chuyen de csc csn cuc hay

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (229.65 KB, 12 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

11a 1 thpt tien lu

A.

Kiến thức cơ bản

1. Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n  N* là đúng với
mọi n mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp
tốn học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau:

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
- Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1 bất kì

(gọi là giả thiết quy nạp)

- Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng vớii n = k + 1.
2. Các kiến thức cần nhớ:

* Cách viết số tự nhiên:

 Các số tự nhiên liên tiếp: n ; n + 1 ; n + 2 ; …

 Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n ; 2n + 2 ; n + 4 ; …
 Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1 ; 2n + 3 ; n + 5 ; …
* Tính chất chia hết:

 Các số chẵn thí chia hết cho 2.

 Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.

 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

 Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.
 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
 Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.
 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.
 Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.
 Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
 Tích của hai số tự nhiên liên tiếp ln chia hết cho 2.

 Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.
 Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8.
* Tính chất lũy thừa:

 am . an = am+n  am:an = am – n
 (ab)n = an . bn  (am)n = am.n

 nn

n
b
a
b
a









 n

m
n am a


* Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử :

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

I. Chứng minh rằng

n N*





ta ln có các đẳng thức sau :

1.

2
)
1
(
...
2

1  nn n

2.

6
)
1
2
)(

1
(
...
2

12 2 2  





 n n n n

3.

4
)
1
(
...
2
1
2
2
3
3

3  n n n

4.

3
)

1
4
(
)
1
2
(
...
3
1
2
2
2
2 





 n n n

5.

1 3 5 ... (2n 1) n2








6.

1.4 2.7 ... .(3 1) ( 1)2








 n n n n

7.

... ( 1 1) 1

3
.
2
1
2
.
1
1






n
n
n

n

8.

1.2 2.5 3.8 ... (3 1) 2( 1)








 n n n n

9.

1 23 4... 2n(2n1)n1

10.

n n n n n

n
2
).
1
(
1
1
2
).
1
((
2
...

2
.
3
.
2
4
2
.
2
.
1
3
2









11.

3
)
1
2
).(
1
(
2

)
2
(
...
4

22 2 2  






 n n n n

II. Chứng minh rằng

n N*





ta luôn có :

1.

n32n

chia hết cho 3

2.

13n  1

chia hết cho 6

3.

n3 11n



chia hết cho 6

4.

92 14



n

chia hết cho 5

5.

10n 4

chia hết cho 3

6.

16n  15n 1

chia hết cho 225

7.

4n15n 1

chia hết cho 9

8.

10n 18n 28

chia hết cho 27

9.

62n 3n 2 3n



 

chia hết cho 11

10.

7.22 2 32 1

 n

n

chia hết cho 5

11.

5.23 2 33 1

 n

n

chia hết cho 19

12.

n4 6n3 11n2 6n






chia hết cho 24

13.

4.32 2 32 36




 n

n

chia hết cho 64

14.

62 1



n

chia hết cho 35

15.

2n2.3n5n 4

chia hết cho 25

16.

52 1 2 4 2 1



 n n

n

chia hết cho 23

17.

7n 3n 1

chia hết cho 9

18.

32 1 40 67




 n

n

chia hết cho 64

19.

n6 3n5 6n4 7n3 5n2 2n








chia hết cho 24

20.

.(2 2 3 1)



 n

n

chia hết cho 6

21.

11 1 122 1

 n

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

III. Cho số thực

xk2,kZ

. Chứng minh rằng

n N*





, ta luôn có :

1.

2
sin
2
)
1
(
sin
.
2
sin
.
sin
...
2
sin
sin
x
x
n
nx
nx
x
x






2.

2
sin
2
cos
.
2
)
1
(
sin
.
cos
...
2
cos
cos
1
x
nx
x
n
nx
x
x








IV. Cho số thực

x 1

. Chứng minh rắng :

(1x)n 1nx

,

nN*

V. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n, ta ln có bđt :

1.

n
n 2
1
...
2
1

1   

2.

1
3
1
...
2
1
1
1







 n n

n

3.

...22 21 31 4
6
5
.
4
3
.
2
1




n
n
n

VI. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

n2

, ta ln có :

n
n
n 2
1
1
1

...
9
1
1
.
4
1

1 2  






















VII. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bđt :

24
13
2
1
...
2
1
1
1






 n n

n

IX. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

n2

, ta ln có đẳng thức :

( ).



1 2 ... . 2 1











 b a b an an b abn bn

a

X. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

n 3

, ta có :

2
2n  n

BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ :

I. Tìm 5 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :

1. Dãy số

 

un

với

n
n

un 2 3

2



2. Dãy số

 

un

với

4
sinn

un 

3. Dãy số

 

un

với

un (1)n. 4n

II. Tìm 6 số hạng đầu tiên của mỗi dãy số sau :

1. Dãy số

(un)

với

un 3n 2n

2. Dãy số

(un)

với

33
n
u

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

III. Cho dãy số

(un)

với

3
2
cos
4

sinn 2 n

un  

. Hãy điền các số thích hợp

vào các ơ trống sau đây :

n

1

2

3

4

5 u

IV. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hàm số

1
2





x
x

y

có đồ thị (C).

Với mỗi số nguyên dương n, gọi

An

là giao điểm của (C) với đường

thẳng d :

x



n

. Xét dãy số

(un)

với

un

là tung độ của điểm

An

. Hãy

tìm cơng thức xác định cơng thức tổng qt của dãy số đó .

V. Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau :

1. Dãy số (

un n n21

Bai tap luyen

BÀI 2 : Tìm số hạng thứ ba và thứ năm của mỗi dãy số sau:
a) Dãy số (un) xác định bởi: u1 = 0 và 2

2
1

n
n
u

u 



 với mọi n2

b) Dãy số (un) xác định bởi: u1 = 1, u2 = -2 và un un1 2un2 với mọi n3

BÀI 3 : Cho dãy số 1

2 1; 1

n n

u

u  u n n





   



a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số

b) Dự đoán công thức un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

BÀI 4 : Cho dãy số 1

3; 1

n n

u

u  u n





  



a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4

BÀI 5 : Cho dãy số 1 2

1 ; 1

n n

u

u  u n






  

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số

b) Dự đoán công thức un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

BÀI 6 : Cho dãy số (un) xác định bởi công thức
1

2
1

3 5

1; 1
2 2

n n n

u

u  u u n






   




a) Tính u2, u3, u4

Chứng minh rằng un + 3 = un với mọi n *

BÀI 7 :Xét tính tăng , giảm của các dãy số (Un) biết :

a) Un = 2n + 3 g) Un =

2n
n

b) Un = 2n3 – 5n + 1 f) Un = 32
n
n

c) Un = 3n – n h) Un =
2

3 2 1
1

n n

n

 


d) Un = 2

n

n  i) Un =

2
2

1
2 1

n n

n

 


e) Un = 2 1

n
n



 j) Un = n -

1
n 

f) Un = 3 1

n

n k) Un =

n n

n

 

l) un 1 2

n

  m) 1

n
n
u

n






BÀI 8 : Với giá trị nào của a thì dãy số (un), với 2

n
na
u

n




 ,

a) là dãy số tăng ?
b) Là dãy số giảm ?

BÀI 9 :Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U1 = 1 và Un+1 = Un +7 ,   n 

a) Tính U2 ; U4 ; U6

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

BÀI 10 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U2 = 2 và Un+1 = 5.Un ,   n 

a) Tính U2 ; U4 ; U6

b) Cmr : Un = 2.5n-1 ,   n 

BÀI 11 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U1 = 1 và Un+1 = 3Un +10 ,   n 

Cmr : Un = 2.3n – 5 ,   n 

BÀI 12: Cho dãy số (Un) được xác định bởi : U1 = 2 và Un+1 = 3Un +2n-1 ,   n 

Cmr: Un = 3n - n ,  n 

BÀI 13 : Cho dãy số (Un) được xác định bởi :

2
1
2

n

n
U

U

U







 





, n 

   b) 1

2
1

n n

U

U  U





 


, n 

   c)

1
2
3

n n

U

U  U






 

 ,

n 

  

Tìm số hạng tổng quát của các dãy số trên

BÀI 14 :Xét tính bị chặn của các dãy số (Un) được xác định bởi :

2
2

1
2 3

n
n
U

n




 , n



  

b) Un = 7 5

5 7

n
n



 , n



  

c) Un = 2n2 + 2 ,   n 

d) Un =

1
( 1)

n n , n



  

e) Un = 2

2n  3 , n



  

f) un = 2n2 – 1

g) 2

1
2 1

n
u

n




h) un sinncosn

BÀI 15 : Ch ng minh r ng day s (uư ă ô n) v i ơ

2 3
3 2

n
n
u

n




 la day s gi m va b ch n.ô a i ă

BÀI 16 : Cho day s (uô n )v i uơ n = 1 + (n – 1).2n

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b) Tim công th c truy h iư ô

c) Ch ng minh day s t ng va b ch n d iư ô ă i ă ươ

BÀI 17 : Cho day s (sô n) v i ơ sin(4 1)

n

s  n 

a) Ch ng minh r ng sư ă n = sn + 3

Hay tinh t ng c a 15 s h ng đ u tiên c a day s đa cho.ô u ô a â u ô

BÀI 18 : Cho day s (uô n) xac đ nh b i công th c i ơ ư

3
1

; 1

n n

u

u  u n n






  




a) Tim công th c c a s h ng t ng quatư u ô a ô
Tinh s h ng th 100 c a day sô a ư u ô

Bài 3

:

CẤP SỐ CỘNG

A/ LÝ THUYẾT :
1/ Định nghĩa :

Cấp số cộng là một dãy sớ (hữu hạn hoặc vơ hạn ) , trong đó kể từ số hạng thứ hai trở đi
,mỗi số hạng đều bằng sớ hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d .

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng .

Như vậy : (Un)là cấp số cộng  Un+1= Un + d ,  n .
2/ Số hạng tổng quát :

Nếu cấp sớ cộng (Un) có sớ hạng đầu U1 và cơng sai d thì số hạng tổng quát Un được xác

định bởi công thức :

Un = U1 + (n-1)d ,   n và n2 .
3/ tính chất các số hạng của cấp số cộng :

Trong một cấp số cộng ,mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và ći ) đều là trung bình cộng

của hai sớ hạng đứng kề với nó ,nghĩa là :
1 1

k k

k

U U

U   

 , n 

   và n2 .

4/ tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng :

Cho cấp số cộng (Un) .đặt Sn U1U2U3...Un.khi đó 1

( )

n
n

n u u

S   hay



2 1 ( 1)



n

n u n d

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

B/BÀI TẬP :

Bài 1 : trong các dãy số (Un) được xác định như sau ,dãy nào là CSC :

a) Un = 3n-1 b) Un = 2n + 1

c) Un = (n+1)2 – n2 d)
1

3
1

n n

U

U  U





 


e) Un = 2n + 3 f) un = 3n – 1

g) un = 2n + 1 h)
1

n n

u

u  u





 


i) un = 3n j) 1

n
n

u  

k) 7 3
2

n

u   l) un = 5 – 2n

bài 2 : trong các dãy số (Un) được xác định như sau ,dãy nào là CSC ,xác định công

sai của CSC đó :

a) dãy (Un) được xác định bởi U1 = 1 và Un+1 = 3 + Un với  n 1

b) dãy (Un) được xác định bởi U1 = 3 và Un+1 = Un –n với  n 1

c) dãy (Un) được xác định bởi Un+1 = Un + 2 với  n 1

bài 3 : cho dãy số (Un) với Un = 9 - 5n

a) viết 5 số hạng đầu của dãy

b) cmr : dãy số (Un) là CSC .chỉ rõ U1 và d

c) tính tổng của 100 số hạng đầu

bài 4 : tính số hạng đầu U1 và công sai d của 1 CSC (Un) biết :

a) 1 5

2 0
14

U U

S

 







b) 4

10
19

U
U








c) 1 5 3

1 6

10
7

U U U

U U

  




 


d) 7 3

2 7

8
. 75

U U

U U

 





</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

e) f)

g) h)

i) j)

k) l)

bài 5 : CSC (Un) có S6 = 18 và S10 = 110

a) lập công thức số hạng tổng quát Un

b) tính S20

bài 6: tìm CSC (Un) biết :

a) 12 22 32

1 2 3

27
275

U U U

  





  




b) 12 22 32 2 2

1 2 3

...
....

n
n

U U U U a

U U U U b

    






    




bài 7 : tính số các số hạng của CSC (Un) biết :

2 4 2

2 2

... 126
42

n
n

U U U

U U

   




 



Bài 8: tìm x từ phương trình :

a ) 2 +7 +12 +...+x = 245 biết 2 , 7 , 12 , ….., x là CSC

b) (2x +1) +(2x+6) + (2x+11) +…..+(2x+96) =1010 biết 1,6,11 …..là CSC

Bài9ặt giữa -6 và 8 sáu số nữa để được một CSC
bài 10 : cho (Un) là 1 CSC có U3+U13 = 80

Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu của cấp sớ đó

Bài 11 :cho (Un) là 1 CSC có U4 + U11 = 20

Tìm tổng S14của 14sớ hạng đầu của cấp sớ đó

Bài 4:

CẤP SỐ NHÂN

A/lý thuyết

1/định nghĩa :

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn),trong đó kể từ sớ hạng thứ hai trở
đi ,mỡi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một sớ khơng đổi q .
Sớ q được gọi là công bội của CSN .

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

u

n+1

= u

. q ,

  n 

.

2 ) Số hạng tổng quát của một CSN :

Nếu cấp sớ nhân có sớ hạng đầu u1và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định

bởi công thức :

Un = u1 . qn-1 , n 2.

3) Tính chất các số hạng của CSN :

Trong một CSN ,bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là tích của
hai số hạng đứng kề với nó ,nghĩa là :

1. 1

k k k

u u  u  ,  k 2.
4/ Tổng n số hạng đầu của một CSN :

Cho cấp số nhân (un) với công bội q1.đặt

Sn = u1 + u2 + …..+un .

Khi đó

: s

n

=

(1 )
1

n

u q

q




B/Bài tập :

Bài 1 : Cho dãy số (un) với un=22n+1

a) Cmr dãy số (un) là một CSN

b) Số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này ?

Bài 2 : Viết năm số xen giữa các số 1 và 729 để được một CSN có 7 sớ hạng .Tính tổng
các số hạng của cấp số này .

Bài 3 : Viết 6 số xen giữa các số -2 và 256 để được một CSN có 8 sớ hạng .Số hạng thứ
15 là bao nhiêu ?

Bài 4 : Một CSC và một csn đều là các dãy tăng . các số hạng thứ nhất đều bằng 3 ,các số
hạng thứ 2 bằng nhau .Tỉ số giữa các số hạng thứ 3 của csn và csc là 9

5. Tìm hai cấp số
ấy

Bài 5 : Cho 4 số ngun dương ,trong đó 3 sớ đầu lập thành một csc ,3 số sau lập thành

một csn .biết rằng tổng của số hạng đầu và cuối là 37 ,tổng của hai số hạng giữa là 36
.Tìm 4 số đó .

Bài 5 : Các dãy sớ (un) sau đây ,dãy số nào là csn ?

a) un=(-5)2n+1 ; b) un=(-1)n.33n+1 ;

c) 1 2

n n

u

u  u








1
2
5

n n n

u

u  u u






 


</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 6 : CSN (un) có :

1 5

2 6

51
102

u u

 




 


a) Tìm số hạng đầu và công bội của CSN ;

b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069 ?
c) Số 12 288 là số hạng thứ mấy ?

Bài 7 : Tìm các số hạng của CSN (un) ,biết

a) q=2 , un=96 ,sn=189 ;

b) u1=2 , un=1

8 ,sn=
31

8 .

Bài 8 : Tìm số hạng đầu và công bội của CSN (un) ,biết :

a) 5 1

4 2

15
6

u u

 




 

 ; b)

2 4 5

3 5 6

10
20

u u u

  




  


Bài 9 : Bốn số lập thành một cấp số cộng .lần lượt trừ đi mỗi số ấy cho 2,6,7,2 ta nhận
được một cấp sớ nhân .Tìm các sớ đó .

Bài10 : Viết 4 số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân .

Bài 11 : Ba sớ khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp
số nhân ,hoặc coi là các số hạng thứ nhất , thứ tư và thứ 25 của một cấp số cộng .Tìm các
sớ đó .

Bài 11 : Ba sớ có tổng là 217 có thể coi là các sớ hạng liên tiếp của một cấp số nhân ,hoặc
là các số hạng thứ 2 ,thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng . Hỏi phải lấy bao nhiêu số
hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820 ?

Bài 12 : Một cấp số cộng và một cấp sớ nhân có sớ hạng thứ nhất bằng 5 ,số hạng thứ hai
của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 ,cịn các sớ hạng thứ 3
bằng nhau .Tìm các cấp số ấy .

BÀI TẬP luyen VỀ CẤP SỐ NHÂN :

I. Cho cấp số nhân (un ) có u1 = 3 & u2 = 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

II. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công bội

của mổi cấp số nhân đó .

1. Dãy số (an) xác định bởi a1=1 và an+1 =

n

a

1

n

2. Dãy số (bn) xác định bởi b1=3 và bn+1 =

n
bn

1

n

3. Dãy số (cn) xác định bởi c1=2 và cn+1 =

n

C

1

n

4. Dãy số (dn) mà dn+1 = 3dn n 1

III. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 4un + 9 n 1

Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi : vn = un + 3 n1 là một cấp số

nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
IV. Xét dãy số (un)xác định bởi u1= a và un+1 =

n

u

n 1 trong đó a là một số

thực khác 0. Hãy xác định tất cả các giá trị của a để dảy số (un) là một cấp số

nhân .

V. Cho một cấp số nhân có 5 số hạng với cơng bội dương. Biết rằng số hạng thứ
hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 6. Hãy tìm các số hạng cịn lại của cấp số
nhân đó .

</div>

chuyen de csc csn cuc hay

<i> </i>

<i> 11a 1 thpt tien lu</i>

<i>A. </i>

<i><b>Kiến thức cơ bản</b></i>

I. Chứng minh rằng

ta ln có các đẳng thức sau :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

II. Chứng minh rằng

ta luôn có :

1.

chia hết cho 3

2.

chia hết cho 6

3.

chia hết cho 6

4.

<sub> chia hết cho 5</sub>

5.

chia hết cho 3

6.

chia hết cho 225

7.

chia hết cho 9

8.

chia hết cho 27

9.

chia hết cho 11

10.

<sub> chia hết cho 5</sub>

11.

<sub> chia hết cho 19</sub>

12.

chia hết cho 24

13.

<sub> chia hết cho 64</sub>

14.

<sub> chia hết cho 35</sub>

15.

<sub> chia hết cho 25</sub>

16.

<sub> chia hết cho 23</sub>

17.

chia hết cho 9

18.

<sub> chia hết cho 64 </sub>

19.

chia hết cho 24

20.

chia hết cho 6

21.

III. Cho số thực

. Chứng minh rằng

, ta luôn có :

1.

2.

IV. Cho số thực

. Chứng minh rắng :

,

V. Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n, ta ln có bđt :

1.

2.

3.

VI. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương

, ta ln có :

VII. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1. Hãy chứng minh bđt :

IX. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

, ta ln có đẳng thức :



