Tài liệu 7 de thi HSG co dap an

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2000-2001
Câu1: Cho hàm số y = mx
2
+2(m-2)x- 3m + 2
CMR đồ thị của hàm số luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Câu2: Giả sử a,b,c,x,y,z là những số khác 0 thỏa mãn:
0
a b c
x y z
+ + =
và
1
x y z
a b c
+ + =
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
Câu3: Cho x > y và xy = 1. CMR:
2 2 2
2
( )
8
( )
x y
x y

+


Câu4: Tìm nghiệm nguyên của hệ bpt:
2
25
2 18
4
x y
y x
y x x

+

+


+

Câu5: Cho đờng tròn (O) và đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A và B.
Từ một điểm M bất kỳ trên d và nằm ở miền ngoài đờng tròn (O) kẻ các đờng tiếp
tuyến MP và MN(P và N là các tiếp điểm)
a) CMR: khi M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp

MNP luôn đi qua hai
điểm cố định.
b) Tìm tập hợp các tâm đờng tròn ngoại tiếp

MNP khi M di động trên d.
c) Xác định vị trí của M để

MNP đều.
Bài làm
Câu1:
Giả sử đồ thị của hàm số y = mx
2
+2(m-2)x- 3m + 2 luôn đi qua điểm M(x
0
;y
0
)
với mọi giá trị của m

mx
0
2
+ 2(m- 2)x
0
3m + 2 = y
0
với mọi giá trị của m

m(x
0
2
+ 2x
0
- 3) + 2- 4x
0
- y

0
= 0 với mọi giá trị của m

0
0
2
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
1
1
2
2 3 0
3
2 4 0
3
2 4
14
x
x
y
x x
x
x y
x
y x

y
=

=



=

+ =



=



=
=





=


=

Vậy đồ thị của hàm số y = mx
2
+2(m- 2)x- 3m + 2 luôn đi qua hai điểm cố
định (1;-2) và (-3; 14) với mọi giá trị của m.
Câu2
Ta có:
0
a b c
x y z
+ + =

ayz + bxz + cxy = 0

2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2( )x y z x y z xy xz yz x y z xyc xzb yza
a b c a b c ab ac bc a b c abc
+ +

+ + = + + + + + = + + +
ữ





1
2

=
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
+ + +

2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
+ + =
Câu3: Cho x > y và xy = 1. CMR:
2 2 2
2
( )
8
( )
x y
x y
+


Ta có:
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
( )

8 ( ) 8( ) ( ) 8( ) 0
( )
x y
x y x y x y x y
x y
+
+ +


2 2 2 2
2 2( ) 2 2( ) 0x y x y x y x y


+ + +



Trang
1

2 2 2 2
2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0x y x y x y x y



+ + + + +

2 2 2 2
2 2 2( ) 2 2 2 2( ) 2 0x xy y x y x xy y x y


+ + + + +



) )
(
2 2
2 2 0x y x y

+


Luôn đúng
Câu5
a) Gọi H là hình chiếu của O lên đờng thẳng d.
Vì O và d cố định nên H cố định
Ta có:
ã
0
90ONM =
(gt)

ã
0
90OPM =

(gt)


Y
OPMN nội tiếp đờng tròn
Ta lại có:
ã
ã
0
90OHM OPM= =


Y
OHPM nội tiếp đờng tròn


Năm điểm O, H, P, M, N cùng nằm trên một đờng tròn


khi M di động trên d thì đờng tròn ngoại tiếp

MNP luôn đi qua hai điểm
cố định O và H.
b) Vì đờng tròn ngoại tiếp

MNP luôn đi qua hai điểm O và H nên tâm của đ-
ờng tròn ngoại tiếp

MNP nằm trên đờng trung trực của OH.
Vậy khi M di động trên d thì tâm đờng tròn ngoại tiếp

MNP nằm trên đờng
trung trực của đoạn thẳng OH.
c) Khi

MNP đều
ã
NMP
= 60
0


ã
ã
OMN OMP=
= 30
0


OP =
1
2
OM

OM = 2.OP = 2R.
Vậy khi M cách O một khoảng bằng 2R thì

MNP đều
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2002-2003
Câu1: 1. Giải pt:

( 1 1)( 1 1) 2x x x+ + =
2. Cho pt: x
2
- 2mx + 2m 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng pt có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Đặt A = 2(x
1
2
+ x
2
2
)- 5x
1
x
2
.
CM: A = 8m
2
- 18m + 9
Câu2: a) Tìm nghiệm nguyên dơng của pt:
1 1 1
1
x y z
+ + =
b) Cho ba số dơng a,b,c thỏa mãn: a
2

+ b
2
+ c
2
=
7
5
. CM:
1 1 1 1
. .a b c a b c
+ <
Câu3: Giải hệ pt:
2 2
7
12
x y xy
xy x y
+ + =


+ =

Câu4: Cho hbh ABCD và I là trung điểm của CD. Đờng thẳng BI cắt tia AD tại E.
a) CMR:

BIC =

EID.
b) Tia EC cắt AB tại F. CMR: FC//BD.
c) Xác định vị trí của điểm C đối với đoạn thẳng EF.

Câu5: Từ một điểm S ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai cát tuyến SAB, SCD đến
đờng tròn. CMR: nếu AB = CD thì SA = SC
Bài làm

Trang
2
Câu1: 1. Giải pt:
( 1 1)( 1 1) 2x x x+ + =
Điều kiện: -1

x

1
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( 1 1)( 1 1) 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1x x x x x x x x+ + = + + + + = + +

( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 1 0x x x x x x x


+ + + = + + + =



0
1 1 2 1 2(*)
x
x x
=

+ = + +

(*)

1 2 1 1x x = + +

1- x = 4 + 4x + 4
1 x+
+ 1

4
1 x+
= - 4- 5x


2 2
4
4 4
5
24
0
5 5
25
16 16 25 40 16 25 24 0
24
25
x

x x
x
x
x x x x x
x









=
=




+ = + + + =




=


2. x
2

- 2mx + 2m 1 = 0 (1)
a) Ta có:
/

= (-m)
2
- 1.(2m- 1) = m
2
- 2m + 1 = (m- 1)
2
Vì (m- 1)
2


0 với mọi m nên pt (1) luôn có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Ta có: A = 2(x
1
2
+ x
2
2
)- 5x
1
x
2
= 2(x

1
+ x
2
)
2
9x
1
x
2
Theo vi-et ta có: x
1
+ x
2
= 2m
x
1
.x
2
= 2m- 1


A = 2(2m)
2
- 9(2m- 1) = 8m
2
- 18m + 9 _đpcm.
Câu2: a) Ta có:
1 1 1
1
x y z

+ + =

x,y,z > 1
Giả sử x

y

z

1 1 1
x y z
+ +
3
z


3
z

1

z

3
Vì z nguyên dơng

z = 2;3.
* Nếu z = 2 ta có:
1 1 1
2x y

+ +
= 1

1 1
x y
+
=
1
2

x,y > 2
Vì x

y

1 1
x y
+

2
y

1
2

2
y

y

4
Vì y nguyên dơng

y = 3;4
+ Nếu y = 3

1 1
3x
+
=
1
2

x = 6
+ Nếu y = 4

1 1
4x
+
=
1
2

x = 4
* Nếu z = 3 ta có:
1 1 1
3x y
+ +
= 1

1 1
x y
+
=
2
3

x,y>
3
2
Vì x

y

1 1
x y
+

2
y

2
3

2
y

y

3

Vì y nguyên dơng

y = 2;3
+ Nếu y = 2

1 1
2x
+
=
2
3

x = 6
+ Nếu y = 3

1 1
3x
+
=
2
3

x = 3
Vậy nghiệm nguyên dơng của pt là: (3;3;3); (6; 2; 3); (6; 3; 2); (3; 2; 6); (3; 6;
2); (2; 3; 6); (2; 6; 3); (2; 4; 4); (4; 2; 4); (4; 4; 2)

Trang
3
b) Ta có
1 1 1 1 1

0 1 0 1 0
. .
bc ac ab
bc ac ab ab ac bc
a b c a b c abc abc abc abc
+ < + < + < + >

2 2 2
7 3 3
2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0
5 5 5
ab ac bc ab ac bc a b c ab ac bc + > + + > + + + + >

2
3
( ) 0
5
a b c + + >
luôn đúng
Câu3: Ta có:
2 2
3
( )
4
7
7
( ) 12
12
4
( )

3
x y
I
xy
x y xy
x y xy
xy x y
xy x y
x y
II
xy
+ =



=
+ + =
+ + =







+ =
+ =
+ =

=



Hệ pt (I) vô nghiệm
Hệ pt(II) có nghiệm
1
3
x
y
=


=

hoặc
3
1
x
y
=


=

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm
1

3
x
y
=


=

hoặc
3
1
x
y
=


=

Câu4:
a) Xét

BIC và

EID có:

ã
ã
BCI EDI=
(so le trong)
IC = ID (gt)

ã
ã
BIC EID=
(đối đỉnh)



BIC =

EID (g.c.g)
b) Ta có:

BIC =

EID (câu a)


BC = ED
Mà BC = AD

AD = ED


CD là đờng trung bình của

AEF

CD = AB = BF

BFCD là hình bình
hành


FC // BD
c) Vì CD là đờng trung bình của

AEF (c/m trên)

C là trung điểm của đoạn
thẳng EF.
Câu5: Gọi H và K lần lợt là hình chiếu của O lên AB và CD
Vì AB = CD

OH = OK
Xét

SOH và

SOK có:
SO là cạnh chung
OH = OK (c/m trên)



SOH =

SOK (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

SH = SK (1)
Mặt khác AB = CD

AH = CK (2)
Từ (1) và (2)

SA = SC
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2003-2004
Câu1: a) Tìm x

N biết:
1 1 1 2 2002
1 ... 1
3 6 10 ( 1) 2004x x
+ + + + + =
+

Trang
4
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
6 6 6
3 3 3 3 3 3
x y z
x y y z z x
+ +
+ + +

Trong đó x,y,z là các số dơng thỏa mãn:
1xy xy yz yz zx zx+ + =
Câu2: a) Cho x- y = 4; x

2
+ y
2
= 36. Tính x
3
- y
3
.
b) Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn điều kiện: a + b = 3; ax + by = 5; ax
2
+ by
2
= 12; ax
3
+ by
3
= 31. Tính ax
4
+ by
4
Câu3:a) Giải pt:
3
3
1 1
78( )y y
y y
+ = +
với điều kiện y

0.

b) Giải hệ pt:
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) 185
( ) 65
x xy y x y
x xy y x y

+ + + =


+ + =


Câu4: Giả sử x,y,z là các số nguyên không âm thỏa mãn diều kiện sau:
36
2 3 72
x by
x z
+


+


Trong đó b > 0 cho trớc. CMR:
a) Nếu b

3 thì (x+y+z)
max

= 36
b) Nếu b<3 thì (x+y+z)
max
= 24 +
36
b
Câu5: Cho đờng tròn (O;R) và điểm A với OA = R
2
. Từ A kẻ hai tiếp tuyến
AM, AN.
a) CM

AMON là hình vuông
B) Gọi H là trung điểm của MN. CMR: A, H, O thẳng hàng
c) Một đờng thẳng (m) quay quanh A cắt đờng tròn (O) tại P và Q. Gọi S là
trung điểm của dây PQ. Tìm quỹ tích điểm S
d) Tìm vị trí của đờng thẳng (m) để AP + AQ max
e) Tính theo R độ dài HI trong đó I là giao điểm của AO với cung nhỏ MN.
Bài làm
Câu1: a) Ta có:
1 1 1 2 2 2 2 2 2
1 ... ...
3 6 10 ( 1) 1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1)x x x x
+ + + + + = + + + + +
+ +

1 1 1 1 1
2 ...
1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1)x x

= + + + + +

ữ
+


Ta lại có:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 ; ; ; ;...;
1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 4.5 4 5 ( 1) 1x x x x
= = = = =
+ +


1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
1 ... 2 1 ... 2 1
3 6 10 ( 1) 2 2 3 3 4 4 5 1 1 1
x
x x x x x x


+ + + + + = + + + + + = =
ữ ữ

+ + + +


Do đó
1 1 1 2 2002 2 2002 2 4006

1 ... 1 1
3 6 10 ( 1) 2004 1 2004 1 2004
x x
x x x x
+ + + + + = = =
+ + +

4008 4006 4006 2 4006 2003x x x x
= + = =
Vậy với x = 2003 thì
1 1 1 2 2002
1 ... 1
3 6 10 ( 1) 2004x x
+ + + + + =
+
b) *Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số
6
3 3
x
x y+
và
3 3
4
x y+
ta có:

6 3 3 6 3 3
3
3 3 3 3
2 .

4 4
x x y x x y
x
x y x y
+ +
+ =
+ +

Trang
5