin

x
x

49.

2
0
3
sin

dxx
50.

2
0
2

cos

xdxx

51.


2
0
12
.2sin

dxex
x
52.
dxe
x
x
x



2
0
cos1
sin1


53.



4
6
2cot
4sin3sin


dx
xgtgx
xx
54.


2
0
2
6sin5sin
2sin

xx
xdx

55.

2
1
)cos(ln dxx
56.

3

6
2
cos
)ln(sin


dx
x
x

57.
dxxx


2
0
2
cos)12(

58.


0
2
cossin xdxxx

59.

4
0

2

xdxxtg
60.


0
22
sin xdxe
x

61.

2
0
3sin
cossin
2

xdxxe
x
62.


4
0
)1ln(

dxtgx

63.


4
0
2
)cos2(sin

xx
dx
64.



2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(

dx
xx
xx

65.
2
2
sin 2 sin7



x xdx


66.
2
44
0
cos (sin cos )

x x x dx


67.
2
3
0
4sin
1 cos

x
dx
x

68.
69. 70.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.

V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:


b
a
dxxfxR ))(,(
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa


) §Æt x = a cos2t, t
]
2
;0[



+) R(x,
22
xa 
) §Æt x =
ta sin
hoÆc x =
ta cos

+) R(x,
n

dcx
bax


) §Æt t =
n
dcx
bax



+) R(x, f(x)) =

 xxbax
2
)(
1
Víi
(

 xx
2
)’ = k(ax+b)
Khi ®ã ®Æt t =

 xx
2
, hoÆc ®Æt t =
bax 
1

+) R(x,
22
xa 
) §Æt x =
tgta
, t
]
2
;
2
[



+) R(x,
22
ax 
) §Æt x =
x
a
cos
, t
}
2
{\];0[




+) R
 
1 2 i
n n n
x x x; ; ;
Gäi k = BCNH(n
1
; n
2
; ;
n
i
)
§Æt x = t
k

1.


32
5
2
4xx
dx
2.


2
3
2

2
1xx
dx

3.



2
1
2
1
2
5124)32( xxx
dx
4.


2
1
3
1xx
dx

5.


2
1
2

2008dxx
6.


2
1
2
2008x
dx

7.


1
0
22
1 dxxx
8.


1
0
32
)1( dxx

9.



3

1
22
2
1
1
dx
xx
x
10.



2
2
0
1
1
dx
x
x

11.


1
0
32
)1( x
dx
12.



2
2
0
32
)1( x
dx

13.


1
0
2
1 dxx
14.


2
2
0
2
2
1 x
dxx

15.



2
0
2cos7
cos

x
xdx
16.


2
0
2
coscossin

dxxxx

17.


2
0
2
cos2
cos

x
xdx
18.




2
0
cos31
sin2sin

dx
x
xx

19.


7
0
3
2
3
1 x
dxx
20.


3
0
23
10 dxxx

21.



1
0
12x
xdx
22.


1
0
2
3
1xx
dxx

23.


7
2
112x
dx
24.
dxxx


1
0
815

31


25.


2
0
5
6
3
cossincos1

xdxxx
26.


3ln
0
1
x
e
dx

27.



1
1

2
11 xx
dx
28.


2ln
0
2
1
x
x
e
dxe

29.


1
4
5
2
8412 dxxx
30.


e
dx
x
xx

1
lnln31

31.



3
0
2
35
1
dx
x
xx
32.
dxxxx


4
0
23
2

33.



0
1

3
2
)1( dxxex
x
34.


3ln
2ln
2
1ln
ln
dx
xx
x

35.


3
0
2
2
cos
32
cos
2cos

dx
x

tgx
x
x
36.


2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe

37.


3
0
2cos2
cos

x
xdx
38.


2
0

2
cos1
cos

x
xdx

39.
dx
x
x



7
0
3
3
2
40.


a
dxax
2
0
22


VI. MT S TCH PHN C BIT:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi
đó:



aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(

Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3

] thỏa mãn
f(x) + f(-x) =
x2cos22
,
Tính:


2
3
2
3
)(

dxxf

+) Tính




1
1
2
4
1
sin
dx
x
xx

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a],
khi đó:


a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:

1
1
2
)1ln( dxxx




2
2
2
)1ln(cos


dxxxx

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a,
a], khi đó:


a
a
dxxf )(
= 2

a
dxxf
0
)(

Ví dụ: Tính



1
1
24
1xx
dxx

2
2
2
cos
4 sin




xx
dx
x



Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a,
a], khi đó:

aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1

b>0,

a)
Ví dụ: Tính:




3
3
2
21
1
dx
x
x

2
2
1
5cos3sinsin


dx
e
xxx
x

Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0;
2

], thì


2
0
2
0
)(cos)(sin

dxxfxf

Ví dụ: Tính

2
0
20092009
2009
cossin
sin

dx
xx
x



2
0
cossin
sin

dx
xx
x

Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:




00

)(sin
2
)(sin dxxfdxxxf

Ví dụ: Tính



0
sin1
dx
x
x




0
cos2
sin
dx
x
xx

Bài toán 6:


b
a
b

a
dxxfdxxbaf )()(





bb
dxxfdxxbf
00
)()(

Ví dụ: Tính



0
2
cos1
sin
dx
x
xx



4
0
)1ln(4sin

dxtgxx

Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu
kì T thì:



TTa
a
dxxfdxxf
0
)()(





TnT
dxxfndxxf
00
)()(

Ví dụ: Tính



2008
0
2cos1 dxx

Các bài tập áp dụng:
1.




1
1
2
21
1
dx
x
x
2.



4
4
4
357
cos
1


dx
x
xxxx

3.



1
1
2
)1)(1( xe
dx
x
4.




2
2
2
sin4
cos


dx
x
xx

5.





2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x
6.
dxnx)xsin(sin
2
0




7.



2
2
5
cos1
sin



dx
x
x
8.
1
)1(1
cot
1
2
1
2





ga
e
tga
e
xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1.




3
3
2
1dxx
2.


2
0
2
34 dxxx

3.


2
0
2
dxxx



1
0
dxmxx
4.


2

2
sin


dxx

5.





dxxsin1
6.


3
6
22
2cot


dxxgxtg

7.

4
3
4
2sin



dxx
8.



2
0
cos1 dxx

9.



5
2
)22( dxxx
10.


3
0
42 dx
x

11.




3
2
3
coscoscos


dxxxx
12.
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x
-1
, trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 1
b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trc hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trc hoành , trc tung và đường thẳng x = 2


Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x
-1
, trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x

= 1
b/ Đồ thị hàm số y = e
x
+1 , trc hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trc hoành , trc tung và đường thẳng x = 2



TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY