Luận văn tốt nghiệp các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết và một số bài toán ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ TRÀ MY

CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ LÝ THUYẾT
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS.NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới PGS.TS
Nguyễn Thị Hà Loan, người đã quan tâm chỉ bảo và nhiệt tình giúp tơi hồn
thành khóa luận này. Cơ cũng là người đã giúp tơi ngày càng tiếp cận và có
niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng cô.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Vật lý trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ
tơi hồn thành khóa luận này.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã
luôn sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ tôi trong suốt q trình học tập và
nghiên cứu để hồn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Trà My


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết
và một số bài tốn ứng dụng ” được hồn thành do sự nỗ lực của bản thân
cùng sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cơ giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà
Loan. Tơi cũng xin cam đoan rằng kết quả này không trùng với kết quả của
bất kì khóa luận tốt nghiệp khác. Nếu có gì khơng trung thực trong khóa luận
tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017.
Sinh viên

Trần Thị Trà My


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Nội dung nghiên cứu ..................................................................................... 2
7. Đóng góp đề tài ............................................................................................. 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ
BÀI TẬP ỨNG DỤNG .................................................................................... 3
1.1. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm ........................................... 3
1.1.1. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm. ..................................... 3

1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm ........................................ 4
1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm ...................................... 5
1.2.1. Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm ................................. 5
1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm ................................... 7
1.3. Một số bài toán ứng dụng........................................................................... 8
CHƯƠNG 2: ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN MƠ MEN XUNG LƯỢNG VÀ
MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ............................................................. 13
2.1. Định luật bảo tồn mơ men xung lượng của chất điểm. .......................... 13


2.1.1. Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm. ..................... 13
2.1.2. Định luật bảo tồn mơ men xung lượng của chất điểm. ....................... 14
2.2. Định luật bảo tồn mơmen xung lượng của hệ chất điểm. ...................... 15
2.2.1. Định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm. ................. 15
2.2.2. Định luật bảo tồn mơmen xung lượng của hệ chất điểm .................... 18
2.3. Một số bài toán ứng dụng......................................................................... 18
CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI
TOÁN ỨNG DỤNG ...................................................................................... 27
3.1. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm ............................................... 27
3.1.1. Định luật biến thiên động năng của chất điểm ...................................... 27
3.1.2. Định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm. ........................................... 28
3.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. ......................................... 30
3.2.1. Định lí biến thiên động năng của hệ chất điểm: .................................... 30
3.2.2. Định luật bảo toàn cơ năng của hệ chất điểm. ...................................... 32
3.3. Một số bài toán ứng dụng......................................................................... 34
KẾT LUẬN .................................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 43


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Cơ học lý thuyết là khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động
hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian,theo
thời gian. Sự ra đời và phát triển của cơ học lý thuyết liên quan đến các vấn
đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung. Vì vậy cho đến hiện
nay nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và xã hội.
Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết trong đó nghiên cứu
một cách toàn diện các quy luật chuyển động cơ học của vật thể dưới tác dụng
của các lực. Lý thuyết động lực học được xây dựng trên những định luật cơ
bản của động lực học. Chúng là kết quả của hàng loạt các thí nghiệm và quan
sát đã được kiểm nghiệm qua thực tiễn. Các định lý này phản ánh mối liên hệ
cụ thể khác nhau giữa lực với chuyển động . Trong giai đoạn phát triển hiện
nay của Vật lý học, các định luật bảo toàn cho phép ta hiểu được sâu sắc thêm
nhiều thông tin về chuyển động của vật thể và vận dụng có hiệu quả trong
việc giải các bài toán cơ học phức tạp.
Trong động lực học,việc sử dụng phương pháp của phần động học
trong các bài toán hệ vật là việc làm hết sức phức tạp. Hơn nữa trong phần lớn
các bài toán động lực học của hệ, vấn đề chính không phải là khảo sát một
cách chi tiết toàn bộ chuyển động của chất điểm thuộc hệ mà chỉ nghiên cứu
các hiện tượng theo từng mặt riêng biệt. Để giải quyết các bài toán như vậy,
việc sử dụng các định luật bảo toàn sẽ làm cho q trình giải đơn giản và
nhanh chóng hơn.
Chính vì vậy, tơi đã chọn đề tài “ Các định luật bảo toàn trong cơ lý
thuyết và một số bài toán ứng dụng ”

1


2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết.

- Sử dụng các định luật bảo toàn trong cơ lý thuyết để giải một số bài
tập cơ lý thuyết.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo tồn mơ men xung
lượng và định luật bảo toàn cơ năng.
- Áp dụng các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo tồn mơ
men xung lượng và định luật bào toàn cơ năng để giải một số bài tập cơ lý
thuyết.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mơ men
xung lượng, định luật bảo tồn cơ năng và vận dụng các định luật bảo tồn đó
để giải một số bài tập cơ lý thuyết.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp vật lý lý thuyết
- Phương pháp giải tích.
6. Nội dung nghiên cứu
Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng và một số bài tập ứng dụng.
Chương 2: Định luật bảo tồn mơ men xung lượng và một số bài tập
ứng dụng.
Chương 3: Định luật bảo toàn cơ năng và một số bài tập ứng dụng.
7. Đóng góp đề tài
- Vận dụng các định luật bảo toàn trong cơ lí thuyết để giải một số bài
tập về chuyển động phức tạp của vật rắn.
- Là tài liệu tham khảo cho sinh viên khi nghiên cứu về cơ học lý
thuyết.

2


NỘI DUNG

CHƯƠNG 1
ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI
TỐN ỨNG DỤNG
1.1. Định luật bảo tồn xung lượng của chất điểm.
1.1.1. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm.
a. Xung lượng của chất điểm.
Tích giữa khối lượng m của chất điểm và vận tốc v
⃗ của nó được gọi là
xung lượng ⃗P của chất điểm
⃗ = mv
P
⃗

(1.1)

b. Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm.
Khối lượng của chất điểm khơng thay đổi trong q trình chuyển động
nên đạo hàm hai vế của (1.1) theo thời gian t, ta được:
⃗
dP
dv
⃗
=m
= mω
⃗⃗ ( →
ω là gia tốc của chất điểm )
dt
dt
→̇
→

Hay P = F
Đây là công thức biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của chất điểm.
Định luật biến thiên xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau:
“ Đạo hàm của véc tơ xung lượng theo thời gian t bằng tổng các lực tác
dụng lên chất điểm ”
→̇
→
P =F
⃗ là xung lượng của chất điểm
Trong đó: P
⃗F là lực tác dụng lên chất điểm

3

(1.2)


1.1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của chất điểm.
Nếu chất điểm là cơ lập ( khơng có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực tác
→
dụng lên chất điểm bằng 0, nghĩa là F = 0
→̇
→
Biểu thức P = F trở thành:
⃗Ṗ = 0
Hay ⃗P = ⃗⃗⃗
P0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
const
Khi đó xung lượng của chất điểm được bảo tồn.
Nếu thành phần của lực trên một trục cố định nào đó bằng khơng tại

mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng trên trục đó được bảo tồn.
Ví dụ: Nếu Fz = 0 thì Pz bảo tồn Pz = Pz0 = const
Chú ý: Nếu thành phần của lực trên một trục di động bằng 0 thì chưa
thể suy ra thành phần xung lượng trên trục đó bảo tồn.
Ví dụ: Giả sử thành phần của lực trên trục ρ trong hệ toạ độ cực bằng 0 nhưng
thành phần của xung lượng trên trục đó lại khơng bảo tồn. Thật vậy:
mωρ = Fρ
m(ρ̈ − ρφ̇2 ) = Fρ

(1.3)

Ta biết Pρ = mρ̇ là thành phần xung lượng trên trục ρ. Do đó (1.3) có
thể viết dưới dạng:
Ṗρ − mρφ̇2 = Fρ
Như vậy, nếu Fρ = 0 thì Ṗρ = mρφ̇2 nghĩa là Pρ vẫn khơng bảo tồn.
Định luật bảo tồn xung lượng của chất điểm được phát biểu như sau:
“ Nếu chất điểm là cơ lập ( khơng có lực tác dụng ) hoặc tổng hợp lực
tác dụng lên chất điểm bằng 0 thì xung lượng của chất điểm được bảo tồn. ”
⃗Ṗ = 0 hay ⃗P = ⃗⃗⃗
P0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
const

4

(1.4)


1.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm.
1.2.1. Định luật biến thiên xung lượng của hệ chất điểm.
Xét hệ chất điểm gồm N chất điểm M1 , M2 , … , MN

Lực tác dụng lên chất điểm của hệ chia thành nội lực và ngoại lực
a) Nội lực: là lực do các chất điểm của hệ tương tác với nhau.
Tổng nội lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :
N

→in
⃗ iin
F = ∑F
i=1

Trong đó ⃗Fiin là nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i.
b) Ngoại lực: là lực do các vật thể ở ngoài hệ tương tác lên các chất điểm
trong hệ
Tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ là :
N

→e
⃗ ie
F = ∑F
i=1

Trong đó ⃗Fie là ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i.
Ký hiệu xung lượng của hệ chất điểm là ⃗P thì theo định nghĩa:
N

N

⃗P = ∑ ⃗Pi = ∑ mi v
⃗i
i=1

Trong đó

i=1

Pi  mi vi là xung lượng của chất điểm thứ i. Nghĩa là xung lượng

của hệ chất điểm bằng tổng xung lượng của các chất điểm trong hệ.
Đạo hàm hai vế của phương trình trên theo thời gian, ta được:
N

⃗
dP
dv
⃗i
= ∑ mi
dt
dt
i=1

N

⃗
dP
= ∑ mi . ω
⃗⃗ i
dt
i=1

5

(1)


Trong đó ω
⃗⃗ i là gia tốc của chất điểm thứ i
Lại có:
N

N

⃗ iin + F
⃗ ie )
⃗⃗ i = ∑(F
∑ mi . ω
i=1

(2)

i=1

Ta có:
N

N

N

⃗ iin = ∑ ∑ F
⃗ ij

∑F
i=1 j=1
j≠i

i=1
N

N

N

N

N

∑ ⃗Fiin = ∑ ∑ ⃗Fij + ∑ ∑ ⃗Fij
i=1 j=1
j
i=1
N

N

i=1 j=1
j>i

N

N

N

∑ ⃗Fiin = ∑ ∑ ⃗Fij + ∑ ∑ ⃗Fji
i=1 j=1
j
i=1

i=1 j=1
j
Do đó:
N

N

⃗ iin = ∑ (F
⃗ ij + F
⃗ ji ) = 0
∑F
i=1

i.j=1
j
Vậy tổng nội lực của hệ bằng 0.
Khi đó, (2) trở thành:
N

N

⃗⃗ i = ∑ ⃗Fie
∑ mi . ω
i=1

i=1

Thay (3) vào (1) ta được:
N

⃗
dP
= ∑ ⃗Fie
dt
i=1

⃗
dP
= ⃗F e
dt

6

(3)


⃗̇ = F
⃗e
Hay P

(1.5)

Biểu thức (1.5) biểu diễn định luật biến thiên xung lượng của hệ chất
điểm được phát biểu như sau:
“ Đạo hàm véc tơ xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng
tổng ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ.”
⃗Ṗ = ⃗F e
Trong đó: ⃗P là xung lượng của hệ chất điểm
⃗ e là tổng ngoại lực tác dụng lên hệ chất điểm
F
Ý nghĩa: định luật biến thiên xung lượng cho ta biết mối liên hệ giữa
gia tốc, lực và thời gian. Nó giúp ta xác định được một trong ba đại lượng khi
biết hai đại lượng còn lại.
Định luật biến thiên xung lượng còn được áp dụng trong nghiên cứu lý
thuyết va chạm.
1.2.2. Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm.
Nếu thành phần của tổng ngoại lực tác dụng lên hệ trên một trục cố
định nào đó bằng khơng tại mọi thời điểm thì thành phần của xung lượng của
hệ trên trục đó bảo tồn
Ví dụ: Nếu Fze = 0 thìPz = Pz0 = const với Pz0 là thành phần của Pz ở thời
điểm ban đầu.
Trong trường hợp cơ hệ kín là hệ mà trong đó các chất điểm của hệ
⃗ e = 0. Từ (1.5) suy ra:
không chịu một ngoại lực nào tác dụng lên chúng hay F
⃗
dP
= ⃗F e = 0
dt
⃗P = ⃗P0 = const

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Như vậy, đối với hệ kín thì xung lượng của hệ được bảo tồn.
Định luật bảo toàn xung lượng của hệ chất điểm được phát biểu như sau:
“ Đối với hệ kín, xung lượng của hệ được bảo toàn ”
7


⃗P = ⃗P0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
const

(1.6)

1.3. Một số bài toán ứng dụng.
Bài 1: Hãy tìm vận tốc sau va chạm đàn hồi tuyệt đối của hai quả cầu giống
nhau, chuyển động gặp nhau với vận tốc v1 và v2.
Giải:
𝑣1
⃗⃗⃗⃗

𝑣
⃗⃗⃗⃗2

O

x
Hình 1.1

Chọn trục Ox ( như hình vẽ )
Giả sử sau va chạm vận tốc của hai quả cầu là v⃗⃗⃗1′ và ⃗⃗⃗⃗
v2′

Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hai quả cầu :
⃗Ptrước = ⃗Psau
⃗⃗⃗⃗′
mv
⃗⃗⃗1 + mv
⃗⃗⃗⃗2 = mv⃗⃗⃗1′ + mv
2
→ v⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗
v2 = v⃗⃗⃗1′ + ⃗⃗⃗⃗
v2′

(1)

Chiếu (1) lên Ox, ta được:
v1 − v2 = −v ′1 + v ′ 2

(2)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho hai quả cầu:
2
2
1
1
1
⃗⃗⃗′ ) + 1 m (v
⃗⃗⃗⃗′ )
m(v
⃗⃗⃗1 )2 + m(v
⃗⃗⃗⃗2 )2 = m (v
1

2
2
2
2
2
Chiếu (2) lên Ox, ta được:

(3)

1
1
1
1
mv12 + mv22 = mv′12 + mv′22
2
2
2
2
→ v12 + v22 = v′12 + v′22
Từ (2) và (4), ta có hệ phương trình:

8

(4)


v1 − v2 = −v ′1 + v ′ 2
{ 2
v1 + v22 = v′12 + v′22
v′ = v1

→{ 1
v′2 = v2
Vậy sau va chạm hai quả cầu trao đổi vận tốc cho nhau.
Bài 2: Hai quả cầu đàn hồi tuyệt đối giống nhau va chạm với các vận tốc v
bằng nhau về độ lớn. Trước khi va chạm quả cầu bên trái có vận tốc hướng về
bên phải theo đường nối tâm hai quả cầu, còn quả cầu bên phải có vận tốc hợp
với đường nối tâm một góc α ( hình 1.2 ). Hãy tìm vận tốc của các quả cầu
sau khi va chạm.
⃗
v

𝛼

O1

Giải:

⃗
v
O2

Hình 1.2
y
⃗
v
O1

𝛼 ⃗v
O2

x

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Gọi vận tốc của quả cầu thứ nhất và thứ hai trước và sau va chạm lần lượt là
⃗ 1, v
v
⃗ 2, v
⃗ 1′ , v
⃗ 2′ .
Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng cho hệ hai quả cầu trước và sau va
chạm:
⃗Ptrước = ⃗Psau
⃗⃗⃗⃗′
mv
⃗⃗⃗1 + mv
⃗⃗⃗⃗2 = mv⃗⃗⃗1′ + mv
2

9

(1)


Chiếu (1) lên Ox:
′
′
mv1 − mv2 cosα = mv1x
+ mv2x
′
′

→ v1 − v2 cosα = v1x
+ v2x

Mà v1 = v2 = v
′
′
→ v − vcosα = v1x
+ v2x

(2)

Chiếu (1) lên Oy:
′
′
mv2 sinα = mv1y
+ mv2y

Mà v2 = v
′
′
→ vsinα = v1y
+ v2y

(3)

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng cho các quả cầu trước và sau va chạm:
2
2
1
1

1
⃗⃗⃗′ ) + 1 m (v
⃗⃗⃗⃗′ )
m(v
⃗⃗⃗1 )2 + m(v
⃗⃗⃗⃗2 )2 = m (v
1
2
2
2
2
2

→ v12 + v22 = v′12 + v′22
→ 2v 2 = v′12 + v′22
2
2
Mà v′12 = v′1x
+ v′1y
; v′22 = v′22x + v′22y
2

2
2
→ 2v 2 = v′1x
+ v′1y
+ v′22x + v ′ 2y

(4)

′
Giả sử sau va chạm quả cầu thứ nhất bật ngược trở lại. Khi đó v1y
= 0, thay

vào (3), ta được:
′
v2y
= vsinα

Từ (4):
2
→ 2v 2 = v′1x
+ v′22x + v 2 sin2 α

→ v′21x + v′22x = 2v2 − v2 sin2 α

(5)

′
′
Kết hợp với (2) → v1x
= v − vcosα − v2x
, thay vào (5), ta được phương

trình:
′
v′22x − v(1 + cosα)v2x
− v 2 . cosα = 0

Suy ra:

10


′
v2x
= −vcosα < 0 (loại)
′
v2x
= v (thỏa mãn)
′
v1x
= v − vcosα − v = −vcosα

Vậy vận tốc của hai quả cầu sau va chạm là:
2
2
v′12 = v′1x
+ v′1y
= v 2 cos 2 α → v1′ = vcosα

v′22 = v′22x + v′22y = v 2 + v 2 sin2 α → v′2 = v√1 + sin2 α

11


Kết luận chương 1
Các định luật bảo toàn mà chúng ta nhận được trong chương này đều
xuất phát từ phương trình chuyển động của Niu Tơn. Vì thế các định luật đó
liên hệ chặt chẽ với các tính chất của thời gian và không gian trong cơ học cổ

điển. Định luật bảo toàn xung lượng liên hệ với tính đồng nhất của không
gian, do tính chất này mà các tính chất cơ học của một hệ kín không thay đổi
với mọi dịch chuyển song song của hệ trong toàn bộ.
Đối với một số bài tập cơ học thỏa mãn định luật bảo tồn thì có thể
giải bằng các định luật bảo tồn và cũng có thể giải bằng phương trình tổng
quát của động lực học nhưng giải bằng các định luật bảo tồn sẽ đưa kết quả
nhanh chóng hơn.
Khi áp dụng định luật bảo toàn xung lượng và định luật biến thiên xung
lượng của cơ hệ, ta lần lượt làm theo thứ tự sau:
- Xác định trạng thái của cơ hệ khảo sát ( hệ kín hay hệ không kín ...),
từ đó xác định hướng giải của bài tốn sẽ áp dụng định luật bảo toàn xung
lượng hay định luật biến thiên xung lượng của hệ.
- Xác định các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ. Chọn hệ trục tọa độ tương
ứng.
- Xác định xung lượng của cơ hệ
- Áp dụng biểu thức của định luật, từ đó giải các phương trình vi phân
để tìm các đại lượng cần thiết theo yêu cầu của đề bài.

12


CHƯƠNG 2
ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN MƠ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT
SỐ BÀI TỐN ỨNG DỤNG
2.1. Định luật bảo tồn mơ men xung lượng của chất điểm.
2.1.1. Định luật biến thiên mô men xung lượng của chất điểm.
Xét một chất điểm tự do có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng
→
của lực F . Theo định luật II Niu tơn, ta có:
m. ω

⃗⃗ = ⃗F ( ω
⃗⃗ : gia tốc của chất điểm )
→ m.

dv
⃗
= ⃗F
dt

Nhân hữu hướng với r về bên trái, ta được:
[r. m.

dv
⃗
] = [r. ⃗F]
dt

⃗ ] được gọi là mô men lực của chất điểm, ký hiệu là L
⃗
Tích hữu hướng [r. F
⃗L = [r. m.
→ ⃗L =

dv
⃗
]
dt

d
dr

d
[r. m. v
⃗ ] − [ . m. v
⃗ ] = [r. m. v
⃗ ] − [v
⃗ . m. v
⃗]
dt
dt
dt

(2.1)

Vì [v
⃗.v
⃗ ] = 0 nên có thể biến đổi vế trái của phương trình (2.1) thành dạng:
⃗⃗⃗
dM
⃗⃗ → M
⃗⃗⃗̇ = L
⃗
=L
dt

( 2.2 )

⃗⃗ = [r. m. v
Trong đó ⃗M
⃗ ] = [r. ⃗P] được gọi là mô men xung lượng của chất
điểm

Biểu thức ( 2.2 ) biểu diễn định luật biến thiên mô men xung lượng của
chất điểm được phát biểu như sau:
“ Đạo hàm véc tơ của mô men xung lượng của chất điểm theo thời gian
bằng mô men lực tác dụng lên chất điểm đó ”

13


⃗⃗⃗̇ = L
⃗
M
⃗⃗ = [r. m. v
Trong đó: ⃗M
⃗ ] = [r. ⃗P]: mô men xung lượng của chất điểm
⃗ = [r. F
⃗ ] : mô men lực của chất điểm
L
2.1.2. Định luật bảo tồn mơ men xung lượng của chất điểm.
Nếu thành phần mô men lực trên một trục cố định nào đó tại mọi thời
điểm bằng 0 thì thành phần của mômen xung lượng của chất điểm trên trục đó
được bảo tồn.
Ví dụ: Nếu Lz = 0 thì Mz bảo tồn
Mz = Mz0 = const

(2.3)

Nhận xét: Mơ men lực (hay các thành phần của nó trên các trục nào đó)
bằng khơng khi lực tác dụng lên chất điểm bằng khơng. Nhưng cũng có thể
xẩy ra trường hợp, lực tác dụng lên chất điểm khác không mà mô men lực lại
bằng khơng

Ví dụ 1: Cho trước lực tác dụng lên chất điểm có hướng ln cố định, ta chọn
trục Oz thế nào để nó cộng tuyến với hướng của lực đó. Từ đây, ta có (hình
2.1a)
Fx = Fy = 0 ; Fz ≠ 0
Lx ≠ 0 ; Ly ≠ 0 ; Lz = xFy − yFx = 0
Mà Lz = 0 thì Mz bảo tồn.
Mz = m(xẏ − yẋ ) = Mz0

(2.4)
z

z

O

y

O

x

x
b)

a)
Hình 2.1
14

y

Ví dụ 2: Lực xun tâm, đó là lực có đường tác dụng luôn đi qua một
điểm cố định – tâm của lực (đường tác dụng của lực là đường thẳng mà vectơ
lực nằm trên đó). Trong trường hợp này mô men lực bằng không. Thật vậy:
Chọn điểm cố định O làm gốc toạ độ (Hình 2.1 b) khi đó:
⃗F = Fγ n
⃗ γ ; ⃗L = 0
⃗M
⃗⃗ = m[r. v
⃗⃗ 0
⃗ ] = ⃗M

(2.5)

Nghĩa là mô men xung lượng của chất điểm đối với tâm của lực bảo
toàn.
Định luật bảo tồn mơ men xung lượng của chất điểm được phát biểu
như sau:
“ Trong hệ quy chiếu quán tính mà tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm bằng
0 hoặc lực tổng hợp cộng tuyến với bán kính vectơ xác định vị trí của chất
điểm thì mơ men xung lượng của chất điểm bảo toàn ”
⃗M
⃗⃗ = ⃗M
⃗⃗ 0 = const
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(2.6)

⃗⃗ = [r. m. v
Trong đó: ⃗M

⃗ ]: mơ men xung lượng của chất điểm
⃗M
⃗⃗ 0 : mô men xung lượng ban đầu của chất điểm
2.2. Định luật bảo toàn mômen xung lượng của hệ chất điểm.
2.2.1. Định luật biến thiên mơmen xung lượng của hệ chất điểm.
Phương trình chuyển động của chất điểm thứ i của hệ chất điểm có
dạng:
⃗ iin + F
⃗ ie
mi . ω
⃗⃗ i = F
↔ mi .

dv
⃗i
̅̅̅̅̅
⃗ iin + F
⃗ ie ( i = 1,
=F
N)
dt

Nhân hữu hướng với ri về bên trái:
[ri . mi .

dv
⃗i
] = [ri . ⃗Fiin ] + [ri . ⃗Fie ]
dt

15


↔
→

d
dri
[ri . mi . v
⃗ i ] − [ . mi . v
⃗ i ] = [ri . ⃗Fiin ] + [ri . ⃗Fie ]
dt
dt

d
dri
[ri . mi . v
⃗ i ] = [ri . ⃗Fiin ] + [ri . ⃗Fie ] vì [ . mi . v
⃗ i] = 0
dt
dt
⃗⃗⃗̇ i = L
⃗ in
⃗e
Hay M
i + Li

(2.7)

⃗ in

Trong đó : ⃗Lin
i = [ri . Fi ]: mômen nội lực của chất điểm thứ i
⃗Lei = [ri . ⃗Fie ]: mômen ngoại lực của chất điểm thứ i
⃗⃗⃗ i = [ri . mi . v
⃗ i ]: mômen xung lượng của chất điểm thứ i
M
⃗ i ] = [ri . P
Lấy tổng biểu thức (2.7) theo tất cả các chất điểm trong hệ, ta nhận được:
N

N

⃗M
⃗⃗̇ = ∑ ⃗Lin
⃗e
i + ∑ Li
i=1

(2.8)

i=1

⃗⃗⃗ là mô men xung lượng của hệ, bằng tổng mơ men xung lượng của
Trong đó M
các chất điểm trong hệ.
N

⃗M
⃗⃗ = ∑ ⃗M
⃗⃗ i

i=1

Các lực tương tác giữa mỗi cặp các chất điểm theo định luật III Niu
Tơn thì bằng nhau về độ lớn và hướng ngược chiều nhau trên đường thẳng nối
các chất điểm tương tác. Do đó ta có thể biểu diễn mơ men nội lực dưới dạng
tổng các mô men lực theo tất cả các cặp chất điểm tương tác.
i

𝐹𝑖𝑗

𝑟𝑖

𝐹𝑗𝑖

O
𝑟𝑗

16

j


Chọn gốc O làm gốc tọa độ
Vị trí của chất điểm Mi và Mj của hệ đối với gốc O được xác định bằng
bán kính véc tơ ri và rj . Ta có :
N

∑ ⃗Lin
i
i=1

N

N

N

= ∑ ri . ∑ ⃗Fji = ∑ {[ri . ⃗Fji ] + [rj . ⃗Fij ]}
i=1

[

i,j=1
i≠j

i,j=0
i
]

N

∑ ⃗Lin
i =0

(2.9)

i=1

Bởi vì : [ri . ⃗Fji ] + [rj . ⃗Fij ] = [(r⃗⃗i − rj ). ⃗Fij ] = 0

( vì ⃗Fij cộng tuyến với rji = ri − rj )
Do đó tổng mơ men nội lực tác dụng lên chấtđiểm của hệ bằng 0.
Từ biểu thức (2.8) và (2.9), ta nhận được biểu thức của định luật biến
thiên mô men xung lượng của hệ chất điểm:
⃗M
⃗⃗̇ = ⃗Le

(2.10)

Trong đó ⃗Le là tổng mơ men ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ:
N

⃗e

L = ∑ ⃗Lei
i=1

Định luật biến thiên mô men xung lượng của hệ chất điểm được phát
biểu như sau:
“ Đạo hàm mô men xung lượng của hệ chất điểm theo thời gian bằng
tổng mô men ngoại lực tác dụng lên các chất điểm của hệ ”
Ý nghĩa: định luật biến thiên mômen xung lượng của hệ chất điểm để
nghiên cứu chuyển động của cơ hệ bao gồm cả chuyển động quay và chuyển
động tịnh tiến.

17


2.2.2. Định luật bảo tồn mơmen xung lượng của hệ chất điểm
Nếu thành phần của tổng mô men ngoại lực trên một trục cố định nào

đó bằng khơng tại mọi thời điểm thì thành phần của mơ men xung lượng của
hệ trên trục đó được bảo tồn.
Ví dụ:
N

N

⃗ ie ] = 0 → Mz = ∑[ri . mi . v
Lez = ∑[ri . F
⃗ i ]z = Mz0 = const
z
i=1

i=1

→ Mơmen xung lượng trên Oz được bảo tồn.
Trong trường hợp cơ hệ kín, tất cả các lực ⃗Fie = 0 ( i = 1,2, … , N) nên:
N

⃗ e = ∑[ri . F
⃗ ie ] = 0
L
i=1

Do đó, mơ men xung lượng của hệ kín bảo toàn
N

⃗M
⃗⃗ = ∑ mi . [ri . v
⃗⃗ 0 = const

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗ i ] = ⃗M

(2.11)

i=1

Định luật bảo tồn mơ men xung lượng của hệ chất điểm được phát
biểu như sau:
“ Đối với hệ kín, mômen xung lượng của hệ không thay đổi ”
⃗M
⃗⃗ = ⃗M
⃗⃗ 0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
const
Ý nghĩa: định luật mômen xung lượng cho phép ta xác định vận tốc góc
hay góc quay của một bộ phận nào đó của cơ hệ theo vận tốc góc hay góc
quay của các bộ phận cịn lại.
2.3. Một số bài toán ứng dụng.
Bài 1: Một dây treo vật nặng có trọng lượng P1 quấn trên một tang quay hình
trụ trịn đồng chất có trọng lượng P2 và bán kính R. Bỏ qua khối lượng của
dây và ma sát, hãy xác định vận tốc của vật nặng rơi xuống theo phương
thẳng đứng.

18


Giải:

(B)
𝑅⃗

R

𝑃⃗2

(A)
Hình 2.1

𝑃⃗1

Hệ khảo sát gồm tang quay, vật nặng và dây
Các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ là trọng lực ⃗P1 của vật A, trọng lượng ⃗P2 của
tang quay, phản lực ⃗R của ổ đỡ.
Trục quay được chọn là trục Oz hướng ra phía sau của mặt giấy và vng góc
với tang quay.
Áp dụng định lý biến thiên mơ men xung lượng của hệ đối với trục Oz, ta có:
dMz
⃗ 1 ) + Lz (P
⃗ 2 ) + Lz (R
⃗)
= Lz = Lz (P
dt
Trong đó:
Mz = MzA + MzB = R.

P1
. v + Jz . ω
g

Jz : mômen quán tính của tang quay.
ω: gia tốc góc

→ Mz = R.

P1
v
P1
Jz
. v + Jz . = v. ( . R + )
g
R
g
R
⃗ 1 ) = R. P1
Lz (P

→
⃗ 2 ) = 0 ; Lz (R
⃗)=0
Do ⃗P2 và R đi qua O nên Lz (P

19


⃗ 1 ) = R. P1
→ Lz = Lz (P
dMz
d
P1
Jz
= Lz ↔ [v. ( . R + )] = R. P1
dt

dt
g
R
→

dv P1
Jz
d P1
Jz
( . R + ) + ( . R + ) . v = R. P1
dt g
R
dt g
R

d P1
Jz
dv P1
Jz
( .R + ).v = 0 →
( . R + ) = R. P1
dt g
R
dt g
R
Gia tốc:
ωi =

dv
R. P1

=
dt P1 . R + Jz
g
R

Vận tốc ban đầu của vật v0 = 0
→v=

R. P1

(1)

P1
J
.R + z
g
R

Xác định mô men quán tính Jz của hình trụ trịn đồng chất có mật độ ρ, bề dày
h và bán kính R với trục Oz vng góc với đĩa và đi qua tâm của nó.
Gọi r là khoảng cách từ một điểm của hình trụ tròn đến trục quay Oz
m là khối lượng của đĩa tròn.
dm là khối lượng của phần đĩa nằm giữa hai mặt trụ có bán kính r và r+dr
dm = ρ. V. dr = ρ. 2πr. h. dr
R

R
2

R

→ Jz = ∫ r . dm = ∫ r . ρ. 2πr. h. dr = ∫ r 3 . ρ. 2π. h. dr
0

2

0

0

R

r4
R4 π. R2 . h. ρ. R2 ρ. V. R2 mR2
→ Jz = 2πhρ | = 2πhρ
=
=
=
4 0
4
2
2
2
Thay (2) vào (1) ta được:
v=

2g. P1 . t
2P1 + P2

20

(2)