Đề thi kết thúc học phần: Giải tích 2 (Có đáp án)

TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM

ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Tên HP: GIẢI TÍCH 2

KHOA: VẬT LÝ
Đề chính thức

Học kỳ: 02 Năm: 2014-2015

Đề số 01

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2 điểm)
a. Chứng minh rằng hàm: f ( x, t )

1
2a

t

e

( x x0 )2
4 a 2t

với ∀xϵR, t > 0 (trong đó a, x0 là

các hằng số dương) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt:

f
t

a

2

2

f

x2

.

b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm:
f ( x, y)

x2

2 y2

x trên miền x2

y2

1.

Câu 2(1 điểm). Tính tích phân đường loại 2:
I

L

( x arctan x+ y2 )dx ( x 2xy

y 2e y )dy với L là đường tròn: x2

y2

2y

Câu 3(3 điểm). Tính các tích phân mặt sau:
( x2

a. I

y 2 ) z 2 dS , S là phần của mặt cầu x2

y2

z2

a2 ứng với x≥0,y≥0.

S

b. I
S

dydz

x2

dxdz
y4

dxdy
x2
, S là mặt ngoài của ellipsoid: 2
z
a

y2
b2

z2
c2

1 (với

a,b,c>0).
Câu 4(1 điểm).
Li độ x(t) tại thời điểm t của vật nặng khối lượng m được gắn vào một đầu của một lị xo
có độ cứng k dao động dưới tác dụng của lực cưỡng bức F(t)= F0 cos ωt (trong đó F0 là
biên độ của lực, ω là hằng số dương và ω≠

k
) thỏa mãn phương trình vi phân :
m

m

d2x
dt 2

kt

F0 cos ωt

Hãy tìm phương trình li độ x(t), biết x(0)=0 và x' (0)
Câu 5(3 điểm). Giải các phương trình vi phân sau :
a. 2(

x y
cos2 x

b. y''

y'

y)dx

xe x .

xdy

0

0.