Luận văn tốt nghiệp nghiên cứu ảnh hưởng của khuyết tật lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
-----------------------

NGUYỄN THỊ DIỆU LINH

NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT
LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC
KIM CƢƠNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MƠMEN
Chun ngành: Vật lý lý thuyết

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
-----------------------

NGUYỄN THỊ DIỆU LINH

NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT
LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC
KIM CƢƠNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP THỐNG KÊ MƠMEN
Chun ngành: Vật lý lý thuyết

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Phạm Thị Minh Hạnh,
ngƣời đã tận tình chỉ bảo, hƣớng dẫn và tạo điều kiện cho tôi hồn thành khóa
luận tốt nghiệp này.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật lí – Trƣờng
đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, thời gian cho tôi học tập và
nghiên cứu.
Cuối cùng tôi cũng xin cảm ơn đến gia đình, những ngƣời thân và bạn
bè đã cổ vũ, đóng góp ý kiến giúp tơi vƣợt qua khó khăn để hồn thành khóa
luận này.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Diệu Linh


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng đây là công trình nghiên cứu của riêng tơi, với
sự giúp đỡ và hƣớng dẫn vô cùng quý báu của TS. Phạm Thị Minh Hạnh và
sự tự cố gắng của bản thân.
Tuy nhiên, khóa luận này có tham khảo một số loại tài liệu và các tài
liệu tham khảo đã đƣợc chú thích ở phần: tài liệu tham khảo.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Diệu Linh


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài .................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................. 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .......................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................ 2
6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài .......................... 2
Chƣơng 1 ................................................................................................... 3
SƠ LƢỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG ........................ 3
1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng ........................ 3
1.2. Ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. .................................. 4
1. 3. Phƣơng pháp mômen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của bán
dẫn có cấu trúc kim cƣơng ......................................................................... 4
1.3.1. Các công thức tổng quát về mômen .................................................. 5
1.3.2. Cơng thức tổng qt tính năng lƣợng tự do ...................................... 8
1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng ................................ 10
1.3.4. Năng lƣợng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. ........................ 15
1.4. Kết luận chƣơng 1 ............................................................................. 17
Chƣơng 2 ................................................................................................. 19
ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA GE . 19
2.1. Thế năng tƣơng tác giữa các hạt ........................................................ 19
2.2. Giá trị của hằng số mạng của Ge trong trƣờng hợp lí tƣởng và khuyết
tật ở áp suất P=0 ....................................................................................... 22
2.2.1. Cách xác định các thông số của Ge................................................. 22
2.2.2. Giá trị của hắng số mạng của Ge trong trƣờng hợp lí tƣởng ở áp suất

P = 0 ......................................................................................................... 24


2.2.3. Giá trị hằng số mạng của Ge trong trƣờng hợp khuyết tật ở áp suất P
= 0 ............................................................................................................ 24
2.2.4. Giá trị hằng số mạng của Ge trong trƣờng hợp lí tƣởng và khuyết tật
................................................................................................................. 24
2.3. Kết luận chƣơng 2 ............................................................................. 26
KẾT LUẬN .............................................................................................. 27
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................ 28


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nền cơng nghiệp hóa hiện đại hóa của nƣớc ta đang phát triển một cách
mạnh mẽ và nhanh chóng. Nhờ có sự phát triển không ngừng của các ngành
vật liệu mà khoa học kĩ thuật cũng từng bƣớc trở lên hiện đại, mang lại nhiều
lợi ích to lớn phục vụ đời sống, sản xuất của con ngƣời.
Trong đó, khơng thể khơng kể đến những đóng góp quan trọng của bán
dẫn nói chung và bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng nói riêng trong sự phát triển
của ngành vật liệu. Vì vậy, việc nghiên cứu về hằng số mạng của bán dẫn có cấu
trúc kim cƣơng đang đƣợc các nhà khoa học dành nhiều sự quan tâm, chú ý.
Trong tự nhiên, không tồn tại tinh thể hồn hảo một cách lí tƣởng. Vì
vậy, việc nghiên cứu khuyết tật cũng nhƣ ảnh hƣởng của nó lên các tính chất
nhiệt động, đàn hồi, thu hút đƣợc sự quan tâm của các nhà nghiên cứu cả lí
thuyết lẫn thực nghiệm.
Phƣơng pháp mômen là phƣơng pháp đƣợc nhiều tác giả sử dụng để
nghiên cứu các tính chất nhiệt động, đàn hồi, cũng nhƣ ảnh hƣởng của khuyết
tật lên các tính chất đó. Các kết quả thu đƣợc từ phƣơng pháp mơmen có sự
phù hợp với thực nghiệm. Đó là lí do tơi chọn đề tài: “Nghiên cứu ảnh hưởng

của khuyết tật lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng
phương pháp thống kê mômen”.
2. Mục đích nghiên cứu
 Tìm hiểu về bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.
 Tìm hiểu về phƣơng pháp mơmen.
 Nghiên cứu ảnh hƣởng của khuyết tật lên hằng số mạng Ge.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Tìm hiểu một số lí thuyết tổng quan về bán dẫn có cấu trúc kim
cƣơng.
 Áp dụng phƣơng pháp thống kê mơmen để tìm hiểu về ảnh hƣởng
của khuyết tật lên hằng số mạng của Ge.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
 Nghiên cứu về hằng số mạng của Ge trong trƣờng hợp lí tƣởng và
khuyết tật.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Phƣơng pháp thống kê mơmen.
6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài
 Xác định hằng số mạng của bán dẫn Ge trong trƣờng hợp có khuyết tật.
 So sánh các kết quả của hằng số mạng của Ge với trƣờng hợp lí
thuyết và thực nghiệm.

2


Chƣơng 1
SƠ LƢỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG

1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng
Thông thƣờng, các bán dẫn quan trọng thƣờng có dạng kết tinh theo
mạng lập phƣơng tâm diện. Trong đó, mỗi nút mạng đƣợc gắn với một gốc
basic gồm hai nguyên tử. Hai nguyên tử có thể cùng loại nếu nó là bán dẫn
đơn chất nhƣ: Si, Ge, Se, Te,… và hai nguyên tử có thể khác loại nếu nó là
bán dẫn hợp chất nhƣ: ZnS, CdS, GaAs,…[2]
Một trong những bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng điển hình là Si. Đơn
tinh thể Si thuộc mạng lập phƣơng tâm mặt, gồm hai phân mạng lập phƣơng
tâm diện lồng vào nhau, phân mạng này nằm ở

1
đƣờng chéo chính của phân
4

mạng kia. Ta thấy rằng, mỗi nguyên tử Si có 4 nguyên tử lân cận, bốn nguyên
tử này tạo thành một tứ diện đều. Hằng số mạng của Si với a  5, 43 A0 , khoảng
cách giữa hai nguyên tử gần nhất là

3
a  2, 43 A0 .[2] (hình 1.1)
4

Hình 1.1: Tinh thể Si

3


1.2. Ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.
Vật liệu bán dẫn nói chung và vật liệu bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng
nói riêng có vai trị quan trọng trong nghành công nghiệp điện tử cũng nhƣ

nhiều nghành khoa học, kĩ thuật khác. Trong những thập niên gần đây, những
thành tựu về vật liệu bán dẫn đã dẫn đến sự phát triển một lĩnh vực rộng lớn
của linh kiện điện tử, vi điện tử, quang điện tử…Có thể kể đến nhƣ là các linh
kiện nhƣ : điốt, tranzito, mạch tích hợp IC,…Điốt là một linh kiện khơng thể
thiếu trong nghành thông tin quang học và kĩ thuật tự động.Vì nó có đặc tính
chỉ dẫn điện theo 1 chiều từ Anot đến Knot khi phân cực thuận, nên điot dùng
để chỉnh lƣu các dòng điện xoay chiều thành dịng điện 1 chiều. Nó đƣợc sử
dụng rộng rãi trong các bộ đèn led, đèn tín hiệu, màn hình của các loại thiết bị
điện. Hiên nay, có rất nhiều loại điot nhƣ: điot chỉnh lƣu, điot Zener,
Led…..Tranzito nằm trong khối đơn vị cơ bản để tạo thành một cấu trúc mạch
ở máy tinh điện tử và tất cả các thiết bị điện tử hiện đại khác.Tranzito đƣợc sử
dụng trong nhiều ứng dụng tƣơng tự và số nhƣ: khuếch đại, đóng ngắt mạch,
điều chỉnh điện áp, điều khiển tín hiệu và tạo dao động. Vi mạch hay vi mạch
tích hợp gọi tắt là IC, nó là tập hợp các mạch điện mang các linh kiện bán dẫn
và linh kiện điện tử , có tác dụng kết nối chúng với nhau. IC thâm nhập vào
trong mọi mặt của cuộc sống hàng ngày nhƣ: đầu lọc đĩa CD, máy fax, máy
quét….Đó chỉ là một vài các ứng dụng quan trọng của các chất bán dẫn có
cấu trúc kim cƣơng, vì các ứng dụng trong đời sống của nó là khơng thể kể
hết.Do đó các bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng có vai trị khơng thể thiếu trong
cuộc sống cơng nghệ hiện đại nhƣ ngày nay.
1. 3. Phƣơng pháp mômen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động của bán
dẫn có cấu trúc kim cƣơng
GS. Nguyễn Hà Tăng đã đề xuất [8] ra phƣơng pháp mơmen để nghiên
cứu các tính chất nhiệt động của các tinh thể phi điều hòa [9, 10, 11].Các tác

4


giả Nguyễn Văn Tăng, Vũ Văn Hùng, đã bằng phƣơng pháp mômen đối với
các tinh thể lập phƣơng tâm diện và lập phƣơng tâm khối, đã tìm ra đƣợc biểu

thức giải tích đối với một loạt các đại lƣợng nhiệt động nhƣ: độ dời của hạt
khỏi nút mạng, năng lƣợng tự do của hệ, hệ số giãn nở nhiệt, hệ số nén đẳng
nhiệt, nhiệt dung đẳng tích, nhiệt dung đẳng áp… và các tính chất đàn hồi của
các tinh thể. Chính vì vậy, trong bài khóa luận này, tơi xin trình bày các kết
quả mà các tác giả này thu đƣợc nhờ sử dụng phƣơng pháp thống kê mômen.
1.3.1. Các cơng thức tổng qt về mơmen
Mơmen theo lí thuyết xác suất và vật lí thống kê đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
Giả sử một tập hợp các biến cố ngẫu nhiên: (q1 , q2 , q3 ,..., qn ) tuân theo
quy luật thống kê, đƣợc mô tả bởi hàm phân bố  (q1 , q2 , q3 ,..., qn ) . Hàm này
thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Trong lí thuyết xác suất mômen cấp m đƣợc
định nghĩa nhƣ sau:



 q1m 

( q1 , q2 ,...qn )

... q1m (q1 ,q2 ,..., qn )dq1...dqn

(1.3.1)

Mơmen này đƣợc gọi là mơmen gốc. Ngồi ra cịn có định nghĩa về
mơmen cấp m nhƣ sau:
 (q1   q1 ) m 



( q1 , q2 ,...qn )

... (q1   q1 ) m  ( q1 , q2 ,...qn ) dq1...dqn

(1.3.2)

Vậy đại lƣợng trung bình thống kê q chính là mơmen cấp một và
phƣơng sai

q 
1

q1



2

là mômen trung tâm cấp 2. Từ các định nghĩa trên,

chúng ta thấy, về nguyên tắc nếu biết hàm phân bố  (q1 , q2 , q3 ,..., qn ) thì hồn
tồn có thể xác định đƣợc các mơmen.
Trong vật lí thống kê cũng có các định nghĩa tƣơng tự. Riêng với hệ
lƣợng tử, đƣợc mơ tả bởi tốn tử thống kê , các mômen đƣợc định nghĩa nhƣ
sau:

5


qˆ m  Tr  qˆ m  

(1.3.3)



 (q  q )m  Tr (q  q )m 



trong đó: tốn tử  tn theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử và:
i .


  Hˆ , ˆ 
t 

với ...,... là dấu ngoặc Poisson lƣợng tử.
Nhƣ vậy, nếu biết toán tử thống kê  thì có thể tìm đƣợc mơmen. Tuy
nhiên việc tính tốn mơmen khơng phải là bài tốn đơn giản, ngay cả với hệ
cân bằng nhiệt động, dạng của  thƣờng đã biết (phân bố chính tắc, hoặc
chính tắc lớn,...) nhƣng việc tìm các mơmen cũng rất phức tạp.
Giữa các mơmen có mối quan hệ với nhau. Mơmen cấp cao có thể đƣợc
biểu diễn bởi mơmen cấp thấp hơn. Việc chứng minh tổng quát đối với hệ
lƣợng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các mơmen đã đƣợc xây dựng trong [16,
17] sẽ đƣợc xây dựng lại ở dƣới đây:
Trƣớc hết, ta xét một hệ lƣợng tử chịu tác động của các lực không đổi
ai theo hƣớng tọa độ suy rộng Qi . Nhƣ vậy, Hamilton của hệ có dạng:

H  H 0   ai Qi

(1.3.4)

i

với H là Hamilton của hệ khi khơng có ngoại lực tác dụng.
Bằng các phép biến đổi [16] mà các tác giả đã thu đƣợc hệ thức tổng
quát, chính xác, biểu thị mối liên hệ giữa các tốn tử bất kì F và tọa độ
Qk của hệ với toán tử Hamilton H nhƣ sau:
1 
F , Qk 

2 

 F
a



Q
a

a

 F



a

ak

B i 

   2m  
m o (2m)!   

6

2m

(2 m )

F
ak

(1.3.5)
a


Trong đó:  = k BT , kB là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối, B2n
là hệ số Becnouli và ... a biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng thống kê
với hàm Hamilton H 0 .
Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa hai đại lƣợng F và
(2 m )

tọa độ Qk . Muốn vậy, ta cần phải biết các đại lƣợng F và
a

F
ak

. Đại
a

lƣợng F có thể xác định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn đại lƣợng
a
(2 m )

F
ak

xác định từ phƣơng trình động lực.
a

Trong trƣờng hợp đặc biệt, F  Qk ta có biểu thức chính xác đối với
phƣơng sai:

Q  Q 
k

k

a

2



 Qk

2



a

ak

B i 
   2m  
mo (2m)!   

2m

(2 m )

Qk
ak

(1.3.6)
a

Vì Qk không phụ thuộc tƣờng minh vào ak nên đối với hệ thức cổ điển, công
thức (1.3.6) trở nên đơn giản:

Q  Q 
k

k

a

2


2

 Qk

(1.3.7)

a

ak

công thức (1.3.7) là một công thức quen thuộc trong hệ thống kê cơ học cổ điển.
Ngoài ra cơng thức (1.3.5) cịn cho ta xác định đƣợc hàm tƣơng quan
giữa F và Qk đối với hệ có Hamilton H 0 , nhƣ sau:
1 
F , Qk   F

2 

Qk

 F
a
 
 ak



 


 a 0



B2 m  i 

 
m o (2m)!   

2m

 F m

 ak





 a 0

(1.3.8)

trong đó <…> biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamilton H 0 .
Các tác giả cịn thu đƣợc hệ thức chính xác khác:

7


(n)
B i 
1 
F , Qk   (1) n 1  2 m  
 
2 
m  o (2m)!   

2m

(2 m  n )

F
ak

(1.3.9)
a

Xét trƣờng hợp đặc biệt: F  Q , chúng ta thu đƣợc hệ thức thăng giáng
cho phép xác định thăng giáng của xung, có dạng:
2



Qk
a

B i 
   2m  

m  o (2m)!   

2m

(2 m 1)

Q k
ak

(1.3.10)
a

Công thức (1.3.5) cịn đƣợc sử dụng để viết cơng thức truy chứng đối
với mômen cấp cao [12], muốn vậy, tác giả đƣa vào định nghĩa toán tử tƣơng
quan cấp n:
Kn 

1  
... Q1 , Q2  Q3  ... Qn 
 

2n 1  

(1.3.11)

n 1

Nếu trong công thức (1.3.5) ta thay F  Kn thì thu đƣợc cơng thức truy
chứng:
 Kn

K n1
a

 Kn

Qn1

i 

 
(2m)!   
a

2m

(2 m )

K n
an1

(1.3.12)
a

Công thức này là một công thức tổng quát của mômen. Về nghuyên tắc,
công thức trên cho phép xác định các mơmen cấp tùy ý. Đó là cơng thức xác
định mômen cấp cao hơn dựa vào mômen cấp thấp hơn, thậm chí là dựa vào
mơmen cấp 1.
1.3.2. Cơng thức tổng quát tính năng lượng tự do
Đối với vật lí thống kê, năng lƣợng tự do  cho ta thông tin đầy đủ về

tính chất nhiệt động của hệ, do đó việc xác định  đóng vai trị quan
trọng. Trong vật lí thống kê, năng lƣợng tự do liên hệ với tổng trạng thái
bằng hệ thức:

8


   ln Z
 H 
Z  Tr  e 



(1.3.13)

Tuy nhiên, để tìm  khơng hề đơn giản. Đối với một số hệ đơn giản, có
thể tìm đƣợc biểu thức chính xác của năng lƣợng tự do, cịn nói chung chỉ có
thể tìm đƣợc dƣới dạng gần đúng.Trong phƣơng pháp mômen đã đƣợc áp
dụng để viết công thức tính năng lƣợng tự do, áp dụng vào các bài tốn dao
động điều hịa và phi điều hịa lƣợng tử.
Xét một hệ lƣợng tử đƣợc đặc trƣng bởi hàm Hamilton có dạng:
H  H 0  V

(1.3.14)

với α là thơng số và V là toán tử tùy ý. Dựa vào biểu thức đã thu đƣợc
bằng phƣơng pháp mômen đối với hệ cân bằng nhiệt động:


Qk

V

a

a


,
 k

(1.3.15)

 ( )



Và năng lƣợng tự do của hệ là:
a

 ( )   0   V

a

d

(1.3.16)

0

với  0 là năng lƣợng tự do của hệ với hàm Hamilton H 0 , đƣợc xem

nhƣ đã biết. Bằng cách nào đó tìm đƣợc V

a

thì từ (1.3.16) ta có thể tìm đƣợc

biểu thức đối với năng lƣợng tự do  ( ) , trong đó đại lƣợng V

a

có thể tìm

đƣợc nhờ cơng thức mơmen.
Nếu Hamilton H có dạng phức tạp thì tách nó thành:
H  H 0    i Vi

(1.3.17)

i

sao cho H 0 - 1V1
Hamiltonian

 2V2 ,… Giả sử biết năng lƣợng tự do  0 ứng với

H 0 của hệ, khi đó tìm đƣợc năng lƣợng tự do  1 ứng với

9

H 1  H 0  1V1 , ta tìm đƣợc năng lƣợng tự do  2 ứng với H 2  H 1   2V2 … cuối

cùng ta thu đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do của hệ.
1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng
Xét các tinh thể có cấu trúc kim cƣơng và cấu trúc ZnS thì ngồi tƣơng
tác cặp là chủ yếu còn phải chú ý đến tƣơng tác 3 hạt. Do vậy, khi sử dụng
theo phƣơng pháp quả cầu phối vị, thế năng tƣơng tác có dạng:
E   Ei 
i

Ei 

1
1
ij   Wijk

2 i, j
6 i,j,k

(1.3.18)

1
1
ij   Wijk

2 j
6 j ,k

(1.3.19)

với: Ei là thế năng tƣơng tác của hạt thứ i;  ij là thế năng tƣơng tác
giữa hạt thứ i và thứ j; Wijk là thế tƣơng tác giữa các hạt i, j, k.
Đối với trƣờng hợp các hạt dao động mạnh, thế năng Ei đƣợc khai triển
theo độ dời ui . Ở gần đúng bậc 4, thế năng tƣơng tác của hạt thứ i có dạng:

Ei  Ei0 

1   2 Ei

2  ,   u j u j



 3 Ei
1
 u j u j    
6  ,  ,  u j u j u j
eq


 4 Ei
1


24  ,  , ,  u j u j  u j u j


 u j u j  u j u j  ....
eq


 u j u j  u j
eq

(1.3.20)

Đặt:  ,  ,   x, y, z

 

Ei0  Ei a j 

 

 

1
1
ij a j   Wijk a j

2 j
6 j ,k

(1.3.21)

ở đây a j là vị trí cân bằng của hạt thứ j.


 2 Ei
 u j u j

Dạng của các số hạng: 

10


 …vv đƣợc xác định nhƣ trong [15] .



  2 Ei

 u j u j


2
    Ei  a j a j    Ei  
eq


 3 Ei

 u j u j u j


3
2
    Ei  a j a j  a j    Ei   a j   a j    a j   
eq


 4 Ei

 u j u j u j u j

(1.3.22)


4
3
    Ei  a j a j  a j a j    Ei  (a j a j     a j a j  
eq

 a j a j    a j  a j   a j  a j   a j a j  )   2 Ei  (           )

với:
Ei 

1
aj

1
 1

1
 ij  a j   3  Wijk  a j  
k



Ei 

1
a 2j

1
  2
 1
 2
 ij  a j   3  Wijk  a j   a 3
k


j

1
 1

1
 ij  a j   3  Wijk  a j 
k



Ei 

1
a 3j

1

  3
 3
 3
 ij  a j   3  Wijk  a j   a 4
k


j

1
  2

 2
 ij  a j   3  Wijk  a j 
k



3
 5
aj

1
 1

1
 ij  a j   3  Wijk  a j  
k



4 Ei 


1
a 4j

1
  4
 6
 4
 ij  a j   3  Wijk  a j    a 5
k


j

(1.3.23)

1
  3

 3
 ij  a j   3  Wijk  a j 
k



15   2
1

1
 15 

 a   Wijk2  a j    7  ij1  a j    Wij1k  a j 
6  ij  j 
aj 
3 k
3 k
 aj 


với các kí hiệu (1), (2), (3), (4), trên đầu hàm   a j  , W  a j  là đạo hàm các
cấp tƣơng ứng.
Do đó, tổng lực của các hạt tác dụng lên hạt thứ i là:
  2 Ei


  u j u j 


 3 Ei
1 
 u j   
2  ,  u j u j  u j
eq



 4 Ei
1

 u j u j   
6  , ,  u j u j  u j u j
eq


 u j u j u j
eq

Trong trƣờng hợp hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ khơng đổi p 
thì ở trạng thái khơng đổi cân bằng nhiệt động, ta có phƣơng trình:

11


  2 Ei


  u j u j 


 u j
eq

 3 Ei
1 
 
p
2  ,  u j u j u j



 4 Ei
1
 
6  , ,  u j u j  u j u j


 u j u j u j
eq

p


 u j u j
eq

p

(1.3.24)

 p  0

Do tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc kim cƣơng hoặc cấu
trúc ZnS, các số hạng sau đều có giá trị bằng 0:
  2 Ei

 u j u j 

   3 Ei
 ;  2
eq  u j u j 

   3 Ei
 ;  3
eq  u j

   4 Ei
 ;  3
eq  u j u j 

 
 4 Ei
 ;  2
eq  u j u j  u j



eq

(1.3.25)

Nhờ có cơng thức tổng qt của mơmen (1.3.12) mà chúng ta có thể
biểu diễn mômen bậc 4:
bậc 2:

u

u j u j

u j

j

 u j

p

u j u j u j


u j

p

2m

p

cth

4 2 u j

2
u j
m 2

p

p

 u j

 2 u j
p

u j

p



u j

p

  u j

2
m 2
p

j

u j u j u j

p

 , mômen bậc 3:  u

j

u j u j

p

 , mômen

 , qua mômen bậc 1 nhƣ sau:

 u j

u j u j u j u j



p

u

p

a j a j

p

 u j

p

a
u j

p



cth

2m

 3 u j




2 m 2

 u j
p

p

a



2

 2 u j

p

a a

p

u j

p

u j

  u j
2
 3
 a j


p

u j  6 u j 
2

p

p

u j


 3 u j

p
3
 


a j a j a j


(1.3.26)

 u j

p

a j

p
2

2

u j

2m

p
2

p

Sử dụng (1.3.20) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (1.3.19),
phƣơng trình (1.3.18) đƣợc viết lại nhƣ sau:
2
dy

dy 
2 d y
 y  3 y  

xcthx  1 y   y 2  

 xcthx  1
2
2 
dp
dp
m
dp m 2
 ky  p  0
3

12

(1.3.27)


  2 Ei
k  2
 u jx



2
  m
eq

1   4 Ei
  4
6  u jx

trong đó:


  4 Ei
   2 2
eq  u jx  jy



 3 Ei
 u jx u jy u jz

 




eq

(1.3.28)



eq

phƣơng trình (1.3.27) nhận đƣợc khi coi rằng: u j p ,= u j

p

= u j

p

= u p . Để

giải (1.3.27), chúng tôi thực hiện phép biến đổi mới bằng cách:
y  y 

Đặt:


3

(1.3.29)

Với cách biến đổi nhƣ vậy, phƣơng trình (1.3.27) biến đổi về dạng:
 y3  3 y

2
dy


2 d y


  xcthx  1 y  Ky  p  0

2
dp
k
dp

(1.3.30)

trong đó:
K k

2
3

p  p  K 
K 

(1.3.31)


 k  2 2 1 2
  2  xcthx  1 

  27 k 3 3k


Phƣơng trình (1.3.30) là một phƣơng trình vi phân tuyến tính, chúng ta
đi tìm nghiệm của nó dƣới dạng gần đúng. Vì ngoại lực p  là tùy ý và nhỏ nên
ta có thể tìm nghiệm dƣới dạng đơn giản:
y  y0  A1 p  A2 p

2

(1.3.32)

Trong đó, yo là độ dời ứng với trƣờng hợp khơng có ngoại lực tác dụng
p ( p  0; p  K  ) . Thay (1.3.32) vào (1.3.30), ta thu đƣợc phƣơng trình:

2 2 A2  3 y0 A1   y0 3  Ky0 


k

6 y0 A2  3 A  3 y0 A1  KA1 
2
1

2

( xcthx  1) y0  0


k

(1.3.33)

( xcthx  1) A1  1  0

13


Hệ này cho nghiệm:
 2 2 2  xcthx 

1  K 4 1  2  1  xcthx  




3
Ky0 x  xcthx  1 y0
3 y0 A1 y0
A2  
 2

2 
2
2 2
2 k
A1 

1
K

Đối với vùng nhiệt độ cao, khi: xcthx

(1.3.34)

1, phƣơng trình (1.3.30) trở về

dạng quen thuộc [3]


d 2 y

2

dp

2

 3 y

dy
  ( y3 )  Ky  p  0

dp

(1.3.35)

Nghiệm của (1.3.35) đã đƣợc tìm ra trong [3]
y0 

2 2
A
3K 3

(1.3.36)

Mà có:
A=a1 
a1  1 
a2 

 2 2
K4

a2 

 3 3
K6

a3 

 4 4
K8

a4 

 5 5
K 10

a5 

 6 6
K 12

a6

(1.3.37)

xcthx
2

13 47
23
1

xcthx  x 2 cth 2 x  x 3cth3 x
3 6
6
2

169 2 2 83 3 3 22 4 4
1
 25 121

a3    
xcthx 
x cth x  x cth x  x cth x  x5cth5 x 
6
3
3
3
2
 3


a4 

43 93
169 2 2 83 3 3
22 4 4
1
 xcthx 
x cth x  x cth x 
x cth x  x 5cth5 x
3
2
3
3
3
2

363 2 2 391 3 3 148 4 4 53 5 5 1 6 6 
 103 749
a5   

xcthx 
x cth x 
x cth x 
x cth x  x cth x  x cth x 
6
2
3
3
6

2
 3

561
1489 2 2 927 3 3 733 4 4 145 5 5
a6  65 
xcthx 
x cth x 
x cth x 
x cth x 
x cth x
2
3
2
3
2
31
1
 x 6cth6 x  x7 cth7 x
3
2

trong đó : x 


2

14

Nhƣ vậy, nghiệm của phƣơng trình (1.3.35) ứng với trƣờng hợp khơng
có ngoại lực tác dụng, có dạng:
y0  y

p 0

 y



p  K






3

 1  6 2 2   1 2
2 2   k
 y0   1 

xcthx

1





3 K 
K 4   3 3k
27 k  

(1.3.38)

Và khi độ dời y0 đƣợc xác định, chúng ta hồn tồn tìm đƣợc khoảng
lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở nhiệt độ T:
a  a0  y0

(1.3.39)

với a0 là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở 0(K).
Từ đó, chúng ta xác định đƣợc hằng số mạng ah . Đối với bán dẫn có
cấu trúc kim cƣơng và ZnS thì hằng số mạng: ah 

4
a0 .
3

1.3.4. Năng lượng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cương.
Trong phép gần đúng cấp 4, thế năng tƣơng tác của tinh thể bán dẫn có
cấu trúc kim cƣơng có dạng:
1   2 Ei

E    Ei0   
2  ,   u j u j
i 




 3 Ei
 u j u j  1  

6  ,  ,  u j u j u j
 eq


 4 Ei
1



24  ,  , ,  u j u j u j u j


 u j u j u j 

 eq



 u j u j u j u j  ...


 eq

(1.3.40)

Lúc này thế năng tƣơng tác trung bình có dạng:

k
E  U 0  3N  u 2   1 u 4   2 u 2
2

2






u jx u jy u jz 
3


(1.3.41)

với:
1 

1   4 Ei
24  u 4jx


 ;

 eq

6   4 Ei
2 

24  u 2jx u 2jy

15


 .

 eq

(1.3.42)


Sử dụng công thức (1.3.16) ta thu đƣợc:


   1   V d


0

(1.3.43)



   1   u jx u jy u jz
0

d


với  1 chính là năng lƣợng tự do đƣợc xác định từ cơng trình [3].
Ta có :
2 
x coth x 
3N 2  2
  U 0   0  2  2 x coth 2 x  1 1 

3 
2
k 

(1.3.44)

x coth x 
x
coth
x
3N 3  4 2



2

  2  1  2 1 2 1 
1  x coth x 
2  2 x coth x1 
4
3
2
2

k 










với :
 0  3N x  ln 1  e 2 x 

Để xác định đƣợc năng lƣợng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng, trƣớc


tiên ta phải xác định đƣợc



u jx u jy u jz



d .

0

Từ công thức (1.3.27) về mô men với u jx u jy u jz thu đƣợc kết quả trong [1] :

1

  2k 
 2 a  2
 u jxu jy u jz   31   k  K   3  
 3K 
 3 
1

    2 k  K 
 2 a1  2   3  k   1 1 
   3      1      x coth x  1  2    
 3K    K  K   K k 
  3   
  2 a     kK    k 1   1 1 
    
    31  2     2        x coth x  1    
    
  3K   3    K K   3K 3k 
3
1

2
2 2 
2 k
2  2  k  


2


a
2

a


k






2
1
1
   3    1  2    3   4   
 3K   K   3   3K   K   
 2  3 1
     k   2 a1   k     
  2  3 a1    x coth x  1   
   3    1    .
   3   3K   K     
 K  K k

16

(1.3.45)

Lúc này năng lƣợng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng đƣợc xác định
từ biểu thức sau :
2 1  x coth x 
 2
2
1 

 2 x coth x 
3 
2 


2 3  4 2
 x coth x 
 x coth x 
2
 3N 4   2 x coth x1 
  2  1  2 1 2 1 
1  x coth x 
2 
2 
k 3




 U 0 0 

3N 2
k2





1

   3k 
 2a1  2

 3N 
 k  K 
3
3 
27

 3K 


1

    3 k  K 
 2a1  2  3  k
  1 1

 3N 
    1    x coth x  1

3
2 

27

 K k
 3K    K  K

 3 
 2a1    2 kK   k
  2
1  1
1 




 3N 




x
coth
x

1





 6

3 
2
  K 2 K
  3K 3k 
 3K  6

 
3
1


3
2 k
2   2  3 k 2 


2

a
2

a


k







2
1
1


 3N 
   1
 
3
2 
3
4
 27   3K   9 K  
 3K   K

2
2
 2  3 1
   k   2a1  k
  
  


 3N 2  3 a1   x coth x  1

1


3 

K
k
18
K
6

K
3
K


















(1.3.46)

Vậy nếu biết giá trị các thông số k,  1 ,  2 ,  ở nhiệt độ T0 thì từ cơng thức trên

chúng ta cũng sẽ tìm đƣợc năng lƣợng tự do của hệ ở nhiệt độ T
Vậy năng lƣợng tự do của hệ sẽ có dạng :

(1.3.47)

1.4. Kết luận chƣơng 1
Trong chƣơng này, chúng tơi đã trình bày về: cấu trúc tinh thể của bán
dẫn có cấu trúc kim cƣơng, nêu một số ứng dụng quan trọng của bán dẫn có
cấu trúc kim cƣơng, cơng thức tổng qt tính năng lƣợng tự do, công thức xác
định độ dịch chuyển của ngun tử khỏi nút mạng, cơng thức tính năng lƣợng

17


tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng và trình bày đƣợc ứng dụng phƣơng
pháp mơmen để nghiên cứu tính chất nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim
cƣơng.
Vì vậy, từ các kết quả chính thu đƣợc từ phƣơng pháp thống kê mơmen
nói riêng và sơ lƣợc về bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng nói chung đã giúp
chúng tôi nghiên cứu chƣơng 2. Trong chƣơng 2 sắp tới, chúng tôi nghiên cứu
về ảnh hƣởng của khuyết tật lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim
cƣơng: Ge, trong trƣờng hợp áp suất P = 0 và ở nhiệt độ khác nhau.

18


Chƣơng 2
ẢNH HƢỞNG CỦA KHUYẾT TẬT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA GE
2.1. Thế năng tƣơng tác giữa các hạt
Trong những năm gần đây, các nhà khoa học cả về lí thuyết lẫn thực

nghiệm hƣớng sự quan tâm đặc biệt đến việc nghiên cứu về tính chất nhiệt
động và tính chất đàn hồi của tinh thể bán dẫn. Cũng là lẽ tất nhiên, muốn xác
định đƣợc một tính chất nhiệt động lực học hay cơ học của bất cứ một hệ nào
thì việc chọn thế tƣơng tác cho phù hợp là một vấn đề hết sức cần thiết.
Thế tƣơng tác giữa các nguyên tử đƣợc xác định bằng tƣơng tác giữa các ion,
giữa các đám mây điện tử, giữa các đám mây điện tử với ion. Nhƣ chúng ta đã
biết, năng lƣợng tƣơng tác giữa các nguyên tử có thể biểu diễn bằng công
thức gần đúng nhƣ sau: [4].
E     rij   F V 

(2.1.1)

i, j

với: rij là khoảng cách giữa 2 nguyên tử i, j; V: thể tích của hệ. Cho nên,
tƣơng tác giữa các nguyên tử gồm 2 phần: phần thứ nhất chỉ phụ thuộc vào
khoảng cách giữa 2 nguyên tử gọi là thế cặp, phần thứ hai chỉ phụ thuộc vào
mật độ của vật liệu. Vì vậy, năng lƣợng tƣơng tác khơng chỉ phụ thuộc vào
khoảng cách giữa các nguyên tử mà còn phụ thuộc vào góc của các nguyên tử
lân cận. Với các thế tƣơng tác khác nhau dựa trên cơ sở các dạng gần đúng
khác nhau của (2.1.1) gọi là thế tƣơng tác nhiều hạt; trong đó, thành phần thứ
nhất của (2.1.1) là thế tƣơng tác cặp, thành phần thứ hai là thế tƣơng tác nhiều
hạt. Đối với thế tƣơng tác nhúng, thành phần thứ hai trong (2.1.1) chỉ phụ
thuộc vào mật độ điện tử, với:
i   f j  rij 
j

19

(2.1.2)