Bai tap quan he vuong goc khong gian

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

QUAN HỆ VNG GĨC

ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa:
2. Định lý cơ bản
3. Các định lý khác

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
SBT/ hhcb 11

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O và có cạnh SA vng góc với mặt phẳng
(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vng góc của A trên các cạnh SB, SC và SD.

a. Chứng minh: BC  (SAB); CD (SAD) và BD (SAC)

b. Chứng minh: SC  (AHK) và điểm I thuộc (AHK)

c. Chứng minh: HK (SAC), từ đó suy ra HK AI

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD
a. Chứng minh: SO  (ABCD)

b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng: IK (SBD) và IK SD

Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện vng góc với nhau từng đơi một.
Bài 4: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau. Kẻ OH vng góc với
mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh:

a. OABC; OBCA VÀ OCAB

b. H là trực tâm của tam giác ABC

c.

1

₂

1

₂

1

₂

1

₂

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên SA vng góc với mặt đáy.
Chứng minh các mặt bên của hình chóp đã cho là những tam giác vng.

Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H
vng góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a. AA’BC và AA’B’C’

b. Gọi MM’ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA’) với mặt bên BCC’B’, trong đó M  BC và M’B’C’.

Chứng minh rằng tứ giác BCC’B’

VẤN ĐỀ 1: 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG
Cách 1: Chứng minh a vng góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong



Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b vng góc với



2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

Cách 1: Chứng minh đường thẳng này vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

Cách 2: Nếu hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vng góc đã
học trong hình học phẳng.

Bài tập:

Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vng tâm O; SA vng góc với mặt phẳn
(ABCD). Gọi H, I, K ần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A trên SB; SC; SD.

a. Chứng minh rằng: BC vng góc với mặt phẳng (SAB); CD vng góc với mặt phẳng (SAD); BD
vng góc với mặt phẳng (SAC).

b. Chứng minh rằng: AH; AK cùng vng góc với SC. Từ đó suy ra ba đường AH; AI; AK cùng chứa
trong một mặt phẳng.

c. Chứng minh rằng: HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vng góc với AI
Bài 2: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B,

<i>SA</i>



(

<i>ABC</i>

)

a. Chứng minh:

<i>BC</i>



(

<i>SAB</i>

)

b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh:

<i>AH SC</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

a. Chứng minh:

<i>SO</i>



(

<i>ABCD</i>

)

b. Gọi

<i>I J</i>

,

lần lượt là trung điểm của các cạnh

<i>BA BC</i>

,

. Chứng minh rằng:

<i>IJ</i>



(

<i>SBD</i>

)

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều; gọi

<i>I</i>

là trung điểm của cạnh BC
a. Chứng minh:

<i>BC</i>



(

<i>AID</i>

)

b. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh:

<i>AH</i>



(

<i>BCD</i>

)

Bài 4: Cho tứ diện OABC có OA; OB; OC đơi một vng góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vng góc
của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a.

<i>BC</i>



(

<i>OAH</i>

)

b. H là trực tâm của tam giác ABC.

c.

1

₂

1

₂

1

₂

1

₂

<i>OH</i>



<i>OA</i>



<i>OB</i>



<i>OC</i>

d. Các góc của tam giác ABC đều nhọn.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vng cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là
tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a. Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng

<i>SI</i>



(

<i>SCD</i>

)

và

<i>SJ</i>



(

<i>SAB</i>

)

b. Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên IJ. Chứng minh rằng:

<i>SH</i>



<i>AC</i>

c. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho

<i>BM SA</i>



. Tính AM theo a.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều và

2

<i>SC a</i>



. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a. Chứng minh rằng:

<i>SH</i>



(

<i>ABCD</i>

)

b. Chứng minh rằng:

<i>SC SK</i>



và

<i>CK SD</i>



Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có

<i>AB a</i>



;

<i>_{BC a}</i>

_

₃

, mặt bên SBC
vuông tại B, mặt bên SCD vng tại D có

<i>_{SD a}</i>

_

₅

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình
chiếu vng góc của A trên SC. Hãy xác định các giáo điểm K, L của SB, SD với mặt phẳng (HIJ).

Chứng minh rằng:

<i>AK</i>



(

<i>SBC</i>

)

và

<i>AL</i>



(

<i>SCD</i>

)

c. Tính diện tích tứ giác AKHL

Bài 8: Gọi I là một điểm bất kỳ ở trong đường trịn (O), tâm O, bán kính bằng R. CD là dây cung của
đường tròn (O) qua I. Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I, ta lấy điểm
S với

<i>OS R</i>



. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng:

a. Tam giác SDE vuông tại S
b.

<i>SD CE</i>



c. Tam giác SCD vuông

Bài 9: Cho tam giác MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng



. Trên đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng



tại A ta lấy hai điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C’ là hình chiếu vng góc của C trên MD, H
là giao điểm của AM và CC’.

a. Chứng minh:

<i>CC</i>

' (



<i>MBD</i>

)

b. Gọi K là hình chiếu vng góc của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của tam giác BCD.
Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính

<i>AB</i>

_

2

<i>R</i>

; (O) ở trong mặt phẳng



. Dựng

<i>AS</i>



2

<i>R</i>

vng
góc với mặt phẳng



. Gọi T là một điểm di động trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Đặt



<i>ABT</i>





(

0







90

<i>o</i>). Đường thẳng BT gặp đường tròn (O) tại M. Gọi N là hình chiếu vng góc
của A trên SM.

a. Chứng minh rằng khi T di động, đường thẳng TN luôn đi qua một điểm cố định H
b. Tính



để tam giác AHN cân.

Bài 11: Cho tứ diện ABCD.

a. Chứng minh rằng:

<i>AB CD</i>

_

_

<i>AC</i>

2

_

<i>AD</i>

2

_

<i>BC</i>

2

_

<i>BD</i>

2

b. Từ đó suy ra nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vng góc với nhau thì cặp cạnh đối cịn lại cũng
vng góc với nhau.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA = SC; SB = SD. Gọi O là giao điểm
của AC và BD.

a. Chứng minh rằng SO mp(ABCD)

b. Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d1 là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng

minh SO mp(d; d1)

2. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sai cho hai đường chéo AC và
BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng:
a. ACH và BFK là các tam giác vuông

b. BF  AH và AC  BK

3. a) Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của DH. Chứng minh rằng tứ diện
IABC có IA, IB, IC đơi một vng góc.

b) Cho tứ diện IABC có IA = IB =IC và IA, IB, IC đơi một vng góc; H là hình chiếu của I trên
mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh rằng tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.

4. Cho hình chóp S.ABC có SB vng góc với mp(ABC), ABC là tam giác vng tại A.

a. Chứng minh rằng ACS là tam giác vng

b. Tính SA, SB, SC biết rằng



<i>ACB</i>

_

_

;



<i>ACS</i>

_

_

;

<i>BC a</i>

_

VẤN ĐỀ 2: THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ VNG GĨC VỚI MỘT ĐƯỜNG
THẲNG CHO TRƯỚC

Cho khối đa diện (S), ta tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng



,



qua điểm M cho trước và vng góc
với một đường thẳng d cho trước.

Cách 1: Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vng góc với d thì:

/ /

<i>a</i>



(hay chứa a)

/ /

<i>b</i>



(hay chứa b)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Cách 2: Dựng mặt phẳng



như sau: Dựng hai đường thẳng cắt nhau cùng vng góc với d, trong đó có
ít nhất một đường thẳng qua M (hình 63a)

Mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng trên chính là



- Xác định thiết diện theo phương pháp đã học

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và B với

<i>AB BC a AD</i>





,



2

<i>a</i>

;

<i>SA</i>

vng góc với mặt phẳng (ABCD) và

<i>SA</i>



2

<i>a</i>

. Gọi M là một điểm trên cạnh AB;



là mặt phẳng
đi qua M, vng góc với AB. Đặt

<i>x AM</i>



(0



<i>x a</i>



)

a. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với



. Thiết diện là hình gì?
b. Tính diện tích thiết diện theo a và

<i>x</i>

Ví dụ 2: Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA vng góc với mặt phẳng
(ABC) và

<i>SA</i>



2

<i>a</i>

. Gọi



là mặt phẳng qua B và vng góc với SC. Tìm thiết diện của tứ diện SABC
với



và tính diện tích của thiết diện này.

1. Cho hình tứ diện S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B.

<i>AB a SA</i>



;



(

<i>ABC</i>

)

và

3

<i>SA a</i>



. M là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Đặt

<i>AM x</i>



(0



<i>x a</i>



)

. Gọi



là mặt phẳng qua M
và vng góc với AB.

a. Tìm thiết diện của tứ diện S.ABC với



b. Tính diện tích của thiết diện này theo a và

<i>x</i>

. Tìm giá trị của

<i>x</i>

để diện tích có giá trị lớn nhất
2. Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a,

<i>SA</i>



(

<i>ABC</i>

)

và

<i>SA a</i>



. Tìm thiết diện
của tứ diện SABC với mặt phẳng



và tính diện tích của thiết diện trong các trường hợp sau:

a.



qua S và vuông góc với BC.

b.



qua A và vng góc với trung tuyến SI của tam giác SBC.
c.



đi qua trung điểm M của SC và vng góc với AB

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

a. Chứng minh:

2
2

2

3

<i>SH</i>

<i>SB</i>



b. Gọi



là mặt phẳng đi qua A và vng góc với SB,



cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là hình
gì? Tính diện tích của thiết diện

4. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a;

<i>SA</i>



(

<i>ABCD</i>

)

và

<i>_{SA a}</i>

_

₂

. Gọi



là mặt phẳng qua A và
vng góc với SC,



cắt SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P.

a. Chứng minh rằng:

<i>AM SB AP SD</i>



;



và

<i>SM SB SN SC SP SD SA</i>

.

_

.

_

.

_

2
b. Chứng minh: tứ giác AMNP nội tiếp được và có hai đường chéo vng góc với nhau.

c. Gọi O là giao điểm của AC và BD; K là giao điểm của AN và MP. Chứng minh rằng ba điểm S; K; O
thẳng hàng.

d. Tính diện tích tứ giác AMNP

5. Cho hình thoi ABCD có tâm O với các đường chéo

<i>AC</i>



4 ;

<i>a BD</i>



2

<i>a</i>

. Trên đường thẳng vng
góc với (ABCD) tại O lấy điểm S với

<i>_SO</i>

_

_{2 3}

<i>_a</i>

. Mặt phẳng



qua A và vng góc với SC cắt SB;
SC; SD lần lượt tại B’; C’; D’

a. Chứng minh tứ giác AB’C’D’ có hai đường chéo vng góc với nhau
b. Tính diện tích tứ giác AB’C’D’

c. Chứng minh rằng B’C’D’ là tam giác đều

6. Cho hình tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bằng a;

<i>SA</i>



(

<i>ABC</i>

)

và

<i>SA a</i>



. Gọi M là
một điểm tuỳ ý trên cạnh AC,



là mặt phẳng qua M và vng góc với AC.

a. Tuỳ theo vị trí của điểm M trên cạnh AC, có nhận xét gì về thiết diện tạo bởi



với tứ diện S.ABC
b. Đặt

<i>CM x</i>



(0



<i>x a</i>



)

. Tính diện tích S của thiết diện trên theo

<i>a</i>

và

<i>x</i>

. Xác định

<i>x</i>

để diện tích
này có giá trị lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.

7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a.

<i>AA</i>

' (



<i>ABC</i>

)

và

<i>AA</i>

'



<i>a</i>

. Có
nhận xét gì về thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng



và tính diện tích trong mỗi trường hợp sau:
a.



qua A và vng góc với B’C

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
A. TĨM TẮT

1. Phép chiếu vng góc
2. Đoạn vng góc, đoạn xiên

3. So sánh độ dài đoạn vng góc và các đoạn xiên
4. Trục của đường trịn ngoại tiếp tam giác

5. Định lý ba đường vng góc
6. Góc giữa đường xiên và mặt phẳng
7. Khoảng cách

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

VẤN ĐỀ 1:

- DỰNG ĐƯỜNG THẲNG QUA MỘT ĐIỂM A CHO TRƯỚC VÀ VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG



CHO TRƯỚC

- TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
Thực hiện theo các bước sau:

- Bước 1: Chọn trong



một đường thẳng d, rồi dựng mặt phẳng



qua A và vng góc vowosi d (nên
chọn d sao cho



dễ dựng)

- Bước 2: Xác định đường thẳng

<i>c</i>

 





- Bước 3: Dựng

<i>AH c</i>



tại H.

- Đương thẳng AH là đường thẳng qua A và vng góc với



</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Chú ý :

1. Trước khi chọn d và dựng β nên xét xem d và β đã có sẳn trên hình vẽ chưa.
2. Phương pháp dựng mặt phẳng β ở bước 1 đã được trình bày ở vấn đề 2

3. Nếu đã có sẳn đường thẳng  vng góc với α, khi đó chỉ cần dựng Ax//  thì Ax α

4. Nếu AB//α thì d(A, α) = d(B, α)

5. Nếu AB cắt α tại I thì

( , )

( , )

<i>d A</i>

<i>IA</i>

<i>d B</i>

<i>IB</i>







Bài tập

1. Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông
VẤN ĐỀ 2: ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VNG GĨC

</div>

<!--links-->