Dang 2. Xác định VTPT(NB)

Câu 1.

[2H3-2.2-1] (HKII Kim Liên 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ

( P) :
phẳng
A.

Oxyz , cho mặt

x y z
+ + =1
, véc tơ nào dưới đây là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) .
2 1 3

ur
n1 = ( 3;6;2 ) .

B.

uur
n3 = ( − 3;6;2 ) .

uur
n2 = ( 2;1;3) .

uur
n4 = ( − 3;6; − 2 ) .

C.
D.

Lời giải
Tác giả: Phí Văn Đức Thẩm; Fb: Đức Thẩm

Chọn A

( P) :
Ta có phương trình mặt phẳng

x y z
+ + =1
2 1 3 ⇔ 3x + 6 y + 2 z − 6 = 0 .

Do đó một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P )
Câu 2.

là

r
n = ( 3;6;2 ) .

[2H3-2.2-1] (CHUYÊN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN 4 NĂM 2019) Trong khơng
gian Oxyz , đường thẳng vng góc với mặt phẳng
phương là

r
A. u = ( − 2;3; − 1) .

r
B. u = ( 1;1;1) .

( P) : 2 x − 3 y + z − 5 = 0

r
C. u = ( 2;1; − 1) .

có một vectơ chỉ

r
D. u = ( 2;3;1) .

Lời giải
Tác giả: Trần Đức Vinh; FB: Trần Đức Vinh
Chọn A
Gọi

d

là đường thẳng vng góc với mặt phẳng

Khi đó,
Câu 3.

d

r

( P) : 2 x − 3 y + z − 5 = 0 .

có một vectơ chỉ phương là u = ( − 2 ; 3 ; − 1) .

[2H3-2.2-1] (CỤM TRƯỜNG SÓC SƠN MÊ LINH HÀ NỘI) Một véc-tơ pháp tuyến của
mặt phẳng
A.

( α ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 là

r
n = ( 4;2; − 4 ) .

r

B. n = ( − 2;1; − 2 ) .

r

r

C. n = ( 1; − 2;1) .

D. n = ( 2;1;2 ) .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Văn Dũng ; Fb: Nguyễn Văn Dũng
Chọn B

r

Mặt phẳng
Câu 4.

( α ) : 2 x − y + 2 z − 3 = 0 có một véc-tơ pháp tuyến là n = ( 2; − 1;2) = − 1.( − 2;1; − 2 ) .

[2H3-2.2-1] (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong khơng gian

Oxyz , cho đường thẳng ( d ) :
góc với
.
A.

( d)

x−1 y− 2 z − 3
=
=
2
−1
2 . Mặt phẳng ( P ) vng

có một vectơ pháp tuyến là

r
n = ( 1;2;3) .

B.

r
n = ( 2; − 1;2 ) .

C.

r
n = ( 1;4;1) .

D.

r
n = ( 2;1;2 ) .

Lời giải
Tác giả: Nhữ Văn Huấn; Fb: Huân Nhu
Chọn B


( d) :
Đường thẳng
Mặt phẳng
Câu 5.

x−1 y− 2 z − 3
r
=
=
u
2
−1
2 có một véctơ chỉ phương là = ( 2; − 1;2 ) .

( P) ⊥ ( d )

suy ra

( P)

có một vectơ pháp tuyến

r r
n = u = ( 2; − 1;2 ) .

[2H3-2.2-1] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Mặt phẳng

( P) :

x y z
+ + =1
2 3 − 2 có một vectơ pháp tuyến là:

r
n = ( 3;2;3) .

A.

B.

r
n = ( 2;3; − 2 ) .

r
n
C. = ( 2;3;2 ) .

D.

r
n = ( 3;2; − 3) .

Lời giải
Tác giả: Ngô Thanh Trà; Fb: Tra Thanh Ngo
Chọn D

x y z
r
+ + = 1 ⇔ 3x + 2 y − 3z − 6 = 0
Ta có 2 3 − 2
nên vectơ pháp tuyến là n = ( 3;2; − 3) .
Câu 6.

[2H3-2.2-1] (CỤM TRẦN KIM HƯNG với hệ tọa độ
đoạn thẳng
A.

HƯNG YÊN NĂM 2019) Trong không gian

Oxyz , cho điểm A ( − 3; − 1;3) , B ( − 1;3;1)

AB . Một vectơ pháp tuyến của ( P )

( − 1;3;1) .

B.

( − 1;1;2) .

và

( P)

là mặt phẳng trung trực của

có tọa độ là:
C.

( − 3;− 1;3) .

D.

( 1;2 ; − 1) .

Lời giải
Tác giả: Trần Duy Khương ; Fb: Tran Duy Khuong
Chọn D

( P)

là mặt phẳng trung trực của

AB

nên nhận

uuur

AB = ( 2 ; 4 ; − 2 )

làm một véctơ pháp tuyến.

r
r
1 uuu
u = ( 1; 2 ; − 1) = AB
Suy ra
cũng là một véctơ pháp tuyến của P .
2

( )

Câu 7.

[2H3-2.2-1] (THPT-Chuyên-Sơn-La-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-4)Trong không gian

Oxyz

( P ) : x − 2 y + z − 3 = 0 có tọa độ là
B. ( 1; − 2;1) .
C. ( 1;1; − 3 ) .
D. ( − 2;1; − 3) .

, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
A.

( 1; − 2; − 3) .

Lời giải
Tác giả: Phạm Cao Thế; Fb: Cao Thế Phạm
Chọn B
Ta có ( P ) : x − 2 y + z − 3 = 0 nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P )
Câu 8.

[2H3-2.2-1] (SỞ NAM ĐỊNH 2018-2019) Trong không gian

( P) : 2 x − 3z + 1 = 0 .Tìm một vecto pháp tuyến của mặt

là

Oxyz ,

r
n = ( 1; − 2;1) .
cho mặt phẳng


phẳng
A.

( P) .

ur
n1 ( 2;3;1) .

B.

uur

C. n3 ( 2;0; −3) .

uur
n2 ( 2; − 3;1) .

uur
D. n4 ( 2; −3;0) .

Lời giải

Tác giả:Trần Thị Phượng Uyên; Fb: UyenTran
Chọn C

uur
Ta có: Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là n 3 ( 2;0; −3) .
Câu 9.

[2H3-2.2-1] (THPT SỐ 1 TƯ NGHĨA LẦN 2 NĂM 2019) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − 3z + 2 = 0. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của ( P ) ?
A.

r
n = ( − 2;3;0 ) .

B.

r
n = ( 2; − 3;1) .

C.

r
n = ( 2; − 3;2 ) .

D.

r
n = ( 2;0; − 3) .

Lời giải
Tác giả: Huỳnh Đức Chính ; Fb: Huỳnh Đức Chính
Chọn D
Vectơ pháp tuyến

( 2;0; − 3) .
Oxyz,

Câu 10. [2H3-2.2-1] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Trong hệ trục tọa độ
có phương trình
A.

3x − z + 1 = 0. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P )

( 3;0; − 1)

B.

( 3; − 1;1)

C.

cho mặt phẳng

( P)

có tọa độ là

( 3; − 1;0 )

D.

( − 3;1;1)

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn
Chọn A
Từ phương trình của

( P ) ta có vecto pháp tuyến của ( P )

là:

r
n ( 3;0; − 1) .

Câu 11. [2H3-2.2-1] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN 2 NĂM 2019) Vectơ

r
n = ( − 1; − 4;1)

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nào dưới đây?

A.

x + 4y − z + 3 = 0 .

C.

x + 4y + z + 2 = 0 .

B.

x − 4y + z + 1= 0 .

D. x +
Lời giải

y − 4z + 1 = 0 .

Tác giả: Lê Văn Nguyên ; Fb: Lê Văn Nguyên
Chọn A
Mặt phẳng ( P )
mặt phẳng

( P)

có một vectơ pháp tuyến là
có dạng

r
2
2
2
n = ( A; B ; C ) , ( A + B + C > 0)

2
2
2
Ax + By + Cz + D = 0 ( A + B + C > 0 ) .

thì phương trình


Vectơ

r
n = ( − 1; − 4;1)

r
− n = ( 1;4; − 1)

là vectơ pháp tuyến nên

phẳng có phương trình dạng

x + 4y − z + D = 0 ⇒

cũng là vectơ pháp tuyến của mặt

Chọn A

Oxyz , cho hai điểm I ( 1;1;1)

Câu 12. [2H3-2.2-1] (Đặng Thành Nam Đề 1) Trong khơng gian

A ( 1;2;3) . Phương trình của mặt cầu có tâm I
A.

( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1)

2

= 29 .

C.

( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)

2

= 25 .

2

2

2

2

và đi qua
B.

A là

( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)
2

D. x + 1
Lời giải

2

và

2

2

= 5.

+ y + 12 + ( z + 1) = 5 .
2

Tác giả: Minh Anh Phuc; Fb: Minh Anh Phuc
Chọn B
Do mặt cầu

R = IA =

( S)

có tâm

I ( 1;1;1)

và đi qua

5 . Vậy phương trình mặt cầu

Câu 13. [2H3-2.2-1]

(Cụm

THPT

Vũng

( S)

là:

Tàu)

A ( 1;2;3)

nên bán kính của mặt cầu

( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1)

2

Trong

2

không

gian

( P ) : x + 2 y − 6 z − 1 = 0 đi qua điểm nào dưới đây?
A. B ( − 3;2;0 ) .
B. D ( 1;2; − 6 ) .
C. A ( − 1; − 4;1) .

2

là

= 5.

Oxyz ,

D.

( S)

mặt

phẳng

C ( − 1; − 2;1) .

Lời giải
Tác giả: Lê Tuấn Anh;Fb: Anh Tuan Anh Le
Phản biện: Nguyễn Văn Mộng; Fb: Nguyễn Văn Mộng
Chọn A
Thay tọa độ các điểm

A, B, C , D

từ đáp án vào phương trình mp

( P)

ta có điểm

B ( − 3;2;0 )

∈ ( P) .
Câu 14. [2H3-2.2-1] (THẠCH THÀNH I - THANH HĨA 2019) Trong khơng gian

Oxyz

, một véctơ

x y z
+ − =1
pháp tuyến của mặt phẳng 2 3 4
có tọa độ là:

A.

( 2;3;4 )

.

B.

( 2;3; −4)

.

C.

( 6;4;3)

.

1 1 1
 ; ;− ÷
D.  2 3 4  .

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Ngọc Huyền Trân ; Fb:Huyền Trân Nguyễn
Chọn D

r  1 1 −1 
x y z
n= ; ; ÷
+ − −1= 0

Mặt phẳng có phương trình 2 3 4
có véctơ pháp tuyến là
2 3 4  .


Câu 15. [2H3-2.2-1] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Trong không gian

x y z
+ + =1
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng − 2 − 1 3
là

r

A. n =

(3;6; − 2)

r
n = (2; − 1;3)

B.

r
n = (− 3; − 6; − 2)

C.

D.

Oxyz , một

r
n = (− 2; − 1;3)

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Ngọc Huyền Trân ; Fb: Huyền Trân Nguyễn
Chọn A

x y z
1
1
+ + = 1 ⇔ − x − y + z − 1 = 0. ⇔ 3x + 6 y − 2 z + 6 = 0.
Phương trình − 2 − 1 3
2
3

r
n
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng = (3;6; − 2) .

Câu 16. [2H3-2.2-1] (Trần Đại Nghĩa) Trong không gian với hệ trục độ
,  B
A.

Oxyz , cho ba điểm A ( 1; − 2;1)

( − 1;3;3) ,  C ( 2; − 4;2 ) . Một véc tơ pháp tuyến nr của mặt phẳng ( ABC )
r
n1 = ( − 1;9;4) .

r
n4 = (9;4; − 1) .

B.

r
n3 = (4;9; − 1) .

C.

D.

là:

r
n2 = (9;4;11) .

Lời giải
Tác giả: Hà Hải;Fb: Hải Hà Minh
Chọn B

uuur
uuur
AB = ( − 2;5;2 ) , AC = ( 1; − 2;1)

Ta có

Véc tơ pháp tuyến

r uuur uuur
n =  AB, AC  = (9;4; − 1) .

Câu 17. [2H3-2.2-1] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong khơng gian

I ( − 1;2; − 3)

và đi qua điểm

A ( 2;0;0 )

A.

( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)

2

= 22 .

C.

( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z − 3)

2

= 22 .

2

2

2

2

Oxyz ,

mặt cầu tâm

có phương trình là:
B.

( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3)

2

(

2

2

2

) (
2

) (

)

2

= 11 .

D. x + 1 + y − 2 + z + 3 = 22 .
Lời giải
Tác giả: Phạm Hữu Thành ; Fb: Phạm Hữu Thành.

Chọn D

IA =

Ta có

( 2 − ( − 1) ) + ( 0 − 2) + ( 0 − ( − 3) )
2

A ( 2;0;0 )

điểm

có

( x + 1) + ( y − 2) + ( z + 3)
2

2

2

bán
2

kính

2

= 22 .

Mặt cầu tâm

R = IA = 22 .

Phương

I ( − 1;2; − 3)
trình

mặt

và đi qua
cầu

là:

= 22 .

Câu 18. [2H3-2.2-1] (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Trong khơng
gian

Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 2 y − z + 3 = 0 , ( Q ) : 2 x + y + z − 1 = 0 . Mặt phẳng ( R )


đi qua điểm

M ( 1;1;1)

và chứa giao tuyến của

( P)

và

( Q) ;

phương trình của

( R ) : m( x − 2 y − z + 3) + (2 x + y + z − 1) = 0 . Khi đó giá trị của m là
−1
C. 3 .

1
B. 3 .

A. 3 .

D.

−3.

Lời giải
Tác giả: Dương Hoàng Quốc; Fb: Dương Hoàng Quốc
Chọn D
Mặt phẳng

( R)

đi qua điểm

M ( 1;1;1)

nên:

m + 3 = 0 ⇔ m = − 3.

Câu 19. [2H3-2.2-1] (HKII-CHUYÊN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Trong khơng gian với hệ trục tọa
độ

Oxyz , cho phương trình của mặt phẳng ( P) .là: x + 2 z = 0 . Tìm khẳng định SAI.

A.

( P)

C. ( P )

song song với trục
chứa trục

Oy .

B.

( P)

D. ( P )

Oy .

đi qua gốc tọa độ

O.

r
có vectơ pháp tuyến n = (1;0;2) .

Lời giải
Tác giả: ; Fb:Quang Tran
Chọn A
Ta thấy:

( P)

và trục

Oy

có điểm chung là gốc tọa độ

O . Do đó, ( P )

không song song với trục

Oy .
Câu 20. [2H3-2.2-1] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho mặt

( P ) : 2 x − 4 y + 7 = 0 . Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) ?
r
r
r
r
A. n = ( 2; − 4;7 ) .
B. n = ( 1; − 2;0 ) .
C. n = ( 2;4;0 ) .
D. n = ( − 2;4; − 7 ) .
phẳng

Lời giải
Tác giả: Lê Thị Thu Thủy; Fb: Thủy Lê
Chọn B
Mặt phẳng
Với

( P ) : 2 x − 4 y + 7 = 0 có một vectơ pháp tuyến là

r
uur r r

n = ( 1; − 2;0 ) thì nP = 2n ⇒ n = ( 1; − 2;0 ) cũng là véc tơ pháp tuyến của ( P ) .

Câu 21. [2H3-2.2-1] (Sở Vĩnh Phúc) Trong không gian
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của
A.

uur
nP = ( 2; − 4,0 )

r
n = ( 3;2;1) .

B.

r
n = ( 1; − 2;3) .

Oxyz , cho

mặt phẳng

( P) ?

r
C. n = ( 6;4; − 1) .

D.

( P ) : 3x − 2 y + z = 0 .
r

n = ( − 3;2; − 1) .

Lời giải
Tác giả: Trần Thanh Hà; Fb: Hà Trần
Chọn D


( P ) :3x − 2 y + z = 0 ⇔ ( P ) : − 3x + 2 y − z = 0 . Do đó mặt phẳng ( P )
r
n = ( − 3;2; − 1) .

có một VTPT là

Câu 22. [2H3-2.2-1] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Trong không gian

( P ) :3x − 2 z − 1 = 0 có một véctơ pháp tuyến là
r
r
r
u
=
3;0;2
u
=
−
3;0;2
u
( ).
(
).

A.
B.
C. = ( 3; − 2;0 ) .
mặt phẳng

Oxyz ,

r
u
D. = ( 3; − 2; − 1) .

Lời giải
Tác giả: Bùi Văn Lưu; Fb: Bùi Văn Lưu
Chọn B

r
Mặt phẳng ( P ) có một véctơ pháp tuyến là u = (3;0; − 2) = − 1( − 3;0;2 )
véc tơ pháp tuyến của

nên

r
n = ( − 3;0;2 )

là một

( P) .
Oxyz , cho mặt phẳng

Câu 23. [2H3-2.2-1] (Thuan-Thanh-Bac-Ninh) Trong khơng gian với hệ tọa độ

( P ) có phương trình là − 2 x + 2 y − z − 3 = 0 . Mặt phẳng ( P ) có một vectơ pháp tuyến là:
r
r
r
r
n
=
−
2;2;
−
3
n
=
4;
−
4;2
n
=
−
4;4;2
n
(
)
(
)
(
)
A.
.

B.
.
C.
.
D. = ( 0;0; − 3) .
Lời giải
Chọn B

( P ) có phương trình là: − 2 x + 2 y − z − 3 = 0 nên mặt phẳng ( P )
r
r
n
=
−
2;2;
−
1
n
(
)
tuyến là
⇒ ) Chọn = ( 4; − 4;2 ) .
Mặt phẳng

có một vectơ pháp

P

Câu 24. [2H3-2.2-1] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Trong khơng gian với hệ tọa độ
phương trình

A.

2 x − 4 z − 5 = 0 . Một véctơ pháp tuyến của ( P )

r
n = ( 1; − 2;0 ) .

B.

r
n = ( 0;2; − 4 )

r

C. n =
Lời giải

là

( 1;0; − 2 ) .

D.

Oxyz , cho ( P )

có

r
n = ( 2; − 4; − 5 ) .

Tác giả: Phan Chí Dũng; Fb: Phan Chí Dũng
Chọn C

( P)
r
n = ( 1;0; − 2 ) .

Mặt phẳng

có phương trình

2 x − 4 z − 5 = 0 , suy ra ( P )

có một véctơ pháp tuyến là

Câu 25. [2H3-2.2-1] (GIỮA-HKII-2019-VIỆT-ĐỨC-HÀ-NỘI) Phương trình nào sau đây là phương
trình mặt cầu

( S)

( S ) : ( x + 2) + ( y + 1)
2

A.

tâm

A ( 2;1;0 ) , đi qua điểm B ( 0;1;2 ) ?
2

+ z2 = 8 .

B.

( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1)
2

2

+ z2 = 8 .


C.

( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1)
2

2

+ z 2 = 64 .

D.

( S ) : ( x + 2) + ( y + 1)
2

2

+ z 2 = 64 .

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Thế ; Fb: Nguyễn Thị Thế
Chọn B
Vì mặt cầu

( S)

có tâm

nhận độ dài đoạn thẳng
Ta có:
Vậy:

A ( 2;1;0 ) , đi qua điểm B ( 0;1;2 )

AB

2

2

( S)

có tâm

A ( 2;1;0 )

và

là bán kính.

uuur
uuur
AB
=
AB =
AB = ( − 2 :0;2 ) .

( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1)

nên mặt cầu

( − 2)

2

+ 02 + 22 = 2 2 . Suy ra: R = 2 2 .

+ z2 = 8 .

Vậy chọn đáp án B

Câu 26. [2H3-2.2-1] (THPT-Ngơ-Quyền-Hải-Phịng-Lần-2-2018-2019-Thi-24-3-2019)Trong khơng
gian

r
Oxyz , véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến n

( P) : 2x + 2 y + z − 1 = 0 ?
r

r
A. n = ( 2;2; − 1) .
B. n = ( 4;4;2 ) .

của mặt phẳng

r
C. n = ( 4;4;1) .

D.

r
n = ( 4;2;1) .

Lời giải
Tác giả: Phạm Trần Luân; Fb: Phạm Trần Luân
Chọn B
Mặt phẳng ( P )
Suy ra

có véctơ pháp tuyến là

r uur
n = 2nP = ( 4;4;2 )

uur
nP = ( 2;2;1) .

cũng là véctơ pháp tuyến của

( P) .
Oxyz ,

Câu 27. [2H3-2.2-1] (SỞ QUẢNG BÌNH NĂM 2019) Trong khơng gian

A ( − 2; − 1; 3)
tuyến của
A.

(α )

và

B ( 0; 3; 1) . Gọi ( α )

có tọa độ là:

r
n = ( 2; 4; − 1) .

B.

AB . Một vectơ pháp

là mặt phẳng trung trực của đoạn

r
n = ( 1; 0; 1) .

C.

r
n = ( − 1; 1; 2 ) .

cho hai điểm

D.

r
n = ( 1; 2; − 1) .

Lời giải
Tác giả: Vĩnh Tín, Fb: Vĩnh Tín
Chọn D

uuur
AB
AB làm vectơ pháp tuyến.
uuur
r
α
AB
=
2;4;
−
2
n
(
)
(

)
Ta có
. Do đó một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
là = ( 1; 2; − 1) .
Vì

(α )

là mặt phẳng trung trực của đoạn

nên

(α )

nhận

Câu 28. [2H3-2.2-1] (Chuyên Thái Nguyên)Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz , cho mặt phẳng

( P ) :3x − z + 2 = 0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của ( P ) ?


A.

r
n = ( 3; − 1;2 ) .

B.

r
n = ( − 1;0; − 1) .

C.

r
n = ( 3;0; − 1) .

D.

r
n = ( 3; − 1;0 ) .

Lời giải
Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc
Chọn C
Mặt phẳng

r

( P ) : 3x − z + 2 = 0 có một vectơ pháp tuyến là n = ( 3;0; − 1) .

Câu 29. [2H3-2.2-1] (PHÂN-TÍCH-BL-VÀ-PT-ĐẠI-HỌC-SP-HÀ-NỘI) Trong khơng gian tọa độ

Oxyz , mặt phẳng ( P ) : − x + 3 y + 2 z + 11 = 0 có một véc tơ pháp tuyến là
A.

uur
n3 = ( 3;2;11) .

B.

ur
n1 = ( 1;3;2 ) .

C.
Lời giải

uur
n4 = ( − 1;2;11) .

D.

uur
n2 = ( − 1;3;2 ) .

Tác giả: Vũ Danh Được ; Fb: Danh Được Vũ
Chọn D
Kiểm tra các đáp án ta thấy

uur
n2 = ( − 1;3;2 )

là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng

( P) .

Do đó chọn đáp án D.
PT 49.1.
Trong không gian tọa độ

véc tơ pháp tuyến là
A.

uur
n3 = ( − 1;2;5 ) .

B.

Oxyz , mặt phẳng ( Q ) : x − 2 y + 5 z + 2020 = 0

ur
n1 = ( − 2;4; − 10 ) .

C.
Lời giải

uur
n4 = ( − 2;4;10 ) .

D.

có một

uur
n2 = ( 3;6;15 ) .

Tác giả: Vũ Danh Được ; Fb: Danh Được Vũ
Chọn B
Từ đề bài ta thấy mặt phẳng ( Q )
Mà véc tơ

ur
n1 = ( − 2;4; − 10 )

tuyến của mặt phẳng

có một véc tơ pháp tuyến là

cùng phương với

r
n = ( 1; − 2;5) .

ur
r
n
n , suy ra 1 = ( − 2;4; − 10 )

cũng là 1 véc tơ pháp

( Q) .

Do đó chọn đáp án B.
PT 49.2.

Trong khơng gian với hệ tọa độ

A ( 2;1;1) , B ( − 1; − 2; − 3)
tuyến của mặt phẳng

uur  1 1 
n3 =  ; ;0 ÷
A.
 2 2 .

( P)

và

( P)

Oxyz , gọi ( P )

vng góc với mặt phẳng

là mặt phẳng đi qua hai điểm

( Q ) : x + y + z = 0 . Một véc tơ pháp

là

ur  1 1 
uur  1 1 
n1 =  − ; − ;0 ÷
n4 =  − ; ;0 ÷
B.
 2 2  . C.
 2 2 .
Lời giải

uur  3 3 
n2 =  ; ;0 ÷
D.
2 2 .


Tác giả: Vũ Danh Được ; Fb: Danh Được Vũ
Chọn C
Ta có

uuur
AB = ( − 3; − 3 − 4 ) , ( Q )

Gọi VTPT của ( P )

uur uuur
n
Vì P ⊥ AB

và

là

có VTPT là

uur
nQ = ( 1;1;1) .

uur
nP .

uur uur
nP ⊥ nQ

nên ta chọn

uur uuur uur
nP =  AB, nQ  = ( 1; −1;0 ) .

uur  1 1 
uur
n4 =  − ; ;0 ÷
n
Lại có
 2 2  cùng phương với P nên chọn đáp án C.
Câu 30. [2H3-2.2-1] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Cho mặt phẳng
pháp tuyến của mặt phẳng

r
n
A. = ( 1;2;3 ) .

( P)

là

r
n
B. = ( 1; − 2;3) .

( P ) : x − 2 y + 3z − 1 = 0. Một vectơ

r
n
C. = ( 1;3; − 2 ) .

r
n
D. = ( 1; − 2; − 3 ) .

Lời giải
Chọn B
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P )

r
là: n = ( 1; − 2;3 ) .

Câu 31. [2H3-2.2-1] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Trong không gian tọa độ

− x + 2 y − 3z + 4 = 0 có một véctơ pháp tuyến là:
A.

uur
n4 = (1;2;3)

B.

ur
n1 = (1; − 2;3)

uur
n
C. 3 = (1;2; − 3) .

Oxyz , mặt phẳng (P):

uur
n
D. 2 = (− 1; − 2;3) .

Lời giải
Tác giả:Vũ Thị Thu Thủy ; Fb: Vũ Thị Thu Thủy
Chọn B
Vì từ phương trình mặt phẳng có một véc tơ pháp tuyến của (P) là
Mà véc tơ

uur
n = (− 1;2; − 3)

uur
ur
n cùng phương n1 = (1; − 2;3)

Câu 32. [2H3-2.2-1] (Hoàng Hoa Thám Hưng Yên) Trong khơng gian với hệ tọa độ
phẳng
A.

( P)

có phương trình

r
n = (− 2;3; − 4).

Chọn C

B.

Oxyz , cho mặt

2 x + 3 y − 4 z + 7 = 0 . Tìm tọa độ véctơ pháp tuyến của ( P ) .

r
n = (− 2; − 3; − 4).

r

r

C. n = (2;3; − 4).
D. n = (2; − 3; − 4).
Lời giải
Tác giả:Trần Thị Thu Thanh;Fb:Thanh Trần


Mặt phẳng

( P)

r

n = (2;3; − 4).

có phương trình

2 x + 3 y − 4 z + 7 = 0 nên một vectơ pháp tuyến của ( P )

là:

Câu 33. [2H3-2.2-1] (Chuyên Thái Nguyên)Khi quay một tam giác vuông (kể cả các điểm trong của
tam giác vng đó) quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vng ta được
A. Hình nón.
B. Khối trụ.
C. Khối nón.
D. Hình trụ.
Lời giải
Tác giả:Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc
Chọn C
Câu 34. [2H3-2.2-1] (HKII Kim Liên 2017-2018) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho đường

 x = 1− t

y = 3

thẳng d :  z = − 1 + 2t , vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?

uur
u
A. 4 = ( − 1;3;2 ) .

ur
u
B. 1 = ( 1;0; − 2 ) .

uur
u
C. 2 = ( 1;3; − 1) .

uur
u
D. 3 = ( 1;0;2 ) .

Lời giải
Tác giả: Đào Thị Kiểm ; Fb: Đào Kiểm
Chọn B

r
ur
r
u
=
−
1;0;2
⇒
u
=
1;0;
−
2

=
−
1.
u
(
)
(
)
d có vectơ chỉ phương là
1

cũng là một vectơ chỉ phương

của đường thẳng d.

Câu 35. [2H3-2.2-1] (Đặng Thành Nam Đề 12) Trong không gian

( α ) : 2 x − 3z + 1 = 0 là
ur
uur
A. n1 ( 2; − 3;1) .
B. n2 ( 2;0; − 3) .
của mặt phẳng

C.
Lời giải

Oxyz , cho một vecto pháp tuyến

uur

n3 ( 0;2; − 3) .

D.

uur
n4 ( 2; − 3;0 )

.

Chọn A
Câu 36. [2H3-2.2-1] (PHÂN TÍCH BL_PT ĐỀ ĐH VINHL3 -2019..) Trong không gian
hai điểm

A ( − 2; − 1;3) và B ( 0;3;1) . Gọi ( α )

trung trực của
A.

( 2;4; − 1) .

là mặt phẳng

AB . Một vectơ pháp tuyến của ( α )

có tọa độ là

( 1;2; − 1) .

( − 1;1;2 ) .

B.

Oxyz , cho

C.
Lời giải

D.

( 1;0;1) .

Tác giả: Nguyễn Ngọc Chi; Fb: Nguyễn Ngọc Chi
Chọn B

(α )
( α ) là
uur uuurlà mặt phẳng trung trực của ABurnên vectơ pháp tuyến của mặturphẳng
nα = AB = ( 2;4; − 2 ) cùng phương với n1 = ( 1;2; − 1) , từ đây ta suy ra n1 = ( 1;2; − 1) là một
vectơ pháp tuyến của ( α ) .
Vì

Câu 37. [2H3-2.2-1] (Ba Đình Lần2) Trong mặt phẳng tọa độ
phẳng

Oxyz , cho phương trình tổng quát của mặt

( P ) : 2 x − 6 y − 8z + 1 = 0 . Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P )

có tọa độ là:

A.

( − 1; − 3; 4 )

B.

( 1; 3; 4 )

C.
Lời giải

( 1; − 3; − 4 )

D.

( 1; − 3; 4 )

Tác giả:Đặng Tiền Giang; Fb:tiengiang dang
Chọn C

( P ) : 2 x − 6 y − 8z + 1 = 0 nên một véc tơ pháp tuyến của mặt
phẳng ( P ) có tọa độ là ( 2; − 6; − 8) hay ( 1; − 3; − 4 ) .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Câu 38. [2H3-2.2-1] (SỞ GD & ĐT CÀ MAU) Trong không gian

Oxyz ,

cho mặt phẳng

( P ) : x − 2 y + 2 z − 7 = 0 . Tìm một vectơ pháp tuyến nr của mặt phẳng ( P ) .
r
r
r
r
A. n = ( − 1;2; − 2 ) .
B. n = ( 1;2;2 ) .
C. n = ( − 2; − 4;4 ) .
D. n = ( 2; − 4; − 4 ) .
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thị Hợp; Fb: Hợp Nguyễn
Chọn A

r

( P ) : x − 2 y + 2 z − 7 = 0 nhận vectơ a = ( 1; − 2;2 ) làm một vectơ pháp tuyến.
r
r
r
r
Vì n = ( − 1;2; − 2 ) = ( − 1) .a nên vectơ n cùng phương với a = ( 1; − 2;2 ) .
r
Do đó vectơ n cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) .
Mặt phẳng

Câu 39. [2H3-2.2-1] (HK2 Sở Đồng Tháp) Trong không gian với hệ tọa độ

A ( − 1;2;3)

và bán kính

R= 6

Oxyz , mặt cầu có tâm

có phương trình

A.

( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)

2

= 36 .

B.

( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z + 3)

2

= 36 .

C.

( x − 1) + ( y + 2 ) + ( z + 3)

2

= 36 .

D.

( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)

2

= 36 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Duy Mạnh; Fb: Nguyễn Mạnh Tốn
Chọn A
Áp dụng cơng thức phương trình mặt cầu có tâm

( x − xI ) + ( y − y I ) + ( z − z I )
2

2

2

2

2

2

là

= R2

Nên ta có phương trình mặt cầu có tâm

( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3)

I ( xI ; yI ; zI ) và bán kính R

A ( − 1;2;3)

và bán kính

R= 6

là

= 36

Câu 40. [2H3-2.2-1] (GIỮA-HKII-2019-VIỆT-ĐỨC-HÀ-NỘI) Trong hệ trục tọa độ
trình mặt cầu tâm

I ( 2;1; − 2 )

bán kính

A.

( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 2)

C.

x2 + y 2 + z 2 + 4 x − 2 y + 4 z + 5 = 0 .

2

2

2

= 22 .

R= 2

Oxyz , phương

là:
B.

x2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y + 4 z + 5 = 0 .

D.

( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 2 )
2

2

2

= 2.


Lời giải
Tác giả: Minh Hạnh; Fb: fb.com/meocon2809
Chọn B
Phương trình mặt cầu tâm

I ( 2;1; − 2 )

bán kính

R= 2

có hai dạng:

Chính tắc:

( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 2 )

Tổng quát:

x 2 + y 2 + z 2 − 4 x − 2 y + 4 z + 5 = 0 (khai triển của dạng chính tắc).

2

2

2

= 22

Vậy đáp án đúng là B.
Câu 41. [2H3-2.2-1] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ Q ĐƠN QUẢNG
NGÃI) Trong khơng gian
A.

r
n = ( 2;3;1) .

r
Oxyz , một véc tơ pháp tuyến n

B.

r
n = ( 3;2;1) .

C.
Lời giải

của mặt phẳng

r
n = ( 2;3; − 1) .

2x + 3y − z + 1 = 0
r
n = ( 3;2; − 1) .

D.

là

Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến
Chọn C
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng là

r
n = ( 2;3; − 1) .

Câu 42. [2H3-2.2-1] (Đặng Thành Nam Đề 17) Trong không gian

Oxyz ,

cho đường thẳng

x−1 y− 2 z+ 2
=
=
1
−2
1 . Mặt phẳng nào dưới đây vuông góc với đường thẳng

d:
A.

( T ) : x + y + 2z + 1 = 0 .

B.

( P) : x − 2 y + z + 1 = 0 .

C.

( Q) : x − 2 y − z + 1 = 0 .

D.

( R) : x + y + z + 1 = 0 .

d.

Lời giải
Chọn B

d

là

( 1; − 2;1) .

nào đó vng góc với

d

khi vectơ chỉ phương của

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng
Một mặt phẳng

(α )

vectơ pháp tuyến. Do đó phương trình của
Với

c = 1 , ta có ngay phương án B.

(α )

có dạng:

d

x − 2y + z + c = 0

được

(α )

nhận làm

(với

c∈ ¡

nào đó)