Bài tập quan hệ vuông góc không gian

QUAN HỆ VUÔNG GÓC
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
2. Định lý cơ bản
3. Các định lý khác
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
SBT/ hhcb 11
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC và SD.
a. Chứng minh: BC ⊥ (SAB); CD ⊥(SAD) và BD ⊥(SAC)
b. Chứng minh: SC ⊥ (AHK) và điểm I thuộc (AHK)
c. Chứng minh: HK ⊥(SAC), từ đó suy ra HK ⊥AI
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và có SA = SC, SB = SD
a. Chứng minh: SO ⊥ (ABCD)
b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. Chứng minh rằng: IK ⊥(SBD) và IK ⊥SD
Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau từng đôi một.
Bài 4: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH vuông góc với
mặt phẳng (ABC) tại H. Chứng minh:
a. OA⊥BC; OB⊥CA VÀ OC⊥AB
b. H là trực tâm của tam giác ABC
c.
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
Bài 5: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy.
Chứng minh các mặt bên của hình chóp đã cho là những tam giác vuông.
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H
vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a. AA’⊥BC và AA’⊥B’C’

b. Gọi MM’ là giao tuyến của mặt phẳng (AHA’) với mặt bên BCC’B’, trong đó M ∈ BC và M’∈B’C’.
Chứng minh rằng tứ giác BCC’B’
VẤN ĐỀ 1: 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Cách 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong
α
Cách 2: Chứng minh a song song với đường thẳng b vuông góc với
α
2. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Cách 1: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia.
Cách 2: Nếu hai đường thẳng ấy cắt nhau thì có thể áp dụng các phương pháp chứng minh vuông góc đã
học trong hình học phẳng.
Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O; SA vuông góc với mặt phẳn
(ABCD). Gọi H, I, K ần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB; SC; SD.
a. Chứng minh rằng: BC vuông góc với mặt phẳng (SAB); CD vuông góc với mặt phẳng (SAD); BD
vuông góc với mặt phẳng (SAC).
b. Chứng minh rằng: AH; AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra ba đường AH; AI; AK cùng chứa
trong một mặt phẳng.
c. Chứng minh rằng: HK vuông góc với mặt phẳng (SAC). Từ đó suy ra HK vuông góc với AI
Bài 2: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B,
( )SA ABC⊥
a. Chứng minh:
( )BC SAB⊥
b. Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh:
AH SC⊥
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng:
SA SC
=
và
SB SD

=
a. Chứng minh:
( )SO ABCD⊥
b. Gọi
,I J
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,BA BC
. Chứng minh rằng:
( )IJ SBD⊥
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là hai tam giác đều; gọi
I
là trung điểm của cạnh BC
a. Chứng minh:
( )BC AID⊥
b. Vẽ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh:
( )AH BCD⊥
Bài 4: Cho tứ diện OABC có OA; OB; OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc
của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:
a.
( )BC OAH⊥
b. H là trực tâm của tam giác ABC.
c.
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
= + +
d. Các góc của tam giác ABC đều nhọn.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh bằng a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SCD là
tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD
a. Tính các cạnh của tam giác SIJ và chứng minh rằng

( )SI SCD⊥
và
( )SJ SAB⊥
b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. Chứng minh rằng:
SH AC⊥
c. Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho
BM SA
⊥
. Tính AM theo a.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, mặt bên SAB là tam giác đều và
2SC a=
. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a. Chứng minh rằng:
( )SH ABCD⊥
b. Chứng minh rằng:
SC SK
⊥
và
CK SD
⊥
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có
AB a
=
;
3BC a=
, mặt bên SBC
vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có
5SD a=
a. Chứng minh:
( )SA ABCD⊥

và tính
SA
b. Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình
chiếu vuông góc của A trên SC. Hãy xác định các giáo điểm K, L của SB, SD với mặt phẳng (HIJ).
Chứng minh rằng:
( )AK SBC⊥
và
( )AL SCD⊥
c. Tính diện tích tứ giác AKHL
Bài 8: Gọi I là một điểm bất kỳ ở trong đường tròn (O), tâm O, bán kính bằng R. CD là dây cung của
đường tròn (O) qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I, ta lấy điểm
S với
OS R=
. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a. Tam giác SDE vuông tại S
b.
SD CE⊥
c. Tam giác SCD vuông
Bài 9: Cho tam giác MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng
α
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng
α
tại A ta lấy hai điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của C trên MD, H
là giao điểm của AM và CC’.
a. Chứng minh:
' ( )CC MBD⊥
b. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm của tam giác BCD.
Bài 10: Cho đường tròn (O) đường kính
2AB R=

; (O) ở trong mặt phẳng
α
. Dựng
2AS R=
vuông
góc với mặt phẳng
α
. Gọi T là một điểm di động trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A. Đặt
·
ABT
ϕ
=
(
0 90
o
ϕ
< <
). Đường thẳng BT gặp đường tròn (O) tại M. Gọi N là hình chiếu vuông góc
của A trên SM.
a. Chứng minh rằng khi T di động, đường thẳng TN luôn đi qua một điểm cố định H
b. Tính
ϕ
để tam giác AHN cân.
Bài 11: Cho tứ diện ABCD.
a. Chứng minh rằng:
2 2 2 2
AB CD AC AD BC BD⊥ ⇔ − = −
b. Từ đó suy ra nếu một tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng
vuông góc với nhau.
Bài tập SBT (hh nâng cao)

1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA = SC; SB = SD. Gọi O là giao điểm
của AC và BD.
a. Chứng minh rằng SO⊥ mp(ABCD)
b. Gọi d là giao tuyến của mp(SAB) và mp(SCD); d
1
là giao tuyến của mp(SBC) và mp(SAD). Chứng
minh SO⊥ mp(d; d
1
)
2. Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau sai cho hai đường chéo AC và
BF vuông góc. Gọi CH và FK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác BCE và ADF. Chứng minh rằng:
a. ACH và BFK là các tam giác vuông
b. BF ⊥ AH và AC ⊥ BK
3. a) Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của DH. Chứng minh rằng tứ diện
IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.
b) Cho tứ diện IABC có IA = IB =IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên
mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh rằng tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.
4. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông tại A.
a. Chứng minh rằng ACS là tam giác vuông
b. Tính SA, SB, SC biết rằng
·
·
; ;ACB ACS BC a
α β
= = =
VẤN ĐỀ 2: THIẾT DIỆN QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT ĐƯỜNG
THẲNG CHO TRƯỚC
Cho khối đa diện (S), ta tìm thiết diện của (S) với mặt phẳng
α
,

α
qua điểm M cho trước và vuông góc
với một đường thẳng d cho trước.
Cách 1: Nếu có hai đường thẳng cắt nhau hay chéo nhau a, b cùng vuông góc với d thì:
/ / a
α
(hay chứa a)
/ / b
α
(hay chứa b)
Phương pháp tìm thiết diện loại này đã được trình bày trong chương trước