mot so de thi hsg cap tinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Phòng giáo dục §Ị thi häc sinh giái líp 9</b>

<b> Thä xu©n THCS Năm học: 2006 - 2007</b>

<b>Trờng THCS Nam Giang</b> M«n thi: to¸n

<i><b>(Thời gian làm bài 150 phút </b></i>–<i><b> không kể thời gian giao )</b></i>
bi

<b>CâuI- (4đ) : Tính giá trị của biÓu thøc :</b>
1, 5 3 2912 5

2, 2 3 + 14 5 3

<b>Câu II- (5đ) : Giải các phơng trình sau :</b>
1,

1

<i>x</i>

<i>x</i>

+

1
1

<i>x</i> = 1

2

2



<i>x</i>

2, 2 2 1


 <i>x</i>

<i>x</i> + 2 4 4


 <i>x</i>

<i>x</i> = 3

3, x4_{– 3x}3_{+ 4x}2_{–3x +1 = 0}

<b>C©u III- (3đ) :</b>

1, Cho a,b,c là các số dơng , chøng minh r»ng :
1₂

<i>a</i> +1 2

1

<i>b</i> +2 2

1

<i>c</i> + 8  <i>abc</i>
32

2, Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ta cã :

1



<i>n</i> - <i>n</i> >

1
2

1


<i>n</i>

<b>C©u III </b><b> (3đ)</b> : Tìm giá trị nhỏ nhất của hµm sè :
a, y =

9

4
2

1
2

2
2







<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

b, y =

2
1

3



<i>x</i> _{- 4}

<b>Câu VI (5đ) : Cho tam giác ABC vuông ở A ,đờng cao AH . Gọi D và E lần lợt là</b>
hình chiếu của điểm H trên AB và AC . Biết BH = 4(cm) ; HC = 9(cm)

a, Tính độ dài đoạn DE

b, Chøng minh r»ng AD . AB = AE.AC

c, Các đờng thẳng vng góc với DE tại D và E lần lợt cắt BC tại M và N . Chứng
minh M là trung điểm BH ; N là trung điểm của CH .

d, TÝnh diÖn tích tứ giác DENM

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>---&*&---Đáp án và biểu chấm</b>

môn: toán 9

<b>Câu I : (4điểm) Tính giá trị biểu thức sau :</b>
a,(2đ)

5 3 2912 5 = 5 3 (2 5 3)2 (0,5 ®)
= 5 3 2 53 (0,5®)

= 5 6 2 5 (0,25®)

= ₅ ₍ ₅ ₁₎2



 (0,5®)
= 5 51 (0,25®)

= 1
b. (2®)

3

2 + 14 5 3 =

2

3
5
14
3
2
(

2    _(0,5®)

=

2

3
10
28
3
2

4   _(0,25®)

=

2

)
3
5
(
)
1
3

( _ 2 _ _ 2

(0,5®)
=

2
3
5
1

3    _(0,5®)

= 3 2
2
6

 _(0,25đ)

<b>Câu II: (5điểm) Giải phơng trình sau.</b>
a. (1,5đ)

1
2
1
1

1 2

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>
<i>x</i>

- Tìm đợc

§KX§: x  1± (0,5đ)
- Giải và tìm nghiệm x = 1 ĐKXĐ (1đ)

x = - 3  §KX§
b. 2 2 1 2 4 4 3







 <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> . (1,5®)

Trang 1
- Biến đổi đa phơng trình về dạng.

| x – 1| + | x – 2 | = 3 (0,5đ)
- Xét đúng các trờng hợp của phơng trình (0,5đ)
- Tìm nghiệm đúng x = 0; x = 3 (0,5đ)

c. (2®) x4_{– 3x}3_{+ 4x}2_{– 3x + 1 = 0}

Lý luận x = 0 không phải là nghiệm nếu phơng trình có nghiệm thì x  0 chia cả 2
vế cho x2_{ta đợc:}

<i>x</i>2_{– 3x + 4 -}

<i>x</i>
3

+ 1₂

<i>x</i> = 0 (0,5đ)

- Đa phơng trình về dạng:
( x2₊

2

1

<i>x</i> ) 3 (x + <i>x</i>
1

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

- Đặt đợc ẩn phụ và đa phơng trình về dạng (Đặt y = x +

<i>x</i>
1

)
y2_{– 3y + 2 = 0} _(0,5®)

- Giải tìm đợc nghiệm y = 1; y = 2 (0,25đ)
- Tìm đợc ẩn x từ ẩn phụ y đúng trong các trờng hợp (0,25)

Nghiệm của phơng trình là x = 1 (0,25đ)
<b>Câu III: (3điểm)</b>

a.(1,5đ) Cho a,b,c là các số dơng. Chøng minh r»ng:
( 1₂

<i>a</i> + 1 ) ( 2

1

<i>b</i> + 2 ) ( 2

1

<i>c</i> + 8 )  <i>abc</i>
32

- áp dụng đợc bất đẳng thức Cô Si cho các số dơng (1đ)

2

1

<i>a</i> + 1  2 2

1
<i>a</i> = <i>a</i>

2

2

1

<i>b</i> + 2  2 <i>b</i> <i>b</i>

2
2
2
2 
8
1
2 

<i>c</i>  2 <i>c</i> <i>c</i>
2
4
8

2 

 ( 1₂

<i>a</i> + 1 ) ( 2

1

<i>b</i> + 2 ) ( 2

1

<i>c</i> + 8 )  <i>abc</i>
32

(0,25đ)
Dấu = xảy ra khi a = 1; b =

2
1

; c =
2
2

1

(0,25®)

Trang 2
b.(1,5®) Chøng minh r»ng víi mäi n  N ta cã

1
2
1
1




<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>

- Biến đổi

<i>n</i>

<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>









1
)
1
)(
1
(
1
=
<i>n</i>
<i>n</i>1

1

(0,25đ)

- So sánh đợc:

<i>n</i>
<i>n</i>1

1
>
1
2
1

<i>n</i> (0,5®)

- Từ đó suy ra:

1
2
1
1




<i>n</i>
<i>n</i>
<i>n</i>
<b>Câu IV:(3điểm)</b>

Tìm giá trị nhỏ nhất các hàm số:
a. (2®) y =

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

=

18
8
4

11
2

1

2





<i>x</i>

<i>x</i> (0,25®)

=

14
)
1
(
4

11
2

1

2 _



<i>x</i> (0,25®)

- Lý luận đợc y min khi

14
)
1
(
4

11

2 

<i>x</i> max (0,25đ)

- Tìm

14
)

1
(
4

11

2

<i>x</i> max = 14
11

khi x = -1 (0,25đ)
-  đợc y min =

7
2
14
11
2
1



 khi x = -1 (0,5®)

b.(1®) y =

2

1 _|

x + 3 | - 4
- Lý luận đợc

2
1 _|

x + 3 |  0  x (0,25®)

Trang 3


2
1 _|

x + 3 | - 4  - 4 (0,25®)

 y min = - 4 khi x = - 3 (0,5đ)
<b>Câu V: (5®)</b>

Vẽ hình đúng ghi giả thiết và kết luận sạch đẹp (0,5đ)
a.(1đ) Tính đúng DE = 6 (cm) (1đ)

b.(1đ) Chứng minh đúng hệ thức dựa vào hệ thức lợng trong tam giác vuông (1đ).
c. (2đ) Gọi I là giao điểm của AH và DE thì:

ID = IE = IA = IH (0,5đ)

MID = MIH (cạnh huyền cạnh góc vuông) (0,5đ)

MD = MH MDH cân tại M MDH = MHD

MDB = MBD (0,5đ)

MBD c©n ë M ta cã MD = MB.

 MB = MH (= MD) vậy M là trung điểm của BH.
Chứng ming.thì N là trung điểm của HC (0,5đ)
d. (0,5đ) Tõ c©u c suy ra:

DM =

2
1

BH =

2
1

. 4 = 2(cm)
EN =

2
1

HC =

2

1

. 9 = 4,5(cm) (0,25®)

 S DENM =

2
1

(DM + EN) DE =

2
1

(2 + 4,5) . 6 = 19,5 (cm2₎ _(0,25®)

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>

<!--links-->